太陽能板對日定向問題——2010數(shù)學建模

1、題目：太陽能電池板對日定向問題 如何更好的接受太陽的恩賜參賽隊員：姓名性別學號學院專業(yè)董尚祺男2220101806輪機工程學院電氣工程及自動化趙韞智男2220101366輪機工程學院船舶與海洋工程葛小娜女2220101868交通運輸管理學院工商管理目錄一、摘要3二、問題的提出3三、問題分析4四、建模過程 1.建立基本數(shù)學模型 10 2.建立高級數(shù)學模型 11 3.代入數(shù)據(jù)繪制函數(shù)圖象 16 4.將函數(shù)圖象轉(zhuǎn)化為三維直觀圖 20 5.檢驗模型解 20五、模型的評價與改進22六、聲明與參考文獻23一、摘要關(guān)于太陽能電板的利用率問題和電板轉(zhuǎn)動與太陽偏轉(zhuǎn)角的關(guān)系，是第一部分探討的兩大重點，我們通過將具

2、體問題模型化，繪制基本的數(shù)學模型，并運用數(shù)學上的平面幾何知識，及網(wǎng)上所查到的資料，自主推導有用的公式及原理。并繪制簡單的圖象來清晰的表述。廣泛聯(lián)系實際及生活中的現(xiàn)象，通過向日葵的向日原理，普通跟蹤裝置的設(shè)定原理，總結(jié)出最佳方案及最適結(jié)果。接著建立出太陽高度角、太陽方位角，關(guān)于時間的函數(shù)，求出數(shù)學表達式，繪制出函數(shù)圖象。建立適當?shù)目臻g直角坐標系，以太陽高度角、太陽方位角來確定太陽能能電池版面的指向，繪制出三維立體直觀圖。然后帶入數(shù)據(jù)，以2010年11月20日各整點時刻計算出太陽的高度角與方位角。同時，選取適當?shù)臅r間進行實地測量。繪制出表格，計算平均相對誤差，檢驗模型解得準確性。最后對誤差和模型本

3、身進行分析，總結(jié)出建模時未考慮到的因素對結(jié)果的影響，明確繼續(xù)努力的方向。二、問題的提出目前，由于人類過度的開采石油等消耗性能源，并大肆的浪費，使得當今社會的可用能源已經(jīng)所剩無幾，開發(fā)新能源及清潔能源是當務(wù)之急，而太陽能是一種既清潔又富有的理想能源，但如何更好的收集與利用則是一個難題。現(xiàn)如今，人類利用太陽能有以下兩種形式一種是太陽能熱利用，即利用太陽能輻射能加熱集熱器，把吸收的熱能直接加以利用，如太陽能熱水器、太陽能空調(diào)、太陽能溫室等。另一種是將太陽輻射能轉(zhuǎn)化為電能加以利用。這種光電轉(zhuǎn)換是通過半導體物質(zhì)直接將太陽輻射能轉(zhuǎn)換為電能，通常稱這種過程為光伏打效應，如太陽能電池等。而太陽能電板是收集太陽

4、能的常用工具，它的運用廣泛，但應用方法卻極為嚴格，在諸如GPS衛(wèi)星這樣的重要設(shè)備上，要求對日定向系統(tǒng)控制太陽能電池板旋轉(zhuǎn)，使板面始終對準太陽，吸收最大單位面積的太陽能量，以便為設(shè)備不斷提供電力。經(jīng)考察得知，當太陽光正對電池板時，單位面積的太陽能吸收量是最大的，所以，只有在適當?shù)睦锰柲茈姲宓那闆r下才能收集到更多的太陽能，為此，我們小組通過大量的研究，并以我校綜合樓為研究對象，針對“在綜合樓上安裝太陽能電池，指明太陽能電池板在各個時刻應該指向的方向”的問題，經(jīng)過激烈的探討，以求初步解決太陽能電池板對日定向問題。三、問題的分析要使得安裝的太陽能電池始終對準太陽，即要求太陽光始終垂直照射太陽能電池

5、板，由于太陽會隨時間的推移而移動，所以太陽能電池板要隨時間推移而轉(zhuǎn)動，這就會產(chǎn)生以下兩個問題：（1） 電池板轉(zhuǎn)動的方式及太陽能利用率;（2） 電池板隨太陽轉(zhuǎn)動時太陽角度與電池板轉(zhuǎn)動角度之間的關(guān)系。對于以上兩個問題，我們分步討論。首先問題（1），我們將使電池板轉(zhuǎn)動的裝置稱作是太陽能自動跟蹤系統(tǒng)，是通過對太陽能陣列的角度，方向調(diào)整，讓太陽能電池陣列最大限度的吸收直射太陽光。對于北半球而言，太陽位于南方，并且永遠不會處于我們所處位置的正上方，因此我們需要將太陽能電池板面向南方，并設(shè)置一個特定的偏角，由此可以使得太陽能電池板更大限度的接受太陽能。如此，我們有如下兩種跟蹤系統(tǒng)：1. 單軸：設(shè)定一定角度的

6、主軸（平均偏角），太陽能電池陣列面朝南方。這種陣列設(shè)計簡單，自損耗電力小，可以將太陽能電池陣列由東向西調(diào)整。其中的初始偏角為太陽一天之內(nèi)對當?shù)卣丈浣嵌鹊钠骄档挠嘟菙?shù)值）2. 雙軸：設(shè)定未固定角度的主軸，太陽能電池陣列初東西方向調(diào)整外，還可以南北方向調(diào)整，使得太陽光每時每刻都可以垂直照射電池板，這種陣列設(shè)計較為復雜，但太陽能電池發(fā)電量也更多。ABCDE 除此之外，太陽能電池板間的距離也與太陽能的利用率有很大的關(guān)系，下面我們來看兩個非常簡單的圖。其中，粗實線表示太陽能電池板陣列，細箭頭型實線表示太陽光。設(shè)每塊太陽能能電池板長度為L，寬度為D，厚度不計，電池板總共有N塊，除第一塊外每塊電池板的受光

7、部分FD長度為H如果太陽能電池板按此角度排列，我們可以很容易的得出，整個電池板的受光面積，而電池板總面積，因此，受光率為。另盡可能的大，則只需另H盡可能的趨近于L，也就是令被遮擋的部分盡可能的小。而在一天之內(nèi)，如利用上述雙軸跟蹤系統(tǒng)，則需在日照角度最小時，陽光透過前一太陽能板的上邊緣剛好能照到后一太陽能板的下邊緣，即可得到下圖（為1）。ABCDE因此，對于單軸跟蹤裝置，只需算出平均偏角即可，而對于雙軸跟蹤裝置，應對每一時刻的太陽高度角及太陽方位角做詳細的計算。同時，太陽能交流發(fā)電系統(tǒng)是由太陽電池板、充電控制器、逆變器和蓄電池共同組成；太陽能直流發(fā)電系統(tǒng)則不包括逆變器。為了使太陽能發(fā)電系統(tǒng)能為負

8、載提供足夠的電源，就要根據(jù)用電器的功率，合理選擇各部件。下面以100W輸出功率，每天使用6個小時為例，介紹一下計算方法： （1）首先應計算出每天消耗的瓦時數(shù)(包括逆變器的損耗)：若逆變器的轉(zhuǎn)換效率為90，則當輸出功率為100W時，則實際需要輸出功率應為100W/90=111W；若按每天使用5小時，則耗電量為111W*5小時=555Wh。 1.計算太陽能電池板：按每日有效日照時間為6小時計算，再考慮到充電效率和充電過程中的損耗，太陽能電池板的輸出功率應為555Wh/6h/70%=130W。其中70是充電過程中，太陽能電池板的實際使用功率。也就是說，太陽能電池板一天之內(nèi)的工作效率實際上還與一日之內(nèi)

9、日照時間有關(guān)，而晝長=（12-日出地的地方時）*2所以可估算出大連的平均晝長。 而根據(jù)向日葵的向日原理：向日葵從發(fā)芽到花盤盛開之前這一段時間，是向日的，其葉子和花盤在白天追隨太陽從東轉(zhuǎn)向西，不過并非即時的跟隨，植物學家測量過，其花盤的指向落后太陽大約12度，即48分鐘。太陽下山后，向日葵的花盤又慢慢往回擺，在大約凌晨3點時，又朝向東方等待太陽升起。我們可以得出，太陽能電池板也應在太陽下山后，板面漸漸回擺，在凌晨3時左右，面向東方。對于問題（2）太陽轉(zhuǎn)動角度與電池板偏轉(zhuǎn)角度間的關(guān)系可用如下數(shù)學模型圖和公式表示AAPOC其中，A表示某一時刻太陽的位置，A·表示標準位置即太陽處于赤道正上方

10、，半圓O為地球，O為地心，P為綜合樓，則偏角為太陽轉(zhuǎn) 角，偏角為太陽能電池板偏角，表示PC兩點的球面角（綜合樓所處緯度）。我們不妨設(shè)地球半徑為r，地日間距離為h，則多次運用余弦定理及基本平面幾何原理可得到有如下公式：其中 如此，我們可以很好的將太陽的轉(zhuǎn)角與太陽能電池板轉(zhuǎn)角聯(lián)系起來，并且只需知道以下幾樣數(shù)據(jù)： 地球半徑；地日距離；綜合樓所處緯度（近似為海事大學所處緯度）；太陽高度角；太陽方位角。其中， 地球半徑地球不是一個規(guī)則的物體。首先，它不是正球體，而是橢球體，準確地說是一個兩極稍扁，赤道略鼓的扁球體； 其次，地球的南極、北極也不對稱，就海平面來說，北極稍凸，南極略凹；第三，地球的外部地形起

11、伏多變（這在測量地球半徑時是沒有影響的）。地球這種不規(guī)則的形狀意味著在不同的地方測量，其半徑也不同。 地球的半徑有三個常用值： 極半徑：是從地心到北極或南極的距離，大約3950英里(6356.755 公里)（兩極的差極小，可以忽略）。 赤道半徑：是從地心到赤道的距離，大約3963英里(6378.140 公里)。 平均半徑：大約3959英里(6371.004 公里) 。這個數(shù)字是地心到地球表面所有各點距離的平均值。 可以這樣求：平均半徑=(赤道半徑2×極半徑)(1/3)。 地球半徑有時被使用作為距離單位, 特別是在天文學和地質(zhì)學中常用。它通常用RE表示。 地球大概半徑6371.004千

12、米地日距離發(fā)自太陽到達地球表面的輻射能量與日地間距離的平方成反比，因此，一個準確的日地距離值R就變得十分重要了。日地平均距離R0，又稱天文單位，  1天文單位=1.496×108km  或者，更準確地講等于149597890±500km。日地距離的最小值（或稱近日點）為0.983天文單位，其日期大約在1月3日；而其最大值（或稱遠日點）為1.017天文單位，日期大約在7月4日。地球處于日地平均距離的日期為4月4日和10月5日。   由于日地距離對于任何一年的任何一天都是精確已知的，所以這個距離可用一個數(shù)學表達式表述。為了避免日地距離用具體長度計量

13、單位表示過于冗長，一般均以其與日地平均距離比值的平方表示，即ER=（rr0）2，也有的表達式用的是其倒數(shù)，即r0r。 綜合樓所處緯度（近似為海事大學所處緯度）；大連的緯度為39°01-39°05N，取中值39°03作為大連海事大學緯度而對于，我們需要單獨另行計算，下面為計算過程。四、建模的過程1建立初級模型對于太陽高度角而言，以前有一種基本的測量經(jīng)驗和方法：1將一張白紙橫向?qū)φ?，再豎向?qū)φ?，中間形成十字坐標折痕。用直尺、鉛筆將折痕描畫清楚。交叉點為O; 2將白紙放在陽光下的平地上，將三角板的直角頂與O點對準，其一條直角邊壓在縱向的一條坐標線上; 3右手拿紙和一角，

14、左手扶住三角板，連紙帶三角板一起轉(zhuǎn)動，使三角板的斜邊正對太陽的方向，使三角板的一條細細的陰影正好投射在相反的一條坐標線上。用鉛筆標出陰影頂點的位置，為A點;4將三角板放倒，使兩條直角邊與兩條坐標線重合，用鉛筆標出三角板直立的那條直角邊的長度，為B點;5拿走三角板，用直線連接AB兩點。用量角器(半圓儀)測量A的角度，即是當時太陽高度.AOBA此種方法簡便易行，但并不準確，而且只能測出某一時刻但不能用準確的數(shù)學公式表達，因此我們參考百度百科中關(guān)于太陽高度角和太陽方位角的介紹，總結(jié)出如下精確全面的算法: 2.建立高級模型地球繞太陽公轉(zhuǎn)的軌道是橢圓形的，太陽位于橢圓兩焦點中的一個。地球繞太陽公轉(zhuǎn)的軌道

15、平面稱黃道面，而地球的自轉(zhuǎn)軸稱極軸。極軸與黃道面不是垂直相交，而是呈66.5°角，也就是我們所謂的黃赤交角，這個角度在公轉(zhuǎn)中始終維持不變。正是由于這一原因形成了每日中午時刻太陽高度的不同，以及隨之而來的四季的變遷。太陽赤緯角在周年運動中任何時刻的具體值都是嚴格已知的，其具體的數(shù)值滿足公式： （1）其中稱為日角，有公式（2） 其中 t=NN0 （3）  N為積日（日期在年內(nèi)的順序號）（4）由（2）（3）（4）式可得： 太陽高度角:對于地球上的某個地點，太陽高度是指太陽光的入射方向和地平面之間的夾角,專業(yè)上講太陽高度角是指某地太陽光線與該地作垂直于地心的地表切線的夾角。(如圖所

16、示，來自百度百科） 用 h來表示這個角度，它在數(shù)值上等于太陽在天球地平坐標系中的地平高度。 太陽高度角隨著地方時和太陽的赤緯的變化而變化。太陽赤緯（與太陽直射點緯度相等）以表示，觀測地地理緯度用表示（太陽赤緯與地理緯度都是北緯為正，南緯為負），時角（ 過天球上一點的赤經(jīng)圈與子午圈所交的球面角）以t表示，這就有了太陽高度角的計算公式： sin Hsin sin cos cos cos T(5) 其中就是太陽赤緯角，計算方式（1）中已給出，為當?shù)氐牡乩砭暥?，T為當時的太陽時角(當?shù)貢r間12點時的時角為零，前后每隔一小時，增加360/24=15)。即T=15測量時刻12太陽方位角：太陽所在的方位，指

17、太陽光線在地平面上的投影與當?shù)刈游缇€的夾角，可近似地看作是豎立在地面上的直線在陽光下的陰影與正南方的夾角。方位角以正南方向為零，向西逐漸變大，向東逐漸變小，直到在正北方合在±180°。(如圖所示，來自百度百科)太陽方位角也有它的公式 （6）其中，H為（5）式求得的太陽高度角，為（1）式求得的太陽赤緯角，為當?shù)氐牡乩砭暥?。?jīng)過我們實地考察，再結(jié)合校園地圖，發(fā)現(xiàn)大連海事大學的綜合樓幾乎是正南正北的，這使我們建立坐標系方便了許多。 （此圖節(jié)選于大連海事大學校園圖） 如下圖所示，以綜合樓外置為坐標原點，綜合樓面朝方向（我們在此視為正南方向）為X軸正方向，綜合樓左側(cè)（我們在此視為正東

18、方向）為Y軸正方向，垂直綜合樓地基面豎直向上的方向為Z軸正方向，建立空間直角坐標系：OMyxzNHL其中O點代表大連海事大學綜合樓，M為t時刻太陽所在的空間位置。則，角H即為上文所說的太陽高度角，角L即為所求的太陽方位角。那么在此時時刻，太陽能電板面的指向應為：傾斜角（與水平地面夾角）H，南偏西L（12-24時）或南片東-L（0-12時）。sin Hsin sin cos cos cos TT=15測量時刻12由上述公式，即可求得H和L的值。3代入數(shù)據(jù)繪制函數(shù)圖象我們只需查閱大連的地理數(shù)據(jù)，結(jié)合（5）（6）式，便可得到，大連海事大學綜合樓處，各個時刻太陽的位置（太陽高度角H和方位角L），也就能

19、確定太陽能電池板面在相應時刻的指向。大連的緯度為39°01-39°04N，以今年2010年11月20日星期六14時為例，按照上面所說的計算方法。（以下數(shù)據(jù)全采用角度制）sin Hsin39.03 sin1.6811185cos 39.03 cos 1.6811185 cos 30 =0.6909273358H=arc sin0.6909273358=43.70356043 °cos L=（0.6909273358sin39.03sin1.6811185）cos43.70356043cos1.6811185 =0.5615161585L=arccos0.561516

20、1585=55.83928482°所以可以求得，2010年11月20日星期六14時，大連海事大學綜合樓處，太陽高度角43.70356043 °,太陽方位角55.83928482°該時刻電池板面的最佳指向應該是：傾斜角（與水平地面夾角）43.70356043 °，南偏西55.83928482°。其它時刻太陽高度角與方位角的算法與上述算法相同，在此就不再舉了。由此可見，只要按照前文所給出的公式，代入數(shù)據(jù)計算，便可求出大連海事大學綜合樓上太陽能電板面在各個時刻應該指向的方向。我們用幾何畫板分別繪制了太陽高度角和太陽方位角關(guān)于時間X的函數(shù)圖象 函數(shù)表達

21、式H=arcsin(sin39.03sin1.6811185+cos(15X-12) 函數(shù)表達式L=arcossinHsin39.03-sin1.6811185)/cosHcos39.03 由此，也就可以得到太陽能電池版面的指向：傾斜角（與水平面的夾角）等于太陽高度角，旋轉(zhuǎn)角（與正南方向的夾角，向西偏為正）。等于太陽方位角。5.將函數(shù)圖象轉(zhuǎn)化為三維直觀圖根據(jù)公式可依次算出在一天內(nèi)每一個整點時刻太陽的高度角和方位角。如下圖所示三維直觀圖像，o點為大連海事大學綜合樓所在處，從左至右圓點分別表示6時至12時，太陽直射光線上的點，模擬出太陽直射光線的運動軌跡。 OMxyz45°65°

22、;12時到18時的圖像應與上圖對稱。每一時刻，由于太陽光垂直照射，則太陽能電池板方向應與軌跡上點與原點間連線垂直。太陽能電板與水平面所夾角度即為太陽高度角，東西方向偏轉(zhuǎn)角度，即為太陽方位角。5.檢驗模型解已經(jīng)得到了模型解，下一步的工作就是檢驗數(shù)據(jù)。我們采用了“立竿見影”法，具體步驟見下文：如圖所示，將一支長度為178mm的中華2B鉛筆直立于綜合樓門前，圖中用線段AB表示。記錄12點整是，該鉛筆再水平地面上的投影BA0，于是角H0即為正午太陽高度角，A0。任意X時刻，該鉛筆在水平地面上的投影為BAx，則角H即為該時刻太陽的高度角，角，H=arctan(AB/BAx)。角L即為該時刻太陽的方位角，

23、用量角器直接量取。將按公式計算出的數(shù)據(jù)與實地測量的數(shù)據(jù)進行對比，繪制成如下表格：（由于時間有限，所以我們值測量了8到17時的數(shù)據(jù)。）時刻（h）影長(cm)實地測量H（度）模型計算H（度）實地測量L（度）模型計算L（度）6未測量未測量1.05855未測量91.30617未測量未測量12.6763未測量81.7422840.123.935923.99877271.3635925.534.916534.57826059.14231018.643.740943.70364543.73611115.249.504950.21922323.84881213.552.822352.6511未測量01315.349.319250.21922423.84881418.243.363443.70364443.73611524.236.335834.57825959.14231639.624.203623.99877071.36351779.112.682112.67638181.742218未測量未測量1.05855未測量91.3