數(shù)學(xué)建模論文蒙特卡羅的多服務(wù)臺(tái)和單服務(wù)臺(tái)排隊(duì)系統(tǒng)

1、課程名稱：數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué) 院： 專 業(yè)： 姓 名：學(xué) 號(hào): 指導(dǎo)老師：利用方法模擬單服務(wù)臺(tái)排隊(duì)系統(tǒng)和多服務(wù)臺(tái)排隊(duì)系統(tǒng)摘 要蒙特卡羅方法（Monte Carlo）又稱統(tǒng)計(jì)模擬法隨機(jī)抽樣技術(shù)，是一種隨機(jī)模擬方法，以概率和統(tǒng)計(jì)理論方法為基礎(chǔ)的一種計(jì)算方法，是使用隨機(jī)數(shù)（或更常見的偽隨機(jī)數(shù)）來(lái)解決很多計(jì)算問(wèn)題的方法。將所求解的問(wèn)題同一定的概率模型相聯(lián)系，用電子計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)統(tǒng)計(jì)模擬或抽樣，以獲得問(wèn)題的近似解。本文通過(guò)兩個(gè)具體的服務(wù)機(jī)構(gòu)為例，分別說(shuō)明如何利用蒙特卡洛方法模擬單服務(wù)臺(tái)排隊(duì)系統(tǒng)和多服務(wù)臺(tái)排隊(duì)系統(tǒng)。單服務(wù)臺(tái)排隊(duì)系統(tǒng)（排隊(duì)模型之港口系統(tǒng)）：通過(guò)排隊(duì)論和蒙特卡洛方法解決了生產(chǎn)系統(tǒng)的效率問(wèn)題，通過(guò)

2、對(duì)工具到達(dá)時(shí)間和服務(wù)時(shí)間的計(jì)算機(jī)擬合，將基本模型確定在排隊(duì)模型，通過(guò)對(duì)此基本模型的分析和改進(jìn)，在概率論相關(guān)理論的基礎(chǔ)之上使用計(jì)算機(jī)模擬仿真（蒙特卡洛法）對(duì)生產(chǎn)系統(tǒng)的整個(gè)運(yùn)行過(guò)程進(jìn)行模擬，得出最后的結(jié)論。多服務(wù)臺(tái)排隊(duì)系統(tǒng)（開水供應(yīng)模型）：為了解決水房打水時(shí)的擁擠問(wèn)題。根據(jù)相關(guān)數(shù)據(jù)和假設(shè)推導(dǎo)，最終建立了多服務(wù)窗排隊(duì)M/G/n模型，用極大似然估計(jì)和排隊(duì)論等方法對(duì)其進(jìn)行了求解，并用Matlab軟件對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行了處理和繪圖。用靈敏度分析對(duì)結(jié)果進(jìn)行了驗(yàn)證。本模型比較完美地解決了水房排隊(duì)擁擠問(wèn)題，而且經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的修改，它可以用于很多類似的排隊(duì)問(wèn)題。 關(guān)鍵詞：蒙特卡洛方法，排隊(duì)論，擬合優(yōu)度，泊松流，靈敏度分析。一

3、、問(wèn)題重述港口排隊(duì)系統(tǒng)：一個(gè)帶有船只卸貨設(shè)備的小港口，任何時(shí)間僅能為一艘船只卸貨。船只進(jìn)港是為了卸貨，響鈴兩艘船到達(dá)的時(shí)間間隔在15分鐘到145分鐘變化。一艘船只卸貨的時(shí)間有所卸貨物的類型決定，在15分鐘到90分鐘之間變化。開水供應(yīng)系統(tǒng)：學(xué)院開水房的供水時(shí)間有限，水房面積有限，水管易受水垢堵塞。根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)可知：通暢時(shí)幾乎無(wú)人排隊(duì)，堵塞時(shí)水房十分擁擠。由此可以看出水房設(shè)計(jì)存在問(wèn)題，我們可以把開水房看成是一個(gè)隨即服務(wù)系統(tǒng)，應(yīng)用排隊(duì)論的方法對(duì)系統(tǒng)運(yùn)行狀態(tài)做定量的描述。二、基本假設(shè)港口排隊(duì)系統(tǒng)：通過(guò)對(duì)問(wèn)題的重述，那么，每艘船只在港口的平均時(shí)間和最長(zhǎng)時(shí)間是多少？若一艘船只的等待時(shí)間是從到達(dá)到開始卸貨的

4、時(shí)間，每艘船只的平均等待時(shí)間和最長(zhǎng)等待時(shí)間是多少？卸貨設(shè)備空閑時(shí)間的百分比是多少？船只排隊(duì)最長(zhǎng)的長(zhǎng)度是多少？開水供應(yīng)系統(tǒng)：假設(shè)、顧客流滿足參數(shù)為的Poisson分布，其中為單位時(shí)間到達(dá)的顧客平均數(shù)。每個(gè)顧客所需的服務(wù)時(shí)間相互獨(dú)立，顧客流是無(wú)限的，在觀測(cè)期間平穩(wěn)。假設(shè)、排隊(duì)方式為單一隊(duì)列的等候制，先到先服務(wù)。雖然水房?jī)?nèi)有多個(gè)服務(wù)臺(tái)，每個(gè)服務(wù)臺(tái)都有自己的隊(duì)列，但同時(shí)顧客總是自由轉(zhuǎn)移到最短的隊(duì)列上，不可能出現(xiàn)有顧客排隊(duì)而服務(wù)器空閑的情況。本文最后對(duì)兩種排隊(duì)方式的比較也表明這一假設(shè)是合理的。假設(shè)、水房共有20個(gè)并聯(lián)的服務(wù)臺(tái)（水龍頭），設(shè)每個(gè)服務(wù)臺(tái)的服務(wù)時(shí)間服從某個(gè)相同的分布，t和分別是服務(wù)時(shí)間的均值和

5、均方差，=/ t為偏離系數(shù)。由于鍋爐及輸水管容量的限制，使t依賴于正在進(jìn)行服務(wù)的水龍頭個(gè)數(shù)m，設(shè)此時(shí)平均服務(wù)時(shí)間t(m)。且存在一臨界值 當(dāng)m<= m0 時(shí)，t(m)為常數(shù)t0;m>m0時(shí)，管道中的水便分給 m 個(gè)龍頭流出，從而 t(m)> t0,且 t(m)是 m 的單增函數(shù)。 假設(shè)、污垢的積累與時(shí)間成線性變化，設(shè)為f(x)=kT(k>0,表示污垢積累速率；T為距上次清理污垢時(shí)間間隔。假設(shè)、單位時(shí)間為 10 秒。顯然，假設(shè)、都是合理的，對(duì)假設(shè) 進(jìn)行擬合優(yōu)度檢驗(yàn)，得出假設(shè)也是合理的。三、符號(hào)約定開水供應(yīng)系統(tǒng)用到的符號(hào)和參數(shù)：L 系統(tǒng)內(nèi)顧客數(shù)的期望值；Lq系統(tǒng)內(nèi)排隊(duì)顧客數(shù)

6、的數(shù)學(xué)期望；W 顧客在系統(tǒng)內(nèi)的平均逗留時(shí)間；Wq顧客排隊(duì)等待時(shí)間的期望；P0系統(tǒng)內(nèi)有服務(wù)臺(tái)空閑的概率；=t /n 系統(tǒng)的服務(wù)強(qiáng)度（即用水龍頭的程度）；n 水龍頭的個(gè)數(shù)。Wq的上限值Po的上限值四、問(wèn)題分析港口排隊(duì)系統(tǒng)：排隊(duì)論：排隊(duì)論(Queuing Theory) ，是研究系統(tǒng)隨機(jī)聚散現(xiàn)象和隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)工作過(guò)程的數(shù)學(xué)理論和方法，又稱隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)理論，為運(yùn)籌學(xué)的一個(gè)分支。本題研究的是生產(chǎn)系統(tǒng)的效率問(wèn)題，可以將磨損的工具認(rèn)為顧客，將打磨機(jī)當(dāng)做服務(wù)系統(tǒng)。：較為經(jīng)典的一種排隊(duì)論模式，按照前面的Kendall記號(hào)定義，前面的M代表顧客(工具)到達(dá)時(shí)間服從泊松分布，后面的M則表示服務(wù)時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，1

7、為僅有一個(gè)打磨機(jī)。排隊(duì)論研究的基本問(wèn)題1.排隊(duì)系統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)推斷:即判斷一個(gè)給定的排隊(duì)系統(tǒng)符合于哪種模型，以便根據(jù)排隊(duì)理論進(jìn)行研究。 2.系統(tǒng)性態(tài)問(wèn)題:即研究各種排隊(duì)系統(tǒng)的概率規(guī)律性，主要研究隊(duì)長(zhǎng)分布、等待時(shí)間分布和忙期分布等統(tǒng)計(jì)指標(biāo),包括了瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)兩種情形。3.最優(yōu)化問(wèn)題：即包括最優(yōu)設(shè)計(jì)(靜態(tài)優(yōu)化)，最優(yōu)運(yùn)營(yíng)（動(dòng)態(tài)優(yōu)化）。為了得到一些合理的答案，利用計(jì)算器或可編程計(jì)算器來(lái)模擬港口的活動(dòng)。假定相鄰兩艘船到達(dá)的時(shí)間間隔和每艘船只卸貨的時(shí)間區(qū)間分布，加入兩艘船到達(dá)的時(shí)間間隔可以是15到145之間的任何數(shù)，且這個(gè)區(qū)間內(nèi)的任何整數(shù)等可能的出現(xiàn)。再給出模擬這個(gè)系統(tǒng)的一般算法之間，考慮有5艘傳至的假象情況。

8、對(duì)每艘船只有以下數(shù)據(jù)：船1船2船3船4船5相鄰兩艘船到達(dá)的時(shí)間間隔20301512025卸貨時(shí)間5545607580因?yàn)榇?在時(shí)鐘于t=0分鐘計(jì)時(shí)開始后20分鐘到達(dá)，所以港口卸貨設(shè)備在開始時(shí)空空閑了20分鐘。船1立即開始卸貨，卸貨用時(shí)55分，其間，船2在時(shí)鐘開始計(jì)時(shí)后t=20+30=50分中到達(dá)。在船1與t=20+55=75分鐘卸貨完畢之前，船2不能開始卸貨，這意味著船2在卸貨前必須等待75-50=25分鐘。在船2開始卸貨之前，船2于t=50+15=65分鐘到達(dá)，因?yàn)榇?在t=75分鐘開始卸貨，并且卸貨需45分鐘，所以在船2與t=75+45=120分鐘卸貨完畢之前，船3不能開始卸貨。這樣，船3

9、必須等待120分鐘。船4在t=65+120=185分鐘之前沒有到達(dá)，因此船3已經(jīng)在t=120+60=180分鐘卸貨完畢，港口卸貨設(shè)備空閑185-180=5分鐘，并且，船4到達(dá)后立即卸貨。最后，在船4于t=185+75=260分鐘卸貨完畢之前，船5在t=185+25=210到達(dá)，于是船5在開始卸貨前等待260-210=50分鐘。五、模型的建立和求解港口排隊(duì)系統(tǒng)：對(duì)于問(wèn)題中存在的服務(wù)系統(tǒng)，建立排隊(duì)論模型，在僅能為一艘船通過(guò)是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的模型：所謂模型，就是輸入過(guò)程為泊松流時(shí)，服務(wù)時(shí)間為任意的條件之下的，服務(wù)機(jī)器只有一個(gè)得時(shí)候。對(duì)于模型，服務(wù)時(shí)間T的分布式一般的，（但是要求期望值和方差都存在），其他條

10、件和標(biāo)準(zhǔn)的型相同。為了達(dá)到穩(wěn)態(tài)還是必要的，其中有。單服務(wù)臺(tái)單隊(duì)系統(tǒng) 船只到達(dá)進(jìn)入隊(duì)列服務(wù)臺(tái)接受服務(wù)船只離去單服務(wù)員的排隊(duì)模型設(shè)：（1） 船只到來(lái)間隔時(shí)間服從參數(shù)為0.1的指數(shù)分布（2） 對(duì)船只的服務(wù)時(shí)間服從，上的均勻分布（3） 排隊(duì)按先到先服務(wù)規(guī)則，隊(duì)長(zhǎng)無(wú)限制系統(tǒng)的假設(shè)：（1） 船只源是無(wú)窮的；（2） 排隊(duì)的長(zhǎng)度沒有限制；（3） 到達(dá)系統(tǒng)的船只按先后順序依次進(jìn)入服務(wù)， 即“先到先服務(wù)”。符號(hào)說(shuō)明 w：總等待時(shí)間；ci：第i個(gè)顧客的到達(dá)時(shí)刻；bi：第i個(gè)顧客開始服務(wù)時(shí)刻；ei：第i個(gè)顧客服務(wù)結(jié)束時(shí)刻；xi：第i-1個(gè)顧客與第i個(gè)顧客之間到達(dá)的間隔時(shí)間；yi：對(duì)第i個(gè)顧客的服務(wù)時(shí)間ci=ci-1+

11、 xiei=bi+yibi=max(ci,ei-1)模擬框圖初始化：令i=1，ei-1=0，w=0產(chǎn)生間隔時(shí)間隨機(jī)數(shù)xi參數(shù)為0.1的指數(shù)分布ci=xi , bi=xi 產(chǎn)生服務(wù)時(shí)間隨機(jī)數(shù)yi4,15的均勻分布ei=bi+yi累計(jì)等待時(shí)間：w=w+bi-ci準(zhǔn)備下一次服務(wù)：i=i+1產(chǎn)生間隔時(shí)間隨機(jī)數(shù)xi參數(shù)為0.1的指數(shù)分布ci=ci-1+ xi 確定開始服務(wù)時(shí)間：bi=max(ci,ei-1)bi480YNi=i-1,t=w/i輸出結(jié)果：完成服務(wù)個(gè)數(shù)：m=i 平均等待時(shí)間：t 停止開水供應(yīng)模型：由假設(shè)、可知，若 nm0時(shí),則 n 個(gè)服務(wù)臺(tái)是相互獨(dú)立，服從相同分布，即是一個(gè) M/G/n 型排

12、隊(duì)模型。如果n>m0則相當(dāng)于服務(wù)臺(tái)之間可以相互幫助的服務(wù)系統(tǒng)，平均服務(wù)時(shí)間 t 為正在服務(wù)的服務(wù)臺(tái)數(shù) m 的函數(shù)?？紤]一簡(jiǎn)單情形：當(dāng) m £m0時(shí)，t(m)=t0;當(dāng) m0 m n 時(shí)，t(m)= mm0t0，此時(shí) m個(gè)服務(wù)員以m0mt0的速率進(jìn)行服務(wù)，但總的服務(wù)速率總是m0t0，因此多出的服務(wù)臺(tái)對(duì)系統(tǒng)運(yùn)行狀態(tài)是沒有影響的，即n>m0時(shí)的系統(tǒng)實(shí)際相當(dāng)于M/G/m0的排隊(duì)模型。首先得求出臨界服務(wù)臺(tái)數(shù)m0 ,設(shè)水龍頭及輸出管直徑分別為d1,d2;水的流速為v,從而由m0的含義知： 1 4m0d12v=14d22v （1-2）即m0=d22d12 。由實(shí)際估測(cè)， d1=6.5c

13、m, d2=1.3cm.于是m0>20=n,因此現(xiàn)有的水房系統(tǒng)服從M/G/20的排隊(duì)模型。 p0=i=0n-1(t)2i!+(t)2n!(1-)-1; （1-3） P0=1-1n!1-(t)np0; （1-4） Lq=1-1n!1-(t)np01+22 ; （1-5） Wq=Lq； （1-6）L=Lq+n； （1-7）Wq=L/. （1-8）另外公式中要求r<1,否則系統(tǒng)永遠(yuǎn)不能到穩(wěn)定狀態(tài)，排隊(duì)的人越來(lái)越多，即隊(duì)長(zhǎng)將趨于無(wú)窮大。對(duì)水房系統(tǒng)，l=2.17,n=20, 當(dāng)管道通暢時(shí)，t1=7.58,1=3.45, r=0.8224<1 代入解出:Lq0.292, L=14.97,

14、 Wq=0.134,W=0.134, P0=0.945可見此時(shí)水房?jī)?nèi)為由15人，而水龍頭有20個(gè)，面積有10平方米，幾乎無(wú)人排隊(duì)，不會(huì)產(chǎn)生擁擠現(xiàn)象。這與我觀察的實(shí)際情況相符。根據(jù)假設(shè) ，水垢的積累與時(shí)間成線性遞增變化，f(x)=kT。隨著水垢的積累，服務(wù)時(shí)間相應(yīng)增加。那么處于水房通暢和爆滿這兩個(gè)極端狀態(tài)之間的水房運(yùn)營(yíng)情況又如何呢?下面的模型當(dāng)t2=12.10時(shí),r>1,水房爆滿，進(jìn)一步分析以了解擁擠情況，擁擠原因以及緩解的辦法。六、模型的檢驗(yàn)與評(píng)價(jià)港口排隊(duì)系統(tǒng)：表1 100艘船港口和系統(tǒng)的模擬結(jié)果一艘船呆在港口的平均時(shí)間977978818599一艘船呆在港口的最長(zhǎng)時(shí)間1741211111

15、41140159一艘船的平均等待時(shí)間238591224一艘船的最長(zhǎng)等待時(shí)間994633646893卸貨設(shè)備空閑時(shí)間的百分比0.0670.0790.0930.070.0690.028上圖為一艘船呆在港口的平均時(shí)間上圖為一艘船呆在港口的最長(zhǎng)時(shí)間一艘船的平均等待時(shí)間上圖為一艘船的最長(zhǎng)等待時(shí)間上圖為一艘船的最長(zhǎng)等待時(shí)間以上就是對(duì)港口問(wèn)題的具體分析，其實(shí)港口問(wèn)題還可以從船只的排隊(duì)角度出發(fā)，我們還可以對(duì)多個(gè)港口通行做相應(yīng)的模擬試驗(yàn)，讓船主盡量減少等待時(shí)間且港口卸貨設(shè)備的利用率達(dá)到最高，從而是港口的主人獲得更大的利潤(rùn)。從排隊(duì)角度來(lái)解決問(wèn)題，可以使問(wèn)題的廣度增加，選秘書問(wèn)題就是一個(gè)很典型的例子，可以從排隊(duì)角度

16、解決，如果用我在文章中應(yīng)用的方法來(lái)解決也是可以的， 這僅僅是一個(gè)港口的小問(wèn)題，甚至可以說(shuō)是一個(gè)非常簡(jiǎn)單的問(wèn)題，但是已經(jīng)讓我感覺到了數(shù)學(xué)的美，在老師的引導(dǎo)下慢慢接近一種抽象的美，在寫論文的這幾天中，數(shù)據(jù)的整理和分析是最值得享受的時(shí)刻，在Excel里輸入自己的數(shù)據(jù)，是一種忐忑的感覺，因?yàn)樵谀敲炊嗟臄?shù)據(jù)面前，我真的不知道將會(huì)發(fā)生什么，擬合的過(guò)程就更是有意思了，一次一次的嘗試，一次一次的比較，在這個(gè)過(guò)程中，如果有一點(diǎn)點(diǎn)的進(jìn)步都會(huì)讓我興奮，數(shù)學(xué)建模在生活中處處存在，如果真的能夠掌握這個(gè)本領(lǐng)，生活一定會(huì)變得簡(jiǎn)單而精彩！開水供應(yīng)系統(tǒng)：一、靈敏度分析：由公式（1-3）、（1-4）、（1-5）和（1-8）知，直

17、接影響系統(tǒng)各運(yùn)行指標(biāo)的參數(shù)是n,，t,其中為不可控的參數(shù)，在分析中可以看成不變。 首先，我們討論Lq、Po和服務(wù)時(shí)間t之間的關(guān)系。已知服務(wù)臺(tái)數(shù)n=20,=2.17,=0.5281均是不變的。用Matlab繪出圖1.如下：圖1由上圖可以看出，當(dāng)服務(wù)時(shí)間t>8時(shí)，隨服務(wù)時(shí)間的增加，系統(tǒng)的排隊(duì)顧客迅速增長(zhǎng)，而服務(wù)臺(tái)的空閑率Po快速下降。由此可見，該水房在大部分時(shí)間不擁擠，服務(wù)臺(tái)利用率較小，與實(shí)際觀察相符合。接著，我們繼續(xù)討論服務(wù)強(qiáng)度與Lq、Po之間的關(guān)系。已知t=7.56,.作出圖形變化趨勢(shì)圖2，如下：圖2 服務(wù)臺(tái)數(shù)目n對(duì)Lq、Po的影響 由上圖可知，當(dāng)服務(wù)臺(tái)很少時(shí)（n<m0），將會(huì)產(chǎn)生

18、擁擠現(xiàn)象。當(dāng)服務(wù)臺(tái)個(gè)數(shù)足夠多時(shí)，增加服務(wù)臺(tái)數(shù)量，對(duì)于縮短平均等待隊(duì)長(zhǎng)效果不明顯。二、系統(tǒng)的最優(yōu)化：上面我們只討論了服務(wù)時(shí)間t、服務(wù)臺(tái)數(shù)量n與系統(tǒng)內(nèi)排隊(duì)顧客數(shù)學(xué)期望Lq、系統(tǒng)內(nèi)服務(wù)臺(tái)的空閑概率Po之間的關(guān)系，但是對(duì)于固定的m0,存在Po和Lq之間的合理分配問(wèn)題，顧客流大時(shí)，Po較小，Lq較大。由于沒有給出Lq和Po的相關(guān)數(shù)據(jù)，不能找到Lq和Po的最優(yōu)解?，F(xiàn)在的另外一種方法是:在兩種互相矛盾的度量（平均等待時(shí)間Wq和服務(wù)臺(tái)空閑概率P0)之間取折中值，即對(duì)Wq和P0規(guī)定上限值a和b?，F(xiàn)在討論系統(tǒng)服務(wù)臺(tái)空閑率Po、顧客排隊(duì)等待時(shí)間Wq和服務(wù)臺(tái)數(shù)n之間的關(guān)系。假設(shè)a=0.6,b=0.4,服務(wù)時(shí)間t1=7

19、.58,t2=12.10得到圖3、圖4，如下：圖3圖4從上圖可知，最優(yōu)服務(wù)臺(tái)數(shù)在t1=7.58與t2=12.10兩種情況下分別為：n1 =18, n2=28。因?yàn)轭櫩偷竭_(dá)率在不同時(shí)段內(nèi)是不一樣的，所以我們還得繼續(xù)討論如何安排顧客流問(wèn)題， 如果假定系統(tǒng)中 n 個(gè)隊(duì)列間沒有顧客轉(zhuǎn)移，則每個(gè)隊(duì)列平均到達(dá)率為l / n ，從而成為 n 個(gè) M/G/1 系統(tǒng)，平均服務(wù)時(shí)間 t 不變，l=0.1，仍利用原公式計(jì)算得到多隊(duì)時(shí)系統(tǒng)的運(yùn)行指標(biāo)。得到表 4，如下： 表4 運(yùn)行指標(biāo) 服務(wù)時(shí)間 排隊(duì)方式L=7.58單隊(duì)0.29416.970.1340.945多對(duì)1.43×2048.414.30.998=12

20、.10單隊(duì)32.7354.3715.30.089多對(duì)35.35（每個(gè)子系統(tǒng)）799.0（整個(gè)子系統(tǒng)）353.50.307從上表可以看出，單隊(duì)時(shí)等待隊(duì)長(zhǎng)、等待時(shí)間都比多隊(duì)時(shí)低，而服務(wù)臺(tái)的利用率都比多隊(duì)時(shí)高因而具有明顯優(yōu)越性，因此建立一個(gè)大水房明顯優(yōu)于建立多個(gè)小水房。參考文獻(xiàn)：（1）運(yùn)籌學(xué)教材編寫組編. 運(yùn)籌學(xué). 北京：清華大學(xué)出版社，2008（2）Jerry Banks，John S.Carson，Barry L Nelson 等著. 離散事件系統(tǒng)仿真.北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2007（3）排隊(duì)論模型與蒙特卡洛仿真（4）茆詩(shī)松 周紀(jì)薌. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì). 北京：中國(guó)統(tǒng)計(jì)出版社. 2007 （5）

21、張德豐 等. MATLAB概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)分析. 北京：機(jī)械工業(yè)出版社. 2010（6）姜啟源 謝金星. 數(shù)學(xué)建模案例選集. 北京：高等教育出版社. 2006（7）楊啟帆.數(shù)學(xué)建模案例集. 北京：高等教育出版社. 2006附錄：港口排隊(duì)模型：編程如下：clearcs=100;for j=1:cs w(j)=0; i=1;x(i)=exprnd(10);c(i)=x(i);b(i)=x(i);while b(i)<=480 y(i)=unifrnd(4,15); e(i)=b(i)+y(i); w(j)=w(j)+b(i)-c(i); i=i+1; x(i)=exprnd(10); c(i)

22、=c(i-1)+x(i); b(i)=max(c(i),e(i-1); endi=i-1;t(j)=w(j)/i;m(j)=i;endpt=0;pm=0;for j=1:cs pt=pt+t(j); pm=pm+m(j);endpt=pt/cspm=pm/cs附錄二排隊(duì)論中一個(gè)感興趣的問(wèn)題時(shí)，當(dāng)輸入過(guò)程是Possion流時(shí)，顧客相繼到達(dá)的間隔時(shí)間T服從什么規(guī)律。定理：設(shè)是具有參數(shù)的泊松過(guò)程，即是對(duì)應(yīng)的時(shí)間間隔序列，則隨機(jī)變量是獨(dú)立同分布的，且服從均值為的負(fù)指數(shù)分布，即 。證明 因?yàn)槭荘ossion過(guò)程中第一個(gè)顧客到達(dá)的時(shí)間，所以時(shí)間等價(jià)于內(nèi)沒有顧客到達(dá)。故，進(jìn)而可得所以是服從均值為的負(fù)指數(shù)分布

23、。1、利用Possion過(guò)程的獨(dú)立、平穩(wěn)增量性質(zhì)，得即，故也是服從均值為的負(fù)指數(shù)分布。2、 對(duì)于任意的和有即 ，所以對(duì)任一，它都服從均值為的負(fù)指數(shù)分布。證畢。開水供應(yīng)系統(tǒng)：MATLAB程序：1: 顧客到達(dá)率 l的極大似然估計(jì)程序：x0=zeros(1,66); x1=ones(1,132); x2=2.*ones(1,131); x3=3.*ones(1,110); x4=4.*ones(1,50); x5=5.*ones(1,22); x6=6.*ones(1,10); x7=7.*ones(1,4); x8=8.*ones(1,3); x=x0,x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x

24、8; Lambdahat,Lambdaci=poissfit(x,0.05)結(jié)果為 ：Lambdahat =2.1705 Lambdaci = 2.0448，2.2961 即：l =2.172: 在管道暢通時(shí)，服務(wù)時(shí)間的均值和樣本標(biāo)準(zhǔn)差程序：clear all;x=30 35 35 40 40 40 45 45 50 50 55 60 60 60 . 65 65 65 65 65 65 65 65 65 70 70 70 70 . 75 75 75 75 75 80 80 80 85 85 85 85 85 95 95 95 95 105 105 . 125 125 155 245; x1=m

25、ean(x) x2=std(x)結(jié)果為 ：x1 =75.8000， x2 =34.48403: 在管道堵塞時(shí)，服務(wù)時(shí)間的均值和樣本標(biāo)準(zhǔn)差程序：clear all;x=30 30 40 45 45 45 55 55 55 65 65 70 70 70 75 75 . 75 75 80 85 90 95 95 95 95 100 105 105 110 110 . 125 130 130 130 135 135 140 140 145 145 155 155 . 160 175 185 185 190 200 205 205 215 240 255 . 265 300;x3=mean(x) x4=

26、std(x)結(jié)果為 ：x3 = 120.9091， x4 = 63.85814：Lq、Po和服務(wù)時(shí)間t之間的關(guān)系的程序：t=0:0.1:10;c=20; s1=1; s2=0; b=0.5281;x=2.17*t;p=x./c ; %p為服務(wù)強(qiáng)度。x為(t)d=1; for m=1:19 d=m*d; s1=x.2/d+s1;end c1=20*d; s2=x.2/c1/(1-p); s=s1+s2; p0=1./s ;x1=x.20; %(t22) x2=p0.*x1 ;n=1/c1./(1-p); P0=(1-n.*x2); %P0的表達(dá)式；j1=1./(1-p); j2=p.*j1; b

27、1=(1+b2)/2;Lq=j2.*n.*x2*b1;plot(x,P0),axis(0,14,0,1)hold on;plot(x,Lq,'*'),axis(0,14,0,1.3)legend('Lq和服務(wù)時(shí)間t的關(guān)系','P0和服務(wù)時(shí)間t的關(guān)系',0)5：t1=7.58時(shí)系統(tǒng)服務(wù)臺(tái)空閑率Po、顧客排隊(duì)等待時(shí)間Wq和服務(wù)臺(tái)數(shù)n的關(guān)系的程序：clear all;x=16.445; a=2.17;c=16:1:25 ;s1=1; s2=0; b=0.5281; for i=1:10 p(i)=x/c(i); end for i=1:10 s1(i)=1; d(