工程數(shù)學(xué)概率統(tǒng)計(jì)簡(jiǎn)明教程(同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系)》課后

1、習(xí)題一1. 用集合的形式寫(xiě)出下列隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間與隨機(jī)事件 A : (1) 拋一枚硬幣兩次,觀察出現(xiàn)的面,事件 A = 兩次出現(xiàn)的面相同 ; (2) 記錄某電話(huà)總機(jī)一分鐘內(nèi)接到的呼叫次數(shù),事件 A = 一分鐘內(nèi)呼叫次數(shù)不超過(guò) 3 次; (3) 從一批燈泡中隨機(jī)抽取一只,測(cè)試其壽命,事件 A = 壽命在 2000 到 2500 小時(shí)之間. 解 (1) = ( +,+), (+,), (,+), (,) , A = (+,+), (,) . (2) 記 X 為一分鐘內(nèi)接到的呼叫次數(shù),則 = X = k | k = 0,1,2,LL , A = X = k | k = 0,1,2,3 . (3)

2、記 X 為抽到的燈泡的壽命(單位:小時(shí)) ,則 = X (0, + ) , A = X (2000, 2500) . 2. 袋中有10 個(gè)球, 分別編有號(hào)碼 1 至 10, 從中任取 1 球, A = 取得球的號(hào)碼是偶數(shù), = 取 設(shè) B 得球的號(hào)碼是奇數(shù), C = 取得球的號(hào)碼小于 5,問(wèn)下列運(yùn)算表示什么事件: (1) A U B ;(2) AB ;(3) AC ;(4) AC ;(5) A C ;(6) B U C ;(7) A C . 解 (1) A U B = 是必然事件; (2) AB = 是不可能事件; (3) AC = 取得球的號(hào)碼是 2,4; (4) AC = 取得球的號(hào)碼是

3、1,3,5,6,7,8,9,10; (5) A C = 取得球的號(hào)碼為奇數(shù),且不小于 5 = 取得球的號(hào)碼為 5,7,9; (6) B U C = B I C = 取得球的號(hào)碼是不小于 5 的偶數(shù) = 取得球的號(hào)碼為 6,8,10; (7) A C = AC = 取得球的號(hào)碼是不小于 5 的偶數(shù)=取得球的號(hào)碼為 6,8,10 1 1 3 3. 在區(qū)間 0 , 2 上任取一數(shù),記 A = x x 1 , B = x x ,求下列事件的表達(dá)式: 2 2 4 (1) A U B ;(2) A B ;(3) AB ;(4) A U B . 1 3 解 (1) A U B = x x ; 2 4 1 3

4、 1 1 3 (4) A U B = A U x 0 x 或 x 2 = x 0 x 或 x 1或 x 2 4. 用事件 A, B, C 2 2 4 4 2 的運(yùn)算關(guān)系式表示下列事件: (1) A 出現(xiàn), B, C 都不出現(xiàn)(記為 E1 ) ; (2) A, B 都出現(xiàn), C 不出現(xiàn)(記為 E 2 ) ; (3) 所有三個(gè)事件都出現(xiàn)(記為 E3 ) ; (4) 三個(gè)事件中至少有一個(gè)出現(xiàn)(記為 E 4 ) ; (5) 三個(gè)事件都不出現(xiàn)(記為 E5 ) ; (6) 不多于一個(gè)事件出現(xiàn)(記為 E 6 ) ; (7) 不多于兩個(gè)事件出現(xiàn)(記為 E 7 ) ; (8) 三個(gè)事件中至少有兩個(gè)出現(xiàn)(記為 E

5、8 ) . 解 (1) E1 = AB C ; (3) E3 = ABC ; (5) E5 = A B C ; (2) E 2 = ABC ; (4) E 4 = A U B U C ; (6) E6 = A B C U AB C U A BC U A B C ; ww (7) E 7 = ABC = A U B U C ;(8) E8 = AB U AC U BC . 5. 一批產(chǎn)品中有合格品和廢品,從中有放回地抽取三次,每次取一件,設(shè) Ai 表示事件第 i 次 w. kh 1 (2) A B = x 0 x 或 1 x 2 I B = 2 (3) 因?yàn)?A B ,所以 AB = ; da

6、w. 1 x x 4 1 U x1 x 2 co 3 ; 2 m 抽到廢品 i = 1,2,3 ,試用 Ai 表示下列事件: , (1) 第一次,第二次中至少有一次抽到廢品; (2) 只有第一次抽到廢品; (3) 三次都抽到廢品; (4) 至少有一次抽到合格品; (2) 只有兩次抽到廢品. 解 (1) A1 U A2 ; (2) A1 A2 A3 ; (3) A1 A2 A3 ; (4) A1 U A2 U A3 ; (5) A1 A2 A3 U A1 A2 A3 U A1 A2 A3 . 6. 接連進(jìn)行三次射擊,設(shè) Ai =第 i 次射擊命中, i = 1,2,3 , B = 三次射擊恰好命

7、中二次, C = 三次射擊至少命中二次;試用 Ai 表示 B 和 C . 解 B = A1 A2 A3 U A1 A2 A3 U A1 A2 A3 C = A1 A2 U A1 A3 U A2 A3 習(xí)題二解答 w. 1.從一批由 45 件正品,5 件次品組成的產(chǎn)品中任取 3 件產(chǎn)品,求其中恰有 1 件次品的概率. 50 解 這是不放回抽取,樣本點(diǎn)總數(shù) n = ,記求概率的事件為 A ,則有利于 A 的樣本點(diǎn)數(shù) 3 45 5 k = . 于是 2 1 45 5 45 44 5 3! 99 k 2 1 P( A) = = = = 50 49 48 2! 392 n 50 3 2.一口袋中有 5

8、個(gè)紅球及 2 個(gè)白球,從這袋中任取一球,看過(guò)它的顏色后放回袋中,然后, 再?gòu)倪@袋中任取一球,設(shè)每次取球時(shí)袋中各個(gè)球被取到的可能性相同.求 (1) 第一次,第二次都取到紅球的概率; (2) 第一次取到紅球,第二次取到白球的概率; (3) 二次取得的球?yàn)榧t,白各一的概率; (4) 第二次取到紅球的概率. 解 本 題 是 有 放 回 抽 取 模 式 , 樣 本 點(diǎn) 總 數(shù) n = 7 2 . 記 (1)(2)(3)(4) 題 求 概率 的 事 件 分 別 為 A, B, C , D . kh 25 5 P( A) = = 49 7 5 2 10 () 有利于 B 的樣本點(diǎn)數(shù) k B = 5 2 ,故

9、 P( B) = 2 = 49 7 20 () 有利于 C 的樣本點(diǎn)數(shù) k C = 2 5 2 ,故 P(C ) = 49 7 5 35 5 = . () 有利于 D 的樣本點(diǎn)數(shù) k D = 7 5 ,故 P( D) = 2 = 49 7 7 3.一個(gè)口袋中裝有 6 只球,分別編上號(hào)碼 1 至 6,隨機(jī)地從這個(gè)口袋中取 2 只球,試求:(1) 最 小號(hào)碼是 3 的概率;(2) 最大號(hào)碼是 3 的概率. 解 本題是無(wú)放回模式,樣本點(diǎn)總數(shù) n = 6 5 . () 最小號(hào)碼為 3,只能從編號(hào)為 3,4,5,6 這四個(gè)球中取 2 只,且有一次抽到 3,因而有利 23 1 樣本點(diǎn)數(shù)為 2 3 ,所求概

10、率為 = . 65 5 () 最大號(hào)碼為 3,只能從 1,2,3 號(hào)球中取,且有一次取到 3,于是有利樣本點(diǎn)數(shù)為 2 2 , ()有利于 A 的樣本點(diǎn)數(shù) k A = 5 2 ,故 ww da w. 2 2 2 2 = . 6 5 15 4.一個(gè)盒子中裝有 6 只晶體管,其中有 2 只是不合格品,現(xiàn)在作不放回抽樣,接連取 2 次, 每次取 1 只,試求下列事件的概率: (1) 2 只都合格; (2) 1 只合格,1 只不合格; (3) 至少有 1 只合格. 解 分別記題(1),(2),(3)涉及的事件為 A, B, C ,則 4 2 4 3 2 2 P( A) = = = 6 6 5 2 5 2

11、 4 2 1 1 4 2 2 8 P( B) = = = 65 15 6 2 注意到 C = A U B ,且 A 與 B 互斥,因而由概率的可加性知 2 8 14 P(C ) = P( A) + P( B) = + = 5 15 15 5.擲兩顆骰子,求下列事件的概率: (1) 點(diǎn)數(shù)之和為 7;(2) 點(diǎn)數(shù)之和不超過(guò) 5;(3) 點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù). 解 分別記題(1),(2),(3)的事件為 A, B, C ,樣本點(diǎn)總數(shù) n = 6 2 () A 含樣本點(diǎn) (2,5), (5,2) ,(1,6),(6,1),(3,4),(4,3) 6 1 P ( A) = 2 = 6 6 () B 含樣本點(diǎn)(

12、1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(1,4),(4,1),(2,2),(2,3),(3,2) 10 5 P( B) = 2 = 18 6 ( ) C 含 樣 本 點(diǎn) (1,1),(1,3),(3,1),(1,5),(5,1);(2,2),(2,4),(4,2),(2,6),(6,2),(3,3), (3,5),(5,3);(4,4),(4,6),(6,4);(5,5);(6,6), 一共 18 個(gè)樣本點(diǎn). 18 1 P(C ) = = 36 2 6.把甲,乙,丙三名學(xué)生隨機(jī)地分配到 5 間空置的宿舍中去,假設(shè)每間宿舍最多可住 8 人, 試求這三名學(xué)生住不同宿舍的概率.

13、解 記 求 概 率 的 事 件 為 A , 樣 本 點(diǎn) 總 數(shù) 為 53 , 而 有 利 A 的 樣 本 點(diǎn) 數(shù) 為 5 4 3 , 所 以 5 4 3 12 P ( A) = = . 25 53 7.總經(jīng)理的五位秘書(shū)中有兩位精通英語(yǔ),今偶遇其中的三位,求下列事件的概率: 其中恰有一位精通英語(yǔ) ; (1) 事件 A : (2) 事件 B : 其中恰有二位精通英語(yǔ) ; (3) 事件 C : 其中有人精通英語(yǔ) . 5 解 樣本點(diǎn)總數(shù)為 3 所求概率為2 3 1 2 2 3 3! 6 3 (1) P( A) = = = = ; 5 4 3 10 5 5 3 (3) 因 C = A U B ,且 A

14、與 B 互斥,因而 3 3 9 P(C ) = P( A) + P( B) = + = . 5 10 10 8.設(shè)一質(zhì)點(diǎn)一定落在 xOy 平面內(nèi)由 x 軸, y 軸及直線(xiàn) x + y = 1 所圍成的三角形內(nèi),而落在這三 SA 1 角形內(nèi)各點(diǎn)處的可能性相等,計(jì)算這質(zhì)點(diǎn)落在直線(xiàn) x = 1 / 3 的左邊的概率. y 解 記求概率的事件為 A ,則 S A 為圖中陰影部分,而 | |= 1 / 2 , 1 1 2 1 5 5 | S A |= = = 2 2 3 2 9 18 最后由幾何概型的概率計(jì)算公式可得 | S | 5 / 18 5 O P( A) = A = = . | 1/ 2 9 9

15、. (見(jiàn)前面問(wèn)答題 2. 3) 10.已知 A B , P( A) = 0.4 , P( B) = 0.6 ,求 2 2 3 2 1 3 3! 3 (2) P( B) = = ; = 5 4 3 10 5 3 1/3 圖 2.3 ww 1.已知隨機(jī)事件 A 的概率 P( A) = 0.5 ,隨機(jī)事件 B 的概率 P( B) = 0.6 ,條件概率 P( B | A) = 0.8 , 試求 P( AB ) 及 P( A B ) . 解 P( AB ) = P( A) P ( B | A) = 0.5 0.8 = 0.4 P ( A B ) = P ( A U B ) = 1 P ( A U B

16、) = 1 P ( A) P ( B ) + P ( AB ) = 1 0.5 0.6 + 0.4 = 0.3 2.一批零件共 100 個(gè),次品率為 10%,從中不放回取三次(每次取一個(gè)) ,求第三次才取得正 品的概率. 10 9 90 81 9 = = 解 p= . 100 99 98 99 98 1078 3.某人有一筆資金,他投入基金的概率為 0.58,購(gòu)買(mǎi)股票的概率為 0.28,兩項(xiàng)投資都做的概 率為 0.19 (1) 已知他已投入基金,再購(gòu)買(mǎi)股票的概率是多少? (2) 已知他已購(gòu)買(mǎi)股票,再投入基金的概率是多少? 解 記 A = 基金, B = 股票,則 P( A) = 0.58, P

17、( B) = 0.28, P( AB ) = 0.19 w. kh (4) P( B A) = P( A B) = P( ) = 0 , P( A B ) = P( A U B) = 1 P( A U B) = 1 0.6 = 0.4 ; (5) P( A B) = P( B A) = 0.6 0.4 = 0.2. 11. A, B 是兩個(gè)事件, 設(shè) 已知 P( A) = 0.5 ,P( B) = 0.7 ,P( A U B) = 0.8 , 試求 P( A B) 及 P( B A). 解 注 意 到 P( A U B) = P( A) + P( B) P( AB ) , 因 而 P( AB

18、) = P( A) + P( B) P( A U B) = 0.5 + 0.7 0.8 = 0.4 . 于 是 , P( A B) = P( A AB ) = P( A) P( AB) = 0.5 0.4 = 0.1 ; P( B A) = P( B AB) = P( B) P( AB) = 0.7 0.4 = 0.3 . da w. 習(xí)題三解答 課 后 答 案 (1) P( A ) , P(B ) ;(2) P( A U B) ;(3) P( AB ) ;(4) P( B A), P( A B ) ;(5) P( A B) . 解 (1) P( A ) = 1 P( A) = 1 0.4 =

19、 0.6 , P( B ) = 1 P( B) = 1 0.6 = 0.4 ; (2) P( A U B) = P( A) + P( B) P( AB ) = P( A) + P ( B) P( A) = P( B) = 0.6 ; (3) P( AB ) = P( A) = 0.4 ; 網(wǎng) co 1 m x. (1) (2) P( B | A) = P( A | B) = P( AB) 0.19 = = 0.327. P( A) 0.58 co P( AB) 0.19 = = 0.678 . P( B) 0.28 4.給定 P( A) = 0.5 , P( B) = 0.3 , P( AB

20、) = 0.15 ,驗(yàn)證下面四個(gè)等式: P( A | B) = P( A), P( A | B ) = P( A), P( B | A) = P( B) , P( B | A ) = P( B). P( AB) 0.15 1 = = = P( A) 解 P( A | B) = P( B) 0.3 2 P( AB ) P( A) P( AB ) 0.5 0.15 0.35 = P( A | B ) = = = = 0.5 = P( A) P( B ) 1 P( B) 0.7 0.7 P( AB) 0.15 P( B | A) = = = 0.3 = P( B) P( A) 0.5 P( A B)

21、 P( B) P( AB ) 0.3 0.15 0.15 P( B | A ) = = = = = P( B) 1 P ( A) 0.5 0.5 P( A ) 5.有朋自遠(yuǎn)方來(lái),他坐火車(chē),船,汽車(chē)和飛機(jī)的概率分別為 0.3,0.2,0.1,0.4,若坐火車(chē), 遲到的概率是 0.25,若坐船,遲到的概率是 0.3,若坐汽車(chē),遲到的概率是 0.1,若坐飛機(jī)則不會(huì)遲 到.求他最后可能遲到的概率. m 網(wǎng) 解 且按題意 則 B = 遲到,A1 = 坐火車(chē),A2 = 坐船,A3 = 坐汽車(chē), A4 = 乘飛機(jī), B = U BAi , 4 P( B | A1 ) = 0.25 , P( B | A2 )

22、 = 0.3 , P( B | A3 ) = 0.1 , P( B | A4 ) = 0 . 由全概率公式有: 4 i =1 6.已知甲袋中有 6 只紅球,4 只白球;乙袋中有 8 只紅球,6 只白球.求下列事件的概率: (1) 隨機(jī)取一只袋,再?gòu)脑摯须S機(jī)取一球,該球是紅球; (2) 合并兩只袋,從中隨機(jī)取一球,該球是紅球. 解 (1) 記 B = 該球是紅球, A1 = 取自甲袋, A2 = 取自乙袋,已知 P( B | A1 ) = 6 / 10 , P( B | A2 ) = 8 / 14 ,所以 1 6 1 8 41 P( B) = P( A1 ) P( B | A1 ) + P(

23、A2 ) P( B | A2 ) = + = 2 10 2 14 70 14 7 = (2) P( B) = 24 12 7.某工廠有甲,乙,丙三個(gè)車(chē)間,生產(chǎn)同一產(chǎn)品,每個(gè)車(chē)間的產(chǎn)量分別占全廠的 25%,35%, 40%,各車(chē)間產(chǎn)品的次品率分別為 5%,4%,2%,求該廠產(chǎn)品的次品率. 解 0.25 0.05 +0.35 0.04 + 0.4 0.02 = 0.0125 + 0.0140 + 0.008 = 0.0345 = 3.45% 8.發(fā)報(bào)臺(tái)分別以概率 0.6,0.4 發(fā)出 和 ,由于通信受到干擾,當(dāng)發(fā)出 時(shí),分別以概 率 0.8 和 0.2 收到 和 ,同樣,當(dāng)發(fā)出信號(hào) 時(shí),分別以 0

24、.9 和 0.1 的概率收到 和 . 求(1) 收到信號(hào) 的概率;(2) 當(dāng)收到 時(shí),發(fā)出 的概率. 解 記 B = 收到信號(hào) , A = 發(fā)出信號(hào) (1) P( B) = P( A) P( B | A) + P( A ) P ( B | A ) = 0.6 0.8 + 0.4 0.1 = 0.48 + 0.04 = 0.52 P( A) P( B | A) 0.6 0.8 12 = = . (2) P( A | B) = P ( B) 0.52 13 9.設(shè)某工廠有 A, B, C 三個(gè)車(chē)間,生產(chǎn)同一螺釘,各個(gè)車(chē)間的產(chǎn)量分別占總產(chǎn)量的 25%,35%, 40%,各個(gè)車(chē)間成品中次品的百分比分別

25、為 5%,4%,2%,如從該廠產(chǎn)品中抽取一件,得到的是次 ww w. kh 課 后 P( B) = P( Ai ) P( B | Ai ) = 0.3 0.25 + 0.2 0.3 + 0.1 0.1 = 0.145 da w. i =1 答 案 For evaluation only. 后 再由 P( A B ) = 1 / 9 ,有 1 / 9 = P( A ) P ( B ) = (1 P( A)(1 P( B) = (1 P( A) 2 所以 1 P( A) = 1 / 3 .最后得到 P( B) = P( A) = 2 / 3. 12.甲,乙,丙三人同時(shí)獨(dú)立地向同一目標(biāo)各射擊一次,命

26、中率分別為 1/3,1/2,2/3,求目標(biāo) 被命中的概率. da w. 答 案 網(wǎng) 11.已知 A, B 獨(dú)立,且 P( A B ) = 1 / 9, P( AB ) = P( A B) ,求 P( A), P( B ) . 解 因 P( AB ) = P( A B) ,由獨(dú)立性有 P( A) P( B ) = P( A ) P( B ) 從而 P( A) P( A) P( B) = P( B) P( A) P( B) 導(dǎo)致 P( A) = P( B) co B = U Ai ,因 i =1 3 P ( A U B ) = P ( AB ) = 1 P ( A) P ( B ) = 1 pq

27、而 ww 3 4 則 A = A1 A2 U A3 A4 U A5 A6 , 所以 5 6 P( A) = P( A1 A2 ) + P( A3 A4 ) + P( A5 A6 ) 圖 3.1 P( A1 A2 A3 A4 ) P( A3 A4 A5 A6 ) P( A1 A2 A5 A6 ) + P( A1 A2 A3 A4 A5 A6 ) = 3(1 p) 2 3(1 p ) 4 + (1 p) 6 14.假設(shè)一部機(jī)器在一天內(nèi)發(fā)生故障的概率為 0.2,機(jī)器發(fā)生故障時(shí)全天停止工作,若一周五 個(gè)工作日里每天是否發(fā)生故障相互獨(dú)立,試求一周五個(gè)工作日里發(fā)生 3 次故障的概率. 5 解 p = (0

28、.2) 3 (0.8) 2 = 0.0512 . 3 15.燈泡耐用時(shí)間在 1000 小時(shí)以上的概率為 0.2,求三個(gè)燈泡在使用 1000 小時(shí)以后最多只有 一個(gè)壞了的概率. 3 3 解 p = (0.2) 3 + 0.8 (0.2) 2 = 0.008 + 0.096 = 0.104 . 3 2 16.設(shè)在三次獨(dú)立試驗(yàn)中,事件 A 出現(xiàn)的概率相等,若已知 A 至少出現(xiàn)一次的概率等于 19/27, 求事件 A 在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率 P( A) . w. 3 2 1 1 1 8 P( B) = 1 P I Ai = 1 P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) = 1 = 1 = 3 2

29、 3 9 9. i =1 13.設(shè)六個(gè)相同的元件,如下圖所示那樣安置在線(xiàn)路中,設(shè)每個(gè)元件不通達(dá)的概率為 p ,求這 個(gè)裝置通達(dá)的概率.假定各個(gè)元件通達(dá)與否是相互獨(dú)立的. 1 2 解 記 A = 通達(dá), Ai = 元件 i 通達(dá), i = 1,2,3,4,5,6 課 解 記 B = 命中目標(biāo), A1 = 甲命中, A2 = 乙命中, A3 = 丙命中,則 m 品,求它依次是車(chē)間 A, B, C 生產(chǎn)的概率. 解 為方便計(jì),記事件 A, B, C 為 A, B, C 車(chē)間生產(chǎn)的產(chǎn)品,事件 D = 次品,因此 P( D) = P( A) P( D | A) + P( B) P( D | B) + P

30、(C ) P( D | C ) = 0.25 0.05 + 0.35 0.04 + 0.4 0.02 = 0.0125 + 0.014 + 0.008 = 0.0345 P( A) P( D | A) 0.25 0.05 P ( A | D) = = = 0.362 P ( D) 0.0345 P( B) P( D | B) 0.35 0.04 P ( B | D) = = = 0.406 P ( D) 0.0345 P(C ) P( D | C ) 0.4 0.02 P (C | D ) = = = 0.232 P( D ) 0.0345 10. A 與 B 獨(dú)立, P( A) = p, P

31、( B) = q , 設(shè) 且 求下列事件的概率:P( A U B) ,P( A U B ) ,P( A U B ) . 解 P( A U B) = P( A) + P( B) P( A) P( B) = p + q pq P( A U B ) = P( A) + P( B ) P( A) P( B ) = p + 1 q p(1 q) = 1 q + pq 解 依假設(shè) 記 Ai = A 在第 i 次試驗(yàn)中出現(xiàn), i = 1,2,3. 3 19 = P U Ai = 1 P( A1 A2 A3 ) = 1 (1 p) 3 27 i =1 8 , 此即 p = 1 / 3 . 所以, (1 p )

32、 3 = 27 17.加工一零件共需經(jīng)過(guò) 3 道工序,設(shè)第一,二,三道工序的次品率分別為 2%,3%,5%. 假 設(shè)各道工序是互不影響的,求加工出來(lái)的零件的次品率. 解 注意到,加工零件為次品,當(dāng)且僅當(dāng) 1-3 道工序中至少有一道出現(xiàn)次品.記 Ai = 第 i 道工 序?yàn)榇纹? i = 1,2,3. 則次品率 3 p = P U Ai = 1 P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) = 1 0.98 0.97 0.95 = 1 0.90307 0.097 i =1 18.三個(gè)人獨(dú)立破譯一密碼,他們能獨(dú)立譯出的概率分別為 0.25,0.35,0.4. 求此密碼被譯出 的概率. 解 記 A

33、 = 譯出密碼, Ai = 第 i 人譯出, i = 1,2,3. 則 3 P( A) = P U Ai = 1 P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) i =1 = 1 0.75 0.65 0.6 = 1 0.2925 = 0.7075 19.將一枚均勻硬幣連續(xù)獨(dú)立拋擲 10 次,恰有 5 次出現(xiàn)正面的概率是多少?有 4 次至 6 次出 現(xiàn)正面的概率是多少? 10 10 1 63 解 (1) = ; 5 2 256 10 10 1 . k 2 k =4 20.某賓館大樓有 4 部電梯,通過(guò)調(diào)查,知道在某時(shí)刻 T ,各電梯正在運(yùn)行的概率均為 0.75, 6 p = P( A)求: 81

34、 3 (3) (0.75) = = 256 4 4 (1) 在此時(shí)刻至少有 1 臺(tái)電梯在運(yùn)行的概率; (2) 在此時(shí)刻恰好有一半電梯在運(yùn)行的概率; (3) 在此時(shí)刻所有電梯都在運(yùn)行的概率. 255 解 (1) 1 (1 0.75) 4 = 1 (0.25) 4 = 256 2 2 4 27 3 1 2 2 (2) (0.75) (0.25) = 6 = 2 128 4 4 1. 下列給出的數(shù)列,哪些是隨機(jī)變量的分布律,并說(shuō)明理由. i (1) pi = , i = 0,1,2,3,4,5 ; 15 5 i2 , i = 0,1,2,3 ; (2) pi = 6 1 (3) pi = , i =

35、 2,3,4,5 ; 4 i +1 , i = 1,2,3,4,5 . (4) pi = 25 ( ) kh 課 后 (2) da w. 習(xí)題四解 其一條件為 pi 0, i = 1, 2, L ,其二條件為 pi = 1 . i 要說(shuō)明題中給出的數(shù)列,是否是隨機(jī)變量的分布律,只要驗(yàn)證 pi 是否滿(mǎn)足下列二個(gè)條件: 依據(jù)上面的說(shuō)明可得 (1) 中的數(shù)列為隨機(jī)變量的分布律; (2)中的數(shù)列不是隨機(jī)變量的分布律, 59 4 = 0; 因?yàn)?p3 = (3) 中的數(shù)列為隨機(jī)變量的分布律; (4) 中的數(shù)列不是隨機(jī)變量的分布律, 6 6 5 20 這是因?yàn)?pi = 1. 25 i =1 c 使 并求

36、:P( X 2 ) ; 2. 試確定常數(shù) c , P( X = i ) = i , (i = 0,1,2,3,4) 成為某個(gè)隨機(jī)變量 X 的分布律, 2 5 1 P X . 2 2 4 c c 16 ; 解 要使 i 成為某個(gè)隨機(jī)變量的分布律,必須有 i = 1 ,由此解得 c = 31 2 i =0 2 (2) P( X 2 ) = P( X = 0 ) + P( X = 1) + P( X = 2) 16 1 1 28 = 1 + + = 31 2 4 31 5 16 1 1 12 1 (3) P X = P ( X = 1) + P ( X = 2) = + = . 2 31 2 4 3

37、1 2 3. 一口袋中有 6 個(gè)球,在這 6 個(gè)球上分別標(biāo)有-3,-3,1,1,1,2 這樣的數(shù)字.從這袋中任取 一球,設(shè)各個(gè)球被取到的可能性相同,求取得的球上標(biāo)明的數(shù)字 X 的分布律與分布函數(shù). 1 1 1 解 X 可能取的值為-3,1,2,且 P( X = 3) = , P( X = 1) = , P( X = 2) = ,即 X 的分布律為 3 2 6 X -3 1 2 1 1 1 概率 3 2 6 X 的分布函數(shù) 0 x 3 1 F (x ) = P( X x ) = 3 x 1 3 5 1 x 2 6 1 x2 4. 一袋中有 5 個(gè)乒乓球,編號(hào)分別為 1,2,3,4,5,從中隨機(jī)地

38、取 3 個(gè),以 X 表示取出的 3 個(gè)球中最大號(hào)碼,寫(xiě)出 X 的分布律和分布函數(shù). 解 依題意 X 可能取到的值為 3,4,5,事件 X = 3 表示隨機(jī)取出的 3 個(gè)球的最大號(hào)碼為 3, w. 則另兩個(gè)球的只能為 1 號(hào),2 號(hào),即 P( X = 3) = 3 1 2 3 號(hào)碼為 4,因此另外 2 個(gè)球可在 1,2,3 號(hào)球中任選,此時(shí) P( X = 4) = = ;同理可得 10 5 3 4 1 2 6 = . P( X = 5) = 10 5 3 X 的分布律為 kh da w. 課 后 答 案 網(wǎng) 1 1 = ;事件 X = 4表示隨機(jī)取出的 3 個(gè)球的最大 5 10 3 3 6 概率

39、 X 3 4 5 10 10 10 X 的分布函數(shù)為 0 F (x ) = 1 10 4 10 x3 3 x 4 4 x5 1 x5 5. 在相同條件下獨(dú)立地進(jìn)行 5 次射擊, 每次射擊時(shí)擊中目標(biāo)的概率為 0.6, 求擊中目標(biāo)的次數(shù) X 的分布律. 解 依題意 X 服從參數(shù) n = 5, p = 0.6 的二項(xiàng)分布,因此,其分布律 具體計(jì)算后可得 X 概率 0 32 3125 48 625 144 625 216 625 P( Ai ) = 課 10 , i = 1, 2, L 而 13 P( X = k ) = P A1 L Ak 1 Ak = P A1 L P Ak 1 ( ) ( ) 即

40、 X 服從參數(shù) p = P( X = 1) = 10 的幾何分布. 13 (2)由于每次取出的產(chǎn)品不再放回,因此,X 可能取到的值為 1,2,3,4, X 的分布律為 w. X 10 3 10 5 , P( X = 2) = = , 13 13 12 26 3 2 10 5 3 2 1 10 1 = , P(X = 4) = = . P ( X = 3) = 13 12 11 143 13 12 11 10 286 kh X 1 10 13 ww 概率 (3)X 可能取到的值為 1,2,3,4, 10 3 11 33 , P( X = 2) = = , 13 13 13 169 3 2 12

41、72 3 2 1 6 = , P( X = 4) = = . P ( X = 3) = 13 13 13 2197 13 13 13 2197 P( X = 1) = 所求 X 的分布律為 1 10 13 概率 由于三種抽樣方式不同,導(dǎo)致 X 的分布律也不一樣,請(qǐng)仔細(xì)體會(huì)它們的不同處. 7. 設(shè)隨機(jī)變量 X B(6, p ) ,已知 P( X = 1) = P( X = 5) ,求 p 與 P( X = 2) 的值. da w. ( ) 3 P( Ak ) = 13 k 1 后 6. 從一批含有 10 件正品及 3 件次品的產(chǎn)品中一件一件的抽取.設(shè)每次抽取時(shí),各件產(chǎn)品被抽 到的可能性相等.在下

42、列三種情形下,分別求出直到取得正品為止所需次數(shù) X 的分布律. (1) 每次取出的產(chǎn)品立即放回這批產(chǎn)品中再取下一件產(chǎn)品; (2) 每次取出的產(chǎn)品都不放回這批產(chǎn)品中; (3) 每次取出一件產(chǎn)品后總是放回一件正品. 解 (1)設(shè)事件 Ai , i = 1,2, L 表示第 i 次抽到的產(chǎn)品為正品,依題意, A1 ,L , An , L 相互獨(dú)立,且 答 案 網(wǎng) 10 , k = 1, 2, L 13 2 5 26 3 5 143 2 33 169 3 72 2197 co 162 625 243 3125 1 2 3 4 4 1 286 4 6 2197 m 5 5 P( X = k ) = 0.

43、6 k 0.4 5 k , k = 0,1, L ,5 , k For evaluation only. 解 由于 X B(6, p ) ,因此 P( X = 6) = p k (1 p )6 k , k = 0,1, L ,6 . 5 P( X = 1) = 6 p(1 p ) , P( X = 5) = 6 p 5 (1 p ), 1 5 即 解得 p = ; 6 p(1 p ) = 6 p 5 (1 p ), 2 2 6 2 6 6 1 1 65 1 15 = 此時(shí), P( X = 2) = = . 2 2 64 2 2! 2 6 k 由此可算得 8. 擲一枚均勻的硬幣 4 次,設(shè)隨機(jī)變

44、量 X 表示出現(xiàn)國(guó)徽的次數(shù),求 X 的分布函數(shù). 解 一枚均勻硬幣在每次拋擲中出現(xiàn)國(guó)徽的概率為 ,因此 X 服從 n = 4, p = 的二項(xiàng)分布,即 k 4 k 1 2 1 2 4 1 1 P( X = k ) = k 2 2 , k = 0,1,2,3,4 x0 0 x 1 1 x 2 由此可得 X 的分布函數(shù) 0, 1 , 16 5 , 16 11 , 16 15 , 16 F (x ) = k =0 k! 4 k 4 e 0.99 k = 0 k! 查泊松分布表可求得 n = 9 . P( X n ) = n ww 10. 有一汽車(chē)站有大量汽車(chē)通過(guò),每輛汽車(chē)在一天某段時(shí)間出事故的概率為

45、 0.0001,在某天該 段時(shí)間內(nèi)有 1000 輛汽車(chē)通過(guò),求事故次數(shù)不少于 2 的概率. 解 設(shè) X 為 1000 輛汽車(chē)中出事故的次數(shù),依題意,X 服從 n = 1000, p = 0.0001 的二項(xiàng)分布,即 X B(1000,0.0001) ,由于 n 較大, p 較小,因此也可以近似地認(rèn)為 X 服從 = np = 1000 0.0001 = 0.1 的 泊松分布,即 X P (0.1) ,所求概率為 11. 某試驗(yàn)的成功概率為 0.75,失敗概率為 0.25,若以 X 表示試驗(yàn)者獲得首次成功所進(jìn)行的試 驗(yàn)次數(shù),寫(xiě)出 X 的分布律. 解 設(shè)事件 Ai 表示第 i 次試驗(yàn)成功,則 P(

46、Ai ) = 0.75 ,且 A1 ,L , An , L 相互獨(dú)立.隨機(jī)變量 X 取 k 意 味著前 k 1 次試驗(yàn)未成功,但第 k 次試驗(yàn)成功,因此有 P( X = k ) = P A1 L Ak 1 Ak = P A1 L P Ak 1 P( Ak ) = 0.25 k 10.75 w. 1 P( X 2) = 1 P( X = 0) P( X = 1) 0.10 0.1 0.11 0.1 e e 0! 1! = 1 0.904837 0.090484 = 0.004679. kh ( ) ( ) 2 0.25 0.75 即 P( X n 1) = n 1 4 k 課 P( X n 1)

47、 0.99, P( X n ) 0.99, e 4 0.99 后 1, x4 9. 某商店出售某種物品,根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn),每月銷(xiāo)售量 X 服從參數(shù) = 4 的泊松分布,問(wèn)在月 初進(jìn)貨時(shí),要進(jìn)多少才能以 99%的概率充分滿(mǎn)足顧客的需要? 解 設(shè)至少要進(jìn) n 件物品,由題意 n 應(yīng)滿(mǎn)足 所求的分布律為 X 概率 da w. 3 x 4 答 案 網(wǎng) 2 x3 ( ) 1 0.75 co k 0.25 k 1 0.75 m For evaluation only. 12. 設(shè)隨機(jī)變量 X 的密度函數(shù)為 f (x ) = 2x , 0x A 0, 其他, 試求: (1)常數(shù) A ; (2)X 的分布函數(shù).

48、 解 (1) f (x ) 成為某個(gè)隨機(jī)變量的密度函數(shù)必須滿(mǎn)足二個(gè)條件,其一為 f (x ) 0 ;其二為 + A f ( x )dx = 1 ,因此有 0 2 xdx = 1 ,解得 A = 1 ,其中 A = 1 舍去,即取 A = 1 . (2)分布函數(shù) F (x ) = P ( X x ) = f (x )dx x 0dx = x x0 x 0dx + 0 2 xdx 0 1 x 0dx + 0 2 xdx + 1 0dx 0 0 x 1 x 1 0 x 1 x = x 1 2 解得 A = ; 11 1 2 = 2 e 0 x 1 1 課 (3) F (x ) = x 后 (2) P

49、(0 X 1) = 0 e x dx = 0 e x dx = 11 2 f (x )dx 2 x dx 2 e = kh x x1 x dx + 0 e dx 2 w. = = 1 x e 2 1 1 + 1 e x 2 2 1 x e 2 1 1 e x 2 1 x e dx 2 0 1 x1 x x 2 e dx + 0 2 e dx x ww ( ) 14. 證明:函數(shù) f (x ) = x 2c e c 0 x2 為某個(gè)隨機(jī)變量 X 的密度函數(shù). 證 由于 f (x ) 0 ,且 f (x )dx = e + + x c da w. 1 1 e 1 ; 2 + + + x x x A

50、e dx = 2 0 Ae dx = 20 Ae dx =1 答 案 網(wǎng) X 的分布函數(shù). + x 解 (1)系數(shù) A 必須滿(mǎn)足 Ae dx = 1 ,由于 e x 為偶函數(shù),所以 ( ) x0 x0 x0 x0 x0 x0 x0 x0 x0 ( c 為正的常數(shù)) x0 x2 2 c dx x2 2c d x2 = e 2c 2c x2 + = 0 e + co =1, 0 x 1 13. 設(shè)隨機(jī)變量 X 的密度函數(shù)為 f (x ) = Ae , x + ,求: (1)系數(shù) A ; (2)P(0 X 1) ; (3) m 0 x0 因此 f (x ) 滿(mǎn)足密度函數(shù)的二個(gè)條件,由此可得 f (x

51、 ) 為某個(gè)隨機(jī)變量的密度函數(shù). 15. 求出與密度函數(shù) x0 02 x f (x ) = 0.5e x 0.25 0 對(duì)應(yīng)的分布函數(shù) F (x ) 的表達(dá)式. 解 x 當(dāng) 0 2 時(shí), F (x ) = 0.5e x dx + 0 0.25dx + 2 0dx = 0.5 + 0.5 = 1 綜合有 0.5e x , x 0; F (x ) = 0.5 + 0.25 x, 0 x 2; 1, x 2. 16. 設(shè)隨機(jī)變量 X 在 (1,6 ) 上服從均勻分布,求方程 t 2 + Xt + 1 = 0 有實(shí)根的概率. 解 X 的密度函數(shù)為 f (x ) = 2 17. 設(shè)某藥品的有效期 X 以

52、天計(jì),其概率密度為 (x + 100 )3 , 解 (1) F (x ) = f (x )dx = x kh (x + 100) dx, 0 3 x 0, 其他. 求:(1) X 的分布函數(shù);(2) 至少有 200 天有效期的概率. 0, x 0; ( ) 0, w. = 0, 1 (1 + x )e , x 1 (2) P( X 200) = 1 P( X 200) = 1 F (200) = 1 1 ww 18. 設(shè)隨機(jī)變量 X 的分布函數(shù)為 x0 x0 F (x ) = 求 X 的密度函數(shù),并計(jì)算 P( X 1) 和 P( X 2) . 解 由分布函數(shù) F (x ) 與密度函數(shù) f (x

53、 ) 的關(guān)系,可得在 f (x ) 的一切連續(xù)點(diǎn)處有 f (x ) = F (x ) ,因此 f (x ) = xe x , 0, 1 所求概率 P( X 1) = F (1) = 1 (1 + 1)e = 1 2e 1 ; 19. 設(shè)隨機(jī)變量 X 的分布函數(shù)為 F (x ) = A + B arctan x, x + ,求(1) 常數(shù) A, B ;(2) P ( X 2 ) = 1 P ( X 2 ) = 1 F (2 ) = 1 1 (1 + 2 )e 2 = 3e 2 . da w. 20000 x 0. x 0 其他 網(wǎng) 其他. 方程 t + Xt + 1 = 0 有實(shí)根的充分必要條件

54、為 X 2 4 0 ,即 X 2 4 ,因此所求得概率為 1 , 5 0, 1 x 6; (200 + 100)2 ( ) co m 解 : (1) 要 使 F (x ) 成 為 隨 機(jī) 變 量 X 的 分 布 函 數(shù) , 必 須 滿(mǎn) 足 lim F (x ) = 0, lim F ( x ) = 1 , 即 x x +x x + lim ( A + B arctan x ) = 0 lim ( A + B arctan x ) = 1 A B=0 2 計(jì)算后得 A+ 解得 B =1 2 1 A= 2 1 B= = 1 1 = 4 4 2 1 , x 0 da w. ) 2 5 f (x ) = F (x ) = 網(wǎng) (3)X 的密度函數(shù) co 1 5 1 5 = 1 1 1 1 + arctan1 + arctan( 1) 2 2 (2)設(shè) Y 表示某顧客五次去銀行未等到服務(wù)的次數(shù),則 Y 服從 n = 5, p = e 2 的二