考研數(shù)學(xué)基礎(chǔ)班概率統(tǒng)計(jì)講義-湯家鳳

1、考研數(shù)學(xué)基礎(chǔ)班概率統(tǒng)計(jì)講義湯家鳳考研數(shù)學(xué)基礎(chǔ)班概率統(tǒng)計(jì)講義第一章隨機(jī)事件與概率一、隨機(jī)試驗(yàn)與隨機(jī)事件（一）基本概念1、隨機(jī)試驗(yàn)具備如下三個(gè)條件的試驗(yàn)：（1）相同條件下可重復(fù)。（2）試驗(yàn)的可能結(jié)果是多樣的且是確定的。（3）某次試驗(yàn)之前不確定具體發(fā)生的結(jié)果，這樣的試驗(yàn)稱為隨機(jī)試驗(yàn)，記為 E 。2、樣本空間隨機(jī)試驗(yàn)的所有可能的基本結(jié)果所組成的集合，稱為隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間。3、隨機(jī)事件樣本空間的子集稱為隨機(jī)事件。（二）事件的運(yùn)算1、事件的積事件 A 與事件 B 同時(shí)發(fā)生的事件，稱為事件 A, B 的積，記為 AB 。2、事件的和事件 A 或者事件 B 發(fā)生,稱為事件 A, B 的和事件，記為 A +

2、B 。3、事件的差事件 A 發(fā)生而事件 B 不發(fā)生,稱事件 A, B 的差事件，記為 A - B 。（三）事件的關(guān)系1、包含若事件 A 發(fā)生則事件 B 一定發(fā)生，稱 A 包含于 B ，記為 A Ì B 。 若 A Ì B 且 B Ì A ，稱兩事件相等，記 A = B 。2、互斥（不相容）事件若 A 與 B 不能同時(shí)發(fā)生，即 AB = f ，稱事件 A, B 不相容或互斥。3、對(duì)立事件若 AB = f 且 A + B = Ù 稱事件 A, B 為對(duì)立事件?！咀⒔狻浚?） A = ( A - B) + AB ，且 A - B 與 AB 互斥。（2） A +

3、 B = ( A - B) + (B - A) + AB ，且 A - B, B - A, AB 兩兩互斥。（四）事件運(yùn)算的性質(zhì)1、（1） AB Ì A(或B) Ì A + B ；（2） AB = BA, A + B = B + A ；2、（1） A È A = A, A Ç A = A ；（2） A Ç (B È C) = ( A Ç B) È ( A Ç C), A È (B Ç C) = ( A È B) Ç ( A È C) ；3、（1） A =

4、( A - B) È A ；（2） ( A - B) Ç A = A - B ；（3） A + B = ( A - B) È AB È (B - A) 。4、（1） A + A = Ù ；（2） A Ç A = f 。二、概率的定義與性質(zhì)（一）概率的定義設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為 Ù ，滿足如下條件的隨機(jī)事件的函數(shù) P(·) 稱為所對(duì)應(yīng)事件的 概率：181、對(duì)事件 A ，有 P( A) ³ 0 （非負(fù)性）。2、 P(Ù) = 1（歸一性）。¥¥3、設(shè) A1 , A2 ,L, An

5、 ,L 為不相容的隨機(jī)事件，則有 P( U An ) = å P( An ) （可列可加性）。（二）概率的基本性質(zhì)1、 P(f) = 0 。n=1n=1nn2、設(shè) A1 , A2 ,L, An 為互不相容的有限個(gè)隨機(jī)事件列，則 P( U Ak ) = å P( Ak ) 。k =1k =13、 P( A) = 1- P( A) 。4、（減法公式） P( A - B) = P( A) - P( AB) 。（三）概率基本公式1、加法公式（1） P( A + B) = P( A) + P(B) - P( AB) 。（2） P( A + B + C) = P( A) + P(B)

6、+ P(C) - P( AB) - P( AC) - P(BC) + P( ABC) 。2、條件概率公式：設(shè) A, B 是兩個(gè)事件，且 P( A) > 0 ，則 P(B | A) = P( AB) 。P( A)3、乘法公式（1）設(shè) P( A) > 0 ，則 P( AB) = P( A)P(B | A) 。（2） P( A1 A2 L An ) = P( A1 )P( A2 | A1 )P( A3 | A1 A2 )L P( An | A1 A2 L An-1 ) 。三、事件的獨(dú)立性1、兩個(gè)事件的獨(dú)立設(shè) A, B 是兩個(gè)事件，若 P( AB) = P( A)P(B) ，稱事件 A,

7、B 相互獨(dú)立。P( AB) = P( A)P(B);2、三個(gè)事件的獨(dú)立設(shè) A, B, C 是三個(gè)事件，若 P( AC) = P( A)P(C);P(BC) = P(B)P(C);P( ABC) = P( A)P(B)P(C),，稱事件 A, B, C 相互獨(dú)立?！咀⒔狻?（1） A, B 相互獨(dú)立的充分必要條件是 A, B、 A, B 、 A, B 任何一對(duì)相互獨(dú)立。（2）設(shè) P( A) = 0 或 P( A) = 1 ，則 A 與任何事件 B 獨(dú)立。（3）設(shè) P( A) > 0, P(B) > 0 ，若 A, B 獨(dú)立，則 A, B 不互斥；若 A, B 互斥，則 A, B 不獨(dú)

8、立。四、全概率公式與 Bayes 公式1、完備事件組設(shè)事件組 A1 , A2 ,L, An 滿足：（1） Ai Aj = f(i, j = 1,2,L, n, i ¹j) ；n（2） U Ai = Ù ，則稱事件組 A1 , A2 ,L, An 為一個(gè)完備事件組。i=12 、全 概率 公式：設(shè) A1 , A2 ,L, An 是一個(gè)完備事 件組，且 P( Ai ) > 0(i = 1,2,L, n) ， B 為事件，則 nP(B) = å P( Ai )P(B | Ai ) 。i=13、貝葉斯公式：設(shè) A1 , A2 ,L, An 為一個(gè)完備事件組，且 P(

9、Ai ) > 0(i = 1,2,L, n) ， B 為任一隨機(jī)事件，P(B) > 0 ，則 P( A | B) = P( Ai )P(B | Ai ) 。iP(B)例題選講一、填空題1、設(shè) P( A) = 0.4, P( A È B) = 0.7 ，（1）若 A, B 不相容，則 P(B) =；（2）若 A, B 相互獨(dú)立，則 P(B) =。2 、設(shè) P( A) = P(B) = P(C) =。1 , P( AB) = P( AC) = P(BC) = 146，則事件 A, B, C 全不發(fā)生的概率為 3、設(shè)兩兩相互獨(dú)立的事件 A, B, C 滿足： ABC = f,

10、P( A) = P(B) = P(C) < 1 ，且有 P( A + B + C) = 9 ，216則 P( A) =。4、設(shè)事件 A, B 滿足 P( AB) = P( AB) ，且 P( A) = p ，則 P(B) =。5、設(shè) A, B 為兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)事件，且 A, B 都不發(fā)生的概率為 1 ，A 發(fā)生 B 不發(fā)生的概率與 A 不發(fā)生 B9發(fā)生的概率相等，則 P( A) =。二、選擇題：1、設(shè) A, B 是兩個(gè)隨機(jī)事件，且 0 < P( A) < 1, P(B) > 0, P(B | A) = P(B | A) ，則( A)P( A | B) = P( A

11、| B) ；(B)P( A | B) ¹ P( A | B) ；(C)P( AB) = P( A)P(B) ；(D)P( AB) ¹ P( A)P(B) 。 2、設(shè)事件 A, B 滿足 0 < P( A) < 1,0 < P(B) < 1，且 P( A | B) + P( A | B) = 1 ，則( A) 事件 A, B 對(duì)立；(B) 事件 A, B 相互獨(dú)立；(C) 事件 A, B 不相互獨(dú)立；(D) 事件 A, B 不相容。三、解答題1、一批產(chǎn)品共有 10 個(gè)正品和 2 個(gè)次品，任意抽取 2 次，每次抽取一個(gè)，抽取后不放回，求第二次抽取的是 次

12、品的的概率。2、設(shè)工廠 A 與工廠 B 的次品率分別為 1%和 2%，現(xiàn)從由 A 和 B 生產(chǎn)的產(chǎn)品分別占 60%和 40%的一批產(chǎn)品 中隨機(jī)抽取一件，發(fā)現(xiàn)是次品，求該次品是 A 生產(chǎn)的概率。3、設(shè)事件 A 在每次試驗(yàn)中的概率為 p ，三次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件 A 至少出現(xiàn)一次的概率為 19 ，求事件 A27發(fā)生的概率 p 。4、甲乙兩人獨(dú)立對(duì)同一目標(biāo)射擊一次，命中率分別為 50%和 60%，已知目標(biāo)被命中，求是甲命中的概率。第二章一維隨機(jī)變量及其分布一、基本概念1、隨機(jī)變量設(shè) Ù為隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間，x為定義在Ù上的函數(shù) ，對(duì)任意的 w ÎÙ ，總存在

13、唯一 確定的 x (w) 與之對(duì)應(yīng)，稱 x 為隨機(jī)變量，若 x 的可能取值為有限個(gè)或可列個(gè)，稱 x 為離散型隨機(jī)變量，若 x 在 某可區(qū)間上連續(xù)取值，稱 x 為連續(xù)型隨機(jī)變量。2、分布函數(shù)設(shè) x 為一個(gè)隨機(jī)變量，稱函數(shù) F (x) = Px £ x(-¥ < x < +¥) 為隨機(jī)變量 x 的分布函數(shù)?！咀⒔?1】分布函數(shù)的四個(gè)特征為（1） 0 £ F (x) £ 1 。（2） F (x)單調(diào)不減 。（3） F (x)右連續(xù) 。（4） F (-¥) = 0, F (+¥) = 1 ?！咀⒔?2】分布函數(shù)的性質(zhì)（1

14、） PX < a = F (a - 0) 。（2） PX= a = F (a) - F (a - 0) 。（3） Pa < x £ b = F (b) - F (a) 。（4） Pa < X < b = F (b - 0) - F (a) 。3、離散型隨機(jī)變量的分布律稱 PX = xi = pi (1 £ i £ n) 稱為隨機(jī)變量 X 的分布律?！咀⒔狻浚?） pi ³ 0(1 £ i £ n) 。（2） p1 + p2 +L+ pn = 1。4 、 連 續(xù) 型 隨機(jī)變 量的 密度函 數(shù) 設(shè) X 的分 布函

15、數(shù)為 F (x) ，若存 在非負(fù) 可積 函數(shù) f (x) ，使得 xF (x) = ò-¥ f (t)dt ，稱 f (x) 為 X 的密度函數(shù)。+¥【注解】（1） f (x) ³ 0 。（2） ò-¥ f (x)dx = 1。二、常見(jiàn)隨機(jī)變量及其分布（一）離散型n1、二項(xiàng)分布若隨機(jī)變量 X 的分布律為 PX = k = Ck pk (1 - p)n-k (0 £ k £ n) ，稱隨機(jī)變量 X 服從二 項(xiàng)分布，記為 X B(n, p) 。k2、Poisson 分布若隨機(jī)變量 X 的分布律為 PX = k = le

16、-l (k = 0,1,2,L) ，稱隨機(jī)變量 X 服從泊松分k!布，記為 X p (l) 。3、幾何分布若隨機(jī)變量 X 的分布律為 PX = k = p(1 - p)k -1 (k = 1,2,L) ，稱隨機(jī)變量 X 服從幾何分 布，記為 X G( p) 。（二）連續(xù)型 1 , a £ x £ b1、均勻分布若隨機(jī)變量 x 的密度函數(shù)為 f (x) = b - a0, 其他，稱隨機(jī)變量 x 服從均勻分布，記為0, x < 0x U (a, b) ，其分布函數(shù)為 F (x) = x - a , a £ x < b 。b - a1, x ³ b

17、-2、正態(tài)分布若隨機(jī)變量 x 的密度函數(shù)為 f (x) = 1 e2ps( x-m )22s 2(-¥ < x < +¥) ，稱隨機(jī)變量 x 服從正態(tài)分布，記為 x N (m,s 2 ) ，特別地，若 m = 0,s = 1，稱隨機(jī)變量服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記為 x N (0,1) ，其密度x2為j(x) = 1 e- 2 (-¥ < x < +¥) ，其分布函數(shù)為2pxF(x) = ò-¥ j(t)dt 。le-lx x ³3、指數(shù)分布若隨機(jī)變量 x 的密度為 f (x) = ,0(l > 0)

18、，稱隨機(jī)變量 x 服從指數(shù)分布，記為0, x < 00, x < 0x E(l) ，其分布函數(shù)為 F (x) = 1 - e-lx。, x ³ 0【注解】（1） F(0) = 1 , F(-a) = 1 - F(a) 。2（2）若 x N (m,s 2 ) ，則 Px £ m = Px > m = 1 。2（3）若 x N (m,s 2 ) ，則 x - m N (0,1) 。s（4）若 x N (m,s 2 ) ，則 Pa < x £ b = F (b) - F (a) = F(b - m ) - F( a - m ) 。ss例題選講一、

19、選擇題1、設(shè) X1 , X 2 的密度為 f1 (x), f 2 (x) ，分布函數(shù)為 F1 (x), F2 (x) ，下列結(jié)論正確的是( A)F1 (x) + F2 (x) 為某隨機(jī)變量的分布函數(shù)；(B) f1 (x) + f2 (x) 為某隨機(jī)變量的密度函數(shù)；(C)F1 (x)F2 (x) 為某隨機(jī)變量的分布函數(shù)；(D) f1 (x) f2 (x) 為某隨機(jī)變量的密度函數(shù)。2、設(shè)隨機(jī)變量 X 的密度函數(shù) f (x) 為偶函數(shù)，其分布函數(shù)為 F (x) ，則( A)F (x) 為偶函數(shù)；(B)F (-a) = 2F (a) -1 ；òa1a(C)F (-a) = 1 - ò

20、;0f (x)dx ；(D)F (-a) =-20f (x)dx 。3、設(shè) X N (m,42 ),Y N (m,52 ) ，令 p = PX £ m - 4, q = PY ³ m + 5，則( A) 對(duì)任意實(shí)數(shù) m 都有 p = q ；(B) 對(duì)任意實(shí)數(shù) m 都有 p < q ；(C) 對(duì)個(gè)別 m ，才有 p = q ；(D) 對(duì)任意實(shí)數(shù) m ，都有 p > q 。4、設(shè) X N (m,s 2 ) ，則隨s 的增大，概率 P| X - m |< s ( A) 單調(diào)增大；(B) 單調(diào)減少； (C) 保持不變；(D) 增減不確定。二、填空題1、 設(shè)X N

21、(m,s 2 ),方程y 2 + 4 y + X = 0無(wú)實(shí)根的概率為1 ,則m =。22、 設(shè)X B(2, p),Y B(3, p),若PX ³ 1 = 5 ,則PY ³ 1 =。9三、解答題1、有 3 個(gè)盒子，第 1 個(gè)盒子有 4 個(gè)紅球 1 個(gè)黑球，第 2 個(gè)盒子有 3 個(gè)紅球 2 個(gè)黑球，第 3 個(gè)盒子有 2 個(gè)紅 球 3 個(gè)黑球，若任取一個(gè)盒子，從中任取 3 個(gè)求，以 X 表示紅球個(gè)數(shù)。（1）寫處 X 的分布律；（2）求紅球個(gè)數(shù)不少于 2 個(gè)的概率。0, x < -12、設(shè)離散型隨機(jī)變量 X 的分布函數(shù)為 F (x) = 0.3,-1 £ x &l

22、t; 1，求 X 的分布律。0.7,1 £ x < 21, x ³ 2Aex , x < 03、設(shè) X 的分布函數(shù)為 F (x) = B,0 £ x < 1，1- Ae-( x-1), x ³ 1（1）求 A, B ；（2）求密度函數(shù) f (x) ；（3）求 PX > 1。34、設(shè) X U (0,2) ，求隨機(jī)變量 Y = X 2 的概率密度。5、設(shè) X N (0,1) ，且 Y = X 2 ，求隨機(jī)變量 Y 的概率密度。第三章二維隨機(jī)變量及其分布一、基本概念1、聯(lián)合分布函數(shù)設(shè) ( X ,Y ) 為二維隨機(jī)變量，稱 F (x, y

23、) = PX £ x,Y £ y為 ( X ,Y ) 的聯(lián)合分布函數(shù)。2、二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律設(shè) ( X ,Y ) 為二維離散型隨機(jī)變量，稱PX = xi ,Y = y j = pij (i = 1,2,L, m, j = 1,2,L, n)為 ( X ,Y ) 的聯(lián)合分布律，稱nmPX = xi = å pij = pi× (i = 1,2,L, m), PY = y j = å pij = p× j ( j = 1,2,L, n)j =1i=1分別為隨機(jī)變量 X ,Y 的邊際分布律。3 、連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合密度函數(shù) 設(shè)

24、 ( X ,Y ) 為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，若存在 f (x, y) ³ 0 ，使得 xduF (x, y) = PX £ x,Y £ y = ò-¥yò-¥ f (u, v)dv ，稱 f (x, y) 為隨機(jī)變量 ( X ,Y ) 的聯(lián)合密度函數(shù)，稱+¥+¥f X (x) = ò-¥ f (x, y)dy, fY ( y) = ò-¥ f (x, y)dx分別為隨機(jī)變量 X ,Y 的邊際密度函數(shù)?！咀⒔狻柯?lián)合分布函數(shù)的特征有（1） 0 £ F (x, y

25、) £ 1 。 （2） F (x, y) 關(guān)于 x, y 為單調(diào)不減函數(shù)。（3） F (x, y) 關(guān)于 x 或者 y 都是右連續(xù)。（4） F (-¥,-¥) = 0, F (-¥,+¥) = 0, F (+¥,-¥) = 0, F (+¥,+¥) = 1 。二、常見(jiàn)的二維連續(xù)型隨機(jī)變量1、均勻分布設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量 ( X ,Y ) 的聯(lián)合密度為f (x, y) 1 ,(x, y) Î D= A，其中 A 為區(qū)域 D 的面積，稱 ( X ,Y ) 在區(qū)域 D 上服從均勻分布。0, (x, y

26、) Ï D2、正態(tài)分布設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量 ( X ,Y ) 的聯(lián)合密度為1f (x, y) =1exp-1( x - m1 )2 - 2r (x - m1 )( y - m2 ) + ( y - m2 )2 則稱 ( X ,Y ) 服2ps1s 21 - r 22(1 - r 2 )ss1s 2s 2從二維正態(tài)分布，記為 ( X ,Y ) N (m , m,s 2 ,s 2 , r ) ，其中s> 0,s> 0 。121212【注解】若 ( X ,Y ) N (m , m,s 2 ,s 2 , r ) ，則 X N (m ,s 2 ),Y N (m,s 2 ) 。121

27、21122二、隨機(jī)變量的條件分布與隨機(jī)變量的獨(dú)立性（一）二維離散型隨機(jī)變量的條件分布1、設(shè) PY = y j > 0 ，在事件Y = y j 發(fā)生的情況下，事件X = xi 發(fā)生的條件概率為PX = xi | Y = y j =pij p× j(i = 1,2,L) ；2、設(shè) PX = xi > 0 ，在事件X = xi 發(fā)生的情況下，事件Y = y j 發(fā)生的條件概率為PY = y j | X = xi =（二）二維連續(xù)型隨機(jī)變量的條件密度pij pi×( j = 1,2,L) 。f (x, y)1、設(shè) fY ( y) > 0 ，則在“ Y = y ”的

28、條件下， X 的條件概率密度為 f X |Y (x | y) =。fY ( y)f (x, y)2、設(shè) f X (x) > 0 ，則在“ X = x ”的條件下， Y 的條件概率密度為 fY |X ( y | x) =。f X (x)（三）隨機(jī)變量的獨(dú)立性1、定義設(shè) ( X ,Y ) 為二維隨機(jī)變量，若對(duì)任意的 x, y 都有 F (x, y) = FX (x)FY ( y) ， 稱隨機(jī)變量 X ,Y 相互獨(dú)立。2、獨(dú)立的充分必要條件（1）離散型隨機(jī)變量設(shè) ( X ,Y ) 為二維離散型隨機(jī)變量，則 X ,Y 相互獨(dú)立的充要條件是pij = pi. ´ p. j (i = 1,

29、2,L; j = 1,2,L 。（2）連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè) ( X ,Y ) 為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，則 X ,Y 相互獨(dú)立的充要條件是f (x, y) =f X (x) fY ( y) （可以除去有限個(gè)點(diǎn)）?！咀⒔狻咳?( X ,Y ) 為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，求 ( X ,Y ) 的分布或數(shù)字特征時(shí)常需要使用聯(lián)合密度函數(shù)f (x, y) ，一般有如下三種情況：（1）題中直接給出 f (x, y) （若其中含參數(shù)，用歸一性求出）。（2） X ,Y 服從的分布已知且 X ,Y 獨(dú)立，則 f (x, y) =f X (x) fY ( y) 。（3） X 的邊緣分布已知，且 Y 的條件密度已知，則 f (

30、x, y) =f X (x) fY | X ( y | x) 。三、隨機(jī)變量函數(shù)的分布已知 ( X ,Y ) 的分布， Z = j( X ,Y ) ，關(guān)于 Z 的分布有以下幾種情形：情形一：設(shè) ( X ,Y ) 為離散型隨機(jī)變量， Z = j( X ,Y ) ，則 Z 為離散型隨機(jī)變量，求出其可能取值及對(duì)應(yīng)的 概率即可。情形二： ( X ,Y ) 為連續(xù)型隨機(jī)變量， Z = j( X ,Y ) ，其中 j 為連續(xù)函數(shù)，則 Z 為連續(xù)型隨機(jī)變量，可用分 布函數(shù)定義求 Z 的分布。情形三： X ,Y 中一個(gè)為連續(xù)型隨機(jī)變量，一個(gè)為離散型隨機(jī)變量，求 Z = j( X ,Y ) 的分布例題選講一、選

31、擇題1、設(shè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量 X ,Y 分別服從 N (0,1) 及 N (1,1) ，則( A)PX + Y £ 0 = 1 ；2(B)PX + Y £ 1 = 1 ；2(C)PX - Y £ 0 = 1 ；2(D)PX - Y £ 1 = 1 。2二、填空題1 、 設(shè)X ,Y為 兩 個(gè) 隨 機(jī) 變 量 ， 且PX ³ 0,Y ³ 0 = 3 , PX ³ 0 = PY ³ 0 = 4 ， 則77Pmax(X ,Y ) ³ 0 =。三、解答題1、袋中有 10 個(gè)大小相同的球，其中 6 個(gè)紅球 4 個(gè)白球

32、，隨機(jī)抽取 2 個(gè)，每次抽取 1 個(gè)，定義如下兩個(gè)隨機(jī)1, 第1次抽到紅球1, 第2次抽到紅球變量： X = ,Y = , 第1次抽到白球，, 第2次抽到白球00就下列兩種情況，求 ( X ,Y ) 的聯(lián)合分布律：（1）每次抽取后放回；（2）每次抽取后不放回。Ae-( x+2 y ) , x > 0, y > 02、設(shè) ( X ,Y ) 的聯(lián)合密度為 f (x, y) = ，求0, 其他（1）常數(shù) A ；（2） ( X ,Y ) 的分布函數(shù)；（3） Z = X + 2Y 的分布函數(shù)；（4） PX + 2Y £ 1及PX < Y。3、設(shè)隨機(jī)變量 X E(l) ，求隨機(jī)

33、變量 Y = minX ,2 的分布函數(shù)。4、設(shè) X E(l1 ),Y E(l2 ) 且 X ,Y 獨(dú)立。（1）設(shè) Z = maxX ,Y，求 Z 的密度函數(shù)。 （2） Z = minX ,Y，求 Z 的密度函數(shù)。第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征一、數(shù)學(xué)期望及其性質(zhì)（一）數(shù)學(xué)期望的定義¥1、離散型數(shù)學(xué)期望設(shè) X 的分布律為 PX = xk = pk (k = 1,2,L) ，則 EX = å xk pk 。k =12、連續(xù)型數(shù)學(xué)期望設(shè) X 的概率密度為 f (x) ，則其數(shù)學(xué)期望為+¥EX = ò-¥ xf (x)dx 。3、二維離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期

34、望設(shè)離散型隨機(jī)變量 ( X ,Y ) 的聯(lián)合分布律為PX = xi ,Y = y j = pij (i = 1,2,L; j = 1,2,L) ， Z = ( X ,Y ) ，則¥ ¥EZ = ååj(xi , y j ) pij 。i=1j =14、二維連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量 ( X ,Y ) 的密度為 f (x, y) ， Z = ( X ,Y ) ，則+¥+¥EZ = ò-¥ dxò-¥ j(x, y) f (x, y)dy 。（二）數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)1、 E(C) =

35、C 。2、 E(kX ) = kEX 。3、 E( X + Y ) = EX + EY 。4、 E(aX + bY ) = aEX + bEY 。5、若隨機(jī)變量 X ,Y 相互獨(dú)立，則 E( XY ) = EX × EY 。二、方差的定義及性質(zhì)（一）方差的定義 DX = E( X - EX )2 。（二）方差的計(jì)算公式 DX = EX 2 - (EX )2 。（三）方差的性質(zhì)1、 D(C) = 0 。2、 D(kX ) = k 2 DX 。3、設(shè)隨機(jī)變量 X ,Y 相互獨(dú)立，則 D( X + Y ) = DX + DY，D(aX + bY ) = a2 DX + b2 DY 。三、常

36、見(jiàn)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差1、二項(xiàng)分布： X B(n, p), EX = np, DX = npq 。2、泊松分布： X p (l), EX = DX = l 。3、均勻分布： X U (a,b), EX =a + b2, DX =(b - a)2。124、正態(tài)分布： X N (m,s 2 ), EX = m, DX = s 2 。四、協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)（一）定義1、協(xié)方差 Cov( X ,Y ) = E( X - EX )(Y - EY ) 。 DXDY2、相關(guān)系數(shù) r XY =cov( X ,Y )，若 r XY= 0 ，稱隨機(jī)變量 X ,Y 不相關(guān)。（二）協(xié)方差的計(jì)算公式： Cov( X

37、,Y ) = E( XY ) - EX × EY（二）性質(zhì)1、 Cov( X , X ) = DX 。2、若 X ,Y 獨(dú)立，則 Cov( X ,Y ) = 0 。3、 Cov( X ,Y ) = Cov(Y , X ) ，4、 Cov(aX , bY ) = abCov( X ,Y ) 。5、 Cov(aX + bY , Z ) = aCov( X , Z ) + bCov(Y , Z ) 。6、 D( X + Y ) = DX + DY + 2Cov( X ,Y ) 。例題選講一、填空題1、設(shè)隨機(jī)變量 X ,Y 相互獨(dú)立，且 DX = 3, DY = 2 ，則 D(3X - 2Y

38、 ) =。2、隨機(jī)變量 X E(l) ，則 PX >DX =。3、設(shè) X ,Y 獨(dú)立同分布，且都服從 N (0, 1 ) ，則 E | X - Y |=, D | X - Y |=。24、設(shè) X 表示 10 次獨(dú)立重復(fù)射擊命中目標(biāo)的次數(shù)，每次射擊命中概率為 0.4 ，則 EX 2 =。125、設(shè)隨機(jī)變量 X 的密度為 f (x) =e- x +2 x-1 ，則 EX =p, DX =。6、設(shè)隨機(jī)變量 X 服從參數(shù)為 l 的泊松分布，且 E( X -1)( X - 2) = 1，則 l =。二、解答題0,Y £ k1、設(shè) Y E(1) ， Xk = 1,Y > k(k =

39、1,2) ，（1）求 ( X1 , X 2 ) 的聯(lián)合分布律；（2） E( X1 + X 2 ) 。-101 01 2、設(shè) X與Y的概率分布為X 111 ,Y 11 ，且 PXY = 0 = 1 ， 424 22 （1）求 X ,Y 的聯(lián)合分布律；（2）問(wèn) X ,Y 是否相互獨(dú)立？為什么？-1,U £ -1-1,U £ 13、設(shè)U U-2,2, X = 1,U > -1,Y = ，求1,U > 1（1） X ,Y 的聯(lián)合分布律；（2） D( X + Y ) 。4、試驗(yàn)成功的概率為3 ，失敗的概率為 1 ，獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)直到成功 2 次為止，以 X 表示所需要進(jìn)行的

40、試44驗(yàn)次數(shù)，求 X 的概率分布與數(shù)學(xué)期望。1 cos x ,0 £ x £ pp5、設(shè) X 的密度函數(shù)為 f (x) = 22，對(duì) X 獨(dú)立重復(fù)觀察 4 次，Y 表示觀察值大于的次數(shù)，0, 其他 3求 EY 2 。第五章大數(shù)定律與中心極限定理一、車比雪夫不等式設(shè)隨機(jī)變量 X 的方差存在，則對(duì)任意的 e > 0 ，有P| X - EX |³ e £ DX ，或者 P| X - EX |< e ³ 1- DX 。e 2e 2二、大數(shù)定律1、（車比雪夫大數(shù)定律）設(shè)隨機(jī)變量 X1 , X 2 ,L, X n ,L相互獨(dú)立， DXi 存在且

41、 DXi £ M 0 (i = 1,2,L) ，則å1 n對(duì)任意的 e > 0 ，有 lim P|X inn1- å EXi|< e = 1 。®¥n i=1n i=12、（獨(dú)立同分布）設(shè) X1 , X 2 ,L, Xn ,L獨(dú)立同分布，且 EXi = m, DXi = s2 (i = 1,2,L) ，則對(duì)任意的 e > 0 ，å1 n有 lim P|X in- m |< e = 1 。®¥n i=13、（貝努利大數(shù)定律）設(shè) X1 , X 2 ,L, Xn ,L 獨(dú)立同分布于參數(shù)為 p 的

42、0 -1 分布，則對(duì)任意的 e > 0 ，有å1 nlim P|X in- p |< e = 1 。®¥n i=14、（辛欽大數(shù)定律）設(shè) X1 , X 2 ,L, Xn ,L獨(dú)立同分布，且 EXi = m ，則對(duì)任意的 e > 0 ，有å1 nlim P|X in- m |< e = 1 。三、中心極限定理®¥n i=11 、（ Levy-Lindberg 中心極限定理）設(shè)隨機(jī)變量序列 X1 , X 2 ,L, Xn ,L獨(dú)立同分布，且 EXi= m, DXi= s 2 (i = 1,2,L) ，則對(duì)任意實(shí)數(shù)

43、x ，有nå X i - nmlim P i=1 £ x =1t 2x -e 2 dt 。n®¥ns2p ò-¥2、（拉普拉斯中心極限定理）設(shè) X n B(n, p)(0 < p < 1)(n = 1,2,L) ，則對(duì)任意實(shí)數(shù) x ，有l(wèi)im Pn®¥X n - np np(1- p)£ x = 1 2pt 2òx -e 2 dt 。-¥例題選講1、設(shè)隨機(jī)變量 X E(5) ，用車比雪夫不等式估計(jì) P | X - 5 |³ 3 £。2、設(shè) X N (0,

44、42 ),Y (2,52 ) ，且 X ,Y 相互獨(dú)立，用車比雪夫不等式估計(jì) P| X + Y - 2 |< 4 ³。第六章數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本概念一、基本概念1、總體被研究對(duì)象某指標(biāo)的所有可能結(jié)果稱為總體。2、簡(jiǎn)單樣本及樣本觀察值設(shè)總體為 X ，則來(lái)自總體 X 的 n 個(gè)相互獨(dú)立且與總體 X 同分布的隨機(jī)變量X1 , X 2 ,L, X n 稱為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，樣本 X1 , X 2 ,L, X n 的觀察值 x1 , x2 ,L, xn 稱為樣本觀察值。3、統(tǒng)計(jì)量樣本的無(wú)參函數(shù)稱為統(tǒng)計(jì)量。二、樣本常用數(shù)字特征設(shè) X1 , X 2 ,L, X n 為來(lái)自總體 X 的簡(jiǎn)單樣本，則1 n1

45、、樣本均值 X =å X i 。n i=12、樣本方差 S 2n 11n -2=å( X i - X ) 。i=11 nk3、樣本的 k 階原點(diǎn)矩 Ak =å X i , k = 1,2,L 。n i=11 n24、樣本的 k 階中心矩 Bk =å( X i - X )n i=1, k = 1,2,L 。三、常用的抽樣分布1、 c 2 分布（ 1 ）定義 設(shè)隨機(jī)變量 X1 , X 2 ,L, X n 相互獨(dú)立且都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則稱隨機(jī)變量 2222222c = X1+ X 2 +L+ X n 為服從自由度為 n 的 c 分布，記為 c c (n) 。

46、（2）性質(zhì)：1）設(shè) X c 2 (n) ，則 EX = n, DX = 2n ；2）設(shè) X c 2 (m),Y c 2 (n) ，且 X ,Y 相互獨(dú)立，則 X + Y c 2 (m + n) 。2、 t 分布設(shè)隨機(jī)變量 X N (0,1),Y c 2 (n) ，且 X ,Y 相互獨(dú)立，則稱隨機(jī)變量 t = X 為服從自由度為 n 的 t 分Y / n布，記為 t t(n) 。3、 F 分布（1）定義設(shè)隨機(jī)變量 X c 2 (m),Y c 2 (n) ，且 X ,Y 相互獨(dú)立，則稱隨機(jī)變量 F = X / m 為服從自由Y / n度為 m, n 的 F 分布，記為 F F (m, n) 。（2

47、）性質(zhì)設(shè) F F (m, n) ，則 1F F (n, m) 。四、一個(gè)正態(tài)總體下幾個(gè)常用的統(tǒng)計(jì)分布設(shè)總體 X N (m,s 2 ) ， X1 , X2 ,L, X n是來(lái)自正態(tài)總體 X 的簡(jiǎn)單樣本，則s 2X - mX - m1、 X N (m,), N (0,1) 。2、 t(n -1) 。ns /ns /nn2n 1 3、( X - X )2 = (n -1)S c 2 (n -1) 。4、 1 ( X - m)2 c 2 (n) 。sss2 åi2i=12 åii=15、 ES 2 = s 2 。6、 X 與 S 2 獨(dú)立。例題選講1、設(shè) X1 , X 2 ,L,

48、X n 是來(lái)自正態(tài)總體 N (m,s2 ) 的簡(jiǎn)單樣本，記1n 1 n 2S2221 =å( X i - X )n -1 i=1, S2=å( X i - X ) ，n i=11n1 nS2422 =3n -å( X i - m)1i=1, S 2=å( X i - m) ，n i=1則服從自由度為 n -1的 t 分布的統(tǒng)計(jì)量是( A) X - m ；(B) X - m ；(C) X - m ；(D) X - m 。2S1 /n -1S2 /n -1S3 /nS4 /n22、設(shè) X1 , X 2 , X 3 , X 4 是來(lái)自正態(tài)總體 X N (0,4) 的簡(jiǎn)單樣本，且U = a( X1 - 2 X 2 )+ b(3X 3 - 4 X 4 ) 服