逆向思維在數(shù)學(xué)論證中的作用與培養(yǎng)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上摘 要 學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程是學(xué)思維的形成與發(fā)展的過(guò)程，數(shù)學(xué)教學(xué)需要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。逆向思維是從已有的習(xí)慣思路的反面去思考和分析問(wèn)題，從而使問(wèn)題得到解決的一種思維過(guò)程。本文先闡述逆向思維的重要性，再研究逆向思維的作用與培養(yǎng)，論證培養(yǎng)逆向思維是為了我們更好地運(yùn)用逆向思維去擺脫思維定勢(shì)，突破舊有思想框架，產(chǎn)生新思想，發(fā)現(xiàn)新知識(shí)的重要思維方式。 Learning math is to learn the process of the thinking process of the formation and development of mathematics teachin

2、g need to cultivate the students' mathematical thinking.Reverse thinking from the opposite of have the habit of thinking to think and analyze problems, a thought process so that the issue is resolved. This paper first expounds the importance of reverse thinking, and then studies the role of reve

3、rse thinking and cultivate, argument is to cultivate the reverse thinking we better use reverse thinking to get rid of the mindset, break through the old ideological framework, generate new ideas, find new knowledge of important ways of thinking. 關(guān)鍵詞：逆向思維 反證法 反例法 專心-專注-專業(yè) 目 錄1.什么是逆向思維 3 1.1、思維的分類 3

4、1.2、詳談逆向思維 3 1.3、逆向思維的具體表現(xiàn) 32.逆向思維的重要性 4 2.1是一種重要的思考能力 4 2.2逆向思維是一種重要的探究過(guò)程 4 2.3逆向思維是一種重要的思維方法 43.逆向思維在數(shù)學(xué)論證中的作用 5 3.1逆向思維可以開拓學(xué)生的想象空間 5 3.2逆向思維有利于加深學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)的理解 5 3 .3逆向思維可以發(fā)現(xiàn)解題技巧，有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造能力 64.逆向思維在數(shù)學(xué)論證中的培養(yǎng) 6 4.1從反證法的論證中培養(yǎng)逆向思維 6 4.2通過(guò)構(gòu)造反例來(lái)訓(xùn)練學(xué)生的逆向思維 8 4.3通過(guò)分析法來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維 9 4.4利用“逆向變式”訓(xùn)練培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維 10結(jié)論 1

5、1參考文獻(xiàn) 12致謝 12 數(shù)學(xué)是思維創(chuàng)新的體操，是一門使人聰明的學(xué)問(wèn).思維是智力的核心，是人的理性認(rèn)識(shí)的過(guò)程。逆向思維是逆著習(xí)慣的、常規(guī)的思維方向進(jìn)行的思維活動(dòng)，屬于創(chuàng)造性思維。許多情況下將問(wèn)題倒過(guò)來(lái)想一想，在思維過(guò)程中“反其道而行之”，能使人得到許多通常思路所得不到的思維成果。 1、什么是逆向思維.1.1、思維的分類根據(jù)思維過(guò)程的指向性，可將思維分為常規(guī)思維（正向思維）和逆向思維，正向思維是指思維活動(dòng)按照事物發(fā)展的方向進(jìn)行，而逆向思維是指思維活動(dòng)從一個(gè)方向轉(zhuǎn)向相反方向. 1.2、詳談逆向思維 逆向思維又被稱為反向思維，它是發(fā)散思維的一種重要形式.逆向思維是從已有的習(xí)慣思路的反面去思考和分析

6、問(wèn)題，從而使問(wèn)題得到解決的一種思維過(guò)程.是擺脫思維定勢(shì)，突破舊有思想框架，產(chǎn)生新思想，發(fā)現(xiàn)新知識(shí)的重要思維方式. 我們?cè)趯W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，也都有一些比較自然的習(xí)慣，例如在公式的運(yùn)用中，我們習(xí)慣性地會(huì)從左往右正用，而不是從右往左逆用，這樣的習(xí)慣雖然正確，但正是由于這樣的習(xí)慣的影響，有時(shí)會(huì)使我們運(yùn)作單調(diào)，思維固化. 1.3、逆向思維的具體表現(xiàn)中學(xué)數(shù)學(xué)課本中的逆運(yùn)算、反證法、反例法、分析法、充要條件等都涉及到思維的逆向性，在數(shù)學(xué)論證中，通常是從已知到結(jié)論的思維方式，然而有些問(wèn)題總是按照這種思維定式解答則比較困難，而且常常伴隨有較大的運(yùn)算量，有時(shí)甚至無(wú)法解決，在這種情況下，只要我們多注意

7、定理、公式、規(guī)律性例題的逆用，正難則反，往往可以使問(wèn)題簡(jiǎn)化，經(jīng)常性注意這方面的訓(xùn)練可以培養(yǎng)學(xué)生思維的敏捷性.例如從“一組平行且相等的四邊形是平行四邊形”中我們可以反過(guò)來(lái)想，平行四邊形還有什么性質(zhì)？或者還有什么性質(zhì)可以證明一個(gè)四邊形是平行四邊形？再例如，當(dāng)直線的傾斜角是銳角時(shí)，直線的斜率是正數(shù)，那我們會(huì)問(wèn)，如果直線斜率為負(fù)數(shù)或零時(shí)，直線的傾斜角會(huì)是什么角？還有，一些定義或概念之間也會(huì)體現(xiàn)著逆向思維，例如函數(shù)與反函數(shù)：指數(shù)函數(shù)y=ax的反函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)y=ax. 2、逆向思維的重要性.2.1、是一種重要的思考能力.運(yùn)用逆向思維去思考和處理問(wèn)題，實(shí)際上就是以“出奇”去達(dá)到“制勝”。 對(duì)于全面人才的創(chuàng)

8、造能力及解決問(wèn)題能力具有非常重大的意義。在實(shí)踐中使用這一方法，可能取得驚人的效果。 因?yàn)槟嫦蛩季S的訓(xùn)練可以排除順向思維中的困難,并且能夠培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性,挖掘?qū)W生思維的潛能,使看似簡(jiǎn)單的習(xí)題,卻能給學(xué)生帶來(lái)深刻的思考。 2.2、逆向思維是一種重要的探究過(guò)程. 逆向思維從反面觀察問(wèn)題，打破心理學(xué)上的心理定勢(shì)現(xiàn)象，沖破習(xí)慣思維的束縛，在與原來(lái)認(rèn)識(shí)方向相反的方向上尋找解決辦法的新方法，有時(shí)會(huì)產(chǎn)生意想不到的良好效果或獲得新的發(fā)明和創(chuàng)造.例1 設(shè)3a-b是2的倍數(shù)，求證：3a2+2ab-b2能被2整除 分析：設(shè)法從3a2+2ab-b2中先找出3a-b的因式，再證另一個(gè)因式也是2的倍數(shù). 原式=(3a-b

9、)(a+b)，至此可以看出求證式已有一個(gè)能被2整除的因式3a-b，只需再證另一個(gè)因式a+b也能被2整除即可.由于a+b=(3a-b)-2(a-b)，而3a-b是2的倍數(shù)，2(a-b)也是2的倍數(shù)，故a+b能被2整除，因此，本題得證. 2.3、逆向思維是一種重要的思維方法. 逆向思維作為數(shù)學(xué)中的一種重要的思維方法，它是在習(xí)慣性的思維方向上做完全相反的探索，在社會(huì)實(shí)踐和學(xué)習(xí)的過(guò)程中，人們都有這樣一個(gè)經(jīng)驗(yàn)：當(dāng)你對(duì)某一問(wèn)題冥思苦想而不得其解時(shí)，不妨從它的反面去想一想，這樣常使人茅塞頓開，獲得意外的成功.例2：若實(shí)數(shù)a，b，c滿足a-b=10，ab+c2+5=0，求證a+b+c=0 分析：由a-b=10

10、得a+(-b)=10 由ab+c2+25=0得a (-b)=c2+25逆用韋達(dá)定理，可構(gòu)造一個(gè)以a，-b為根的一元二次方程 證：a-b=10，ab+c2+25=0 a+(-b)=10，a(-b)=c2+25 以a，-b為根的一元二次方程為x2-10x+ (c2+25) =0 =（-10）2-4(c2+25)0 -4c20故c=0 X2-10x+25=0，(x-5)2=0，x=5 方程有相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根 a=-b，a+b=0， a+b+c=0 3、逆向思維在數(shù)學(xué)論證中的作用.3.1、逆向思維可以開拓學(xué)生的想象空間.在數(shù)學(xué)論證中，要重視逆向思維過(guò)程，加強(qiáng)思維能力訓(xùn)練比單純地傳授基本知識(shí)更重要.通過(guò)

11、數(shù)學(xué)思維的恰當(dāng)訓(xùn)練，逐步掌握數(shù)學(xué)思維方法與規(guī)律，是可以改變?nèi)说闹橇湍芰Γ部梢耘囵B(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和創(chuàng)新意識(shí).例3: 已知：a>b>0,求證： -<分析：此題由-<可聯(lián)想到以、為直角邊作直角三角形.則斜邊是,由三角形兩邊之差小于第三邊可得 -<. 3.2、逆向思維有利于加深學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)的理解. 在算術(shù)中，加法和減法、乘法和除法都是相互對(duì)立的，但在代數(shù)中，引進(jìn)了負(fù)數(shù)和倒數(shù)的概念，例如：有理數(shù)的減法法則：減去一個(gè)數(shù)，等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)a-b=a+(-b)，而一個(gè)數(shù)除以另一個(gè)數(shù)，等于被除數(shù)乘以除數(shù)的倒數(shù)a÷b=a×1b. 3.3、逆向思維可以發(fā)現(xiàn)

12、解題技巧，有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造能力. 由于數(shù)學(xué)中的很多定理、公式、法則都具有可逆性,故從相反的角度來(lái)觀察、探索、常?？梢郧蟮脝?wèn)題的解決或發(fā)現(xiàn)新的規(guī)律.我們對(duì)公式、法則、性質(zhì)的逆向運(yùn)用不習(xí)慣，缺乏應(yīng)有的潛意識(shí)，思維定勢(shì)在順向應(yīng)用上，所以應(yīng)強(qiáng)調(diào)逆向運(yùn)用.逆向思維可以發(fā)現(xiàn)解題技巧，有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造能力。 運(yùn)用逆向思維，我們從乘法分配律就可以聯(lián)想到提公因式法，提公因式法的理論依據(jù)是乘法分配律的相反過(guò)程即ma+mb=m(a+b). 3.4、逆向思維有利于克服思維的遲滯性 加強(qiáng)逆向思維的訓(xùn)練，可改變我們的思維結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)思維的靈活性、深刻性和雙向性，從而提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.我們的基礎(chǔ)知識(shí)越扎實(shí)

13、，以前知識(shí)對(duì)后學(xué)知識(shí)的負(fù)遷移作用越小，一般來(lái)說(shuō)思維的逆向聯(lián)系也比較容易建立，學(xué)習(xí)概念時(shí)容易較快掌握概念的本質(zhì)；解題時(shí)容易產(chǎn)生解題的各種策略.例4：分解因式x3+6x-7解：把-7分裂成為兩個(gè)負(fù)數(shù)之和，以便按正負(fù)搭配分為兩組，得 x3+6x-7=x3+6x-1-6 =(x3-1)+6(x-1) =(x-1)(x2+x+7) 4、逆向思維在數(shù)學(xué)論證中的培養(yǎng).4.1、從反證法的論證中培養(yǎng)逆向思維 有些問(wèn)題從正面入手比較復(fù)雜，不妨從反面入手. 正難則反，直難曲進(jìn).有些問(wèn)題如果按照常規(guī)方法證明，往往感覺(jué)無(wú)從下手，此時(shí)如果我們能及時(shí)改變思考角度，從問(wèn)題的反面去考慮，或把問(wèn)題倒過(guò)來(lái)想，常常會(huì)使問(wèn)題簡(jiǎn)捷而快速

14、地獲解. 反證法證明是從結(jié)論的反面出發(fā)，邏輯地推出矛盾，從而肯定原命題成立的證明方法，這也體現(xiàn)了逆向思維的思想.例5 求證：3（1+a2+b4）(1+a+a2)2(a>0) 證：假設(shè)3（1+a2+a4）<(1+a+a2)2 則有3(1+a+a2)(1-a+a2)<(1+a+a2)2 由于當(dāng)a>0時(shí)，1-a+a2>0,所以得 3(1-a+a2)<1+a+a2 整理得 1-2a+a2<0 (1-a)2<0 這個(gè)不等式顯然不能成立，它說(shuō)明我們的假定是不正確的 3（1+a2+b4）(1+a+a2)2 在用反證法證題時(shí)，應(yīng)當(dāng)從命題的特點(diǎn)出發(fā)，選取恰當(dāng)?shù)耐评?/p>

15、方法.例6 已知函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)，a、bR,若f(a)+f(b)f(-a)+ f(-b),求證：a+b0.分析：欲證上述命題，正向推理，題設(shè)條件不容易使用，轉(zhuǎn)而逆向思考，利用反證法. 證明：假設(shè)a+b<0,則a<-b，b<-a. 根據(jù)單調(diào)性知：f(a)<f(-b),f(b)< f(-a), f(a)+f(b)< f(-a)+ f(-b),這與已知矛盾. a+b<0不成立，即a+b0 證明可利用的公理、定理較少或者難以與已知條件相溝通的命題，應(yīng)考慮采用反證法. 一般地，證明結(jié)論是否定形式的命題；證明結(jié)論是“唯一”或“必然”的命題；證明結(jié)論是“至

16、少”或“至多”的命題；例7 已知a、b為相交的兩條直線，求證：a、b只有一個(gè)交點(diǎn).證明：假定直線a與b不只有一個(gè)交點(diǎn)，則至少交于兩點(diǎn)，設(shè)這兩個(gè)交點(diǎn)為A與B,那么，直線a通過(guò)A、B兩點(diǎn)，直線b也通過(guò)A、B兩點(diǎn).這就是說(shuō)，經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)可以作兩條直線a和b.這和公理“經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)可以作一條直線，而且只可以作一條直線”相矛盾.產(chǎn)生矛盾的原因，是由于假定直線a與b不只有一點(diǎn).假定既然不成立，則原題結(jié)論必成立.數(shù)學(xué)中矛盾的雙方比比皆是，巧妙地運(yùn)用逆向思維，可克服習(xí)慣思維的不足.當(dāng)然，我們還可以找到更多更好的方法來(lái)培養(yǎng)逆向思維，例如反例法。 4.2、通過(guò)構(gòu)造反例來(lái)訓(xùn)練學(xué)生的逆向思維 在數(shù)學(xué)這個(gè)領(lǐng)域中，肯定一個(gè)

17、命題需要嚴(yán)格的邏輯推理證明，需要考慮全部可能和所以情形；然而要推翻一個(gè)命題的結(jié)論或否定一個(gè)命題，往往只需舉出一個(gè)例子（符合題設(shè)的條件而與命題結(jié)論相矛盾的例子）予以否定，這種例子通常稱為反例，因而舉反例也是一種證明手段.舉反例是與正向邏輯推理過(guò)程恰好是相反的，所以可通過(guò)舉反例、構(gòu)造反例來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維.重要的反例往往也會(huì)成為數(shù)學(xué)殿堂的基石.19世紀(jì)中葉，數(shù)學(xué)界長(zhǎng)期認(rèn)為連續(xù)函數(shù)除極個(gè)別點(diǎn)外總是處處可微的.1872年，數(shù)學(xué)家魏爾邁斯特拉斯卻構(gòu)造出一個(gè)極為精妙的反例：f(x)=bncos(anx)，其中a為奇整數(shù)，0<b<1，且ab>1+3/2，此函數(shù)處處連續(xù)但處處不可微，從而推

18、翻了流傳很久的謬誤.由此可見(jiàn)，舉反例是一種極為重要的數(shù)學(xué)思想，也是一種證明方法. 掌握各類反例，才能更好地掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)。對(duì)結(jié)論進(jìn)行分析、推理，得到與結(jié)論有聯(lián)系的命題（如結(jié)論的充分條件、必要條件、充要條件等）而在題設(shè)條件下，這些命題有明顯的謬誤.例8 對(duì)邊相等的空間四邊形是平行四邊形.分析： 成為平行四邊形的必要條件是首先為平面圖形，而對(duì)邊相等并不能保證該空間四邊形是平面圖形.反例由此產(chǎn)生：將一頁(yè)紙（矩形）沿一條對(duì)對(duì)角線折起，四條邊線對(duì)邊相等，但該圖形不是平面圖形，所以不是平行四邊形. 從命題的角度來(lái)看，題設(shè)與結(jié)論的地位相似構(gòu)造反例的思路也基本一致.例9 與同一平面所成角相等的兩條直線平行.

19、 分析：空間中僅一個(gè)所成角相等無(wú)法確定直線的走向，可直接找兩條相交直線，適當(dāng)擺放使符合題意.構(gòu)造 在與該平面平行的平面上任取兩條相交直線，它們與已知平面都0弧度角，但不平行. 構(gòu)造反例是培養(yǎng)批判性思維能力，發(fā)展逆向思維，優(yōu)化解題過(guò)程的重要途徑. 例10 一條直線與一個(gè)三角形的兩邊相交，則該直線在三角形所在的平面內(nèi).分析：如果直線與三角形的兩邊正常相交，兩個(gè)交點(diǎn)足以確定直線在平面內(nèi)，而如果直線與三角形的兩邊交于一點(diǎn)，即交于頂點(diǎn)，那么命題就有了漏洞.反例由此產(chǎn)生：過(guò)一個(gè)三角形的頂點(diǎn)作三角形所在平面的垂線，它與三角形的兩邊相交，但不在三角形所在的平面內(nèi).所謂“兵無(wú)常勢(shì)，水無(wú)定形”.以上給出的只是構(gòu)造

20、中的常見(jiàn)方法.反例法和反證法屬于數(shù)學(xué)逆向思維的不同層面，反例法教學(xué)對(duì)學(xué)生逆向思維的發(fā)展意義重大，是培養(yǎng)逆向思維，進(jìn)一步學(xué)習(xí)反證法的必經(jīng)之路. 4.3、通過(guò)分析法來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維分析法證明就是假定要證明的不等式成立，利用恒等變形和不等式的性質(zhì)尋求使該不等式成立的充分條件，這樣逐步推理，如能推出已知的不等式，就可斷定所給不等式成立.例11 求證：1/（+）>-2 證： 如果1/（+）>-2由于等式兩邊都是正數(shù)，平方得3+2-2>5+4-4即 2>2+平方，得20>10+4即10>4平方，得100>96.由于100>96成立，并且上面推理每一步都可

21、逆，所以1/（+）>-2 這里的可逆就說(shuō)明后一式總是前一式成立的充分條件. 分析法也是一種常見(jiàn)的逆向思維的方法，尤其在高中不等式的證明中，從題目的條件出發(fā)，很難入手，引導(dǎo)學(xué)生從結(jié)論反推，執(zhí)果索因，解題思路瞬間清晰明了.例12 設(shè)m>0,n>0,且mn,m+n=1,求證：1/m+1/n>4.證：要證1/m+1/n>4成立， 只需證(m+n)/m+(m+n)/n>4成立， 即需證m/n+n/m>2成立， 只需證m2+n2>2mn成立， 又需證m2+n2-2mn>0成立， 即需證(m-n)2>0成立. 而由已知條件可知，mn，所以(m-n)

22、2>0顯然成立.由此命題得證.分析法的特點(diǎn)是:從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”.其逐步推理，實(shí)際上是要尋找它的充分條件，這尋找的過(guò)程就是逆向思維的過(guò)程.分析法證明是從待證的結(jié)論出發(fā)，一步步地探索下去，最后達(dá)到命題的已知條件，是從未知到已知的思考方法，從充分、必要條件的關(guān)系去看，實(shí)際上是從結(jié)論出發(fā)，尋找結(jié)論的充分條件，一直找到已知條件是結(jié)論的一個(gè)充分條件才算證畢.所以分析法是一種執(zhí)果索因的方法，這對(duì)我們培養(yǎng)逆向思維有重要的作用. 4.4、利用“逆向變式”訓(xùn)練培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維 逆向變式的訓(xùn)練方法可以靈活多樣，學(xué)生可以自編題目進(jìn)行變式訓(xùn)練，可以是一些相關(guān)題目組合，也可以使一個(gè)題目分層次的變化，等等. 在學(xué)習(xí)了概念之后，學(xué)生若能把課后練習(xí)或習(xí)題進(jìn)行選擇分類，排列層次，適當(dāng)?shù)啬嫦蜃兪?，然后進(jìn)行訓(xùn)練，會(huì)收到事半功倍的效果. 注意公式的逆用，數(shù)學(xué)中的