六年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)總復(fù)習(xí)教學(xué)設(shè)計(jì)青島版

1、實(shí)用精品文獻(xiàn)資料分享2016 年六年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第 8 單元總復(fù)習(xí)教學(xué)設(shè)計(jì)（青島版）回顧整理總復(fù)習(xí) 教材分析 本單元復(fù)習(xí)的主要內(nèi)容有，數(shù)與 代數(shù)，包括分?jǐn)?shù)的乘除法、比、分?jǐn)?shù)四則混合運(yùn)算、百分?jǐn)?shù)。圖形與 幾何，圓?？赡苄?。 本單元總復(fù)習(xí)共分兩部分。第一部分是回顧整 理，這一部分又分為兩個(gè)板塊：第一板塊是知識(shí)點(diǎn)自主回顧，第二板 塊是數(shù)學(xué)思想方法提升。第二部分是綜合練習(xí)。教材精心設(shè)計(jì)了涵蓋 全冊(cè)各個(gè)單元知識(shí)的練習(xí)題，旨在讓學(xué)生通過(guò)系統(tǒng)、綜合的練習(xí)，全 面鞏固所學(xué)知識(shí)，提高靈活運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力。本單元教材編寫(xiě)的主要特點(diǎn)：1 .重視引導(dǎo)學(xué)生參與復(fù)習(xí)整理的過(guò)程，提高學(xué)生 的反思能力。2 .重視數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)

2、方法的總結(jié)提升。教學(xué)目標(biāo)知 識(shí)與能力 通過(guò)對(duì)全冊(cè)內(nèi)容的回顧與整理，全面復(fù)習(xí)和鞏固本學(xué)期所 學(xué)知識(shí)，溝通知識(shí)之間的聯(lián)系，形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。過(guò)程與方法 經(jīng) 歷知識(shí)的整理與復(fù)習(xí)的系統(tǒng)過(guò)程， 提高歸納、整理知識(shí)和綜合運(yùn)用所 學(xué)知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題的能力。情感、態(tài)度與價(jià)值觀 通過(guò)交流整理與復(fù)習(xí)的不同思路，學(xué)會(huì)整理知識(shí)的方法，逐步養(yǎng)成回顧與反思 的習(xí)慣。重點(diǎn)、難點(diǎn) 重點(diǎn)：數(shù)與代數(shù)部分計(jì)算和分?jǐn)?shù)乘除法意 義的應(yīng)用及典型模型，圖形與幾何部分的圓。難點(diǎn)：乘除乘除法的意義以及數(shù)學(xué)思想方法在學(xué)習(xí)中的應(yīng)用。教學(xué)建議 1 .結(jié)合本班實(shí)際，制定切實(shí)可行的復(fù)習(xí)計(jì)劃。2 .重視引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)和提煉數(shù)學(xué) 思想方法。3.關(guān)注復(fù)

3、習(xí)過(guò)程中的評(píng)價(jià)，發(fā)揮評(píng)價(jià)的激勵(lì)作用。 課 時(shí)安排 本單元用 3 課時(shí)完成教學(xué)，其中機(jī)動(dòng) 3 課時(shí)。數(shù)與代數(shù) 數(shù) 的運(yùn)算 1 課時(shí) 意義的應(yīng)用及典型數(shù)學(xué)模型 1 課時(shí) 圖形與幾何 圓 1 課時(shí)1 數(shù)的運(yùn)算教學(xué)內(nèi)容 教材第 103105 頁(yè)，數(shù)的運(yùn)算教學(xué)提示 轉(zhuǎn)化思想在計(jì)算中的使用。教學(xué)目標(biāo) 知識(shí)與能力 能非常熟練的進(jìn)行分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算、求比值、 化簡(jiǎn)比和經(jīng)行分?jǐn)?shù)、小數(shù)、百分?jǐn)?shù)之間的互化，會(huì)使用學(xué)過(guò)的簡(jiǎn)便算 法，合理、靈活地進(jìn)行計(jì)算；養(yǎng)成檢查和驗(yàn)算的習(xí)慣。 過(guò)程與方法 進(jìn) 一步感受數(shù)學(xué)知識(shí)間的相互聯(lián)系， 體會(huì)數(shù)學(xué)的作用；感受數(shù)學(xué)思想方 法在解決新問(wèn)題時(shí)作用。情感、態(tài)度與價(jià)值觀激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的 積極

4、性，養(yǎng)成規(guī)范、認(rèn)真的好習(xí)慣。重點(diǎn)、難點(diǎn) 重點(diǎn)：能非常實(shí)用精品文獻(xiàn)資料分享熟練的進(jìn)行分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算，會(huì)使用學(xué)過(guò)的簡(jiǎn)便算法，合理、靈活地 進(jìn)行計(jì)算。難點(diǎn)：數(shù)學(xué)思想方法具體實(shí)施的手段。教學(xué)準(zhǔn)備 教師準(zhǔn)備：課件、實(shí)物投影儀。學(xué)生準(zhǔn)備：練習(xí)本。教學(xué)過(guò)程（一）復(fù)習(xí)回顧：1.師：怎樣計(jì)算分?jǐn)?shù)的乘法？ 生：分?jǐn)?shù)的分子乘分子的 積作分?jǐn)?shù)，分母乘分母的積作分母，先約分，在計(jì)算。師：我們是怎樣得到這個(gè)法則的。 生：回憶 師生共同回憶：先回想分?jǐn)?shù)乘整數(shù)， 借助整數(shù)乘法的意義及分?jǐn)?shù)的意義，歸納，分子乘整數(shù)作積的分子， 分母不變。類推分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的計(jì)算方法，整數(shù)可以看做分母是 1 的分 數(shù)，分?jǐn)?shù)乘整數(shù)變成了分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)，分子

5、乘分子的積作分?jǐn)?shù)，分母乘 分母的積作分母，先約分，在計(jì)算，通過(guò)畫(huà)圖驗(yàn)證法則的正確性。2、 師：怎樣計(jì)算分?jǐn)?shù)的除法？ 生：除以一個(gè)數(shù)等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。 師: 我們是怎樣得到這個(gè)法則的。生：回憶 師生共同回憶：先回想分?jǐn)?shù)除以整數(shù)，借助整數(shù)除法的意義及分?jǐn)?shù)的意義，歸納分?jǐn)?shù)除以整數(shù)等 于乘這個(gè)整數(shù)的倒數(shù)。借助分?jǐn)?shù)的意義及類推分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的法則， 觀察、總結(jié)、猜想分?jǐn)?shù)除法的法則一一除以一個(gè)數(shù)等于乘這個(gè)數(shù)的倒 數(shù)。通過(guò)畫(huà)圖驗(yàn)證法則的正確性。3、分?jǐn)?shù)的混合運(yùn)算和簡(jiǎn)便運(yùn)算，根據(jù)算式的實(shí)際意義，類比整數(shù)的混合運(yùn)算和簡(jiǎn)便運(yùn)算，得出結(jié)論， 整數(shù)的運(yùn)算順序和運(yùn)算律在分?jǐn)?shù)中同樣適用。4、求比值和化簡(jiǎn)比，各根據(jù)比值的定

6、義和比的基本性質(zhì)。5、分?jǐn)?shù)、小數(shù)、百分?jǐn)?shù)的互化： 結(jié)合分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系和分?jǐn)?shù)與百分?jǐn)?shù)之間的關(guān)系。設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生回顧計(jì)算方法，教師幫助學(xué)生計(jì)算方法的得出過(guò)程， 及過(guò)程中用到 的數(shù)學(xué)思想方法。（二）梳理總結(jié)：設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生尋找計(jì)算之間的內(nèi)在聯(lián)系。（三）鞏固新知：1、綜合練習(xí) 1,練習(xí)分?jǐn)?shù)的乘除的簡(jiǎn)單運(yùn)算。（要求熟 練）答案：27，72, 89 , 67，17，13，56，1342，13，12。2、綜合練習(xí) 2,脫式計(jì)算。（要求熟練） 答案：710，300，112， 445，32，5。3、綜合練習(xí) 4,簡(jiǎn)便運(yùn)算（主要是乘法分配律）答 案：1512，736，23，10，19，23。4、綜合練習(xí) 5

7、,解方程（復(fù) 習(xí)解方程方法的同時(shí)練習(xí)分?jǐn)?shù)的乘除） 答案：18 , 67 , 27 , 95。5、除法、分?jǐn)?shù)、比之間的練習(xí)。 答案：6-5, 2-3, 12 , 23 , 1:2 , 6:5。設(shè)計(jì)意圖：綜合練習(xí)的題目比較簡(jiǎn)單，要求學(xué)生要熟練掌握；實(shí)用精品文獻(xiàn)資料分享這一部分練習(xí)對(duì)求比值沒(méi)有涉及，化簡(jiǎn)比也僅僅體現(xiàn)了一個(gè)整數(shù)比化 成最簡(jiǎn)整數(shù)比，百分?jǐn)?shù)和分?jǐn)?shù)小數(shù)之間的互化也沒(méi)有涉及。(四)達(dá)標(biāo)反饋 1、不計(jì)算，你能比較大小嗎？67X53O67 34X89O34ax1Oa 12 - 59012 16 - 54O16 23 + 3501 2、直接寫(xiě)得數(shù)。67X3= 35X15= 237 = 1+5%= 7

8、8-710 = 5-23 = 43X75%= 78X4X87 = 16+ 56X15 = 3、脫式計(jì)算。 56X52X2425 710-89X521 56X34 + 14 45 +【(13 + 23)X417 4、 簡(jiǎn)便運(yùn)算。 (14 + 29 )X36 78X1517 + 1917 - 87 23 +(4523)X53 277138135、解方程、75 + X=85 X 寧 49 =38 47 X + 14 =34 34 X + 12 X=756、先化簡(jiǎn)比，在求比值。 51 : 34 35 : 67 3.1:0.15 0.625: 347、 把下列分?jǐn)?shù)化成百分?jǐn)?shù)。 34 18 38 58 7

9、8 15 25 35 45答案：1、,v,，,v,。2、27 , 9, 147 , 105% 54 ,152 , 1, 4, 23。3、2, 148 , 78 , 175。4、17, 74 , 89 , 26。5、15 , 16 , 78 , 60。6、3:2 , 32 , 7:10 , 710 , 62:3 , 623 , 1:2 , 12。7、75% 12.5%, 37.5% , 62.5% , 87.55 , 20% 40% 60% 80% 設(shè)計(jì)意圖：檢驗(yàn)前面學(xué)習(xí)的效果，確定哪些同學(xué)還有下大力氣 進(jìn)行計(jì)算的練習(xí)。 (五)課堂小結(jié) 這節(jié)課你學(xué)會(huì)了什么，有哪些收獲？給大家說(shuō)說(shuō)。同桌互相說(shuō)說(shuō)自

10、己的收獲。設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)總結(jié)，既能夠使學(xué)生加深對(duì)所學(xué)內(nèi)容本質(zhì)的理解和深層次思考，從而將所學(xué)知識(shí)納入自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，又提升了學(xué)生的梳理和概括能力。(六) 布置作業(yè) 第 1 課時(shí)：數(shù)的運(yùn)算 1、不計(jì)算，你能比較大小嗎？43X2425O43 710X87O710 23-59O23 15-54015 aXbOa(a 0,0vbv1) 2、 直接寫(xiě)得數(shù)。 47 -4= 13X310 = 1.4 35 = 2.4X56 =100-20%=0.25+ 34 = 1.3 - 100%=89X18X72%=3、脫式計(jì)算。1(14+38)-14 23+(47+12) X28% (1515X45 )X724 4、簡(jiǎn)

11、便運(yùn)算。1.75X13 + 13 + 13X25%12X(14+1613)735223實(shí)用精品文獻(xiàn)資料分享3135、解方程、X + 30%X =220X10%35 X+ 50X50%=4011X 320 =19206、先化簡(jiǎn)比，在求比值。 26 : 65 79 : 1415 2.3:0.25 0.75: 38答案：1、v,v,v。2、27,110,45,2,500,1,1.3 , 225。3、32 , 2930 , 78。4、1, 1, 135。5、22013 , 25, 110。6、2:5 , 25 , 5:6 , 56 , 46:5 , 465 , 2:1 , 2。板書(shū)設(shè)計(jì) 計(jì) 算教學(xué)反思

12、 計(jì)算時(shí)學(xué)生應(yīng)該掌握的基本能力，但有相當(dāng)一部分學(xué)生，沒(méi)有認(rèn)真訓(xùn)練，導(dǎo)致計(jì)算能力十分低下，因此要引起教師的重 視。教學(xué)資料包 教學(xué)資源 一、乘法分配律。(a + b)xc=aXc +bxc 7x(4727)8x(316+78)( 15+23 )x15二、乘法分配律的逆運(yùn)算。Axc+ Bxc= (A+ B)xc 59x13 + 49 -3 12x215+1315x12 79-115+29x511 答案：一、2, 812 , 13,二、13 , 12 ,511。資料鏈接卡爾？ 弗里德里希？高斯 約翰？卡爾？弗里德里希？高斯(Johann Carl Friedrich Gauss , 1777 年 4

13、 月 30 日1855 年 2 月 23日)德國(guó)著 名數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、天文學(xué)家、大地測(cè)量學(xué)家。是近代數(shù)學(xué)奠基者 之一，高斯被認(rèn)為是歷史上最重要的數(shù)學(xué)家之一， 并享有“數(shù)學(xué)王子”之稱。高斯和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家。一生成就極為 豐碩，以他名字“高斯”命名的成果達(dá) 110 個(gè)，屬數(shù)學(xué)家中之最。他 對(duì)數(shù)論、代數(shù)、統(tǒng)計(jì)、分析、微分幾何、大地測(cè)量學(xué)、地球物理學(xué)、 力學(xué)、靜電學(xué)、天文學(xué)、矩陣?yán)碚摵凸鈱W(xué)皆有貢獻(xiàn)。家庭背景 高斯是一對(duì)貧窮夫婦的唯一的兒子。母親是一個(gè)貧窮石匠的女兒，雖然十 分聰明，但卻沒(méi)有接受過(guò)教育。在她成為高斯父親的第二個(gè)妻子之前， 她從事女傭工作。他的父親曾做過(guò)園丁，工頭，商

14、人的助手和一個(gè)小 保險(xiǎn)公司的評(píng)估師。當(dāng)高斯三歲時(shí)便能夠糾正他父親的借債賬目的事情，已經(jīng)成為一個(gè)軼事流傳至今。他曾說(shuō)，他在麥仙翁堆上學(xué)會(huì)計(jì) 算。能夠在頭腦中進(jìn)行復(fù)雜的計(jì)算，是上帝賜予他一生的天賦。父親格爾恰爾德？迪德里赫對(duì)高斯要求極為嚴(yán)厲，甚至有些過(guò)分。高斯 尊重他的父親，并且秉承了其父誠(chéng)實(shí)、謹(jǐn)慎的性格。高斯很幸運(yùn)地有 一位鼎力實(shí)用精品文獻(xiàn)資料分享支持他成才的母親。高斯一生下來(lái)，就對(duì)一切現(xiàn)象和事物十 分好奇，而且決心弄個(gè)水落石出，這已經(jīng)超出了一個(gè)孩子能被許可的 范圍。當(dāng)丈夫?yàn)榇擞?xùn)斥孩子時(shí)，她總是支持高斯，堅(jiān)決反對(duì)頑固的丈 夫想把兒子變得跟他一樣無(wú)知。在成長(zhǎng)過(guò)程中，幼年的高斯主要得力于他的母親羅捷

15、雅和舅舅弗利德里希(Friederich )。弗利德里希 富有智慧，為人熱情而又聰明能干投身于紡織貿(mào)易頗有成就。他發(fā)現(xiàn)姐姐的兒子聰明伶利，因此他就把一部分精力花在這位小天才身上， 用生動(dòng)活潑的方式開(kāi)發(fā)高斯的智力。若干年后，已成年并成就顯赫的高斯回想起舅舅為他所做的一切， 深感對(duì)他成才之重要，他想到舅 舅多產(chǎn)的思想，不無(wú)傷感地說(shuō)，舅舅去世使 我們失去了一位天才。 正是由于弗利德里?；垩圩R(shí)英才，經(jīng)常勸導(dǎo)姐夫讓孩子向?qū)W者方面發(fā) 展，才使得高斯沒(méi)有成為園丁或者泥瓦匠。羅捷雅真的希望兒子能干出一番偉大的事業(yè)，對(duì)高斯的才華極為珍視。然而，她也不敢輕易 地讓兒子投入不能養(yǎng)家糊口的數(shù)學(xué)研究中。在高斯19 歲那

16、年，盡管他已做出了許多偉大的數(shù)學(xué)成就，但她仍向數(shù)學(xué)界的朋友W 波爾約問(wèn)道：高斯將來(lái)會(huì)有出息嗎？波爾約說(shuō)她的兒子將是 歐洲最偉大的 數(shù)學(xué)家，為此她激動(dòng)得熱淚盈眶。初顯天分 高斯 7 歲那年開(kāi)始上學(xué)。10 歲的時(shí)候，他進(jìn)入了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的班級(jí)，這是一個(gè)首次創(chuàng)辦的 班，孩子們?cè)谶@之前都沒(méi)有聽(tīng)說(shuō)過(guò)算術(shù)這么一門(mén)課程。數(shù)學(xué)教師是布特納，他對(duì)高斯的成長(zhǎng)也起了一定作用。一天，老師布置了一道題，1+2+3?范樣從 1 一直加到 100 等于多少。高斯很快就算出了答 案，起初高斯的老師布特納并不相信高斯算出了正確答案：”你一定是算錯(cuò)了，回去再算算?！备咚拐f(shuō)出答案就是 5050，高斯是這樣算 的 1 +100=101,

17、 2+99=101?1 加到 100 有 50 組這樣的數(shù)，所以 50X10 仁5050 布特納對(duì)他刮目相看。 他特意從漢堡買(mǎi)了最好的算術(shù) 書(shū)送給高斯， 說(shuō)：“你已經(jīng)超過(guò)了我，我沒(méi)有什么東西可以教你了?！?接著，高斯與布特納的助手巴特爾斯建立了真誠(chéng)的友誼，直到巴特爾斯逝世。他們一起學(xué)習(xí)，互相幫助，高斯由此開(kāi)始了真正的數(shù)學(xué)研究。 得到資助 1788 年，11 歲的高斯進(jìn)入了文科學(xué)校，他在新的學(xué)校里， 所有的功課都極好，特別是古典文學(xué)、數(shù)學(xué)尤為突出。他的教師們和 慈母把他推薦給伯倫瑞克公爵，希望公爵能資助這位聰明的孩子上學(xué)。 布倫茲維克公實(shí)用精品文獻(xiàn)資料分享爵卡爾？威廉？斐迪南召見(jiàn)了 14 歲的高

18、斯。這位樸實(shí)、 聰明但家境貧寒的孩子贏得了公爵的同情， 公爵慷慨地提出愿意作高 斯的資助人，讓他繼續(xù)學(xué)習(xí)。高斯的花體親筆簽名。1792 年高斯進(jìn)入布倫茲維克的卡羅琳學(xué)院繼續(xù)學(xué)習(xí)。1795 年，公爵又為他支付 各種費(fèi)用，送他入德國(guó)著名的哥丁根大學(xué)，這樣就使得高斯得以按照 自己的理想，勤奮地學(xué)習(xí)和開(kāi)始進(jìn)行創(chuàng)造性的研究。1796 年高斯 19歲，發(fā)現(xiàn)了正十七邊形的尺規(guī)作圖法，1解決了自歐幾里德以來(lái)懸 而未決的一個(gè)難題。1同年，發(fā)表并證明了二次互反律。這是他的 得意杰作，一生曾用八種方法證明，稱之為“黃金律”2 。1799年，高斯完成了博士論文，獲黑爾姆施泰特大學(xué)的博士學(xué)位，回到家 鄉(xiāng)布倫茲維克，雖然

19、他的博士論文順利通過(guò)了，被授予博士學(xué)位，同 時(shí)獲得了講師職位，但他沒(méi)有能成功地吸引學(xué)生，因此只能回老家-又是公爵伸手救援他。公爵繼續(xù)慷慨資助高斯的研究，使得他能在 1803年謝絕圣彼得堡提供的教授職位，他一直是圣彼得堡科學(xué)院通 訊院士。公爵為高斯付諸了長(zhǎng)篇博士論文的印刷費(fèi)用，送給他一幢 公寓，又為他印刷了算術(shù)研究，使該書(shū)得以在 1801 年問(wèn)世；還負(fù) 擔(dān)了高斯的所有生活費(fèi)用。所有這一切，令高斯十分感動(dòng)。他在博士 論文和算術(shù)研究中，寫(xiě)下了情真意切的獻(xiàn)詞：獻(xiàn)給大公，你的仁慈，將我從所有煩惱中解放出來(lái)，使我能從事這種獨(dú)特的研究。 布倫茲維克公爵在高斯的成才過(guò)程中起了舉足輕重的作用。不僅如此,這種作用

20、實(shí)際上反映了歐洲近代科學(xué)發(fā)展的一種模式，表明在科學(xué)研 究社會(huì)化以前，私人的資助是科學(xué)發(fā)展的重要推動(dòng)因素之一。 高斯正 處于私人資助科學(xué)研究與科學(xué)研究社會(huì)化的轉(zhuǎn)變時(shí)期。歷經(jīng)變故1806 年，卡爾？威廉？斐迪南公爵在抵抗拿破侖統(tǒng)帥的法軍時(shí)不幸在 耶拿戰(zhàn)役陣亡，這給高斯以沉重打擊。他悲痛欲絕，長(zhǎng)時(shí)間對(duì)法國(guó)人 有一種深深的敵意。大公的去世給高斯帶來(lái)了經(jīng)濟(jì)上的拮據(jù)， 德國(guó)處 于法軍奴役下的不幸，以及第一個(gè)妻子的逝世，這一切使得高斯有些 心灰意冷。 但他是位剛強(qiáng)的漢子，從不向他人透露自己的窘?jīng)r，也 不讓朋友安慰自己的不幸。人們只是在 19 世紀(jì)整理他的未公布于眾 的數(shù)學(xué)手稿時(shí)才得知他那時(shí)的心態(tài)。在一篇討論

21、橢圓函數(shù)的手稿中，突然插入了一段細(xì)微的鉛筆字：對(duì)我來(lái)說(shuō)，死去也比這樣的生活更 好受些。慷慨、仁慈的資助人去世了，實(shí)用精品文獻(xiàn)資料分享因此高斯必須找一份合適的 工作，以維持一家人的生計(jì)。由于高斯在天文學(xué)、數(shù)學(xué)方面的杰出工 作，他的名聲從 1802 年起就已開(kāi)始傳遍歐洲。彼得堡科學(xué)院不斷暗 示他，自從 1783 年萊昂哈德？歐拉去世后，歐拉在彼得堡科學(xué)院的位 置一直在等待著像高斯這樣的天才。公爵在世時(shí)堅(jiān)決勸阻高斯去俄國(guó)， 他甚至愿意給高斯增加薪金，為他建立天文臺(tái)。為了不使德國(guó)失去最偉大的天才，德國(guó)著名學(xué)者洪堡(B.A.V on Humboldt)聯(lián)合其他學(xué) 者和政界人物，為高斯?fàn)幦〉搅讼碛刑貦?quán)的哥

22、廷根大學(xué)數(shù)學(xué)和天文學(xué) 教授，以及哥廷根天文臺(tái)臺(tái)長(zhǎng)的職位。 1807 年， 高斯赴哥廷根就職，全家遷居于此。從這時(shí)起，除了一次到柏林去參加科學(xué)會(huì)議以外， 他一直住在哥廷根。洪堡等人的努力，不僅使得高斯一家人有了舒適 的生活環(huán)境，高斯本人可以充分發(fā)揮其天才，而且為哥廷根數(shù)學(xué)學(xué)派 的創(chuàng)立、德國(guó)成為世界科學(xué)中心和數(shù)學(xué)中心創(chuàng)造了條件。同時(shí)，這也 標(biāo)志著科學(xué)研究社會(huì)化的一個(gè)良好開(kāi)端。投身研究 1833 年高斯從他的天文臺(tái)拉了一條長(zhǎng)八千尺的電線， 跨過(guò)許多人家的屋頂，一直到韋伯的實(shí)驗(yàn)室，以伏特電池為電源，構(gòu)造了世界第一個(gè)電報(bào)機(jī)。高斯對(duì)自己的工作態(tài)度是精益求精，非常嚴(yán)格地要求自己的研究成果。 他自己曾說(shuō)：寧可

23、發(fā)表少，但發(fā)表的東西是成熟的成果。許多當(dāng)代的 數(shù)學(xué)家要求他，不要太認(rèn)真，把結(jié)果寫(xiě)出來(lái)發(fā)表，這對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展是 很有幫助的。其中一個(gè)有名的例子是關(guān)于非歐幾何的發(fā)展。非歐幾何的的開(kāi)山祖師有三人，高斯、洛巴切夫斯基，波爾約。其中波爾約的父親是高斯大學(xué)的同學(xué)，他曾想試著證明平行公理，雖然父親反 對(duì)他繼續(xù)從事這種看起來(lái)毫無(wú)希望的研究，小波爾約還是沉溺于平行 公理。最后發(fā)展出了非歐幾何，并且在18321833 年發(fā)表了研究結(jié)果，老波爾約把兒子的成果寄給老同學(xué)高斯，想不到高斯卻回信道： 我無(wú)法夸贊他，因?yàn)榭滟澦偷扔诳洫?jiǎng)我自己。早在幾十年前，高斯就已經(jīng)得到了相同的結(jié)果，只是怕不能為世人所接受而沒(méi)有公布而 已。

24、阿貝爾和雅可比可以從高斯所停留的地方開(kāi)始工作，而不是把他們最好的努力花在發(fā)現(xiàn)高斯早在他們出生時(shí)就知道的東西。而那些非 歐幾何學(xué)的創(chuàng)造者，可以把他們的天才用到其他方面去。他越來(lái)越多的學(xué)生成為有影響的數(shù)學(xué)家，如后來(lái)聞名于世的戴德金和黎曼。他實(shí)用精品文獻(xiàn)資料分享的父親死于 1808 年 4 月 14 日，1809 年 10 月 11 日，他的第一位妻 子Johanna 也離開(kāi)人世。次年 8 月 4 日高斯迎娶第二位妻子Friederica Wilhelmine (1788-1831)。他們又有三個(gè)孩子：Eugen(1811-1896) ,Wilhelm (1813-1883) 和 Therese (

25、1816-1864)。1831年9月12日她的第二位妻子也死去， 1837年高斯開(kāi)始學(xué)習(xí)俄語(yǔ)。 1839年 4 月 18 日，他的母親在哥廷根逝世，享年 95 歲。高斯于 1855年 2 月 23 日凌晨 1 點(diǎn)在哥廷根去世。他的很多散布在給朋友的書(shū)信 或筆記發(fā)現(xiàn)于 1898 年。3個(gè)人信仰 高斯的信仰是基于尋求真理的。 他相信“精神個(gè)性上的不朽，像是個(gè)人在死后的持久性，還有最后命 令的東西，以及永恒的、正義的、無(wú)所不知和無(wú)所不能的上帝?！备?斯也堅(jiān)持宗教的寬容，他相信打擾其他正處在他們自己和平信念中的 人是不對(duì)的。4他說(shuō)：”微小的學(xué)識(shí)使人遠(yuǎn)離神，廣博的學(xué)識(shí)使人 接近神?！案咚咕哂袧夂竦淖诮谈?/p>

26、情、貴族的舉止和保守的傾向。 他一直遠(yuǎn)離他那個(gè)時(shí)代的進(jìn)步政治潮流。在高斯身上表現(xiàn)出的矛盾是 與他實(shí)際上的和諧結(jié)合在一起的。高斯身為才氣橫溢的算術(shù)家，對(duì)於 數(shù)具有非凡的記憶力。他既是一個(gè)深刻的理論家，又是一個(gè)杰出的數(shù) 學(xué)實(shí)踐家。教學(xué)是他最討厭的事，因此他只有少數(shù)幾個(gè)學(xué)生。但他的 那些影響數(shù)學(xué)發(fā)展進(jìn)程的論著（大約 155 篇）卻使他嘔心瀝血。有 3 個(gè) 原則指導(dǎo)他的工作？U 他最喜歡說(shuō)的少些，但要成熟些；他的格 言不留下進(jìn)一步要做的事；和他的極度嚴(yán)格的要求。從他死后出版的著作中可以看出，他有許多重要和內(nèi)容廣泛的論文從未發(fā)表，因?yàn)榘此囊庖?jiàn)，它們都不符合這些原則。高斯所追求的數(shù)學(xué)研究題目 都是那些他

27、能在其中預(yù)見(jiàn)到具有某種有意義聯(lián)系的概念和結(jié)果，它們由於優(yōu)美和普遍而值得稱道。偉人之死 1849 年舉辦了高斯獲博士 學(xué)位 50周年慶祝會(huì)，為此高斯準(zhǔn)備了他早期對(duì)代數(shù)基本定理證明的 一個(gè)新版本。由於健康狀況愈來(lái)愈差，這成了他最后的著作。給他帶 來(lái)最大歡樂(lè)和榮譽(yù)的還是哥廷根市贈(zèng)與他的榮譽(yù)公民頭銜。由於他在數(shù)學(xué)、天文學(xué)、大地測(cè)量學(xué)和物理學(xué)中的杰出研究成就，他被選為許 多科學(xué)院和學(xué)術(shù)團(tuán)體的成員。他謝絕了許多大學(xué)請(qǐng)他當(dāng)教授的邀請(qǐng)而 一直留在哥廷根大學(xué)的院系中， 直至 1855 年 2 月 23 日逝世。逝世后 不久就鑄造了紀(jì)念他的錢(qián)幣。個(gè)人成就數(shù)學(xué)成就歐幾里德已經(jīng)指實(shí)用精品文獻(xiàn)資料分享出，正三邊形、正四

28、邊形、正五邊形、正十五邊形和邊數(shù)是上述邊數(shù) 兩倍的正多邊形的幾何作圖是能夠用圓規(guī)和直尺實(shí)現(xiàn)的，但從那時(shí)起 關(guān)于這個(gè)問(wèn)題的研究沒(méi)有多大進(jìn)展。高斯在數(shù)論的基礎(chǔ)上提出了判斷 一給定邊數(shù)的正多邊形是否可以幾何作圖的準(zhǔn)則。例如，用圓規(guī)和直尺可以作圓內(nèi)接正十七邊形。這樣的發(fā)現(xiàn)還是歐幾里得以后的第一個(gè)。 這些關(guān)於數(shù)論的工作對(duì)代數(shù)數(shù)的現(xiàn)代算術(shù)理論（即代數(shù)方程的解法）作出了貢獻(xiàn)。高斯還將復(fù)數(shù)引進(jìn)了數(shù)論，開(kāi)創(chuàng)了復(fù)整數(shù)算術(shù)理論，復(fù) 整數(shù)在高斯以前只是直觀地被引進(jìn)。1831 年（發(fā)表於 1832 年）他給出 了一個(gè)如何藉助於 x,y 平面上的表示來(lái)發(fā)展精確的復(fù)數(shù)理論的詳盡 說(shuō)明。高斯是最早懷疑歐幾里得幾何學(xué)是自然界和

29、思想中所固有的 那些人之一。歐幾里得是建立系統(tǒng)性幾何學(xué)的第一人。 他模型中的一 些基本思想被稱作公理，它們是透過(guò)純粹邏輯構(gòu)造整個(gè)系統(tǒng)的出發(fā)點(diǎn)。 在這些公理中，平行線公理一開(kāi)始就顯得很突出。按照這一公理，通 過(guò)不在給定直線上的任何點(diǎn)只能作一條與該直線平行的線。不久就有人推測(cè)？U 這一公理可從其他一些公理推導(dǎo)出來(lái)，因而可從公理系 統(tǒng)中刪去。但是關(guān)於它的所有證明都有錯(cuò)誤。 高斯是最早認(rèn)識(shí)到可能 存在一種不適用平行線公理的幾何學(xué)的人之一。 他逐漸得出革命性的 結(jié)論？U確實(shí)存在這樣的幾何學(xué)，其內(nèi)部相容并且沒(méi)有矛盾。但因?yàn)?與同代人的觀點(diǎn)相背，他不敢發(fā)表（參閱非歐幾里得幾何條）。當(dāng) 1830 年前后匈牙利

30、的波爾約（Janos Bolyai）和俄國(guó)的羅巴切夫斯基獨(dú)立 地發(fā)表非歐幾何學(xué)時(shí)，高斯宣稱他大約在 30 年前就得到同樣的結(jié)論。 高斯也沒(méi)有發(fā)表特殊復(fù)函數(shù)方面的工作，可能是因?yàn)闆](méi)有能從更一般 的原理導(dǎo)出它們。因此這一理論不得不在他死后數(shù)十年由其他數(shù)學(xué)家 從他著作的計(jì)算中重建。1830年前后，極值（極大和極?。┰碓诟?斯的物理問(wèn)題和數(shù)學(xué)研究中開(kāi)始占有重要地位， 例如流體保持靜止的 條件等問(wèn)題。在探討毛細(xì)作用時(shí)，他提出了一個(gè)數(shù)學(xué)公式能將流體系 統(tǒng)中一切粒子的相互作用、引力以及流體粒子和與它接觸的固體或流 體粒子之間的相互作用都考慮在內(nèi)。這一工作對(duì)於能量守恒原理的發(fā) 展作出了貢獻(xiàn)。從 1830 年

31、起高斯就與物理學(xué)家威廉？愛(ài)德華？韋伯密 切合作。由於對(duì)地磁學(xué)的共同興趣，他們一起建立了一個(gè)世界性的系 統(tǒng)觀測(cè)網(wǎng)。 他們?cè)陔姶艑W(xué)方面最重要的成果是電報(bào)的發(fā)展。因?yàn)樗麄儗?shí)用精品文獻(xiàn)資料分享的資金有限，所以試驗(yàn)都是小規(guī)模的。天文發(fā)現(xiàn) 1801 天文界正在為火星和木星間龐大的間隙煩惱不已，認(rèn)為火星和木星間應(yīng)該還有行 星未被發(fā)現(xiàn)。1801 年的元旦，一位意大利天文學(xué)家在西西里島觀察 到在白羊座（Aries ）附近有光度八等的星移動(dòng)，這顆如今被稱作谷 神星（Ceres ）的小行星在天空出現(xiàn)了 41 天，掃過(guò)八度角之后，就在 太陽(yáng)的光芒下沒(méi)了蹤影。我們知道它是火星和木星的小行星帶中的一個(gè)，當(dāng)時(shí)天文學(xué)家無(wú)法確

32、定這顆新星是彗星還是行星，必須繼續(xù)觀察才能判決，但是 Piazzi 只能觀察到它 9 度的軌道，再來(lái)，它便隱 身到太陽(yáng)后面去了。因此無(wú)法知道它的軌道，也無(wú)法判定它是行星或 彗星。高斯也對(duì)這顆星著了迷，他決定解決這個(gè)捉摸不到的星體軌 跡的問(wèn)題。高斯自己獨(dú)創(chuàng)了只要三次觀察，就可以來(lái)計(jì)算星球軌道的 方法。他可以極準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)行星的位置。 他利用天文學(xué)家提供的觀測(cè) 資料，不慌不忙地算出了它的軌跡。果然，谷神星準(zhǔn)確無(wú)誤的在高斯預(yù)測(cè)的地方出現(xiàn)。這個(gè)方法-雖然他當(dāng)時(shí)沒(méi)有公布-就是“最 小平方法”。在天文學(xué)中這一成就立即得到公認(rèn)。他在天體運(yùn)動(dòng)理論（1809）中敘述的方法今天仍在使用，只要稍作修改就能適應(yīng)現(xiàn) 代計(jì)

33、算機(jī)的要求。高斯在小行星智神星方面也獲得類似的成功?？紤]到其他行星對(duì)智神星軌道的攝動(dòng)，高斯改進(jìn)了他的計(jì)算。這時(shí)他的聲名遠(yuǎn)播，榮譽(yù)滾滾而來(lái)。自那以后，行星、大行星（海王星） 接二連三地被發(fā)現(xiàn)了。 1807 年他成為格丁根大學(xué)的天文學(xué)教授和新 天文臺(tái)臺(tái)長(zhǎng)，直到逝世。1809 年，在結(jié)婚 4 年后和第三個(gè)孩子剛出 世不久，他第一個(gè)妻子去世。 他的第二次婚姻 （18101831） 帶給他兩 個(gè)兒子和一個(gè)女兒。在 1812 年，他研究了超幾何級(jí)數(shù)，并且把研究 結(jié)果寫(xiě)成專題論文，呈給哥廷根皇家科學(xué)院。地理測(cè)量 1820 年前后，高斯把注意力轉(zhuǎn)向大地測(cè)量-用數(shù)學(xué)方法測(cè)定地球表面的形狀和大小。他把很多時(shí)間用於

34、大地測(cè)量的理論研究和野外工作。為了增加測(cè)量的精確度，他發(fā)明了回光儀（一種利用日光以保證比較精確 測(cè)量的儀器）。他還引進(jìn)了所謂的高斯誤差曲線，并指出概率如何能 用變差的鐘形曲線（一般稱為正態(tài)曲線，它是刻畫(huà)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分布的基 礎(chǔ)）來(lái)表示。他還對(duì)透過(guò)實(shí)際的大地測(cè)量確定地球形狀感興趣，這個(gè)工作使他回到了純理論。他利用這些測(cè)量數(shù)據(jù)發(fā)展了曲面論， 按照這 一實(shí)用精品文獻(xiàn)資料分享理論， 一個(gè)曲面的特徵只要透過(guò)測(cè)量曲面上曲線的長(zhǎng)度就能確定。這種 內(nèi)蘊(yùn)曲面論啟發(fā)了他的學(xué)生黎曼發(fā)展三維或多維空間的一般 內(nèi)蘊(yùn)幾何學(xué)。這是黎曼 1854 年在格丁根就職演說(shuō)的題目，據(jù)說(shuō)也是 困擾高斯的問(wèn)題。大約 60 年以后黎曼的思想形

35、成愛(ài)因斯坦廣義相對(duì) 論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。 與他在引力和磁學(xué)方面的興趣有密切關(guān)系的是他在 1840 年發(fā)表的實(shí)分析論文。 這一論文成為現(xiàn)代位勢(shì)理論的出發(fā)點(diǎn)。這可能是他所有的工作中唯一沒(méi)有達(dá)到他本人高標(biāo)準(zhǔn)要求的一個(gè)。只有到 20 世紀(jì)初數(shù)學(xué)家在不同原理的基礎(chǔ)上或藉助於尋求高斯結(jié)論是 完全正確的成立條件，才有可能重新發(fā)展位勢(shì)理論。1820 到 1830年間，高斯為了測(cè)繪汗諾華公國(guó)的地圖，開(kāi)始做測(cè)地的工作，他寫(xiě)了 關(guān)于測(cè)地學(xué)的書(shū)， 由于測(cè)地上的需要， 他發(fā)明了日觀測(cè)儀。 高斯和韋 伯(WithelmWeber) 一起從事磁的研究，他們的合作是很理想的：韋 伯作實(shí)驗(yàn)，高斯研究理論，韋伯引起高斯對(duì)物理問(wèn)題的興趣

36、，而高斯 用數(shù)學(xué)工具處理物理問(wèn)題，影響韋伯的思考工作方法。以伏特電池為 電源，構(gòu)造了世界第一個(gè)電報(bào)機(jī)，設(shè)立磁觀測(cè)站，和韋伯畫(huà)出了世界 第一張地球磁場(chǎng)圖，而且定出了地球磁南極和磁北極的位置。研究領(lǐng)域高斯的數(shù)學(xué)研究幾乎遍及所有領(lǐng)域，在數(shù)論、代數(shù)學(xué)、非歐幾 何、復(fù)變函數(shù)和微分幾何等方面都做出了開(kāi)創(chuàng)性的貢獻(xiàn)。他還把數(shù)學(xué) 應(yīng)用于天文學(xué)、大地測(cè)量學(xué)和磁學(xué)的研究，發(fā)明了最小二乘法原理。 高斯一生共發(fā)表155 篇論文，他對(duì)待學(xué)問(wèn)十分嚴(yán)謹(jǐn)，只是把他自己認(rèn) 為是十分成熟的作品發(fā)表出來(lái)。高斯首先迷戀上的也是自然數(shù)。高斯在 1808 年談到：“任何一個(gè)花過(guò)一點(diǎn)功夫研習(xí)數(shù)論的人，必然會(huì) 感受到一種特別的激情與狂熱?！备咚箤?duì)代數(shù)學(xué)的重要貢獻(xiàn)是證明了代數(shù)基本定理，他的存在性證明開(kāi)創(chuàng)了數(shù)學(xué)研究的新途徑。 事實(shí)上 在高斯之前有許多數(shù)學(xué)家認(rèn)為已給出了這個(gè)結(jié)果的證明，可是沒(méi)有一 個(gè)證明是嚴(yán)密的。高斯把前人證明的缺失一一指出來(lái)， 然后提出自己 的見(jiàn)解，他一生中一共給出了四個(gè)不同的證明。高斯在1816 年左右就得到非歐幾何的原理。他還深入研究復(fù)變函數(shù)，建立了一些基本概 念發(fā)現(xiàn)了著名的柯西積分定理。他還發(fā)現(xiàn)橢圓函數(shù)的雙周期性，但這 些工作在他生前都沒(méi)發(fā)表