玻爾茲曼方程

1、第四節(jié)第四節(jié) 玻爾茲曼方程玻爾茲曼方程本節(jié)主要內(nèi)容：本節(jié)主要內(nèi)容：6.4.1 6.4.1 玻爾茲曼方程的微分積分方程玻爾茲曼方程的微分積分方程6.4.2 6.4.2 弛豫時間近似弛豫時間近似 金屬中的電子，在外場作用下會產(chǎn)生附加運動。如在外加金屬中的電子，在外場作用下會產(chǎn)生附加運動。如在外加電場中，產(chǎn)生電流；在外加溫度場中，產(chǎn)生熱流。這種由外場電場中，產(chǎn)生電流；在外加溫度場中，產(chǎn)生熱流。這種由外場引起的電荷或能量從一個區(qū)域到另一個區(qū)域的遷移現(xiàn)象稱為輸引起的電荷或能量從一個區(qū)域到另一個區(qū)域的遷移現(xiàn)象稱為輸運現(xiàn)象。運現(xiàn)象。電流密度：電流密度：Ej 為金屬的電導率。為金屬的電導率。kkkd 中的電子

2、數(shù)：中的電子數(shù)：kVkfCd)2(2)(3取單位體積取單位體積VC= =1kd中的電子對電流密度的貢獻為：中的電子對電流密度的貢獻為：kkfkevd)2(2)()(3 kkfkevjd)2(2)()(36.4 玻爾茲曼方程)(kf 不同狀態(tài)電子的分布函數(shù)不同，不同狀態(tài)電子的分布函數(shù)不同， 是在外場下的非平衡分是在外場下的非平衡分布函數(shù)。布函數(shù)。 如何確定非平衡狀態(tài)下電子的分布函數(shù)呢？如何確定非平衡狀態(tài)下電子的分布函數(shù)呢？ kkfkevjd)2(2)()(3 玻爾茲曼方程是用來研究非平衡狀態(tài)下電子的分布函數(shù)的玻爾茲曼方程是用來研究非平衡狀態(tài)下電子的分布函數(shù)的方程。方程。 由于玻爾茲曼方程比較復雜

3、，我們只限于討論電子的等能由于玻爾茲曼方程比較復雜，我們只限于討論電子的等能面是球面，且在各向同性的彈性散射以及弱場的情況。面是球面，且在各向同性的彈性散射以及弱場的情況。6.4.1 玻爾茲曼方程的微分積分方程)(ddBvetkF 電子分布函數(shù)電子分布函數(shù)f是波矢是波矢 、空間坐標、空間坐標 和時間和時間t的函數(shù)的函數(shù)。kr溫度梯度溫度梯度r變化變化f變化變化B ， k變化變化f變化變化 在外電場在外電場 和磁場和磁場 中，電子的運動規(guī)律是中，電子的運動規(guī)律是B以波矢以波矢 坐標坐標 為變量組成的空間稱為相空間。為變量組成的空間稱為相空間。kr在相空間中討論非平衡條件下電子的分布函數(shù)。在相空間

4、中討論非平衡條件下電子的分布函數(shù)。1.相空間),(tkrfr描述描述t時刻電子在晶體內(nèi)時刻電子在晶體內(nèi) 處波矢為處波矢為 的概率的概率。 k電子分布函數(shù)的變化表示為電子分布函數(shù)的變化表示為漂漂碰碰tftftf 碰撞引起的分布函數(shù)的變化碰撞引起的分布函數(shù)的變化2.分布函數(shù)的變化漂移作用引起的分布漂移作用引起的分布函數(shù)的變化函數(shù)的變化漂漂碰碰tftftf 漂移項漂移項= =外場作用力引起的電子波矢的漂移外場作用力引起的電子波矢的漂移+ +速度引起的電子位置的漂移速度引起的電子位置的漂移fkfrkr 漂漂tf 碰撞項：由于晶格原子的振動或雜質(zhì)的存在等具體的原因，碰撞項：由于晶格原子的振動或雜質(zhì)的存在

5、等具體的原因，電子不斷發(fā)生從電子不斷發(fā)生從 態(tài)的躍遷，電子態(tài)的這種變化常稱為散態(tài)的躍遷，電子態(tài)的這種變化常稱為散射。射。 kk只考慮相同自旋態(tài)之間的躍遷。只考慮相同自旋態(tài)之間的躍遷。 kkfnd22d3 33)2(d2)2(d)()(1)(kkk,kt ,kft ,kf 處單位體積中處在處單位體積中處在 間的電子數(shù)間的電子數(shù)kkkd r(1)(1)kk 態(tài)的散射概率為態(tài)的散射概率為)(k,k (2)(2) kfk 12d23k 態(tài)空狀態(tài)數(shù)為態(tài)空狀態(tài)數(shù)為(3)(3)單位時間內(nèi)由于碰撞而進入單位時間內(nèi)由于碰撞而進入 態(tài)的電子數(shù)為態(tài)的電子數(shù)為k d(4)(4)( (只考慮自旋相同的躍遷只考慮自旋相同

6、的躍遷) ) 333)2(d2)2(d2)2(d)()(1)(kakkk,kt ,kft ,kfk單位時間內(nèi)由于碰撞而離開單位時間內(nèi)由于碰撞而離開 態(tài)的電子數(shù)為態(tài)的電子數(shù)為kd(4)(4) 333)2(d2)2(d2)2(d)()(1)(kbkkk,kt ,kft ,kfk單位時間內(nèi)由于碰撞而進入單位時間內(nèi)由于碰撞而進入 態(tài)的電子數(shù)為態(tài)的電子數(shù)為kd(5)(5) kkk,kt ,kft ,kfa3)2(d)()(1)( kkk,kt ,kft ,kfb3)2(d)()(1)(如果系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)，則如果系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)，則 ，即，即0 tf0漂漂碰碰tftf abfkfrkr fkfrkr 漂

7、漂tf abtf 碰碰 它是一個微分它是一個微分-積分方程。由于難于求出此方程的解，因積分方程。由于難于求出此方程的解，因此常采用近似方法。最常用的方法為弛豫時間近似方法。此常采用近似方法。最常用的方法為弛豫時間近似方法。 332d22d2kabktftnCCabtfC 6.4.2 弛豫時間近似)(0kfftftf 碰碰 式中式中 是平衡時的費米狄拉克分布函數(shù)，是平衡時的費米狄拉克分布函數(shù)， 是一個參量，是一個參量，稱為弛豫時間，是稱為弛豫時間，是k的函數(shù)。的函數(shù)。0f00)( fff 電子的分布函數(shù)偏離了平衡分布，系統(tǒng)依賴碰撞恢復平衡電子的分布函數(shù)偏離了平衡分布，系統(tǒng)依賴碰撞恢復平衡分布分布0)( f 表示分布函數(shù)對平衡的偏離表示分布函數(shù)對平衡的偏離1.1.無外場，無溫度梯度無外場，無溫度梯度0 漂漂tf 總之有了外場和溫度梯度，系統(tǒng)的分布才會偏離平衡，無總之有了外場和溫度梯度，系統(tǒng)的分布才會偏離平衡，無休止的漂移；有了碰撞，就會使漂移受到遏制，被限制在一定休止的漂移；有了碰