六講隨機(jī)變量及其分布二ppt課件

1、第六講第六講 隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布二二 2. 延續(xù)型隨機(jī)變量延續(xù)型隨機(jī)變量在前面我們學(xué)習(xí)一類離散型隨機(jī)變量，主要特點(diǎn)是它僅僅取有限或可數(shù)個(gè)值取有限或可數(shù)個(gè)值，并且取每個(gè)值的概率大于 0。 但在實(shí)際問(wèn)題中，我們時(shí)常需要考慮另外一類隨機(jī)變量，如，隨機(jī)地向0,1區(qū)間上投點(diǎn)其落點(diǎn)的位置；日光燈泡的使用壽命；測(cè)量誤差等，對(duì)于這些數(shù)量關(guān)系，我們都不可能要求它們?nèi)∈孪戎付ǖ目蓴?shù)個(gè)值。實(shí)際上，它們?cè)?,1、(0,)和(,) 上取值。更為重要的是，它們?nèi)∶總€(gè)給定值的可能性均為 0。 這時(shí)，我們?cè)撛鯓涌坍嬤@些隨機(jī)變量呢？. 讓我們從隨機(jī)地向0,1區(qū)間上投點(diǎn)開始，令X表示其落點(diǎn)的位置。正如幾何概率模型中

2、所說(shuō)的，X取每個(gè)點(diǎn)的可能性都相同，并且我們可以考慮落在一個(gè)區(qū)間或一個(gè)集合內(nèi)的概率。 如計(jì)算 ()P aXb ()P XB 這只與區(qū)間長(zhǎng)度ba或B的長(zhǎng)度|B有關(guān)， 即 ()P aXbba () |P XBB 正如物理中計(jì)算物質(zhì)質(zhì)量一樣，我們說(shuō)X具有均勻概率密度函數(shù) 1, 01( )0, xp x其它 一 般 地 ， 考 慮(,)R =- 一 個(gè) 函 數(shù):( )p xp x， 如果滿足 1. ( )0p x 2. ( )1p x dx- = 那么稱( )p x為R上的一個(gè)概率密度函數(shù)。 注: 條件 2 并不是很強(qiáng)的限制，因?yàn)楫?dāng) ( )p x dxM- = 時(shí)，我們可以令( )( )/pxp xM*

3、=即可得到一個(gè)概率密度函數(shù)。 條件 1 要求( )p x所對(duì)應(yīng)的曲線完全位于 x軸的上方，事實(shí)上，曲線上方的面積有著重要的概率意義。 如果一個(gè)隨機(jī)變量:XRW 滿足 ()( )baP aXbp x dx=, ab , 那么稱X為連續(xù)性隨機(jī)變量，具有概率密度函數(shù)( )p x。 (注意：這里實(shí)際上要求:( )aXb F F , ab ) 這時(shí)，對(duì)任何x- ， 那么稱X服從參數(shù)為l的指數(shù)分布分布，記作exp( )Xl:。 相應(yīng)的分布函數(shù)為 ： 0, 0 ( )1, 0 xxF xex 圖形示范 正如前面學(xué)過(guò)的幾何分布一樣，指數(shù)分布也具有無(wú)記憶性，即 (|)()yP Xxy XxeP Xyl-+= 我

4、們今后還會(huì)看到：指數(shù)分布和 Poisson 分布有著密切的聯(lián)系。 (3). 正態(tài)分布正態(tài)分布 其中 m- ，那么稱X服從參數(shù)為2,m s的正態(tài)分布，記作2( ,)XNm s:。 如果隨機(jī)變量在(,)-上取值，具有概率密度函數(shù) 221()( )exp,22xp xxmsps驏-=-桫- 圖形示范 當(dāng)20,1ms=時(shí)，我們稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。正態(tài)分布這個(gè)名稱也許首先 F.Galton 在 1885 年之前給出，它被認(rèn)為是最重要的一種概率分布。根據(jù)著名的中心極限定理(以后將介紹)，在自然界和人類社會(huì)中許多現(xiàn)象都可由正態(tài)分布加以描述。 (1) 驗(yàn)證上述( )p x確實(shí)為密度函數(shù)，即 ( )1p x dx

5、- = (2) 分析( )p x的圖形性質(zhì)和特點(diǎn) (3) 人們通常用( )xF表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)， 即 221( )2uxxedup- F= 對(duì)于一般的正態(tài)分布隨機(jī)變量2( ,)XNm s:，其分布函數(shù)( )F x可由( )xF來(lái)表示： 這個(gè)積分并沒有一個(gè)顯性函數(shù)表示，因此人們已建立了一個(gè)表備用。 學(xué)查分布函數(shù)表221()( )exp22xuxF xdummssps- 驏驏-=-= F桫桫2( ,):(0,1)XXNNmm shs-=:例例. . 設(shè)(2,9)XN:, 求(520)PX， 那么稱X服從參數(shù)為,a b的G分布，記作( , )Xa bG:。 這里G函數(shù)( )bG被定義為 1

6、( )xxedxbb- G= 特別，1b=如果1b=，那么X正是前面介紹過(guò)的參數(shù)為a的指數(shù)分布； 如果12a=, 并且對(duì)某個(gè)正整數(shù)n使得2nb=， 那么我們稱X服從參數(shù)為n的2c分布，記作2( )Xnc:。 (5). Cauchy 分布分布 如果隨機(jī)變量在(,)- 上取值，具有概率密度函數(shù) 那么稱X服從 Cauchy 分布。 21( ),(1)p xxxp=+- ， 那么稱X服從參數(shù)為,a b的 Beta分布，記作( , )XBa b:。 11( ) ( )(1), 01()( ) 0, xxxp x其它 注意到 Beta 函數(shù)( , )Ba b和 Gamma 函數(shù)間的關(guān)系： 上述( )p x

7、確實(shí)是密度函數(shù)。 1110()( ,):(1)( ) ( )Bxxdx 特別，如果1ab=，那么X服從0,1上的均勻分布。 (7). Weibull分布分布 其中,0a b， 那么稱X服從參數(shù)為,a b的Weibull 分布。 如果隨機(jī)變量在0,)上取值，具有概率密度函數(shù) 1, 0( ) 0, xxexp x其它 特別，如果1b=，那么X服從參數(shù)為 a的指數(shù)分布。 其分布函數(shù)為 1, 0( ) 0, xexF x其它 3. 普通隨機(jī)變量普通隨機(jī)變量以上我們引見了兩類典型的隨機(jī)變量及其分布： (1) 離散型隨機(jī)變量取有限或可列個(gè)值，其分布可用分布列描寫，分布函數(shù)是階梯型函數(shù)； (2) 延續(xù)型隨機(jī)

8、變量在一個(gè)或幾個(gè)不相交的區(qū)間內(nèi)取值，具有密度函數(shù)，分布函數(shù)是處處延續(xù)的，并具有導(dǎo)數(shù)。 但我們應(yīng)該強(qiáng)調(diào)，除了這兩種以外，還存在其它類型的隨機(jī)變量。 令 ( )1, (, )X TX Hqq= -= 考慮下列隨機(jī)試驗(yàn)： 投擲一枚硬幣，出現(xiàn)正面的可能性為p；如果出現(xiàn)正面，那么繼續(xù)投擲一次標(biāo)槍，標(biāo)槍的傾斜角度q為(0,2 )p上的均勻分布。 這時(shí)，樣本空間為 ,(, ):02 THqqpW = 其中H代表正面，T代表反面。 該函數(shù)除1-點(diǎn)外處處連續(xù)，X既不是離散型隨機(jī)變量，也不是連續(xù)型隨機(jī)變量。 那么該隨機(jī)變量X取值為 10,2 p-，其分布函數(shù)( )F x如下 0 1 , -10( ) , 02 2

9、 1, 2xqxF xxqpxx， 嚴(yán)格來(lái)說(shuō)，上式應(yīng)寫成 對(duì)一般的隨機(jī)變量，我們主要使用分布函數(shù)來(lái)刻畫其取值的規(guī)律。給定一個(gè)概率空間(, F, P)， 假設(shè):XRW 是一個(gè)隨機(jī)變量，那么定義 ( )()F xP Xx= 作為分布函數(shù)。 ( )(:( )F xPXxww=注意到P是從F到0,1上的一個(gè)函數(shù)，或者說(shuō)，只有對(duì)F中的集合或事件A，( )P A才有定義。 因此， 為了對(duì)每個(gè)x， 我們能很好地定義( )F x， 那么需要 :( )XxwwF。這就導(dǎo)致了隨機(jī)變量的嚴(yán)格數(shù)學(xué)定義： 給給定定一一個(gè)個(gè)概概率率空空間間(, F F, P), 如如果果對(duì)對(duì)每每個(gè)個(gè)x，:( )XxwwF F，那那么么稱稱:XRW 是是關(guān)關(guān)于于F F的的可可測(cè)測(cè)函函數(shù)數(shù)。 這這樣樣的的函函數(shù)數(shù)，我我們們稱稱其其為為定定義義在在概概率率空空間間(, F F, P)上上隨隨機(jī)機(jī)變變量量。 事實(shí)上，如果X是隨機(jī)變量，那么對(duì)任何 Borel集B，都有 :( )XBww撾F 這一性質(zhì)對(duì)我們今后的討論很重要。 從概率的性質(zhì)可推出，一個(gè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)具有下列性質(zhì)： 1. lim( )0 xF x，lim( )1xF x 2. ( )F x 單調(diào)增加 3. ( )F x左極限存在