數(shù)學(xué)超綱內(nèi)容

1、在圓錐曲線里：設(shè)橢圓上有一定點(diǎn)有一動點(diǎn)，那么有變換得到時就可以看成這一點(diǎn)切線的斜率，寫成導(dǎo)數(shù)的形式就是函數(shù)不等式：拉格朗日中值定理，洛必達(dá)法則（在下面），柯西不等式的變式，赫爾德不等式，閔可夫斯基不等式，（安利一本貝肯鮑爾的不等式入門，小冊子）第二數(shù)學(xué)歸納法（在下面）解析幾何：極坐標(biāo)系，參數(shù)方程，隱函數(shù)求導(dǎo)（在上面）（事實(shí)上背過切線公式和切點(diǎn)弦公式就好），各種二級結(jié)論做過的最好就背過。立體幾何：向量叉乘，暴力破解一個爽數(shù)列：各種二三級遞推、遞歸，以及特征很方程選填最后一兩題：高斯函數(shù)被考濫了，三角形四心的向量性質(zhì)（在下面），一些典型的涂色問題，還有就是一些幾何性質(zhì)，阿波羅尼斯圓（在下面）什么的

2、，畢業(yè)久了記不得了“四心”1 若P是ABC的重心PA+PB+PC=02 若P是ABC的垂心PA*PB=PB*PC=PA*PC(內(nèi)積）3 若P是ABC的內(nèi)心aPA+bPB+cPC=0(abc是三邊）4 若P是ABC的外心|PA|=|PB|=|PC|（AP就表示AP向量 |AP|就是它的模）5 AP=（AB/|AB|+AC/|AC|),0,+) 則直線AP經(jīng)過ABC內(nèi)心6 AP=（AB/|AB|cosB+AC/|AC|cosC),0,+) 經(jīng)過垂心7 AP=（AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC),0,+）或 AP=(AB+AC),0,+) 經(jīng)過重心8.若aOA=bOB+cOC,則0為A

3、的旁心,A及B,C的外角平分線的交點(diǎn)洛必達(dá)法則0/0型不定式極限若函數(shù)  和  滿足下列條件：  ，  ； 在點(diǎn)  的某去心鄰域內(nèi)兩者都可導(dǎo)，且  ；  （  可為實(shí)數(shù)，也可為 ± ），則/型不定式極限若函數(shù)  和  滿足下列條件：  ； 在點(diǎn)  的某去心鄰域內(nèi)兩者都可導(dǎo)，且  ；  （  

4、;可為實(shí)數(shù)，也可為  ），則其他類型不定式極限不定式極限還有  ，  ，  ，  ，  等類型。經(jīng)過簡單變換，它們一般均可化為  型或  型的極限。(1) 型可將乘積中的無窮小或無窮大變形到分母上，化為  型或  型。例：求 解：原式= (2) 型把兩個無窮大變形為兩個無窮小的倒數(shù)，再通分使其化為  型。例：求 解：原式=

5、60;(3) 型可利用對數(shù)性質(zhì)  將函數(shù)化簡成以e為底數(shù)的指數(shù)函數(shù)，對指數(shù)進(jìn)行求極限。針對不同的問題，還可以利用等價(jià)無窮小  作替換，化簡算式。例：求 解：原式=  =  =  =  = = 上式求解過程中，利用了等價(jià)無窮小的替換，即把  替換成了  。(4) 型同上面的化簡方法例：求 解：原式= (5) 型同上面的化簡方法例：求 解：原式=

6、60;注意不能在數(shù)列形式下直接用洛必達(dá)法則，因?yàn)閷τ陔x散變量  是無法求導(dǎo)數(shù)的。但此時有形式類近的斯托爾茲切薩羅定理（StolzCesàro theorem）作為替代。作為競賽狗，我負(fù)責(zé)任地說些非純競賽，自招難度的東西哪些能用，請知友根據(jù)實(shí)際情況自己定奪1.牢記，牢記！三角恒等式和三角不等式,很有用，把證明記住，一證引理，一步到位妥妥的2.阿貝爾變換。還有其他恒等變換，暴算不等式的時候很有用。3.幾何法做解析，找準(zhǔn)幾何意義，超級簡單比如用個角平分線定理，感覺可神奇了得看題怎么樣，需要運(yùn)氣和智商，畢竟有的題確實(shí)沒有幾何意義4.復(fù)數(shù)做平幾。李偉固說今年Imo中國隊(duì)就敗

7、在了不會算平幾，2010年聯(lián)賽那個很難的平幾，建系很方便一般是有“心”還有良好的對稱性的平幾需要5.換元法，待定系數(shù)，有時會起到簡化作用，算代數(shù)題，很有用6.函數(shù)題，特值法，逼值，會比描述簡單，但條件必須很好7.見到三角的題，設(shè)復(fù)數(shù)算，配以微積分基本定理，特別簡單好像大家對復(fù)數(shù)都不是很熟悉，其實(shí)復(fù)數(shù)是很好的數(shù)學(xué)工具8.做不等式之前，先猜取等條件。給某個變量取極限看其他變量變化，所謂，凍結(jié)變量法9.求值域，解不等式，多想幾何意義，線性規(guī)劃簡單很多10.導(dǎo)數(shù)部份用拉格朗日中值定理，泰勒公式11.解析，點(diǎn)差法，圓錐曲線的第二定義，拉格朗日恒等式變形，運(yùn)算中常用。定比分點(diǎn)。多記著小結(jié)論最好了12.用行

8、列式展開多項(xiàng)式，方便13.切比雪夫，排序，都很巧14.母函數(shù)15.高次方程韋達(dá)定理16.復(fù)數(shù)中的Hlawka不等式?？挛鞑坏仁接袟l件成立，還有反向柯西。17.斐波那契數(shù)列性質(zhì)18.復(fù)數(shù)中，單位根19.解析中常常會用到阿波羅尼斯圓。錯位相減公式：所有錯位相減題都可以化成的形式。設(shè)，那么(q1)此公式經(jīng)本人上學(xué)時反復(fù)驗(yàn)證。記住這個，再碰到錯位相減題直接寫答案。如果是大題象征性地寫一寫過程就行了。涉及圓錐曲線焦半徑長度的題目：用圓錐曲線統(tǒng)一定義幾率秒殺。焦半徑長度用直角坐標(biāo)不好表示，用統(tǒng)一定義簡單得不要不要的。第二數(shù)學(xué)歸納法原理是設(shè)有一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題，如果：（1）當(dāng)n=1時，命題成立；（2）

9、假設(shè)當(dāng)nk（kN）時，命題成立，由此可推得當(dāng)n=k+1時，命題也成立。那么根據(jù)可得，命題對于一切正整數(shù)n來說都成立。數(shù)列放縮（不一定靠譜）花了一周時間，總算找到了一個通法，至少在答主的高中經(jīng)歷中能解決90%以上的數(shù)列放縮問題，包括不是固定值的，而是一個表達(dá)式的思想同樣適應(yīng)。話不多說，見下0x1 思考這個值如1/3的得來，你會發(fā)現(xiàn)基本上都是等比求和的極限，沒錯。這機(jī)是關(guān)鍵，原因也很簡單，我們基本上只能對這類數(shù)列求和。0x2 利用分析法。既然是一個等比數(shù)列，那么我們就直接構(gòu)造這個等比數(shù)列，a1和q都設(shè)出來。一般來說q就是前面需要放縮的式子中指數(shù)下的那個（題目難的話，可能會調(diào)整這個q）然后就利用放縮

10、的逆過程，即兩個數(shù)列中的每一項(xiàng)都有固定的大小關(guān)系（如要證A>B那么對應(yīng)的a(n)>b(n)）這里會用到很多技巧，比如可能這個式子的前幾項(xiàng)不滿足，但后面的所有項(xiàng)都成立，那么可以把前幾項(xiàng)單獨(dú)拿出來說明。0x3 最后再用綜合法書寫過程。0x4 總之，這類問題的思想就是這樣，但幾年過去了，很多細(xì)節(jié)也忘了。希望能幫到題主。/我也是一條安靜的分割線/我是一個簡單的栗子，隨便在網(wǎng)上找的一道題，若有錯誤，請指正。步驟：0x1 設(shè)an(a1*（1-qn）)/(1-q),然后去掉qn因?yàn)榭梢钥醋鬟@個數(shù)列的極限就是5/3, a1/(1-q)=5/3,觀察前面的式子，可令q1/2這里的q可以不一樣（但是為了后面的分析法容易證明）解得a1=5/6；0x2 現(xiàn)在an5/3*（1-1/2n)，利用分析法比較1/（2n-1）<5/3*（1-1/2n)（選取1/2也是因?yàn)檫@里比較容易證明）這時你就會發(fā)現(xiàn)第一項(xiàng)不滿足（1>5/6）但從第二項(xiàng)開始，后面的每一項(xiàng)都小于，所以我們第一項(xiàng)單獨(dú)提出來說明（1<5/3利用原式子），因?yàn)閺牡诙?xiàng)開始都小于，所以每一項(xiàng)相加也同樣小于。綜上該不等式成立。0x3 最后利用綜合法書寫過程。完畢！然后這里附上參考答案的做法，可以對比一下可以發(fā)現(xiàn)