球的體積和表面積

1、球的體積和表面積AOirO.niinRRri,2 , 1,)1(22,21RRr,)(222nRRr1、球的體積、球的體積B2C2BiCiAO,)2(223nRRr已知球的半徑為已知球的半徑為RnininRnRrVii,2 , 1,)1(1 232問題問題:已知球的半徑為已知球的半徑為R,用用R表示球的體積表示球的體積.niinRRri, 2 , 1,)1(22nVVVV21半球) 1(2122223nnnnR6) 12() 1(123nnnnnnR6) 12)(1(11 23nnnR例例1. 1.鋼球直徑是鋼球直徑是5cm,5cm,求它的體積求它的體積. .3336125)25(3434cm

2、RV334RV定理定理:半徑是半徑是R的球的體積的球的體積變式變式1 1：一種空心鋼球的質(zhì)量是：一種空心鋼球的質(zhì)量是142g,142g,外徑外徑是是5cm,5cm,求它的內(nèi)徑求它的內(nèi)徑.( .(鋼的密度是鋼的密度是7.9g/cm7.9g/cm2 2) )解:設(shè)空心鋼球的內(nèi)徑為2xcm,則鋼球的質(zhì)量是答:空心鋼球的內(nèi)徑約為4.5cm.142 34)25(349 . 733x3 .1149 . 73142)25(33x由計(jì)算器算得:24. 2x5 . 42 x( (變式變式2) 2)把鋼球放入一個(gè)正方體的有蓋紙把鋼球放入一個(gè)正方體的有蓋紙盒中盒中, ,至少要用多少紙至少要用多少紙? ?用料最省時(shí)用

3、料最省時(shí), ,球與正方體有什么位置關(guān)系球與正方體有什么位置關(guān)系? ?球內(nèi)切于正方體球內(nèi)切于正方體2215056cmS側(cè)側(cè)棱長(zhǎng)為側(cè)棱長(zhǎng)為5cm1.球的直徑伸長(zhǎng)為原來的球的直徑伸長(zhǎng)為原來的2倍倍,體積變?yōu)樵瓉眢w積變?yōu)樵瓉淼膸妆兜膸妆?2.一個(gè)正方體的頂點(diǎn)都在球面上一個(gè)正方體的頂點(diǎn)都在球面上,它的棱長(zhǎng)是它的棱長(zhǎng)是4cm,求這個(gè)球的體積求這個(gè)球的體積. 8倍倍332變式變式3.有三個(gè)球有三個(gè)球,一球切于正方體的各面一球切于正方體的各面,一球切于正方體的各側(cè)棱一球切于正方體的各側(cè)棱,一球過正方體一球過正方體的各頂點(diǎn)的各頂點(diǎn),求這三個(gè)球的體積之比求這三個(gè)球的體積之比.作軸截面作軸截面例例2、某街心花園有許

4、多鋼球（鋼的密度、某街心花園有許多鋼球（鋼的密度是是7.9g/cm3),每個(gè)鋼球重每個(gè)鋼球重145kg，并且外，并且外徑等于徑等于50cm，試根據(jù)以上數(shù)據(jù)，判斷鋼，試根據(jù)以上數(shù)據(jù)，判斷鋼球是實(shí)心的還是空心的。如果是空的球是實(shí)心的還是空心的。如果是空的,請(qǐng)請(qǐng)你計(jì)算出它的內(nèi)徑（你計(jì)算出它的內(nèi)徑（取取3.14，結(jié)果精確，結(jié)果精確到到1cm）。）。1.兩種方法兩種方法:化整為零的思想方法和化整為零的思想方法和“分割分割,求求和和,取極限取極限”的數(shù)學(xué)方法的數(shù)學(xué)方法.2.一個(gè)觀點(diǎn)一個(gè)觀點(diǎn):在一定條件下在一定條件下,化曲為直的辨證觀化曲為直的辨證觀點(diǎn)點(diǎn).3.一個(gè)公式一個(gè)公式:半徑為半徑為R的球的體積是的球

5、的體積是334RV4.解決兩類問題解決兩類問題:兩個(gè)幾何體相切和相接兩個(gè)幾何體相切和相接作適當(dāng)?shù)妮S截面作適當(dāng)?shù)妮S截面兩個(gè)幾何體相切兩個(gè)幾何體相切:一個(gè)幾何體的各個(gè)面與另一個(gè)幾何體的各個(gè)面與另一個(gè)幾何體的各面相切一個(gè)幾何體的各面相切.兩個(gè)幾何體相接兩個(gè)幾何體相接:一個(gè)幾何體的所有頂點(diǎn)都一個(gè)幾何體的所有頂點(diǎn)都 在另一個(gè)幾何體的表面上在另一個(gè)幾何體的表面上球面：半圓以它的直徑為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)所成的曲面。球面：半圓以它的直徑為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)所成的曲面。球球( (即球體即球體):):球面所圍成的幾何體。球面所圍成的幾何體。它包括球面和球面所包圍的空間。它包括球面和球面所包圍的空間。半徑是半徑是R R的球的體

6、積：的球的體積：推導(dǎo)方法推導(dǎo)方法：334RV 分割分割求近似和求近似和化為準(zhǔn)確和化為準(zhǔn)確和小結(jié)：小結(jié)：第一步：分割第一步：分割O O球面被分割成球面被分割成n n個(gè)網(wǎng)格，個(gè)網(wǎng)格， 表面積分別為：表面積分別為：nSSSS.321，則球的表面積：則球的表面積：nSSSSS.321則球的體積為：則球的體積為：設(shè)設(shè)“小錐體小錐體”的體積為：的體積為：iViVnVVVVV.321iSO O2 2、球的表面積、球的表面積O O第二步：求近似和第二步：求近似和O Oih由第一步得：由第一步得：nVVVVV.321nnhShShShSV31313131332211.iiihSV31iSiV第三步：轉(zhuǎn)化為球的表

7、面積第三步：轉(zhuǎn)化為球的表面積RSVii31 如果網(wǎng)格分的越細(xì)如果網(wǎng)格分的越細(xì), ,則則: :RSRSRSRSVni3131313132.RSSSSSRni313132).( 由由 得得: :334RV 球的體積球的體積: :2 24 4R RS S iSiVih的值就趨向于球的半徑的值就趨向于球的半徑R RRihiSO OiV“小錐體小錐體”就越接近小棱錐。就越接近小棱錐。(1)(1)若球的表面積變?yōu)樵瓉淼娜羟虻谋砻娣e變?yōu)樵瓉淼? 2倍倍, ,則半徑變?yōu)樵瓉淼膭t半徑變?yōu)樵瓉淼谋?。倍?2)(2)若球半徑變?yōu)樵瓉淼娜羟虬霃阶優(yōu)樵瓉淼? 2倍，則表面積變?yōu)樵瓉淼谋?，則表面積變?yōu)樵瓉淼谋?。倍?3)

8、(3)若兩球表面積之比為若兩球表面積之比為1:21:2，則其體積之比是，則其體積之比是。(4)(4)若兩球體積之比是若兩球體積之比是1:21:2，則其表面積之比是，則其表面積之比是。練習(xí)：練習(xí)：2422:134:1例例. .如圖，正方體如圖，正方體ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱長(zhǎng)為的棱長(zhǎng)為a,a,它的各個(gè)頂它的各個(gè)頂點(diǎn)都在球點(diǎn)都在球O O的球面上，問球的球面上，問球O O的表面積。的表面積。A AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O OA AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O O分析：正方體內(nèi)接于球，則由球和正方體都是中心對(duì)稱圖形可分析：正方體內(nèi)接于球，則由球和正方體都是中心對(duì)稱圖形可知，它們中心重合，則正方體對(duì)角線與球的直徑相等。知，它們中心重合，則正方體對(duì)角線與球的直徑相等。略解：2222211113423,)2()2(22:aRSaRaaRaDBRDBDDBRt得得：，中中變題變題1.1.如果球如果球O O和這個(gè)正方體的