構(gòu)造性數(shù)學(xué)及其哲學(xué)意義

1、構(gòu)造性數(shù)學(xué)及其哲學(xué)意義         08-11-03 13:42:00     作者：郝寧湘    編輯：studa0714摘要：本文在介紹了構(gòu)造性數(shù)學(xué)的產(chǎn)生和發(fā)展的基礎(chǔ)上，重點(diǎn)闡述了它的數(shù)學(xué)原則和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，表明了可構(gòu)造性的數(shù)學(xué)底蘊(yùn)。最后通過對構(gòu)造性數(shù)學(xué)產(chǎn)生的原因和其所要達(dá)到的目的的分析，論述了構(gòu)造性數(shù)學(xué)的重大意義，同時(shí)評析了我國學(xué)術(shù)界對它的一些認(rèn)識。關(guān)鍵詞：構(gòu)造性數(shù)學(xué)遞歸函數(shù)可靠性一，構(gòu)造性數(shù)學(xué)的產(chǎn)生與發(fā)展構(gòu)造性數(shù)學(xué)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究

2、的一個(gè)重要領(lǐng)域。它的根本特征就是對可構(gòu)造性的強(qiáng)調(diào)。所謂可構(gòu)造性是指能具體地給出某一對象或者能給出某一對象的計(jì)算方法。即當(dāng)我們把能證實(shí)“存在一個(gè)滿足性質(zhì)”的證明稱為構(gòu)造性的，是指能從這個(gè)證明中具體地給出滿足性質(zhì)的一個(gè)；或者能從此證明中得到一個(gè)機(jī)械的方法，使其經(jīng)有限步驟后即能確定滿足性質(zhì)的這個(gè)來。反之，經(jīng)典數(shù)學(xué)（非構(gòu)造性數(shù)學(xué)）中的純存在性證明被稱之為非構(gòu)造的。非構(gòu)造性證明主要是通過使用反證法來實(shí)現(xiàn)的。人們一般把這種強(qiáng)調(diào)可構(gòu)造性的數(shù)學(xué)稱為構(gòu)造性數(shù)學(xué)。構(gòu)造性數(shù)學(xué)最早起源于一種構(gòu)造性哲學(xué)思想，這種思想可以追溯到康德那里。康德認(rèn)為，數(shù)學(xué)的最終真理性在于數(shù)學(xué)概念可以通過人的智慧構(gòu)造出來。他說：“數(shù)學(xué)必須根據(jù)

3、純粹直觀，在純直觀里它才能夠具體地，然而卻是先天地把它的一切概念提供出來，或者像人們所說的那樣，把這些概念構(gòu)造出來”。又說“數(shù)學(xué)知識是從概念的構(gòu)造得出來的理性知識。構(gòu)造一個(gè)概念，意即先天地提供出來與概念相對應(yīng)的直觀?！保?，第頁）后來，世紀(jì)德國的克羅內(nèi)克進(jìn)一步指出：“上帝創(chuàng)造了整數(shù)，其余都是人做的工作?！敝鲝堊匀粩?shù)與數(shù)學(xué)歸納法是數(shù)學(xué)最根本的和直觀上最可信的出發(fā)點(diǎn)，其它一切數(shù)學(xué)對象都必須能在有限步驟內(nèi)從自然數(shù)中構(gòu)造出來，否則就不能作為數(shù)學(xué)對象。由此克羅內(nèi)克把許多數(shù)學(xué)成果劃到不合法的行列里，如無限集合、純存在性證明等。但由于他批判的多建設(shè)的少，故其思想在當(dāng)時(shí)并未產(chǎn)生很大影響。另外，彭加勒、勒貝格等大

4、數(shù)學(xué)家也都是倡導(dǎo)構(gòu)造性數(shù)學(xué)研究的有名人物。但是，所有這些人提倡的大都只是一種數(shù)學(xué)哲學(xué)的思想，他們實(shí)際的數(shù)學(xué)工作并未嚴(yán)格地遵循自己的哲學(xué)思想。因此，現(xiàn)代意義的構(gòu)造性數(shù)學(xué)應(yīng)以布勞威爾的直覺主義數(shù)學(xué)為開端，迄今，在構(gòu)造性數(shù)學(xué)的研究領(lǐng)域里，由于宗旨、觀點(diǎn)和方法的不同，已經(jīng)形成了一些不同的學(xué)派。最著名的除了布勞威爾的直覺主義數(shù)學(xué)以外，還有希爾伯特的元數(shù)學(xué)、畢曉普等人的構(gòu)造性數(shù)學(xué)以及馬爾科夫的算法論等。布勞威爾的直覺主義數(shù)學(xué)和希爾伯特的元數(shù)學(xué)，我國數(shù)學(xué)哲學(xué)界普遍比較熟悉，故本文不再表述。這里我們僅就后來發(fā)展起來的畢曉普、馬爾科夫的構(gòu)造性數(shù)學(xué)作些簡述。（、第頁）以畢曉普、邁希爾等人為代表的構(gòu)造性數(shù)學(xué)是一個(gè)與

5、早先直覺主義數(shù)學(xué)齊名但又不同于它的新的構(gòu)造性數(shù)學(xué)。他們的構(gòu)造性數(shù)學(xué)研究是在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，用普通邏輯于可編碼的對象和遞歸函數(shù)。他們所關(guān)心的不是數(shù)學(xué)的奠基問題，而是要用構(gòu)造性方法來研究數(shù)學(xué)。他們把構(gòu)造性數(shù)學(xué)看成古典數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，在這個(gè)分支中所討論的對象都要求是可計(jì)算的。以畢曉普的工作為例，他認(rèn)為只證明一個(gè)數(shù)學(xué)對象在邏輯上必然存在是不夠的，還必須擬定一種有限而機(jī)械的辦法把這個(gè)對象構(gòu)造出來。他不用非直觀的概念來重建數(shù)學(xué)，而是從標(biāo)準(zhǔn)的算術(shù)規(guī)則和有理數(shù)出發(fā)，通過避開“理想”觀念并不斷地檢驗(yàn)從直觀生成的對象和定理，逐步地進(jìn)行構(gòu)造，以求得數(shù)學(xué)的可信性。他與布勞威爾不同，他不去全盤地否定康托的集合論，而是把它加

6、以改造，使之具有構(gòu)造的合理性。如確定一個(gè)集合，原來康托的樸素定義只要求給出一個(gè)判別集合中元素的規(guī)則即可，而畢曉普認(rèn)為還應(yīng)要求擬定出一個(gè)辦法來真正構(gòu)造集合的一個(gè)元素并證明集合中兩個(gè)元素是不同的。這樣，則可使康托集合論中的一條最有爭議的公理選擇公理成為完全可以接受的了。他們把經(jīng)典數(shù)學(xué)的基本概念算法化，并從而考慮哪些定理在構(gòu)造意義下仍然成立，哪些定理不能成立以及如何改造等，由此發(fā)展出相當(dāng)大的一部分有價(jià)值的數(shù)學(xué)。年畢曉普的構(gòu)造性分析的出版，標(biāo)志著這一新的構(gòu)造性數(shù)學(xué)的建立，而隨后構(gòu)造性泛函分析的問世，則表明了這一領(lǐng)域的新進(jìn)展。構(gòu)造性數(shù)學(xué)的另一個(gè)新體系是由馬爾科夫、沙寧創(chuàng)建的。他們的構(gòu)造性數(shù)學(xué)研究是以算法

7、概念為基礎(chǔ)的，即把其它一切概念都?xì)w約到算法之上。在馬爾科夫那里，所有的定義都用日常語言表達(dá)，所有引用實(shí)無窮的話都嚴(yán)格地避免，并采用了直覺主義邏輯。他們對構(gòu)造分析學(xué)作了相當(dāng)深入的研究，對于許多數(shù)學(xué)分支的算法化以及制定構(gòu)造邏輯的語義學(xué)都作了很可觀的工作。如他把實(shí)數(shù)定義成一種逐次逼近的算法，實(shí)函數(shù)也就等同于一個(gè)算法。他的正規(guī)算法就是目前少數(shù)幾個(gè)力量最強(qiáng)的精確化的算法概念。以畢曉普、馬爾科夫等人為代表的構(gòu)造性數(shù)學(xué)，是對早先直覺主義數(shù)學(xué)的發(fā)展、揚(yáng)棄。它一方面承繼了直覺主義的基本主張，強(qiáng)調(diào)在構(gòu)造數(shù)學(xué)內(nèi)部要求“證明存在一個(gè)具有性質(zhì)的，必須指出一個(gè)有限的方法來構(gòu)造，以及找出一個(gè)有限的方法來證明具有性質(zhì)”。但另

8、一方面，它又不同于直覺主義數(shù)學(xué)，它不象直覺主義數(shù)學(xué)那樣極端地要把全部數(shù)學(xué)都“構(gòu)造化”，他們只是想從構(gòu)造性的角度建立一門有別于傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的新學(xué)數(shù)學(xué)，因?yàn)樵谒麄兛磥?，從?gòu)造的觀點(diǎn)來研究，對許多老問題都會(huì)有新的見解。他們認(rèn)為構(gòu)造性數(shù)學(xué)和非構(gòu)造性數(shù)學(xué)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的兩大傾向，是可以并行發(fā)展和相互促進(jìn)的。二構(gòu)造性數(shù)學(xué)的原則與基礎(chǔ)如前所述，對可構(gòu)造性的強(qiáng)調(diào)是構(gòu)造性數(shù)學(xué)的根本特征，其實(shí)也可以說，這就是構(gòu)造性數(shù)學(xué)的基本數(shù)學(xué)原則。它要求一個(gè)關(guān)于“存在一個(gè)具有性質(zhì)的的證明”，必須解釋的構(gòu)造是怎樣實(shí)行的。這與通?！凹兇獯嬖谛宰C明”的做法不一樣，在那里，一個(gè)具有性質(zhì)的的存在性是通過采用指出假設(shè)“不存在”就會(huì)導(dǎo)致矛盾的辦法來

9、證明的。從構(gòu)造性的觀點(diǎn)看，后一證明只是表明“不可能不存在”，但是它并未給出尋找的辦法。此外，甚至有了這樣一種辦法，構(gòu)造主義者還必須采取一些附加的構(gòu)造性辦法來證明具有性質(zhì)。因此，僅僅證明如果不具有性質(zhì)就會(huì)導(dǎo)致矛盾是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的。為了充分認(rèn)識構(gòu)造性數(shù)學(xué)與非構(gòu)造數(shù)學(xué)之間的這種戲劇性差別，我們有必要用一個(gè)例子給予說明。如代數(shù)基本定理：任何復(fù)系數(shù)的非常數(shù)多項(xiàng)式至少有一個(gè)復(fù)根。（）對于（）最著名的非構(gòu)造性證明是，假設(shè)不取零值，把劉維爾定理用于的倒數(shù)，得出是常數(shù)，于是是常數(shù)，矛盾，證明完成。從構(gòu)造的觀點(diǎn)看，這里證明的并不是代數(shù)基本定理，而是較弱的命題：不取零值的復(fù)數(shù)上多項(xiàng)式是常項(xiàng)。（）因?yàn)樯鲜鲎C明不能幫助你計(jì)

10、算階多項(xiàng)式的根，它沒有給出多項(xiàng)式求根的方法。但是布勞威爾卻對于首項(xiàng)系數(shù)為的多項(xiàng)式的代數(shù)基本定理給出了一個(gè)構(gòu)造性的證明（證明的大體思路可參見文）。有了這個(gè)證明，就可以求任意階（如階）多項(xiàng)式的根了。應(yīng)該指出，每一個(gè)構(gòu)造性證明也是同一命題的一個(gè)經(jīng)典證明。布勞威爾的證明也是代數(shù)基本定理的一個(gè)經(jīng)典證明。盡管布勞威爾的證明確實(shí)比用劉維爾定理的證明更長，但它也告訴了我們更多的信息。代數(shù)基本定理在構(gòu)造性數(shù)學(xué)中被布勞威爾解釋成：有一個(gè)適用于任何復(fù)系數(shù)的非常數(shù)多項(xiàng)式的有限方法，我們能夠用以計(jì)算的根。以上只是我們例舉的一個(gè)例子，其實(shí)每一個(gè)經(jīng)典定理都是向構(gòu)造性數(shù)學(xué)提出的一個(gè)挑戰(zhàn)：找出一個(gè)構(gòu)造性的說法，并給它以一個(gè)構(gòu)造

11、性的證明。然而在多數(shù)情況下，找出經(jīng)典定理所對應(yīng)的構(gòu)造性內(nèi)容絕非易事。許多經(jīng)典的定理至今也看不出將其進(jìn)行構(gòu)造性改造的途徑，如佐恩引理等。故在構(gòu)造性數(shù)學(xué)內(nèi)部不得不暫時(shí)將這些有意義的經(jīng)典數(shù)學(xué)內(nèi)容排斥在外。但應(yīng)指出，這種排斥并非邏輯的、必然的排斥。另一個(gè)重點(diǎn)問題是構(gòu)造性數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問題。這是一個(gè)涉及構(gòu)造性數(shù)學(xué)的可靠性，以及可構(gòu)造性何以能夠得以實(shí)現(xiàn)的重要問題。對此我們分兩部分來談。首先，我們來看直覺主義數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。眾所周知，直覺主義數(shù)學(xué)是以自然數(shù)理論為其數(shù)學(xué)上的出發(fā)點(diǎn)。因此對于直覺主義數(shù)學(xué)的建構(gòu)來說，首要的問題就是如何依據(jù)構(gòu)造的標(biāo)準(zhǔn)在自然數(shù)的基礎(chǔ)上建立起它的實(shí)數(shù)理論，因?yàn)閷?shí)數(shù)理論是整個(gè)分析學(xué)的基礎(chǔ)

12、。有理數(shù)的構(gòu)建是容易的，只要把有理數(shù)作為整數(shù)對引進(jìn)即可。關(guān)鍵是如何在構(gòu)造意義下給出實(shí)數(shù)和實(shí)數(shù)連續(xù)統(tǒng)的概念。為了構(gòu)造實(shí)數(shù)概念，布勞威爾首先獨(dú)創(chuàng)了“屬種”的概念以取代康托集合概念。所謂屬種就是按照構(gòu)造性的標(biāo)準(zhǔn)重新定義的一種集合：它等同于已構(gòu)成的數(shù)學(xué)對象所可能具有的一種性質(zhì)，依據(jù)這一性質(zhì)，我們可以有效地去確定這些對象是否屬于這一“屬種”。進(jìn)一步布勞威爾引進(jìn)了“選擇序列”的概念：“在任何時(shí)刻，一個(gè)選擇序列系由一個(gè)有窮的節(jié)連同對它的延伸的若干限制組成”。如此，布勞威爾便以“有理數(shù)選擇序列”取代了經(jīng)典分析中的有理數(shù)柯西序列概念，并稱之為“實(shí)數(shù)生成子”。于是構(gòu)造意義下的單個(gè)實(shí)數(shù)就被定義為實(shí)數(shù)生成子的一個(gè)等價(jià)

13、屬種。實(shí)數(shù)連續(xù)統(tǒng)的概念建構(gòu)的比較晚，直到年，布勞威爾才利用“展形”概念巧妙地建構(gòu)了符合構(gòu)造性要求的連續(xù)統(tǒng)概念（具體的建構(gòu)方法可參見第頁）。在那里，每個(gè)可能的選擇序列就是一個(gè)可構(gòu)造意義下的單個(gè)實(shí)數(shù)，而整個(gè)展形就是可構(gòu)造意義下的實(shí)數(shù)連續(xù)統(tǒng)，兩者是同時(shí)構(gòu)造出來的。所謂展形，實(shí)際上也就是一種“自由選擇序列”其中沒有對元素的生成作任何限制，而只是要求這種延伸能按照自然數(shù)的次序進(jìn)行下去。這樣，作為這種自由選擇的結(jié)果就不只是某個(gè)特殊的序列，而是各種可能的序列。實(shí)數(shù)理論的重構(gòu)，為直覺主義數(shù)學(xué)的展開奠定了基礎(chǔ)。至此，或許有人會(huì)認(rèn)為直覺主義數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)已經(jīng)得到圓滿的重構(gòu)和解釋，其實(shí)不然，因?yàn)橹庇X主義者對其一直強(qiáng)調(diào)的

14、“可構(gòu)造性”始終沒有給出一個(gè)明確的解釋。直覺主義者外爾就曾認(rèn)為：“反唯象論的構(gòu)造方法的成功是不可否認(rèn)的。然而它所依據(jù)的最終基礎(chǔ)仍是一個(gè)謎，甚至在數(shù)學(xué)中也是如此。”（，第頁）人們對于什么是“直覺上可構(gòu)造的”這一根本性概念有著不同的理解。如有的構(gòu)造主義者認(rèn)為，真正的數(shù)學(xué)是不應(yīng)包含“否定”概念的，因?yàn)槿魏畏穸ㄐ缘拿}（按布勞威爾、海丁的解釋，命題一就意味著“我們給出了這樣一種構(gòu)造。由證明的構(gòu)造出發(fā)就會(huì)得出矛盾”），都假設(shè)了一個(gè)不可能實(shí)現(xiàn)的構(gòu)造（證明的構(gòu)造）。另外，也有的直覺主義者對前面提到的“自由選擇序列”（展形）提出了懷疑，但不借助這一概念直覺主義的實(shí)數(shù)理論就無法得到重建。之所以人們對什么是直覺上

15、“可構(gòu)造的”沒有一個(gè)統(tǒng)一的認(rèn)識，其原因就在于“可構(gòu)造的”只是一個(gè)不精確的日常用語，因而會(huì)被不同的人作不同的理解。盡管在直覺主義者看來，這一概念是無需解釋的，也是不可解釋的，但在非直覺主義者看來，卻有著進(jìn)一步解釋的必要。這里我們僅簡單地介紹克林的解釋。如所周知，直覺主義概念全部都被歸約為一個(gè)基本概念，這就是“構(gòu)造”。然而直覺主義者只是隱蔽地使用了這個(gè)概念，克林等人的解釋就是要把這種隱蔽的歸約公開化。由于整個(gè)解釋過程繁長，故只給出其結(jié)論（詳見第頁，第頁）?？肆值慕Y(jié)論是：直覺主義的構(gòu)造等同于部分可計(jì)算函數(shù)。進(jìn)一步，按他的解釋，布勞威爾的“自由選擇序列”不過是任意的序列；布勞威爾的函數(shù)則是部分可計(jì)算函

16、數(shù)?？肆种赋?，只有存在相應(yīng)遞歸函數(shù)的公式才能在直覺主義系統(tǒng)內(nèi)證明。由此，直覺主義數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)就被克林歸約到相遞歸函數(shù)或可計(jì)算函數(shù)之上了。另外，哥德爾對構(gòu)造性也作了類似于克林的解釋，不過哥德爾可容許構(gòu)造的類要寬得多，他不是把構(gòu)造等同于可計(jì)算函數(shù)，而是等同于可計(jì)算泛函（第頁）。下面我們再來看看后期構(gòu)造數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。直覺主義數(shù)學(xué)之后的構(gòu)造性數(shù)學(xué)表現(xiàn)出多元的傾向，它們?nèi)菰S的數(shù)學(xué)對象也更寬，采取的構(gòu)造性方案也各有特點(diǎn)。這里我們無意對它們的細(xì)節(jié)進(jìn)行考察，只是想簡要地分析一下各自的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。斯派克是直覺主義數(shù)學(xué)之后較早表現(xiàn)出構(gòu)造性傾向的數(shù)學(xué)家之一，他在年就考察了一類較窄的實(shí)數(shù)，他稱之為原始遞歸實(shí)數(shù)。它以（）的精度來逼近：（附圖）其中、均是原始遞歸函數(shù)。他還考慮了其它各種類型的逼近，如用級數(shù)，（）部分和來逼近。羅賓遜（年）、里斯（年）等后來又給出了更廣一類的實(shí)數(shù)，稱為可計(jì)算實(shí)數(shù)，也是利用遞歸函數(shù)進(jìn)行逼近而得出的。不過為了建立構(gòu)造性分析學(xué)，更主要的是要給出構(gòu)造意義下的函數(shù)乃至泛函的概念。巴拿赫和馬祖爾在年給出了一個(gè)叫可計(jì)算實(shí)變函數(shù)的概念（第頁）。克林也考慮了一類部分可計(jì)算泛涵，這些泛函使每個(gè)函數(shù)都與一相對于可計(jì)算的部分函數(shù)相關(guān)聯(lián)。到了年代，構(gòu)造性數(shù)學(xué)有了一個(gè)大的發(fā)展。首先邁希爾與德克創(chuàng)立和發(fā)展了一種整數(shù)集的遞歸