2012考研必備資料】線性代數(shù)公式必記

1、【2021考研必備資料】線性代數(shù)公式必記1、行列式1. 行列式共有個元素，展開后有項，可分解為行列式；2. 代數(shù)余子式的性質：、和的大小無關；、某行列的元素乘以其它行列元素的代數(shù)余子式為0；、某行列的元素乘以該行列元素的代數(shù)余子式為；3. 代數(shù)余子式和余子式的關系：4. 設行列式：將上、下翻轉或左右翻轉，所得行列式為，那么；將順時針或逆時針旋轉，所得行列式為，那么；將主對角線翻轉后轉置，所得行列式為，那么；將主副角線翻轉后，所得行列式為，那么；5. 行列式的重要公式：、主對角行列式：主對角元素的乘積；、副對角行列式：副對角元素的乘積；、上、下三角行列式：主對角元素的乘積；、和：副對角元素的乘積

2、；、拉普拉斯展開式：、范德蒙行列式：大指標減小指標的連乘積；、特征值；6. 對于階行列式，恒有：，其中為階主子式；7. 證明的方法：、；、反證法；、構造齊次方程組，證明其有非零解；、利用秩，證明；、證明0是其特征值；2、矩陣1. 是階可逆矩陣：是非奇異矩陣；是滿秩矩陣的行列向量組線性無關；齊次方程組有非零解；，總有唯一解；與等價；可表示成假設干個初等矩陣的乘積；的特征值全不為0；是正定矩陣；的行列向量組是的一組基；是中某兩組基的過渡矩陣；2. 對于階矩陣： 無條件恒成立；3.4. 矩陣是表格，推導符號為波浪號或箭頭；行列式是數(shù)值，可求代數(shù)和；5. 關于分塊矩陣的重要結論，其中均、可逆：假設，那

3、么：、；、；、；主對角分塊、；副對角分塊、；拉普拉斯、；拉普拉斯3、矩陣的初等變換與線性方程組1. 一個矩陣，總可經(jīng)過初等變換化為標準形，其標準形是唯一確定的：；等價類：所有與等價的矩陣組成的一個集合，稱為一個等價類；標準形為其形狀最簡單的矩陣；對于同型矩陣、，假設；2. 行最簡形矩陣：、只能通過初等行變換獲得；、每行首個非0元素必須為1；、每行首個非0元素所在列的其他元素必須為0；3. 初等行變換的應用：初等列變換類似，或轉置后采用初等行變換、 假設，那么可逆，且；、對矩陣做初等行變化，當變?yōu)闀r，就變成，即：；、求解線形方程組：對于個未知數(shù)個方程，如果，那么可逆，且；4. 初等矩陣和對角矩陣

4、的概念：、初等矩陣是行變換還是列變換，由其位置決定：左乘為初等行矩陣、右乘為初等列矩陣；、，左乘矩陣，乘的各行元素；右乘，乘的各列元素； 、對調兩行或兩列，符號，且，例如：；、倍乘某行或某列，符號，且，例如：；、倍加某行或某列，符號,且，如：；5. 矩陣秩的根本性質：、；、；、假設，那么；、假設、可逆，那么；可逆矩陣不影響矩陣的秩、；、；、；、如果是矩陣，是矩陣，且，那么：、的列向量全部是齊次方程組解轉置運算后的結論；、假設、均為階方陣，那么；6. 三種特殊矩陣的方冪：、秩為1的矩陣：一定可以分解為列矩陣向量行矩陣向量的形式，再采用結合律；、型如的矩陣：利用二項展開式；二項展開式：；注：、展開

5、后有項；、組合的性質：；、利用特征值和相似對角化：7. 伴隨矩陣：、伴隨矩陣的秩：；、伴隨矩陣的特征值：；、8. 關于矩陣秩的描述：、，中有階子式不為0，階子式全部為0；兩句話、，中有階子式全部為0；、，中有階子式不為0；9. 線性方程組：，其中為矩陣，那么：、與方程的個數(shù)相同，即方程組有個方程；、與方程組得未知數(shù)個數(shù)相同，方程組為元方程；10. 線性方程組的求解：、對增廣矩陣進行初等行變換只能使用初等行變換；、齊次解為對應齊次方程組的解；、特解：自由變量賦初值后求得；11. 由個未知數(shù)個方程的方程組構成元線性方程：、；、向量方程，為矩陣，個方程，個未知數(shù)、全部按列分塊，其中；、線性表出、有解

6、的充要條件：為未知數(shù)的個數(shù)或維數(shù)4、向量組的線性相關性1. 個維列向量所組成的向量組：構成矩陣；個維行向量所組成的向量組：構成矩陣；含有有限個向量的有序向量組與矩陣一一對應；2. 、向量組的線性相關、無關有、無非零解；齊次線性方程組、向量的線性表出是否有解；線性方程組、向量組的相互線性表示是否有解；矩陣方程3. 矩陣與行向量組等價的充分必要條件是：齊次方程組和同解；(例14)4. ；(例15)5. 維向量線性相關的幾何意義：、線性相關；、線性相關坐標成比例或共線平行；、線性相關共面；6. 線性相關與無關的兩套定理：假設線性相關，那么必線性相關；假設線性無關，那么必線性無關；向量的個數(shù)加加減減，

7、二者為對偶假設維向量組的每個向量上添上個分量，構成維向量組：假設線性無關，那么也線性無關；反之假設線性相關，那么也線性相關；向量組的維數(shù)加加減減簡言之：無關組延長后仍無關，反之，不確定；7. 向量組個數(shù)為能由向量組個數(shù)為線性表示，且線性無關，那么(二版定理7)；向量組能由向量組線性表示，那么；定理3向量組能由向量組線性表示有解；定理2向量組能由向量組等價定理2推論8. 方陣可逆存在有限個初等矩陣，使；、矩陣行等價：左乘，可逆與同解、矩陣列等價：右乘，可逆；、矩陣等價：、可逆；9. 對于矩陣與：、假設與行等價，那么與的行秩相等；、假設與行等價，那么與同解，且與的任何對應的列向量組具有相同的線性相

8、關性；、矩陣的初等變換不改變矩陣的秩；、矩陣的行秩等于列秩；10. 假設，那么：、的列向量組能由的列向量組線性表示，為系數(shù)矩陣；、的行向量組能由的行向量組線性表示，為系數(shù)矩陣；轉置11. 齊次方程組的解一定是的解，考試中可以直接作為定理使用，而無需證明；、只有零解只有零解；、有非零解一定存在非零解；12. 設向量組可由向量組線性表示為：題19結論其中為，且線性無關，那么組線性無關；與的列向量組具有相同線性相關性必要性：；充分性：反證法注：當時，為方陣，可當作定理使用；13. 、對矩陣，存在，、的列向量線性無關；、對矩陣，存在，、的行向量線性無關；14. 線性相關存在一組不全為0的數(shù)，使得成立；定義有非零解，即有非零解；，系數(shù)矩陣的秩小于未知數(shù)的個數(shù)；15. 設的矩陣的秩為，那么元齊次線性方程組的解集的秩為：；16. 假設為的一個解，為的一個根底解系，那么線性無關；題33結論5、相似矩陣和二次型1. 正交矩陣或定義，性質：、的列向量都是單位向量，且兩兩正交，即；、假設為正交矩陣，那么也為正交陣，且；、假設、正交陣，那么也是正交陣；注意：求解正交陣，千萬不要忘記施密特正交化和單位化；2. 施密特正交化：；;3. 對于普通方陣，不同特征值對應的特征向量線性無關；對于實對稱陣，不同特征值對應的特征向量正交；4. 、與等價經(jīng)過初等變換得到；，、可逆；，、同型；、與合同，其中可逆；與有相同