積分中值定理的推廣和應(yīng)用情形

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上積分中值定理的推廣和應(yīng)用積分中值定理的推廣定理和應(yīng)用情形The Integral Mean Value Theorem for Its Spreading andApplicationExtension theorem of integral mean value theorem and its application論文作者： 專 業(yè)： 指導(dǎo)老師： 完成時(shí)間： 摘 要積分中值定理和微分中值定理在微積分學(xué)中有著重要的地位，微分中值定理是研究函數(shù)的有力工具，反映了導(dǎo)數(shù)的局部性和與函數(shù)的整體性

2、之間的關(guān)系，而積分中值定理在證明有關(guān)中值問(wèn)題時(shí)具有極其重要的作用。它是數(shù)學(xué)分析課程中定積分部分的一個(gè)基本定理之一。積分中值定理包括積分第一中值定理和積分第二中值定理,在之前的數(shù)學(xué)分析課程中我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了這兩個(gè)定理的證明，但這兩個(gè)定理的推廣與應(yīng)用尚未提及。在這里，我討論了積分第一中值定理和積分第二中值定并給出了這些定理的詳細(xì)證明過(guò)程，并且給出了集中推廣形式。在積分中值定理的應(yīng)用方面，我給出了一些較簡(jiǎn)單的情形如估計(jì)積分值，求含有定積分的極限，確定積分號(hào)等，并且通過(guò)列舉例題，加以歸納總結(jié)，并且充分體現(xiàn)積分中值定理在學(xué)習(xí)解題練習(xí)中的應(yīng)用。The integral mean value theorem

3、and the differential mean value theorem play an important role in the calculus. Differential mean value theorem is a powerful tool to study the function. It reflects the relation between the local property of the derivative and the integral of the function. And the integral mean value theorem plays

4、a very important role in the proof of the mean value problem. It is one of the basic theorems of the definite integral part in the course of mathematical analysis. The integral mean value theorem includes the first mean value theorem of integrals and the second mean value theorem of integrals, we ha

5、ve learned the proof of the two theorems In the course of mathematical analysis. But the extension and application of these two theorems have not been mentioned yet. Here, I discuss the first mean value theorem of integrals and the second mean value of the integrals and give a detailed proof of thes

6、e theorems and I give the form of centralized generalizations here.In the application of the integral mean value theorem, I give some simple situations such as the estimation of the integral value, and the limit of the definite integral, the integral number and so on. And by citing examples, I summa

7、rized and fully reflect the integral mean value theorem in the application of learning problem solving exercises.關(guān)鍵詞：積分中值定理； 推廣； 應(yīng)用Keyword: mean value theorem of integrals; extension; Application1 引言中值定理在數(shù)學(xué)分析中占有非常重要的地位，學(xué)好積分中值定理和微分中值定理能為進(jìn)一步學(xué)好微積分理論打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。積分中值定理分為積分第一中值定理和積分第二中值定理，它們各包含兩個(gè)公式。積分中值定理揭示了一

8、種將積分化為函數(shù)值，或者是將復(fù)雜函數(shù)的積分化為簡(jiǎn)單函數(shù)的積分的方法， 是數(shù)學(xué)分析的基本定理和重要手段，在求極限、判定某些性質(zhì)點(diǎn)、估計(jì)積分值等方面應(yīng)用廣泛。本文將通過(guò)對(duì)積分中值定理的證明，給出了積分中值定理幾種推廣形式，同時(shí)給出了它們確定數(shù)列極限及函數(shù)極限等方面的應(yīng)用,加深對(duì)這一定理的更深層次的理解。2 積分中值定理的證明2.1積分第一中值定理定理1 若 在上連續(xù)，則至少存在一點(diǎn)，使得.證 由于在上連續(xù)，因此存在最大值和最小值.由，使用積分不等式性質(zhì)得到，或.再由連續(xù)函數(shù)的介值性，至少存在一點(diǎn)，使得，即有 .定理2 若 在上連續(xù)，則至少存在一點(diǎn)，使得.證 由于在上連續(xù)，從而在上可積。設(shè)其原函數(shù)為

9、，則根據(jù)原函數(shù)存在定理可知，在上連續(xù)，且在上可導(dǎo)，由拉格朗日中值定理知存在一點(diǎn)使得，則得.顯然定理2的結(jié)論要強(qiáng)于定理1的結(jié)論,所以將積分第一中值定理敘述成定理2的形式更好一些。2.2積分第二中值定理積分第二中值定理則比積分第一中值定理更為精細(xì),下面我同樣會(huì)給出積分第二中值定理與其證明。定理3 若 在上可積，在上單調(diào)且在上連續(xù)，那么存在一點(diǎn)，使得在上可積. 證 假設(shè)在上單調(diào)減少且非負(fù)，將區(qū)間分成幾部分，即而，記則：由于在上單調(diào)減少且非負(fù)，即 根據(jù)阿貝爾引理有：當(dāng)時(shí)，有即：，所以，當(dāng)時(shí)有：時(shí)成立的），而當(dāng)時(shí)也成立。由介質(zhì)定理知連續(xù)函數(shù)在上某點(diǎn)處取得上、下確界之間的中間值即：  （2）令，

10、由于單調(diào)減少且非負(fù)，由（2）得：即 如果在a,b處不一定連續(xù)，則公式(1)可改寫(xiě)成：如果在上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，在上連續(xù)則上述定理可用一個(gè)比較簡(jiǎn)單的方法證明，在證明的過(guò)程中主要使用分布積分法和積分第一中值定理。證 由于在連續(xù)，則為其原函數(shù)，現(xiàn)對(duì)使用分布積分，其中令對(duì)使用積分第一中值定理，所以 3積分中值定理的推廣3.1 積分第一中值定理的推廣定理4（定積分中值定理的推廣） 若在閉區(qū)間上連續(xù)且單調(diào)，則在開(kāi)區(qū)間上存在唯一一點(diǎn)使得。定理4是在加強(qiáng)了定理1和定理2的條件的基礎(chǔ)上得到的。證 利用微分中值定理來(lái)證明，令，因?yàn)樵谏线B續(xù)，所以在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，而且，應(yīng)用拉格朗日微分中值定理可得，在在內(nèi)至少存在一點(diǎn)

11、使即亦即定理5（定積分第一中值定理的推廣） 如果函數(shù)、在閉區(qū)間上可積，且在上不變號(hào), 連續(xù)，則在積分區(qū)間上至少存在一個(gè)點(diǎn)，使下式成立：。證 由于函數(shù)在閉區(qū)間上是可積函數(shù)，在上可積且不變號(hào)，令，很顯然，和在上連續(xù)。并且由柯西中值定理即可得到即，定理5即證。注：定理5的逆命題為：若函數(shù)在上連續(xù)且嚴(yán)格單調(diào)，且在上可積且不變號(hào)，則任意的一點(diǎn)，必存在，使得，且滿足3.2積分第二中值定理的推廣定理6 如果函數(shù)在閉區(qū)間上有界且可積，且在上單調(diào)，則也可積，且在積分區(qū)間上至少存在一個(gè)點(diǎn)，使下式成立：。證 因?yàn)樵诳煞e，在上單調(diào)，故在有界且可測(cè)，所以在上可積。下證。（1）在上連續(xù)的情形。令，則，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)，可知在

12、是有界變差的，故存在，進(jìn)而有又由在上連續(xù)，可得在上有最值。故可設(shè)所以有，則存在， ，所以（2）在上有界且可積情形。因?yàn)樵谏嫌薪缜铱煞e，故是上的可測(cè)函數(shù)，所以對(duì)任意的，存在閉集及上的連續(xù)函數(shù)，使得在上，且，對(duì)于任意的，取及使得當(dāng)時(shí)，有，由（1）知：，所以，對(duì)于任意有，故。定理7 特別的：（1）函數(shù)在上可積, 在上單調(diào)遞減,且，則存在，使得： （2）函數(shù)在上可積, 在上單調(diào)遞增，且，則存在，使得：4積分中值定理的應(yīng)用因?yàn)榉e分中值定理可以使積分號(hào)去掉，簡(jiǎn)化問(wèn)題，在數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決中有很大的應(yīng)用性，我在這里歸納整理，挑選列出了一些運(yùn)用積分中值定理解決的數(shù)學(xué)問(wèn)題估計(jì)積分值、求含有定積分的極限和確定積分符號(hào)

13、，并且列舉出一些典型例題和解法，來(lái)說(shuō)明其應(yīng)用性。4.1運(yùn)用積分中值定理估計(jì)積分值例1：估計(jì)定積分的積分值。解：因?yàn)椋?，于是那么就可以估?jì)出此定積分的積分值為例2：估計(jì)定積分的積分值。解：根據(jù)積分第一中值定理的推廣形式有，并且其中因?yàn)?，所以有那么可以得出所以該定積分的積分估計(jì)值為4.2求含有定積分的極限例3：求的極限。解：根據(jù)積分中值定理可得 那么 例4：求的極限。解：如果直接運(yùn)用積分中值定理那么得到。但是因?yàn)槎荒芘卸?。所以?yīng)進(jìn)行下列計(jì)算：，其中為人意無(wú)窮小正數(shù)。對(duì)第一個(gè)積分使用積分第一中值定理的推廣形式，得到：；對(duì)于第二個(gè)積分：因?yàn)闉槿艘鉄o(wú)窮小正數(shù)，所以可得到積分的極

14、限：。注：解決此類的數(shù)學(xué)問(wèn)題的關(guān)鍵是運(yùn)用積分中值定理去掉積分符號(hào)，在運(yùn)用時(shí)，要注意中值不僅由積分區(qū)間確定，還有限式中的自變量的趨近方式確定。4.3確定積分符號(hào)例5：確定積分的符號(hào)。解：，利用積分中值定理可得到：（其中）又因?yàn)樵谏喜缓愕扔?，所以可得到積分。注：在解決確定積分符號(hào)的這類數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，我們通常會(huì)把0作為上下限的中界點(diǎn)，然后把原積分寫(xiě)成以0為中界點(diǎn)的兩個(gè)積分的和，如上題中的，然后化成一個(gè)積分的形式，最后再用積分中值定理確定積分的符號(hào)。5結(jié)論積分中值定理是數(shù)學(xué)分析中的一個(gè)基礎(chǔ)定理，所起到的重要作用是可以使積分號(hào)去掉，簡(jiǎn)化問(wèn)題。當(dāng)題目中還有函數(shù)積分，或者要求證的結(jié)論中含有定積分，或者所求的

15、極限式中含有定積分時(shí)，就可以考慮使用積分中值定理去解決問(wèn)題。我們學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)分析課程中并沒(méi)有提及積分中值定理的推廣和應(yīng)用，在這里，我對(duì)積分第一中值定理和積分第二中值定理的幾種推廣形式進(jìn)行了列舉和證明，并且列舉了三種推廣定理的運(yùn)用情況估計(jì)積分值、求積分的極限、確定積分符號(hào)，并且舉例了5道例題給以具體的解答，對(duì)應(yīng)用情形加以說(shuō)明。在應(yīng)用方面，還有證明積分不等式和判斷某些點(diǎn)的存在問(wèn)題、判斷收斂情況、證明函數(shù)單調(diào)性等等，在這里我不加以說(shuō)明。參考文獻(xiàn)1歐陽(yáng)光中，朱學(xué)炎，金臨福，陳傳漳.數(shù)學(xué)分析(上冊(cè))M.第三版.北京：高等教育出版社，2007年.2張筑生.數(shù)學(xué)分析新講M.北京:北京大學(xué)出版社,1990.92-95.3 劉玉蓮,傅沛仁.數(shù)學(xué)分析講義M.第二版.北京:高等教育出版社,1996.43-47. 4李惜雯.數(shù)學(xué)分析例題解析及難點(diǎn)注釋M.西安:西安交通大學(xué)出版社,2004.311-313.5馬亞利.談積分中值定理中的位置M.陜西師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然