高考志愿填報數學模型

1、高考志愿填報方法摘 要本文是研究高考填報志愿時如何選擇理想的大學，為考生提供參考。對問題一，綜合考慮本科生培養(yǎng)和研究生培養(yǎng)，自然科學研究和社會科學研究作為反映大學綜合實力的指標，利用層次分析法確定權重，得到每一年一本大學的綜合實力排名。由于每一年的大學排名具有波動性，引入帶有權重的Borda函數法，得到具有穩(wěn)定特征的一本大學排名；引入進步系數，得到具有趨勢特征一本大學排名。對問題二，以大學排名、專業(yè)實力、高考成績和地理位置作為影響考生高考志愿填報的主要因素，利用模糊層次分析法，結合考生自身情況得到各因素的權重，初選目標學校，并建立高校錄取分數預測模型，計算出考生被目標高校錄取的概率，綜合得到考

2、生理想學校排名，為考生提供最理想的高考志愿填報方法。對問題三，考慮到小王有意報考法學專業(yè)，利用模糊AHP方法，得到四個因素的權重。根據高校法學專業(yè)往年在湖北省的錄取分數，預測被錄取的概率。從100%錄取的學校中挑出綜合實力和專業(yè)實力都較好的學校，根據待選學校的各項指標值，得到最理想學校排名。并利用灰色關聯法檢驗第一志愿是否為最滿意學校。由此給出建議：若小王是理科生，建議報考吉林大學-中國政法大學-華中科技大學-中南財經政法大學-湖南大學；若小王是文科生，建議報考武漢大學-中國人民大學-南京大學-中山大學-吉林大學。關鍵詞：Borda函數 進步系數 模糊層次分析法 錄取概率 灰色關聯法 23一、

3、 問題重述高考之后，很多學生開始考慮填報志愿了，而填報志愿的一個重要依據就是大學排名。根據國際研究顯示，優(yōu)秀學生認為大學排名前茅，有益于協(xié)助他們獲得更好的工作機會、更優(yōu)厚的薪資結構和社會地位。各國排名居前的名牌大學和具有特色的新興大學常獲得政府巨額的教育補助和優(yōu)秀學生的青睞。定位不明確并排名居末的大學，其學生來源和優(yōu)秀學生比例則可能逐年下降。大學排名是根據各項科學研究和教學等標準，以英文發(fā)表研究報告和學術論文，針對相關大學在數據、報告、成就、聲望等方面進行數量化評鑒，再通過加權后形成的排序。世界很多教育機構都有針對國內外大學、商學院或MBA的排名，由此產生了一系列的社會和商業(yè)影響。其中，國內大

4、學排名中，影響力較大的是武書連版中國大學排行榜，校友會版中國大學排行榜和網大版中國大學生源排行榜。當前幾大主流世界大學排名分別為上海交通大學世界大學學術排名（ARWU）、QS世界大學排名、英國泰晤士高等教育雜志THE世界大學排名、荷蘭萊頓大學世界大學排名。排名對大學科研教學水平提升、形象推廣與其在與國際合作對象的行銷上，有著深遠的影響。1、 請綜合教學、科研等標準建立模型，給出我國一本院校的大學排名，并與現有排行榜做比較。2、 學生填報高考志愿，除了要考慮大學排名之外，還要參考專業(yè)、高考成績、地理位置等因素。請建立模型幫助學生填報志愿。3、 假設湖北考生小王2015年高考600分，有意報考法律

5、專業(yè)，請利用你的模型給他一些建議。二、 問題分析高考志愿填報的合理性對于考生來說相當重要。當考生在填報志愿的時候，一般綜合考慮學校、專業(yè)、成績等多種因素，權衡各個因素的重要程度，由此來選擇自己滿意的大學。對問題一，由于大學的主要任務是教學和科研，所以這兩方面因素能夠體現出大學的綜合實力。大學的教學主要由本科生培養(yǎng)和研究生培養(yǎng)組成，科研主要由自然科學研究和社會科學研究組成。但是，對于大學來說，教學和科研占據的比重是不同的，所以需要給出合理的權重設置。根據各個大學的教學和科研數據，得到各個大學的總得分，對大學的綜合實力進行排名。但是，這種方法得到的只是每一年新的排名。由于大學的實力處于波動狀態(tài)，若

6、要得到體現大學實力的穩(wěn)定排名值，可對綜合多年的排名數據；若要得到體現具有趨勢的排名，可加入排名變化系數。對問題二，學生填報高考志愿時，一般考慮到大學排名、專業(yè)（包括興趣）、高考成績和地理位置。對于這四個因素，需要知道它們之間的權重大小，從而根據不同考生的不同情況，綜合所有因素，得到大學的綜合理想排名值。對于大學排名和專業(yè)，可根據網上的數據得到排名。對于地理位置，可根據所處地區(qū)的發(fā)展情況和有意愿大學所在位置的發(fā)展情況，來給予不同的值。對于高考成績，考生需要知道被錄取的概率大小。為此，需要預測出今年的錄取分數，并計算錄取概率，為考生提供志愿填報建議。對問題三，考生小王處于湖北省，2015年高考60

7、0分，有意報考法學專業(yè)，因此，相對于其它因素，他更注重于專業(yè)。根據問題二，得到四個因素指標的權重大小。由于他想被法學專業(yè)錄取，因此錄取概率基本為100%，從而大學的錄取概率同樣為100%。因此，可以由被錄取概率縮小有意愿的學校。從挑選出的學校中，根據大學綜合排名、法學排名、地理位置和分數線差，綜合得到挑選學校的綜合理想值。由于第一志愿對于小王來說很重要，因此需要驗證第一志愿是否是他的最滿意學校。三、 模型假設1、 假設近4年來各高校的相對錄取分數沒有受到錄取比例、招生政策的影響；2、 假設近4年來各高校對考生的吸引力沒有發(fā)生較大變化；3、 假設通過網絡獲取的高校信息真實可靠；4、 假設考生不考

8、慮提前批次，且考生所在省市高考志愿采取知分填寫及平行志愿政策。四、 符號說明符號說明第大學的人才培養(yǎng)得分第大學科學研究得分人才培養(yǎng)權重系數科學研究權重系數第大學總得分第年第大學排名前面的個數第大學的第年的排名第大學第年的排名第年到第年的變化率考生實際分數高考今年省控一本線第年的最低錄取差額分數第年的平均錄取差額分數所在省的最低一本線第大學的因素向量值第和大學的關聯度系數（注：其它未提及的符號在文中說明）五、 模型建立與求解51 問題一的求解5.1.1大學綜合實力總得分的計算作為一所大學，主要的任務應該是人才培養(yǎng)和科學研究。而人才培養(yǎng)中可分為對本科生的培養(yǎng)和對研究生的培養(yǎng)；科學研究可分為自然科學

9、研究和社會科學研究。由此，我們可以建立中國大學評價的層次結構圖，以中國大學評價為目標、以人才培養(yǎng)和科學研究為一級指標、以本科生培養(yǎng)、研究生培養(yǎng)、自然科學研究和社會科學研究二級指標，得到如下層次結構圖：大學實力教學科研本科生培養(yǎng)研究生培養(yǎng)自然科學研究社會科學研究圖1 中國大學評價層次圖根據某個大學人才培養(yǎng)得分占據所有大學人才培養(yǎng)總分的比例和各個大學科學研究得分占據所有大學科學研究得分的比例，引入兩個比例的權重系數，然后再乘以被評價的大學教學和科研兩方面的得分，即可得到這個大學的總得分，如下： （1） （2）通過網上查找數據，得到各個大學的本科生培養(yǎng)、研究生培養(yǎng)、自然科學研究和社會科學研究得分，根

10、據專家建議?。?利用式（1）和（2），得到每一年全國所有高校的大學排名。但是，這種排名只考慮了當年的大學綜合排名，只由這一年人才培養(yǎng)和科學研究的質量決定，是當年的一個固定的值?？紤]到大學的排名具有波動性，僅一年的排名并不能體現大學真正的實力，而且對于不同的人，可能考慮大學總體實力的穩(wěn)定狀態(tài)和實力的變化趨勢對大學排名的重要性。因此，我們引入兩種不同的改進方案。5.1.2 反映大學穩(wěn)定實力的排名模型 首先，大學的實力是一個變化的過程，但是總體實力的積淀對于一個大學的知名度有著重要的作用。若某一大學在之前排名靠前，雖然今年由于某些因素造成排名下降，但是學校的整體實力還是靠前的，這將造成大學綜合實力的

11、排名不準確。例如，對于復旦大學，五年內的排名如下：圖2 復旦大學五年的排名由上圖，可以看到，復旦大學五年內的排名十分穩(wěn)定，無波動情況。因此，2015年的大學排名能夠反映出它的綜合實力。但是，對于很對大學，排名情況并不是很理想的一成不變。下圖為中國地質大學（北京）五年內的排名：圖3 中國地質大學（北京）五年的排名從表格中可以看出，從2011年到2013年時，中國地質大學（北京）前四年的排名比較穩(wěn)定，均在九十多名。然而，在2015年，由于某些原因，排名落后。但是，從總體上來看，中國地質大學（北京）的實力排名不低，所以如果從歷史積淀和實力穩(wěn)定性的角度來看，2015年的排名并不能準確地反映中國地質大學

12、（北京）的實力。為此，為了反映大學穩(wěn)定情況下的總體實力，考慮最近4年內的大學排名，引入Borda函數。由于排名年份的不同，對于當前排名的參考價值不同。年份距離2015年越近，綜合排名的參考價值越大。所以，賦予不同年份的Borda值一個權重，綜合得到具有穩(wěn)定性的各個大學的排名。被評價對象的Borda數為： （3）5.1.3 穩(wěn)定排名的求解利用式（3），統(tǒng)計各個年份的排名數據，得到整體的Borda值。利用Borda值的大小，對所有大學進行排名并與之前的排名進行對比：表1 排名穩(wěn)定的學校排名學校變化123456789北京大學浙江大學清華大學上海交通大學復旦大學南京大學武漢大學四川大學中山大學0000

13、00000表2 排名波動較大的學校排名學校變化106116129143153156166171173187199中國地質大學（北京）四川農業(yè)大學沈陽藥科大學成都理工大學南京郵電大學中央民族大學遼寧科技大學湖南科技大學哈爾濱師范大學陜西科技大學溫州大學14-111821-23-172117-27-14-165.1.4 結果分析從表1中，我們可以看到對于排名靠前的學校綜合實力比較穩(wěn)定，因而由Borda函數值得到排名整體基本不變，說明這類大學的教學和科研水平上一直處于平穩(wěn)發(fā)展狀態(tài)。從表2中，我們可以看到排名相對靠后的學校的綜合實力波動性較大，因而由Borda函數值得到的排名與每一年相比差距較大。所以

14、Borda函數得到的排名能夠反映出整體比較穩(wěn)定的排名。5.1.5 反映大學發(fā)展趨勢的排名模型對于某些大學，雖然之前和現在的每一年的排名不高，但是學校的總體實力排名是在不斷上升的，發(fā)展趨勢良好。對于這種大學，綜合實力排名中應體現到它每一年排名上升對于它整體實力的預見作用。若當前的大學具有一定的提升趨勢，四年后的排名應該提升許多，這利于學生選取具有長遠性發(fā)展的大學。為此，引入排名進步系數，加入到原有的排名之中，得到反映大學實力發(fā)展趨勢的綜合實力排名。例如，對于江蘇大學，其四年內的排名為：圖4 江蘇大學四年的排名從上圖中，可以看到，在這四年內，江蘇大學的排名一直在上升，表明它的實力正處于一個不斷上升

15、的階段，具有比較好的發(fā)展前景，在排名上應該有所體現。若采用穩(wěn)定的排名模型，體現不出江蘇大學日益進步的趨勢。而對于西北師范大學，其四年內的排名情況如下：圖5 西北師范大學四年的排名從上圖中，我們可以看出，連續(xù)四年內，西北師范大學的排名一直在下降，表明大學的實力發(fā)展處于下滑狀態(tài)。而2015年的大學排名中并不能體現這一特點。為了在綜合排名中體現大學發(fā)展趨勢的影響，引入大學排名的變化率，得到綜合排名方法， （4）根據2012年到2015年的排名變化，得到三個變化率，對此三個變化率取平均值， （5）由此，得到改進的大學綜合排名方法為： （6）5.1.6 趨勢排名的求解將學校發(fā)展趨勢考慮進去之后，利用式（

16、6）數學模型，可得到各個大學新的排名為：表3 大學排名前30名排名學校排名學校123456789101112131415北京大學浙江大學清華大學上海交通大學復旦大學南京大學武漢大學四川大學中山大學山東大學華中科技大學哈爾濱工業(yè)大學吉林大學南開大學西安交通大學161718192021222324252627282930中國科學技術大學中南大學東南大學中國人民大學廈門大學華南理工大學大連理工大學天津大學同濟大學北京師范大學北京航空航天大學重慶大學蘭州大學西北工業(yè)大學北京理工大學表4 第70-100大學排名排名大學排名大學70717273747576777879808182838485揚州大學河南大

17、學湖南師范大學南京工業(yè)大學福州大學合肥工業(yè)大學華南農業(yè)大學北京郵電大學燕山大學中國礦業(yè)大學（華東）山西大學華北電力大學云南大學湘潭大學中國地質大學（武漢）上海財經大學8687888990919293949596979899100浙江師范大學南京醫(yī)科大學中南財經政法大學河北大學黑龍江大學首都師范大學中國藥科大學廣西大學寧波大學上海師范大學福建師范大學中國石油大學（華東）青島大學長安大學昆明理工大學5.1.7 結果分析將所得到的大學排名與武書連大學排名作比較，我們發(fā)現：1、 表3中大學前30名排名情況與武書連大學排名順序基本一致，說明前30名大學的發(fā)展情況比較穩(wěn)定，教學和學術研究得到平穩(wěn)發(fā)展。2、

18、 表4中第70到100名的大學排名與武書連大學排名順序相比變化較大，基本有所波動，說明這些學校排名雖然靠后，但是有些學校在不斷地進步發(fā)展，排名理應有所上升；有些學校發(fā)展趨勢下降，所以排名跟本年相比有所下降。因此，這種方法得到的大學排名，對于發(fā)展穩(wěn)定的學校排名不會有所影響，而對于有上升或下降趨勢的學校，在排名上能夠有所體現。這種方法得到的大學排名對于考慮學校發(fā)展趨勢因素的人有重要的參考價值。5.2 問題二的模型建立5.2.1高考志愿填報綜合因素分析在填報高考志愿時，許多家長及學生手中都有大量的信息，面對如此眾多的雜亂無章的信息，我們可以考慮以下4個因素：1、 符合自己興趣愛好、具有廣闊前景的專業(yè)

19、如今高校中的專業(yè)可謂琳瑯滿目，要選擇一個適合自己的專業(yè)也并不是一件容易的事情。一般應該從這個專業(yè)將來的就業(yè)情況如何，發(fā)展前景如何，自己是否對該專業(yè)感興趣，自己學習知識的方式是不是適合讀這個專業(yè)。2、 大學的名氣、學術氛圍、學習環(huán)境大學本科的教育仍然是素質教育，一切都僅僅處于打基礎的階段。一個有扎實的基礎且具有高素質的大學畢業(yè)生是很受用人單位的歡迎的。因此就目前的社會需求情況而言，有這樣一種趨勢，即工作單位越來越看重畢業(yè)生的學習，一些名牌大學的畢業(yè)生往往可以得到優(yōu)先錄取的照顧。用人單位往往是看重學校的學風和對學生的整體素質的培養(yǎng)。3、 大學所在的城市的地理位置由于大城市具有各個方面的信息量比較大

20、、綜合素質比較高，生活條件比較優(yōu)越，因此選擇大城市的各大院校作為第一志愿的考生比例近幾年逐年升高，許多大城市里的高校每年錄取的分數逐年攀升。4、 自己所報考學校前幾屆學生被錄取情況要充分考慮該學校以往幾屆在本省在錄取的分數線，以及本省學生對該校感興趣的程度，即考生必須注意當年的高招形式，包括錄取率，本地區(qū)招生計劃中本科的人數和比例，自己志愿中要報考的高校的招生信息等。所以考生在填報志愿時，應充分了解自己所在學校前幾屆各分數段畢業(yè)生被錄取的情況，找到自己相對應的位置，選擇相關的學校和專業(yè)，避免發(fā)生所謂的“撞車”事件，造成不必要的浪費。5.2.2 高考志愿填報定量評價模型如何填報一個既能使自己滿意

21、，又能夠被錄取的高校作為第一志愿，是每個考生所面臨的一個相互關聯、相互制約的眾多因素構成的復雜系統(tǒng)。為此我們采用為解決這類復雜問題提供的一種新的、簡潔的、實用的系統(tǒng)分析方法層次分析法?；谏鲜龇治?，我們建立了高考志愿填報定量評價模型理想中的大學專業(yè)學校名氣地理位置成績學校1學校2學校3學校4學校m圖6 高考志愿定量評價模型示意圖由于考生填報的理想中大學受到多個因素的限制，而對于不同的考生，每種因素的重要程度不同，由此造成了考生選擇理想大學的側重點不同。根據上述的層次結構圖，構造模糊互補判斷矩陣，將所有因素進行兩兩對比，得到相對重要程度以及對應的數值。表5 模糊標度及其含義表標度含義0.10.3

22、0.50.70.9兩個元素相比，后者比前者極端重要兩個元素相比，后者比前者明顯重要兩個元素相比，后者比前者同等重要兩個元素相比，前者比后者明顯重要兩個元素相比，前者比后者極端重要可以看出按上述標度構成的模糊互補判斷矩陣具有以下性質：（1）；（2）；（3）。利用最小方差法計算權重的公式為： （7）由此得到各個因素的權重大小 （8）5.2.3 錄取概率模型對于考生來說，希望得到今年的各個學校的錄取分數的預測值。根據自己的分數和預測分數，來選擇合適的學校。因此，根據往年各個學校的最低錄取分數線和平均錄取分數線，預測得到今年的最低錄取分數和平均錄取分數，并利用考生分數和預測分數，得到錄取概率大小2。觀

23、察近十年高考志愿填報和錄取情況可以發(fā)現，一些學校在志愿填報和錄取時經常出現“大小年”現象，即前一年填報人數多，錄取分數高，后一年填報人數少，錄取分數低的現象。根據這種情況，應選擇偶數個年份的錄取情況來預測今年的錄取分數。將最近四年的最低錄取差額分數和平均錄取差額分數分布取平均數，可得均年最低刦差額分數和均年平均錄取差額分數。由考生實際分數和高考今年省控一本線可得線差為： （9）那么這幾年該校在該省的最低錄取差額分數為 （10）平均錄取差額分數為 （11）對最近幾年的最低錄取差額分數和平均錄取差額分數取代數平均值，得均年最低錄取差額分數為 （12）均年平均錄取差額分數為 （13）將近四年的均年最

24、低錄取差額分數作為今年最低錄取差額分數的估計，將均年平均錄取差額分數作為今年平均錄取差額分數的估計，即估計認為今年的最低錄取為 （14）平均錄取分為 （15）本文假設認為，當考生分數為今年估計的最低錄取分數，即時，被錄取的概率為50%；當考生分數為今年估計的平均錄取分數，即時，被錄取的概率為100%；當考生分數高于估計最低錄取分數，低于估計平均錄取分數，即時，被錄取的概率為 （16）綜上可得，5.2.4 大學綜合理想排名模型由于地理位置是個模糊的概念，所以對它進行量化處理。表6 地理位置量化指標落后地區(qū)二線城市一線城市落后地區(qū)468二線城市224一線城市111由于很大考生考慮到家庭以及未來的就

25、業(yè)，所以如果本省較發(fā)達，很多人愿意留在本??；但如果本省比較落后，很多考生更愿意到發(fā)達地區(qū)去發(fā)展。所以，我們規(guī)定，如果考生處于二線城市，對于該考生來說，本省可以視為一線城市。對于大學，可根據大學的排行榜來確定大學的優(yōu)劣；而對于專業(yè)，可根據此專業(yè)查得對應所有大學的排名。大學排名、專業(yè)排名和地理位置的值都是逆向指標，因此，記為所有數值中的最小值，為第個數值，歸一化數值為 （17） （18）利用式（18），得到大學排名的歸一化值，按照專業(yè)的大學排名,地理位置，以及錄取的概率，由此得到大學的整體理想值： （19）考生可根據計算目標學校的理想值大小確定是否填報該大學，利用理想之大小排序確定志愿填寫的順序。

26、5.3 問題三的求解5.3.1大學整體理想值的求解假若小王是理科生，由題意可知，湖北考生小王有意報考法律專業(yè)，說明相對于其它因素，專業(yè)的因素比較重要。由此，根據模糊標度表，得到模糊互補矩陣：由式（7），得到各個因素的權重大小從權重的大小情況來看，小王更注重專業(yè)和學校。而小王有意報考法律專業(yè)，說明他報考時候興趣在法學專業(yè)上,同時希望被法學專業(yè)錄取。為此，選取學校時候法學專業(yè)的錄取概率盡可能為100%。如果錄取法學的概率為100%，那么被學校錄取的概率也為100%。利用錄取概率模型，預測出2015年各高校在湖北省的錄取分數線和法學專業(yè)錄取分數線，并由此計算出高校錄取概率和法學專業(yè)錄取概率。為了縮小

27、選取范圍，從高校錄取概率和法學錄取概率為100%的所有大學中選取出綜合排名和法學專業(yè)排名均較前的學校：表7 綜合排名法學專業(yè)排名均較前學校學校綜合排名法學排名吉林大學137中南財經政法大學7321華中科技大學1042中國政法大學785湖南大學3329同時，對于小王來說，處于湖北的高校和處于北京的高校的地理位置重要程度相同，均設置為1,；而長沙和長春同樣作為二線城市，但是長春距離武漢的距離相對于長沙來說太遠，因此將吉林大學的地理位置設置為3，而湖南大學設置為2。利用預測得到的2015年專業(yè)錄取平均分，可得到小王分數和專業(yè)錄取平均分之間的分數線差。將大學綜合排名、法學專業(yè)排名、地理位置和分數線差歸

28、一化處理，得：表 8 各項指標歸一化后量值學校綜合排名法學專業(yè)排名地理位置分數線差吉林大學0.5380.4290.3330.830中南財經政法大學0.0960.1431.0000.951華中科技大學0.7000.0711.0000.684中國政法大學0.0900.6001.0000.672湖南大學0.2120.1030.5001.000將四個因素指標的權重大小和各個大學的四個指標值代入式（19），可得到各個大學的整體理想值，并由此對大學選擇進行排序，表9 各大學理想值排名學校理想值排名吉林大學0.4881中國政法大學0.4692華中科技大學0.4463中南財經政法大學0.2934湖南大學0.2

29、7155.3.2基于灰色關聯分析法的風險性檢驗利用模糊AHP方法對學校和專業(yè)較好的學校進行排序之后，得到報考學校排名的先后順序，但是一般第一志愿是比較重要的，所以需要判斷第一志愿是否是最滿意大學。由模糊AHP法構造層次結構關系圖，依據上面的模糊互補矩陣得到準則層和方案層的權重，然后，根據GRAP法給出由準則層中各因素重要度組成的待檢模式向量和由方案層中各因素相對權重構成的特征矩陣，通過關聯度的計算，求出填報志愿方案中滿意度最大的學校。上述層次結構圖給出影響高考填報志愿有效的因素有4個，兼并方案5個，得出的矩陣為：可知，準則層對目標層的權向量為：經過計算得出準則層對目標層的權向量，那么我們將得出因素重要度值構成的待檢模式向量關聯度的計算步驟：1、對作初始化處理(即除以0.35) 2、 兩級最大差和最小值 （20）所以，3、計算灰色關聯系數 （21），表示時刻兩個數列的絕對差、分別為各個時刻的絕對差中最大值與最小值；一般，為分辨系數，一般取由下式計算得關聯度， （22）表 10 各因關聯度2.57331.7242.3862.13982.12由于，可以得出結論：在高考填報志愿時，選擇吉林大學是最滿意的且風險最小。同樣，若小王是文科生，得到理想大學為：表11 理想大學排名（文科）學校排名武漢大學1中國人民大學2南京大學