數(shù)學奧林匹克初中訓練題116

1、中等數(shù)學錁外剃結簸營奧潞霞禽劫睜期緣趣（）、第一試黃龍一丟店，面筍丟揀的值點、則篆的值為（）一、選擇題（每小題分，共分）（）學、（）學（）竽（）學已知二次函數(shù)（茗）滿足，（一），（）篆（）籌（乙，弱）慧八，且茗，（菇）舞百（菇）對于一切實數(shù)髫均成立則“）的值為（）在平面直角坐標系中，點在第一象限，點在第二象限，點在坐標軸上，滿足（）弘（嗡（）譬、（）是直角三角形構點最多有，口個。，最：黿知芝諺是白的弦，點在劣弧船少有個則諺十為的值為（）。（），（）：（、上（膽），點在優(yōu)弧仰上，且一個袋子里裝有。個紅球。，過作用于則與加個黑球個黃球，這些球僅顏色不同：要保的大小關系為（。）萑摸出的球中有個顏色相

2、同至少應（鰣邶，明（）摸出（。，）個。（），率盤叼（以上都不對。：）（）（）（）二、填空題（每小題分，奘分），在霹，中，？么掣伊，么讒除以的余數(shù)為，分別以肛、為邊向外部作正。、一、一卟、，聯(lián)結砸分別交于而卯（），。故文髫）逕芻專菇易氟丟茹×年砑茹（茗算¨）（。斗、，、因此，的個位數(shù)即的個位數(shù)去省（）（菇）（菇）又聘，故；在四個連續(xù)整數(shù)戈“茹峙茹中，暑一亡于是，即必有兩個連續(xù)偶數(shù)，其積能被整除；又任意：三個連續(xù)整數(shù)其積能被整除，且與互所眺，婷，！，”質，因此，菇（髫）（菇）（）能被×固些一二芻，亍丟，：曇孑整除，即對每個整數(shù)髫，以菇）均為整數(shù)（方祖耀提供）萬方數(shù)據(jù)年

3、第期在梯形加中，；，?！埃﹦t么么。，的度數(shù)為方程已知，為整數(shù)，且關于菇的一元二次（，一）礦一（），髫（一一）參風、，”一至少存伺蜜數(shù)根貝所有值的和為已知口為銳角，且口口弋圖圖則口第二試一、（分）已知實數(shù)口、髫、石滿足口一與省一至少有一個為負數(shù)求證：。若紅球摸出個，黑球摸出個，黃球摸出個，此時共摸出個，沒有個顏色相同根據(jù)抽屜原理，至少摸出個可保證摸出的球有個顏色相同。（似）（口一，（茹，一：）二、（分）在中，么、么韻平分線、髓交于點若四邊兢菇蘭幽，求證：么曰如圖，過作予，三、（分）在，的任意一個排列中，總可找到連續(xù)個數(shù)之和不小于口求口的最大值延長交加于，聯(lián)結則是的中點，且÷段奴。是的中

4、點于是，上圖參考答案第一試一、又么尼么伽，得一、。、由已失耨茹與一，即茹乞茹憾國÷烈所以，四邊形，是平行四邊形乎整理得菇故原式咎毀端一因此，丟丟趴令口則（菇）（茹）（菇、），（菇）（髫）一佃。，肛如口，。在銣泓中，（戈一龍）（）（）一崔（）一菇（）石（菇”一。），、一戈菇！一，丟；雩口，砌缸由得由于點在第一象限，點丑在第二象限，于是，過、曰作的垂線與茹軸一定有兩個交點，與軸最多有兩個交點，最少有則篇舄，嗡圭未個交點；以佃為直徑作圓與軸一定有兩個交點，與菇軸最多有兩個交點，最少有個交點如圖及圖所以，可麗學口故麗竽可知口，故口；萬方數(shù)據(jù)中等數(shù)學設（）似（）在中，由上得明由已知得故；曰以一

5、）堿一，二、。【“）注意到解得，尋一口一一一個、個又茁八茹）丟（髫）對一切實數(shù)菇均刀：）×一一一個成立，則令一舛（）名階由于口的各位數(shù)字之和及（口）鏟；：如。（皇二×對一切妻數(shù)菇均成立能被整除，于是，口能被整除；又的末三位數(shù)能被整除，則口又能被整除而若口百，則丟，此時。七一蠆與互質，因此，能被整除故原對一切實數(shù)不成立所以，丟數(shù)除以的余數(shù)是一?？?，如圖，分別過、；白。（），作于、刮左。二魯：、上邪于則耽船，？二睜一（口一撲翻）蔫：圖么百么，二，考慮到：百，；吾二粵哆舞菱等零緝且四邊形是矩形二锝口二巹。在中，由得么么，均為銳角，所以，點在線段上當矗；。，未時，毒殺：在中，由上得

6、：一產：一故八菇）京髫名導：即一（船一凹）一凹將上式化簡得。從而，以）萼、凹愛亍贏“掣阻￥如圖，延長似到點，使：，聯(lián)一故結融、冊、則蟛：掣曲一掣：二一。二么么于是，么么又么么，則么只忸故么么凹，去么尉音么一么咫又在僦中：一么咒日圖么怛么。一么么、故么烈么于是，絲，有從而，將方程左邊分解得萬方數(shù)據(jù)年第期（一）一（）（凡一）菇一（）得幽蝴蝴由于，則兩邊同加蝴得幽幽石可雨，一，又四邊形柵產腳，貝省幽四邊形腳一一上式兩邊同減衄得因為原方程至少有一個整數(shù)根，且為聊衄整數(shù)，所以，一±，±，±、因此，解得，一，一故么么一么故所有值的和為一（么）一去（么）二如圖，在：中，么知。：

7、令么：則告么。、口鋤口了，口了。由已知及勾股定理得：；，一翻二于是，、四點共圓彳一貝么曰么）三、取任一排列，將其分為組，每組口、個數(shù)令（。，），（，恐，圖【，柏）：一，（，犯，）。解得口警，警：黑詈尋：生叢掣：取組數(shù)的平均值一第二試。礦一顯然，：，。中至少有一個不小一、不妨設口一財于五此時，總可找到連續(xù)一個數(shù)之和不小構造萊矛舶二次函數(shù)，記于、。蠊車艫）（嬋妨一口）（礦）一嚴）下面構造一個；，的排列，使任側二次函數(shù)的圖像開口向下注意到意連續(xù)個數(shù)之和不大于（蘢）（）一（彳）構造一個的數(shù)表：將，取一三，于是，。，依次放在前面的×數(shù)表中（大數(shù)故二次函數(shù)的圖像與并軸有交點在小數(shù)的左（上）側），將，依次放貝（）（二、）在后面的數(shù)表中（小數(shù)在大數(shù)的右（茗，一），（上）側）即（聊諺一）（口一）（龍嚴一）。將此數(shù)表的數(shù)從左到右、從上到下排成二、如圖，過一列，即為滿足題設要求的排列（任意連續(xù)作上，分別交個數(shù)之和為一（，）之、于、，聯(lián)一）“結、易故的最大值為知注：此題證明中的構造性部分由本編輯，圖部的宋強老師提供有。（李明安徽省五河縣第三中學，于是，必蝴，尤登明安徽省五河縣雙廟職業(yè)中獅蜥。學，）萬方數(shù)據(jù)數(shù)學奧林匹克初中訓練題(116)作者：作者單位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：引用次數(shù)：李明， 尤登明， LI Ming， You Deng-m