高一數(shù)學上知識點剖析

1、映射 1.自1999年以來1999年、2000年兩年連續(xù)考查有關映射的問題，對此應予以關注.2.映射作為函數(shù)的基礎，而函數(shù)是歷屆高考中十分重要的一個內容，因此映射的學習必須認真.3.映射知識可以和集合、方程相聯(lián)系，隨著學習內容的增多還可以與排列、組合知識相結合.同時它可以與整式、分式、指數(shù)式、對數(shù)式、三角式等運算相聯(lián)系.核心知識1.對應(1)對應與集合一樣，也是數(shù)學中的原始概念.我們知道，實數(shù)與數(shù)軸上的點，坐標平面內的點與有序實數(shù)對之間都具有對應關系，一個人與他的姓名，某一學生與他的座位，也可以看作對應.對應是兩個集合A與B之間的某種關系.對于A中每一個元素與之對應.(1)B中有唯一元素與之對

2、應.(2)B中有不止一個元素與之對應.(3)B中沒有元素與之對應.同樣，對于B中的每一個元素而言，也有以下三種情況：(4)A中唯一元素與之對應.(5)A中有不止一個元素與之對應.(6)A中沒有元素與之對應.對一般的對應而言，這些情況都是可能發(fā)生的.2.映射映射是一種特殊的對應，學習這一概念時，應注意以下幾點：(1)映射f：AB是由集合A、B以及從A到B的對應法則f所確定.(2)映射f:AB中的兩個集合A、B可以是數(shù)集，也可以是點集或其他集合.再者，集合A、B可以是同一個集合.(3)集合A到集合B的映射f:AB與集合B到集合A的映射f：BA一般說來是不同的.換言之，映射涉及的兩個集合有先后次序.

3、(4)映射f:AB之下，集合A中的任一元素在集合B中都有象，且象是唯一的(簡括之：“都有象；象唯一”).這是映射概念的實質.(5)給定映射f:AB，集合中B中的元素在集合A中可能有一個原象，可能有兩個或多個原象，也可能沒有原象.因此，象集合(即由全體象構成的集合)是B的子集，可記為f(a)aA B3.一一映射一般地，設A、B是兩個集合，f:AB是集合A到集合B的映射，如果在這個映射下，對于集合A中的不同元素，在集合B中有不同的象，而且B中每一個元素都有原象，那么這個映射叫做A到B上的一一映射.定義中有兩個特點：(1)對于集合A中的不同元素，在集合B中不同的象，也就是說不允許“多對一”.(2)集

4、合B中的每一個元素都是集合A的某個元素的象，也就是說，集合B中的每個元素都有原象，B中不允許有剩余的元素.1.關于映射.對映射f:AB的理解，要抓住以下三點：(1)集合A、B及對應法則f是確定的，是一個整體，是一個系統(tǒng)；(2)對應法則是f具有方向性，即強調從集合A到集合B的對應，它與集合B到集合A的對應關系是不同的；(3)對于A中的任一元素a，在B中有唯一元素b與之對應，其要害在“任一”、“唯一”兩詞之上.2.一一映射有兩個特征：(1)對于集合A中的不同元素，在集合B中有不同的象(即不可“多對一”)；(2)集合B中的每一個元素都是集合A中的某個元素的象，即集合B中的每個元素都有原象(亦即不可“

5、B中?！?典型例題例1 下列對應是不是從A到B的映射?(1)AQ，BQ+，f：xx.(2)ABN*，f:xx-2.(3)AxNx2，ByZy0，f:xyx2-2x+1.(4)Axx(0，+)，ByyR，f:xy .解：(1)中，當x0A時，x0 B，即A中的元素0在B中沒有象，故(1)不是映射.(2)中，當x2A時，x-20 B，與(1)類似，(2)也不是映射.(3)中，因為y(x-1)20，所以對任意x，總有y0；又當xN時，x3-2x+1必為整數(shù)，即yZ.所以當xA時，x2-2x+1B，且對A中每一個元素x，在B中都有唯一的y與之對應，故(3)是映射.(4)中，任一個x都有兩個y與之對應，

6、故不是映射.評析 判斷某對應是否為映射，嚴格按照映射定義中所要求的條件進行判斷.例2 若A（x,y）xZ，x2，yN，x+y3，B0，1，2，從A到B的對應關系f(x,y)x+y，說明f是A到B的映射，并畫出對應圖，指出2的原象是什么?解：滿足條件的集合A中的元素共有六個，用列舉法表示為（-1，2），(-1，3)，(-1，1)，(0，1)，(0，2)，(1，1).對應圖為下圖.集合A中的每一元素，集合B中都有唯一的元素與它對應，所以f能構成一個映射.2的原象為(-1，3)，(0，2)，(1，1).例3 (1)已知集合Aa1,a2，Bb1,b2，試問從集合A到集合B的所有不同的映射有多少種?(2

7、)已知集合Aa1,a2，Bb1,b2，b3，試問從集合A到集合B的所有不同的映射有多少種?分析 當所給集合中的元素數(shù)目不大時，可直接用圖示的方法展現(xiàn)所有不同的映射；若不然，可采用分析的方法解之.解：(1)用圖示的方法可以清楚地看到從A到B能建立4種不同的映射(見下圖)(2)分A中元素對應B中同一元素和A中元素對應B中不同元素兩種情形考慮.A中2個元素對應B中相同元素的對應有3個，這時有3種不同的映射；A中2個元素同時對應B中2個不同的元素的對應有6個，這時有6種不同的映射.所以，集合A到集合B的所有不同的映射一共有9種.評析 若集合A有m個元素，集合B有n個元素，則A到B的一切可能的映射共有n

8、m種.例4 已知集合A1,2,3,a，B4,7,b4,b2+3b，其中aN*，bN*.若xA，yB，映射f:AB使B中元素y3x+1和A中元素x對應.求a和b的值.分析 利用原象與象的關系，建立關于a和b的方程組.解：A中元素x對應B中元素y=3x+1，A中元素1的象是4，2的象是7，3的象是10.b410，或b2+3b=10.又 bN*，b2+3b-10=0，解之，得b=2.a的象是b4=16，3a+116，解之，得a=5.評析 正確理解映射的概念，合理處理字母問題是求解本題之關鍵.如果將題設中的集合B換成4,7,13,b4,b2+3b，那么請問a的值是多少?例5 判斷下列映射是不是從A到B

9、的一一映射，并說明理由.(1)A矩形，BR，對應法則f為矩形到它的面積的對應.(2)AR，BR，對應法則f:xykx+b(k0). (3)AR，Byy0，對應法則f:xyx2.分析 一一映射是一種特殊的映射.特殊在哪里?解：(1)這個映射不是一一映射，因為負實數(shù)和零沒有原象.(2)根據(jù)一一映射的定義，所給映射是一一映射.(3)這個映射不是一一映射，因為對于A中的兩個不同元素a和-a(a0)，在B中有相同的象a2.評析 映射f:AB加上兩個條件：A中不同的元素在B中有不同的象，B中任何一個元素都有原象，便形成A到B上的一一映射.例6 已知集合Axx1，Bxx1，試建立一個A到B上的一一映射.分析

10、 本題的困難在于集合A比集合B“多”了一個元素“1”.為突破這個難點，我們不妨先考慮特殊情況.解：考慮兩種特殊情況.(1)若A中元素x N*，則令xyx；(2)若A中元素xN*，則可令xyx+1.因此，A到B上的一個一一映射為：x xA，且x N*時，f：:xyx+1 xA，且xN*時. 評析 從分析到求解是一個先退后進，以退求進的過程，同時也是分解與組合的過程.(2)中用到了無限集合的性質，這是本題求解的又一個關鍵.函數(shù) 考試命題的熱點之一是考查函數(shù)的定義域、值域，并考查學生：(1)能根據(jù)函數(shù)三要素判斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù).(2)理解函數(shù)符號(對應法則)，掌握函數(shù)的三種表示法.(3)會求函

11、數(shù)的定義域及某些函數(shù)的值域.多以選擇題與填空題的形式出現(xiàn)，一般多為容易題與中等題.核心知識1.函數(shù)的定義(1)函數(shù)的傳統(tǒng)定義：設在某變化過程中有兩個變量x、y，如果對于x在某一范圍內的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與它對應，那么就稱y是x的函數(shù)，x叫做自變量.(2)函數(shù)的近代定義：設A，B都是非空的數(shù)的集合，f:xy是從A到B的一個對應法則，那么從A到B的映射f:AB就叫做函數(shù)，記作yf(x)，其中xA，yB，原象集合A叫做函數(shù)f(x)的定義域，象集合C叫做函數(shù)f(x)的值域.上述兩個定義實質上是一致的，只不過傳統(tǒng)定義是從運動變化的觀點出發(fā)，而近代定義是從集合、映射的觀點出發(fā)，側重點不同.

12、函數(shù)實質上是從集合A到集合B的一個特殊的映射，其特殊性在于集合A、B都是非空數(shù)集.自變量的取值集合叫做函數(shù)的定義域，函數(shù)值的集合C叫做函數(shù)的值域.這里應該注意的是，值域C并不一定等于集合B，而只能說C是B的一個子集.2.函數(shù)的三要素定義域A，值域C以及從A到C的對應法則f，稱為函數(shù)的三要素.由于值域可由定義域和對應法則唯一確定，所以也可以說函數(shù)有兩要素：定義域和對應法則.兩個函數(shù)當且僅當定義域與對應法則分別相同時，才是同一函數(shù).例如yx與y 不是同一函數(shù).yx與y 也不是同一函數(shù).而yx與y 是同一函數(shù).3.函數(shù)的對應法則在函數(shù)的三要素中，對應法則是核心.通俗地說，f就是對自變量x進行“操作”

13、的“程序”或“方法”.按照這一“程序”，從定義域集合A中的任一x，可得出值域C中的唯一y與之對應.同一f可以“操作”于不同的變量.如f(x)是對x進行操作，而f(x2)是指對x2進行操作.4.函數(shù)的定義域函數(shù)的定義域是函數(shù)研究的重要內容，在給定函數(shù)的同時應該給定函數(shù)的定義域.一般地，我們規(guī)定，如果不加說明，函數(shù)的定義域就是使函數(shù)的解析式有意義的實數(shù)的集合.據(jù)此，我們就可以“求出”函數(shù)的定義域了.5.求函數(shù)值域的方法求函數(shù)值域是一個相當復雜的問題，常見的方法有(1)圖像法；(2)反解x；(3)配方法；(4)換元法.以后還可用(5)單調性；(6)判別式法等.6.函數(shù)符號yf(x)，它是抽象符號之一

14、，“yf(x)”為“y是x的函數(shù)”這句話的數(shù)學表示，它僅僅是函數(shù)符號，不是表示“y等于f與x的乘積”，f(x)也不一定是解析式；f(a)與f(x)既有區(qū)別又有聯(lián)系，f(a)表示當自變量xa時函數(shù)f(x)的值，是一個常量，而f(x)是自變量x的函數(shù)，在一般情況下，它是一個變量.f(a)是f(x)的一個特殊值.7.函數(shù)的表示方法主要有三種常用的表示方法，即解析法、列表法和圖像法.8.“區(qū)間”與“無窮大”的兩個概念區(qū)間是數(shù)學中常用的術語和符號.必需記住閉區(qū)間、開區(qū)間、半開半閉區(qū)間的符號及其含義.對于a,b，(a,b)，a,b)，(a,b，都稱數(shù)a和數(shù)b為區(qū)間的端點：a為左端點，b為右端點，稱b-a為

15、區(qū)間長度.這樣，某些以實數(shù)為元素的集合就有三種表示法：集合表示法、不等式表示和區(qū)間表示法.無窮大是個符號，不是一個數(shù).關于用-、+作為區(qū)間的一端或兩端的區(qū)間稱為無窮區(qū)間.9.基礎知識圖表1.要正確理解函數(shù)概念應該注意：(1)關于函數(shù)的兩個定義域實質上是一致的.初中定義的出發(fā)點是運動變化的觀點，而高中定義卻是從集合、對應的觀點出發(fā).(2)兩個函數(shù)相同的充要條件是它們的定義域與對應關系分別相同，例如函數(shù)f(x)x，與f(x) 是同一個函數(shù).(3)函數(shù)的核心是對應關系.在函數(shù)符號yf(x)中，f是表示函數(shù)的對應關系，等式y(tǒng)f(x)表明，對于定義域中的任意x，在對應關系f的作用下，可得到y(tǒng)，因此，f是

16、使“對應”得以實現(xiàn)的方法和途徑.函數(shù)符號yf(x)是“y是x的函數(shù)”這句話的數(shù)學表示，它不表示“y等于f與x的乘積”.f(x)可以是解析式，也可以是圖像或數(shù)表.符號f(a)與f(x)既有區(qū)別又有聯(lián)系.f(a)表示當自變量xa時函數(shù)f(x)的值，是一個常量；而f(x)是自變量x的函數(shù)，在一般情況下，它是一個變量.f(a)是f(x)的一個特殊值.2.值域是全體函數(shù)值所組成的集合.在多數(shù)情況下，一旦定義域和對應關系確定，函數(shù)的值域也就隨之確定.典型例題例1 試判斷以下各組函數(shù)中，是否表示同一函數(shù)?(1)f(x) ，g(x) ；(2)f(x) ，g(x) ；(3)f(x) ，g(x)( ) (nN)；

17、(4)f(x) ，g(x) .解：(1)由于f(x) x，而g(x) x.故它們的值域對應法則都不相同，所以它們不是同一函數(shù).(2)由于函數(shù)f(x) 的定義域為R+R-，而g(x) 的定義域為R.故它們不是同一函數(shù).(3)由于當nN+時，2n1為奇數(shù)，f(x) x，g(x)( ) x，它們的定義域、值域及對應法則都相同，所以它們是同一函數(shù).(4)由于函數(shù)f(x) 的定義域為xx0，而g(x) 的定義域為xx-1或x0，它們的定義域不同，所以它們不是同一函數(shù).評析 對于兩個函數(shù)yf(x)和yg(x)當且僅當它們的定義域、值域、對應法則都相同時，yf(x)和yg(x)表示同一函數(shù).也就是說，對兩個

18、函數(shù)來講，只要函數(shù)的三要素當中有一要素不相同，則這兩個函數(shù)就不可能是同一函數(shù).若兩個函數(shù)表示同一函數(shù)時，則它們的圖像完全相同；反之亦然.這些結論都可以作為我們判定兩個函數(shù)是否表示同一函數(shù)的依據(jù).例2 已知f(x) (xR且x-1)，g(x)x2+2（xR）.(1)求f(2)、g(2)的值.(2)求fg(2)的值.(3)求fg(x)的解析式.解：(1)f(2) ，g(2)22+26.(2)fg(2)f(6) .(3)fg(x)f(x2+2) .評析 在解本題時，要理解對應法則“f”和“g”的含義，在求fg(x)時，一般遵循先里后外的原則.例3 已知f(x)的定義域是a,b，求F(x)f(x-1)

19、+f(x+1)的定義域.解：要使F(x)有意義，必須f(x-1)且f(x+1)都有意義，于是有 即 當b-a2時，與的交集a+1，b-1即是F(x)的定義域；當b-a2時，與的交集是空集.此時F(x)無意義.例4 設f(x)是定義在(1，+)上的一個函數(shù)，且有f(x)2f( ) -1，求f(x).分析 欲求f(x)，必須消去已知中的f( )，由方程組中的消元法，不難想到再去尋找一個方程.此事可由x與 的倒數(shù)關系，用 去替換已知式中的x便可得到解：因為f(x)2f( ) -1 用 代換x，又得f( )2f(x) -1 將代入消去f( )，得f(x)4f(x)-2 -1，f(x) + ；又因為x(

20、1，+)，所以 f(x) + ，x(1，+).例5 已知y 的定義域為R，求實數(shù)a的取值范圍.分析 確定a的取值范圍，使之對任意實數(shù)x都有ax2+4ax+30.解：當a0時，ax2+4ax+3=30對任意xR都成立；當a0時，要使二次三項式ax2+4ax+3對任意實數(shù)x恒不為零，必須滿足：其判別式4a(4a-3)0，于是，0a .綜上，a0， ).評析 本題是求函數(shù)的定義域的反問題，即已知函數(shù)的定義域求解析式中所含字母的取值范圍，類似地，可求解下述問題：若函數(shù)y 的定義域是R，求實數(shù)a的取值范圍.例6 已知函數(shù)f(x) 的值域為-1，4，求實數(shù)a、b的值.分析 由函數(shù)的解析式可確定一個含有a、

21、b的值域，比照已知條件，可確定a、b的值.解：設y ，去分母、整理得yx2-ax+y-b=0.y0顯然在函數(shù)的值域-1，4內.若y0時，由于xR，故a2-4y(y-b)0，y2-by- 0 由已知，有-1y4，從而，(y+1)(y-4)0，y2-3y-40， 比較不等式與，得b=3，a216 或 .評析 解決此問題的關鍵在于把求值域的問題與解一元二次不等式的問題聯(lián)系在一起，最后通過比較同解不等式的系數(shù)，求出a、b的值.例7 設二次函數(shù)f(x)滿足f(2+x)f(2-x)，且f(x)0的兩個實根的平方和為10，f(x)的圖像過點(0，3)，求f(x)的解析式.分析 要求的函數(shù)二次函數(shù)，一般可設其

22、為f(x)ax2+bx+c(a0)，然后根據(jù)已知條件求出系數(shù)a,b,c，從而求得該二次函數(shù).由于本題條件f(2+x)=f(2-x)隱含著函數(shù)f(x)的圖像關于直線x=2對稱，故可設函數(shù)f(x)a(x-2)2+k.解：f(2+x)f(2-x)，f(x)的圖像關于直線x=2對稱.于是，設f(x)a(x-2)2+k(a0)，則由f(0)3，可得k3-4a，f(x)a(x-2)2+3-4aax2-4ax+3.ax2-4ax+30的兩實根的平方和為10，10x21+x22(x1+x2)-2x1x2 16- ，a=1.f(x)(x-2)2-1x2-4x+3.評析 解題的過程就是運用已知條件的過程，已知條件

23、要用得能揭露題目的本質(越徹底越好).如果設f(x)ax2+bx+c(a0)，運用條件f(2+x)f(2-x)也能求得b=-4a，但不如采用上述對稱法對問題揭露得徹底.本題解法為待定系數(shù)法，它適用于已知函數(shù)的解析式的類型(例如一次函數(shù)、二次函數(shù)等)及函數(shù)的某些特征求該函數(shù)的問題，關鍵在于快捷地求出待定常數(shù).函數(shù)的定義域的概念和求法 說明1 函數(shù)的定義域： 函數(shù)的表達式已經給出后，其定義域如果沒有指明，那么其定義域應該是使函數(shù)表達式有意義的自變量x的所有允許值的取值范圍。 核心知識規(guī)則1函數(shù)的定義域的概念： 函數(shù)的自變量x的允許值范圍稱為定義域。規(guī)則2 函數(shù)的定義域的求法： 常有以下幾種： 1、

24、自變量不受任何條件約束，則 ，如 。 2、分母不為零，如 ，定義域為 。 3、偶次根號不為非負，如 ，定義域為 。 4、對數(shù)符號后為正，如 ，定義域為 。 5、綜合上述各點，求其交集。 如 ，由 定義域為： 典型例題例1 求函數(shù) 的定義域 解：因為x2時， 都有意義，而x2=0即x=2時， 沒有意義，所以這個函數(shù)的定義域是x|x R，且x2例2 求函數(shù) 的定義域解：因為3x20即x 時， 有意義，而 時， 沒有意義，所以這個函數(shù)的定義域是 例3 求函數(shù) 的定義域解：使 有意義的實數(shù)x的集合是1，使有 意義的實數(shù)x的集合是（，1 ），所以這個函數(shù)的定義域是1， ) （，1=1，1函數(shù)的值域 說明

25、1 函數(shù)的值域，一般來說是一個被動的東西，它依賴于函數(shù)的定義域和函數(shù)的表達式，所以求函數(shù)的值域，主要也就依靠上述兩個因素，采用一些特定的方法來求其值域。核心知識規(guī)則1 函數(shù)值域的概念：函數(shù)值的集合就是函數(shù)的值域規(guī)則2 函數(shù)值域的求法：值域就是函數(shù)值的取值范圍，它雖然由函數(shù)的定義域及對應法則完全確定，但是確定值域仍是較為困難的，常用以下方法求值域。1、配方法：主要用在二次函數(shù)或是通過換元，轉化為二次函數(shù)的函數(shù)。2、判別式法：3、方程法求函數(shù)的值域： 函數(shù) 的值域就是關于x的方程 有屬于A的解的y值的集合。典型例題例1 求二次函數(shù) 的值域。 解： 由于 ， 例2 求函數(shù) 的值域。 解： 令 則 評

26、述：通過換元將無理函數(shù)轉化為二次函數(shù)，然后用配方法求其值域。例3 求函數(shù) 的值域。 解：由原式可得關于x的二次方程 i） 當 時，它的判別式： 得 或 ， 對應 和 的x值分別為 和 。 ii）當 即 時，可得 ，說明自變量取 時， 存在。 故函數(shù)的值域為： 例4 求函數(shù) 的值域。 解：由已知函數(shù)式 可解得， ，（*）要使方程（*）有解，必須： ，即函數(shù)的值域為 。函數(shù)的圖象 說明1 函數(shù)圖象有幾類： 函數(shù)的圖象是函數(shù)的重要性質，它以直觀形象的曲線告訴我們函數(shù)的走勢，是我們應該充分重視的，除了常規(guī)函數(shù)的圖象以外，還應i學些坐標變換下的一般函數(shù)的圖象. 函數(shù)圖象也是函數(shù)表示法之一，它有離散、分段

27、、連續(xù)三類。 o:p designtimesp=15435核心知識規(guī)則1 函數(shù)的圖象： 圖象法： 以表格中的數(shù)對(x，y)為點的坐標描繪出能反映x與y的對應關系的曲線. 正比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖象都是一條直線，二次函數(shù)的圖象是一條平滑的曲線（拋物線），反比例函數(shù)的圖象是兩支平滑的曲線（雙曲線）此外，函數(shù)的圖象也可以是一些點或幾條線段等典型例題例1 某種茶杯，每個5元，買x個茶杯的錢數(shù)（元）f（x）=5x，x N畫出這個函數(shù)的圖象解：這個函數(shù)的圖象由一些點組成，如圖1-2所示圖 1-12例2 在國內投寄外埠平信，每封信不超過20克重付郵資20分，超過20克重而不超過40克重付郵資40分那么，每封

28、x（0x40）克重的信應付郵資（分）畫出這個函數(shù)的圖象解：這個函數(shù)的圖象是兩條線段，如圖1-13所示圖 1-13函數(shù)的單調性和奇偶性 函數(shù)的單調性是函數(shù)的重要性質之一，應用它可以比較函數(shù)值的大小，求函數(shù)的值域、最值；應用它可研究方程根的情況；也可求函數(shù)解析式中參數(shù)的范圍；繪函數(shù)的圖像時，也經常應用它.本節(jié)涉及到了分類討論思想、數(shù)形結構思想、轉化思想等，在學習時認真體會其實質，并加以運用.本節(jié)內容在高考中年年必考，主要考查函數(shù)單調性與奇偶性的判定，單調區(qū)間的求法，以及單調性與奇偶性的綜合題.在命題形式上主要是選擇、填空題，有時也與其它知識結合出解答題.本節(jié)內容是高考重點考查的重要內容，今后也肯定

29、是高考考查的重點內容，它與不等式、三角函數(shù)等知識綜合，考查函數(shù)的概念、圖像性質等，以及綜合運用知識考查分析和解決問題的能力.關鍵是在理解的基礎上，要記準、記熟函數(shù)單調性和奇偶性有關概念和判定方法并能在解題中靈活的加以運用.千萬不要忘記解題時首先要考查定義域.核心知識1.基礎知識圖表2.函數(shù)的單調性如果對于屬于定義域A內某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值x1，x2，當x1x2，都有f(x1)f(x2)，那么就說f(x)在這個區(qū)間上是增函數(shù).如果對于屬于定義域A內某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值x1，x2，當x1x2時，都有f(x1)f(x2)，那么就說f(x)在這個區(qū)間上是減函數(shù).如果函數(shù)f(x)在某

30、個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說f(x)在這一區(qū)間具有(嚴格的)單調性，這一區(qū)間叫做f(x)的單調區(qū)間.函數(shù)的單調性是針對定義域內的某個區(qū)間而言的.例如函數(shù)y 在(-，0)上是減函數(shù)，在(0，+)上也是減函數(shù)，但不能說它在整個定義域即(-，0)(0，+)因為當取x1-1，x21時，對應的函數(shù)值為f(x1)-1，f(x2)1，顯然有x1x2，但f(x1)f(x2)，不滿足減函數(shù)的定義.有些函數(shù)在整個定義域內具有單調性.例如函數(shù)yx就是這樣.有些函數(shù)在定義域內某個區(qū)間上是增函數(shù)，而在另一些區(qū)間上是減函數(shù).例如函數(shù)y=x2在(-，0)是減函數(shù)，在，+)上是增函數(shù).中學階段我們所討論的函數(shù)，只要它們在

31、區(qū)間的端點有定義，那么在考慮單調區(qū)間時，包括端點、不包括端點都可以.函數(shù)的單調性所刻畫的是當自變量變化時其對應的函數(shù)值的變化趨勢，是函數(shù)在區(qū)間上的整體性質，函數(shù)圖像能直觀地顯示函數(shù)的這個性質.在單調區(qū)間上的增函數(shù)，它的圖像是沿x軸正方向逐漸上升的；在單調區(qū)間上的減函數(shù)，它的圖像是沿x軸正方向逐漸下降的.求函數(shù)的單調區(qū)間，必須先求函數(shù)的定義域.討論函數(shù)yf(x)的單調性時要注意兩點：(1)若u(x)，yf（u）在所討論的區(qū)間上都是增函數(shù)或都是減函數(shù)，則yf(x)為增函數(shù)；(2)若u(x)，yf(u)在所討論的區(qū)間上一個是增函數(shù)，另一個是減函數(shù)，則yf(x)為減函數(shù).若函數(shù)f(x)，g(x)在給定

32、的區(qū)間上具有單調性，利用增(減)函數(shù)的定義容易證得，在這個區(qū)間上：(1)函數(shù)f(x)與f(x)+C(C為常數(shù))具有相同的單調性.(2)C0時，函數(shù)f(x)與Cf(x)具有相同的單調性；C0時，函數(shù)f(x)與Cf(x)具有相反的單調性.(3)若f(x)0，則函數(shù)f(x)與 具有相反的單調性.(4)若函數(shù)f(x)，g(x)都是增(減)函數(shù)，則f(x)+g(x)仍是增(減)函數(shù).(5)若f(x)0，g(x)0，且f(x)與g(x)都是增(減)函數(shù)，則f(x)g(x)也是增(減)函數(shù)；若f(x)0，g(x)0，且f(x)與g(x)都是增(減)函數(shù)，則f(x)g(x)是減(增)函數(shù).使用上述結論，可以簡

33、便地求出一些函數(shù)的單調區(qū)間.例如函數(shù)f(x) (x-1)可等價變形為f(x)1- (x-1).由于一次函數(shù)1+x是增函數(shù)，所以當x-1時，函數(shù) 在(-，-1)上是減函數(shù)，在(-1，+)上也是減函數(shù).于是- 在(-，-1)和(-1，+)上均為增函數(shù).故f(x)1- 在(-，-1)和(-1，+)上都是增函數(shù).根據(jù)定義討論(或證明)函數(shù)增減性的一般步驟是：(1)設x1、x2是給定區(qū)間內的任意兩個值且x1x2；(2)作差f(x1)-f(x2)，并將此差化簡、變形；(3)判斷f(x1)-f(x2)的正負，從而證得函數(shù)的增減性.利用函數(shù)的單調性可以把函數(shù)值的大小比較的問題轉化為自變量的大小比較的問題.函數(shù)

34、的單調性只能在函數(shù)的定義域內來討論.這即是說，函數(shù)的單調區(qū)間是其定義域的子集.3.函數(shù)的奇偶性如果對于函數(shù)f(x)的定義域內任意一個x，都有f(-x)-f(x)，那么f(x)叫做奇函數(shù).如果對于函數(shù)f(x)的定義域內任意一個x，都有f(-x)f(x)，那么f(x)叫做偶函數(shù).奇函數(shù)的圖像關于原點對稱；偶函數(shù)的圖像關于y軸對稱.如果函數(shù)f(x)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)，那么就說函數(shù)f(x)具有奇偶性.函數(shù)按是否具有奇偶性可分為四類：奇函數(shù)，偶函數(shù)，既奇且偶函數(shù)(既是奇函數(shù)又是偶函數(shù))，非奇非偶函數(shù)(既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)).函數(shù)的奇偶性是針對函數(shù)的整個定義域而言，因此奇偶性是函數(shù)在定義域上的整體性質

35、.由于任意x和-x均要在定義域內，故奇函數(shù)或偶函數(shù)的定義域一定關于原點對稱.所以，我們在判定函數(shù)的奇偶性時，首先要確定函數(shù)的定義域(函數(shù)的定義域關于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件.如果其定義域關于原點不對稱，那么它沒有奇偶性).然后再判斷f(-x)與f(x)的關系，從而確定其奇偶性.判斷函數(shù)的奇偶性有時可用定義域的等價形式f(-x)f(x)0或 1(f(x)0)來代替.存在既奇且偶函數(shù)，例如f(x) + .當f(-x)與f(x)之間的關系較隱蔽時，容易產生“非奇非偶”的錯覺，萬萬不可草率下結論.函數(shù)的圖像能夠直觀地反映函數(shù)的奇偶性.f(x)為奇函數(shù)的充要條件是函數(shù)f(x)的圖像關于原點對稱

36、，f(x)為偶函數(shù)的充要條件是函數(shù)f(x)的圖像關于y軸對稱.奇函數(shù)和偶函數(shù)還具有以下性質：(1)兩個奇函數(shù)的和(差)仍是奇函數(shù)，兩個偶函數(shù)的和(差)仍是偶函數(shù).(2)奇偶性相同的兩個函數(shù)的積(商、分母不為零)為偶函數(shù)，奇偶性相反的兩個函數(shù)的積(商、分母不為零)為奇函數(shù).(3)奇函數(shù)在其定義域的對稱區(qū)間上單調性相同，偶函數(shù)在其定義域的對稱區(qū)間上單調性相反.(4)定義域關于原點對稱的函數(shù)f(x)可以表示成一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的和，即f(x) + .(5)若f(x)是(-a,a)(a0)上的奇函數(shù)，則f(0)0.典型例題例1 (1)畫出函數(shù)y-x2+2x+3的圖像，并指出函數(shù)的單調區(qū)間.解：函數(shù)

37、圖像如下圖所示，當x0時，y-x2+2x+3-(x-1)2+4；當x0時，y-x2-2x+3-(x+1)2+4.在(-，-1和0，1上，函數(shù)是增函數(shù)：在-1，0和1，+）上，函數(shù)是減函數(shù).評析 函數(shù)單調性是對某個區(qū)間而言的，對于單獨一個點沒有增減變化，所以對于區(qū)間端點只要函數(shù)有意義，都可以帶上.(2)已知函數(shù)f(x)x2+2(a-1)x+2在區(qū)間(-，4上是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍.分析 要充分運用函數(shù)的單調性是以對稱軸為界線這一特征.解：f(x)x2+2(a-1)x+2x+(a-1)-(a-1)2+2，此二次函數(shù)的對稱軸是x1-a.因為在區(qū)間(-，1-a上f(x)是單調遞減的，若使f(x)

38、在(-，4上單調遞減，對稱軸x1-a必須在x=4的右側或與其重合，即1-a4，a-3.評析 這是涉及逆向思維的問題，即已知函數(shù)的單調性，求字母參數(shù)范圍，要注意利用數(shù)形結合.例2 判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)f(x) - (2)f(x)(x-1) .解：(1)f(x)的定義域為R.因為f(-x)-x+1-x-1 x-1-x+1-f(x).所以f(x)為奇函數(shù).(2)f(x)的定義域為x-1x1，不關于原點對稱.所以f(x)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù).評析 用定義判斷函數(shù)的奇偶性的步驟與方法如下：(1)求函數(shù)的定義域，并考查定義域是否關于原點對稱.(2)計算f(-x)，并與f(x)比較，判斷f(-

39、x)f(x)或f(-x)-f(x)之一是否成立.f(-x)與-f(x)的關系并不明確時，可考查f(-x)f(x)0是否成立，從而判斷函數(shù)的奇偶性.例3 已知函數(shù)f(x) .(1)判斷f(x)的奇偶性.(2)確定f(x)在(-，0)上是增函數(shù)還是減函數(shù)?在區(qū)間(0，+)上呢?證明你的結論.解：因為f(x)的定義域為R，又f(-x) f(x)，所以f(x)為偶函數(shù).(2)f(x)在(-，0)上是增函數(shù)，由于f(x)為偶函數(shù)，所以f(x)在(0，+)上為減函數(shù).其證明：取x1x20，f(x1)-f(x2) - .因為x1x20，所以x2-x10，x1+x20，x21+10，x22+10，得 f(x1

40、)-f(x2)0，即f(x1)f(x2).所以f(x)在(-，0)上為增函數(shù).評析 奇函數(shù)在(a,b)上的單調性與在(-b,-a)上的單調性相同，偶函數(shù)在(a,b)與(-b,-a)的單調性相反.例4 已知y=f(x)是奇函數(shù)，它在（0，+）上是增函數(shù)，且f(x)0，試問F(x) 在(-，0)上是增函數(shù)還是減函數(shù)?證明你的結論.分析 根據(jù)函數(shù)的增減性的定義，可以任取x1x20，進而判定F(x1)-F(x2) - 的正負.為此，需分別判定f(x1)、f(x2)與f(x2)的正負，而這可以從已條件中推出.解：任取x1、x2(-，0)且x1x2，則有-x1-x20.yf(x)在(0，+)上是增函數(shù)，且

41、f(x)0，f(-x2)f(-x1)0. 又f(x)是奇函數(shù)，f(-x2)-f(x2)，f(-x1)-f(x1) 由、得 f(x2)f(x1)0.于是F(x1)-F(x2) 0，即F(x1)F(x2)，所以F(x) 在(-，0)上是減函數(shù).評析 本題最容易發(fā)生的錯誤，是受已知條件的影響，一開始就在(0，+)內任取x1x2，展開證明.這樣就不能保證-x1，-x2，在(-，0)內的任意性而導致錯誤.避免錯誤的方法是：要明確證明的目標，有針對性地展開證明活動.例5 討論函數(shù)f(x) (a0)在區(qū)間(-1，1)內的單調性.分析 根據(jù)函數(shù)的單調性定義求解.解：設-1x1x2，則f(x1)-f(x2) -

42、 x1，x2(-1，1)，且x1x，x1-x20，1+x1x20，(1-x21)(1-x22)0于是，當a0時，f(x1)f(x2)；當a0時，f(x1)f(x2).故當a0時，函數(shù)在(-1，1)上是增函數(shù)；當a0時，函數(shù)在(-1，1)上為減函數(shù).評析 根據(jù)定義討論(或證明)函數(shù)的單調性的一般步驟是：(1)設x1、x2是給定區(qū)間內任意兩個值，且x1x2；(2)作差f(x1)-f(x2)，并將此差式變形；(3)判斷f(x1)-f(x2)的正負，從而確定函數(shù)的單調性.例6 求證：f(x)x+ (k0)在區(qū)間(0，k上單調遞減.解：設0x1x2k，則f(x1)-f(x2)x1+ -x2- 0x1x2

43、k，x1-x20，0x1x2k2，f(x1)-f(x2)0f(x1)f(x2)，f(x)x+ 中(0，k上是減函數(shù).評析 函數(shù)f(x)在給定區(qū)間上的單調性反映了函數(shù)f(x)在區(qū)間上函數(shù)值的變化趨勢，是函數(shù)在區(qū)間上的整體性質.因此，若要證明f(x)在a,b上是增函數(shù)(減函數(shù))，就必須證明對于區(qū)間a,b上任意兩點x1，x2，當x1x2時，都有不等式f(x1)f(x2)(f(x1)f(x2)類似可以證明：函數(shù)f(x)x+ (k0)在區(qū)間k，+上是增函數(shù).例7 判斷函數(shù)f(x) 的奇偶性.分析 確定函數(shù)的定義域后可脫去絕對值符號.解：由 得函數(shù)的定義域為-1，1.這時，x-22-x.f(x) ，f(-

44、x) f(x).且注意到f(x)不恒為零，從而可知，f(x) 是偶函數(shù)，不是奇函數(shù).評析 由于函數(shù)解析式中的絕對值使得所給函數(shù)不像具有奇偶性，若不作深入思考，便會作出其非奇非偶的判斷.但隱含條件(定義域)被揭示之后，函數(shù)的奇偶性就非常明顯了.這樣看來，解題中先確定函數(shù)的定義域不僅可以避免錯誤，而且有時還可以避開討論，簡化解題過程.指數(shù) 本節(jié)的重點是分數(shù)指數(shù)冪的概念和分數(shù)指數(shù)冪的運算性質.難點是根式的概念和分數(shù)指數(shù)冪的概念.在學習分數(shù)指數(shù)冪時，一要明確正整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪和負整數(shù)冪的意義；二要能根據(jù)平方根、立方根的定義和性質來理解n次方根的定義和性質，從而理解根式的概念；三要明確根式與分數(shù)指數(shù)

45、冪間的關系，即 a ,a (a0,m、n都是正整數(shù)，且n1)；四要能運用分數(shù)指數(shù)冪的運算性質進行根式、分數(shù)指數(shù)冪運算.平時要求學生：熟練掌握分數(shù)指數(shù)冪與根式的運算.所要達到的目標：1.了解根式的概念.2.了解分數(shù)指數(shù)冪的概念，能進行分數(shù)指數(shù)冪與根式的互化.3.能正確進行指數(shù)運算.核心知識1.基礎知識圖表2.整數(shù)指數(shù)冪在初中，我們首先研究了正整數(shù)指數(shù)冪：一個數(shù)a的n次冪等于n個a的連乘積正整數(shù)指數(shù)冪的運算法則有五條：(1)amanam+n；(2)amanam-n(a0,mn);(3)(am)namn;(4)(ab)nanbn;(5)( )n (b0).為保證這些法則可從定義直接推出，我們限定m、

46、n都是正整數(shù)，且在法則(2)中限定mn.為了取消mn的限制，我們定義了零指數(shù)冪和負整數(shù)指數(shù)冪： a01(a0) a-n (nN,a0).這樣一來，原來的5條運算律就可以歸納為3條(1)、(3)、(4)，同時，將指數(shù)的概念擴大到了整數(shù).說明 為保證法則(2)、(5)對任意整數(shù)都成立，我們不得不規(guī)定a0及b0.3.根式1定義 若xna(nN，n1)，則稱x為a的n次方根.當n2,n3時，上述定義就是我們在初中學過的平方根和立方根.若n為奇數(shù)，用符號 表示a的n次方根，這時aR.若n為偶數(shù)，則要求a0，用符號 表示a的n次方根.2性質 0 (nN且n1)( )na(nN且n1) a(n為大于1的奇數(shù)

47、) a (n是不等于零的偶數(shù))4.分數(shù)指數(shù)冪分數(shù)指數(shù)冪的引進是受到根式的基本性質的啟發(fā).從根式的基本性質 (a0,m,nN)我們知道： a3a (a0)； a4a (a0)； a (a0,m,nN且m是n的整數(shù)倍).如果m不是n的整數(shù)倍時，仍沿用上述法則，不是也很方便嗎?這時就有 a (a0)； a (a0,m,nN且n1).由于分數(shù)指數(shù)冪尚未定義，即a ,a 的意義尚未明確，于是我們規(guī)定(1)a (2)a (a0,m,nN，且n1)(3)零的正分數(shù)次冪是零，零的負分數(shù)次冪沒有意義.在這種情況下，原來的冪的運算性質仍然成立.在分數(shù)指數(shù)冪中，要特別注意a0的規(guī)定.對xR，下面的運算就是錯誤的：

48、x x這是因為， x ，只有當x0時才能使用(這里x0也可).在引進了分數(shù)指數(shù)冪以后，我們就將指數(shù)概念擴大到有理數(shù)指數(shù)冪了.5.分數(shù)指數(shù)冪的性質有理數(shù)冪的運算性質，有理數(shù)冪的運算性質形式上與整數(shù)指數(shù)冪的運算性質完全一樣： arasar+s； (ar)sars； (ab)rarbr.式中a0,b0,r、sQ.典型例題例1 化簡(1-2 ) (a0,b0).分析 在指數(shù)式運算中，注重運算順序和靈活運用乘法公式.解：原式 a a a a a a.評析 利用分數(shù)指數(shù)冪來進行根式運算，其順序是先把根式化為分數(shù)指數(shù)冪，再根據(jù)冪的運算性質進行計算.例2 化簡下列各式(其中各字母均為正數(shù))：(1) (2) (3) a b-2(-3a b-1)(4a b-3) 解：(1)原式 a b .(2)原式 + (m +m )+(m -m )24m.(3)原式- a b-3(4a b-3) - a b-3a b - a b - - 評析 根式運算或根式與指數(shù)混合運算時將根式化為指數(shù)式運算較為方便，對于計算的結果，不強求統(tǒng)一用什么形式來表示，如果有特殊要求，可根據(jù)要求寫出結果，但結果不能同時含有根號和分數(shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負指數(shù).例3 化簡：(1)(1-a) ； (2