詳解數(shù)列求和的方法典型例題

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載詳解數(shù)列求和的常用方法數(shù)列求和是數(shù)列的重要內(nèi)容之一， 除了等差數(shù)列和等比數(shù)列有求和公式外， 大部分?jǐn)?shù)列的求和都需要一定的技巧。第一類：公式法利用下列常用求和公式求和是數(shù)列求和的最基本最重要的方法。1、等差數(shù)列的前n 項(xiàng)和公式n( a1an )na1n(n1)dSn222、等比數(shù)列的前n 項(xiàng)和公式na1 (q1)Sna1 (1 qn ) a1an q(q 1)1q1q3、常用幾個數(shù)列的求和公式n1 n(n 1)（ 1）、 Snk 1 2 3nk12n222221(1)(21)（ 2）、Snk123nnn nk16nk3132333n 3 1 n(n1) 2（ 3）、 Snk12第

2、二類：乘公比錯項(xiàng)相減（等差等比）這種方法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n 項(xiàng)和公式時所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列 anbn 的前 n 項(xiàng)和，其中 an ， bn 分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列。例 1：求數(shù)列 nq n 1 ( q 為常數(shù) )的前 n 項(xiàng)和。解：、若 q =0 ， 則 Sn =0、若q=1，則1( 1)12 3nn nSn、若 q 0 且 q 1，2則 Sn12q 3q2nq n 1學(xué)習(xí)必備歡迎下載qSnq2q 2 3q3nq n式式： (1q) Sn1q q 2q3q n 1nq nSn1 (1 q q 2q 3qn 1nq n )1qSn1q(1q nnq n )11qSn1q nn

3、qn(1q) 21q0(q0)綜上所述： Sn1 n(n1)(q1)21qnnqn(1q) 21(q 0且 q 1)q解析：數(shù)列 nq n 1 是由數(shù)列n與 q n 1 對應(yīng)項(xiàng)的積構(gòu)成的， 此類型的才適應(yīng)錯位相減，（課本中的的等比數(shù)列前n 項(xiàng)和公式就是用這種方法推導(dǎo)出來的），但要注意應(yīng)按以上三種情況進(jìn)行分類討論，最后再綜合成三種情況。第三類：裂項(xiàng)相消法這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用。裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)（通項(xiàng)）分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的通項(xiàng)分解（裂項(xiàng)）如：1、乘積形式，如：（ 1）、 an111n(n1)nn 1（ 2）、 an(2n(2n) 2

4、1)11 (11)1)( 2n2 2n 12n1（ 3）、 an1111n(n1)( n2)n( n1)(n 1)(n22)（4）、n 212(n 1) n 111,則 Sn 11an2nn(n1)2nn2n 1(n1)2n(n 1) 2nn(n 1)學(xué)習(xí)必備歡迎下載2、根式形式，如：an1n1n1nn例 2：求數(shù)列1，1，1，1，的前 n 項(xiàng)和 Sn1234n(n231)解：111=n1n(n1)nSn11111112233n n1Sn11n1例 3：求數(shù)列1，1，15，1，的前 n 項(xiàng)和 Sn13243n(n2)解：由于：11(11）n(n2)=nn22則： Sn1 (11) (1 1)(

5、 11 )2324nn 2Sn1 (111n1)22n 12311Sn42n22n42 一樣剩下首尾解析： 要先觀察通項(xiàng)類型，在裂項(xiàng)求和時候，尤其要注意：究竟是像例兩項(xiàng)，還是像例3 一樣剩下四項(xiàng)。第四類：倒序相加法這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前n 項(xiàng)和公式時所用的方法，就是將一個數(shù)列倒過來排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n 個 (a1an ) 。例 4：若函數(shù) f ( x) 對任意xR 都有 f ( x)f (1x) 2 。（ 1） an f ( 0)f (1)f (2)f ( n1)f (1) ，數(shù)列 an 是等差數(shù)列嗎？是nnn證明你的結(jié)論；（ 2）求數(shù)列 1 的的前 n 項(xiàng)和 Tn 。

6、anan1學(xué)習(xí)必備歡迎下載解：（ 1）、 anf (0)f (1)f (2)f ( n 1)f (1) （倒序相加）nnnanf (1)n1n21) f (0)f (n)f ()f (1n12n 2nn101nnnn則，由條件：對任意xR 都有 f (x)f (1x)2 。2an2 2 22 （2 n1）ann1an1n2an 1an1從而：數(shù)列 an 是 a12, d1的等差數(shù)列。（ 2）、1111anan 1 ( n 1)(n 2) n 1 n 2Tn =1111233445（ n1） (n 2)Tn =11111111n2334n 1 n 2 2 n 2 2n 4故： Tn =n42n解

7、析：此類型關(guān)鍵是抓住數(shù)列中與首末兩端等距離的兩項(xiàng)之和相等這一特點(diǎn)來進(jìn)行倒序相加的。此例題不僅利用了倒序相加法， 還利用了裂項(xiàng)相消法。 在數(shù)列問題中， 要學(xué)會靈活應(yīng)用不同的方法加以求解。第五類：分組求和法有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列， 也不是等比數(shù)列， 若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開， 可分為幾個等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可。例 5：求數(shù)列 1+ n 2n 1 的前 n 項(xiàng)和 Snn(n1)解：令 an1bnn2n 1n(n 1)Sn(a1b1 ) (a2b2 ) (a3 b3 )(anbn )Sn(a1a2a3an ) (b1 b2b3bn )學(xué)習(xí)必備歡迎下載Sn(11 11 11

8、1)(122322n 2n 1 )2233nn 1Sn(1n1)(122322n 2n 1 )1令 Tn122322n 2n 12Tn2222323n 2n式式： (1 2)Tn12 2 2232n1n2nTn(1222232n 1n 2n )Tn12 nn2n)(21Tn(n1)2 n1故： Sn(11) ( n 1) 2n1 21(n 1) 2nn11n ) 2 的前 n 項(xiàng)和 Snn 1例 6：求數(shù)列 (x nx分析：將 an(x n1 ) 2 用完全平方和公式展開，再將其分為幾個數(shù)列的和進(jìn)行求解。1x n11 211an(xn2( xn)22 xn= x2 n22 n2 (2 n解：x

9、 n )=x n( xn )x2 n = xx )Sn x212 x414 x2n12n2 ( )2 ( )2 ( )xxxSn( x2x 4x 2n ) (2 22) ( 1)2(1)4( 1 ) 2n xxx（首項(xiàng) x 2 ，公比 x 2 等比數(shù)列）（常數(shù)列）（首項(xiàng) (1)2 ，公比 (1) 2 等比數(shù)列）xx、令 Tnx2x 4x2 n x 1時， Tnx2x 4x2n = 1 11 n x 1 時， Tnx 2x4x 2nx2x2nx 2x 2n 2x2=x 2x211、令 M n2222n學(xué)習(xí)必備歡迎下載、令 Gn(1)2(1) 4(1) 2nxxx x 1時， Gn( 1)2(1)

10、4( 1 ) 2n1 11nxxx x 1 時， Gn(1)2(1) 4(1 ) 2nxxx( 1)2( 1) 2n(1)211x2n 2x2= xx1x= x2x2 n 2= x2x 2n 21(2x 21x 21)x 2x2xx 2n 2x2x2=x 2( x 2n1)=2x2 n 2x212n x2(x 21)xx=x 2n12n (x21)x綜上所述： x 1時， SnTnM nG nn2n n4n x 1 時， SnTnM nGnx2 n 2x22nx2n1x21x 2n (x 21)這個題，除了注意分組求和外，還要注意分類討論思想的應(yīng)用。第六類：拆項(xiàng)求和法在這類方法中， 我們先研究

11、通項(xiàng)， 通項(xiàng)可以分解成幾個等差或等比數(shù)列的和或差的形式，再代入公式求和。例 7：求數(shù)列9， 99， 999，的前 n 項(xiàng)和 Sn分析：此數(shù)列也既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列啟發(fā)學(xué)生先歸納出通項(xiàng)公式an10 n1 可轉(zhuǎn)化為一個等比數(shù)列與一個常數(shù)列。分別求和后再相加。解：由于：an10n1則： Sn99999S(1011)(10 21)(1031)(10n1)nSn(10110210310 n )(1111)Sn1010 n10n110學(xué)習(xí)必備歡迎下載10n 110Snn9例 8：1111= 1 22 43 8n 2 nSn解：由于： an1n1n2 n2 n則： Sn = (1 23n)1111(482n ) （等差 +等比，利用