10-5對(duì)坐標(biāo)曲面積分的計(jì)算

1、第五節(jié)第五節(jié) 對(duì)坐標(biāo)的曲面積分對(duì)坐標(biāo)的曲面積分 一、基本概念一、基本概念 二、概念的引入二、概念的引入 三、概念及性質(zhì)三、概念及性質(zhì) 四、計(jì)算法四、計(jì)算法 五、兩類曲面積分之間的聯(lián)系五、兩類曲面積分之間的聯(lián)系 六、小結(jié)六、小結(jié) 思考題思考題一、基本概念一、基本概念觀察以下曲面的側(cè)觀察以下曲面的側(cè) (假設(shè)曲面是光滑的假設(shè)曲面是光滑的)曲面分曲面分上上側(cè)和側(cè)和下下側(cè)側(cè)曲面分曲面分內(nèi)內(nèi)側(cè)和側(cè)和外外側(cè)側(cè)n曲面的分類曲面的分類:1.1.雙側(cè)曲面雙側(cè)曲面; ;2.2.單側(cè)曲面單側(cè)曲面. .典典型型雙雙側(cè)側(cè)曲曲面面莫比烏斯帶莫比烏斯帶典型典型單側(cè)曲面單側(cè)曲面:播放播放曲面法曲面法向量的指向向量的指向決定曲面

2、的決定曲面的側(cè)側(cè). .決定了側(cè)的曲面稱為決定了側(cè)的曲面稱為有向曲面有向曲面. .曲面的投影問題曲面的投影問題: :面面在在xoyS ,在在有有向向曲曲面面上上取取一一小小塊塊.0cos00cos)(0cos)()( 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xyxyxyS.)(表示投影區(qū)域的面積表示投影區(qū)域的面積其中其中xy 為為上上的的投投影影xyS)( 曲曲面面 S 二、概念的引入二、概念的引入實(shí)例實(shí)例: : 流向曲面一側(cè)的流量流向曲面一側(cè)的流量. .( (1 1) ) 流流速速場(chǎng)場(chǎng)為為常常向向量量 v, ,有有向向平平面面區(qū)區(qū)域域A A, ,求求單單位位時(shí)時(shí)間間流流過過A A的的流流體體的的質(zhì)質(zhì)量量 (

3、 (假假定定密密度度為為 1 1) ). .Av0n AAvnvAvA 0cos 流量流量( (2 2) ) 設(shè)設(shè)穩(wěn)穩(wěn)定定流流動(dòng)動(dòng)的的不不可可壓壓縮縮流流體體( (假假定定密密度度為為 1 1) )的的速速度度場(chǎng)場(chǎng)由由kzyxRjzyxQizyxPzyxv),(),(),(),( 給給出出, ,是是速速度度場(chǎng)場(chǎng)中中的的一一片片有有向向曲曲面面, ,函函數(shù)數(shù)),(),(),(zyxRzyxQzyxP都都在在上上連連續(xù)續(xù), , 求求在在單單位位時(shí)時(shí)間間內(nèi)內(nèi)流流向向指指定定側(cè)側(cè)的的流流體體的的質(zhì)質(zhì)量量 . .xyzo xyzo iS ),(iii ivin 把曲面分成把曲面分成n小塊小塊is ( (

4、is 同時(shí)也代表同時(shí)也代表第第i小塊曲面的面積小塊曲面的面積),),在在is 上任取一點(diǎn)上任取一點(diǎn)),(iii , ,1. 分割分割則該點(diǎn)流速為則該點(diǎn)流速為 .iv法向量為法向量為 .in該該點(diǎn)點(diǎn)處處曲曲面面的的單單位位法法向向量量kjiniiii coscoscos0 , ,通通過過is 流流向向指指定定側(cè)側(cè)的的流流量量的的近近似似值值為為)., 2 , 1(niSnviii ,),(),(),(),(kRjQiPvviiiiiiiiiiiii 2. 求和求和通通過過流流向向指指定定側(cè)側(cè)的的流流量量 niiiiSnv1iiiiiiiiiniiiiiSRQP cos),(cos),(cos),

5、(1 )(,()(,()(,(1xyiiiixziiiiyzniiiiiSRSQSP 3.3.取極限取極限0 .的精確值的精確值取極限得到流量取極限得到流量 )(,()(,()(,(lim10 xyiiiixziiiiyzniiiiiSRSQSP 定義定義 設(shè)為光滑的有向曲面設(shè)為光滑的有向曲面, ,函數(shù)在上有函數(shù)在上有界界, ,把分成把分成n塊小曲面塊小曲面iS ( (iS 同時(shí)又表示第同時(shí)又表示第 i塊小曲面的面積塊小曲面的面積),),iS 在在xoy面上的投影為面上的投影為xyiS )( , ,),(iii 是是iS 上任意取定的一點(diǎn)上任意取定的一點(diǎn), ,如如果當(dāng)各小塊曲面的直徑的最大值果

6、當(dāng)各小塊曲面的直徑的最大值0 時(shí)時(shí), , nixyiiiiSR10)(,(lim 存在存在, , 則稱此極限為函數(shù)則稱此極限為函數(shù)),(zyxR在有向曲面上在有向曲面上對(duì)對(duì)坐標(biāo)坐標(biāo)yx,的曲面積分的曲面積分( (也稱也稱第二類曲面積分第二類曲面積分) ) 三、概念及性質(zhì)三、概念及性質(zhì)記記作作 dxdyzyxR),(, ,即即 nixyiiiiSRdxdyzyxR10)(,(lim),( 被積函數(shù)被積函數(shù)積分曲面積分曲面類似可定義類似可定義 niyziiiiSPdydzzyxP10)(,(lim),( nizxiiiiSQdzdxzyxQ10)(,(lim),( 存在條件存在條件:當(dāng)當(dāng)),(),

7、(),(zyxRzyxQzyxP在在有有向向光光滑滑曲曲面面上上連連續(xù)續(xù)時(shí)時(shí), ,對(duì)對(duì)坐坐標(biāo)標(biāo)的的曲曲面面積積分分存存在在. .組合形式組合形式:dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP),(),(),( 物理意義物理意義:dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP),(),(),( 性質(zhì)性質(zhì): 2121. 1RdxdyQdzdxPdydzRdxdyQdzdxPdydzRdxdyQdzdxPdydz dxdyzyxRdxdyzyxRdzdxzyxQdzdxzyxQdydzzyxPdydzzyxP),(),(),(),(),(),(. 2四、計(jì)算法四、計(jì)算法 設(shè)積分曲面是由設(shè)積分曲

8、面是由方程方程),(yxzz 所給所給出的曲面上側(cè)出的曲面上側(cè), ,在在xoy面上的投影區(qū)域面上的投影區(qū)域?yàn)闉閤yD, ,函數(shù)函數(shù)),(yxzz 在在xyD上具上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), ,被積函數(shù)被積函數(shù)),(zyxR在在上連續(xù)上連續(xù). . ),(yxfz xyDxyzoxyS)( nixyiiiiSRdxdyzyxR10)(,(lim),( ),(,)()(, 0cos,iiixyxyizS 又又取上側(cè)取上側(cè) nixyiiiiinixyiiiizRSR1010)(,(,(lim)(,(lim xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR),(,),(即即,)()(, 0cos,x

9、yxyiS 取取下下側(cè)側(cè)若若 xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR),(,),(則有則有給出給出由由如果如果,),(zyxx yzDdydzzyzyxPdydzzyxP,),(),(則有則有給出給出由由如果如果,),(xzyy zxDdzdxzxzyxQdzdxzyxQ),(,),(注意注意: :對(duì)坐標(biāo)的曲面積分對(duì)坐標(biāo)的曲面積分, ,必須注意曲面所取的側(cè)必須注意曲面所取的側(cè). .例例 1 1 計(jì)計(jì)算算 xyzdxdy其其中中是是球球面面1222 zyx外外側(cè)側(cè)在在0, 0 yx的的部部分分. .解解兩部分兩部分和和分成分成把把21 ;1:2211yxz ,1:2222yxz xyz2 1

10、 12xyzdxdyxyzdxdyxyzdxdy xyxyDDdxdyyxxydxdyyxxy)1(12222 xyDdxdyyxxy2212.1521cossin222 xyDrdrdrr 五、兩類曲面積分之間的聯(lián)系五、兩類曲面積分之間的聯(lián)系 設(shè)設(shè)有有向向曲曲面面是是由由方方程程),(yxzz 給給出出, ,在在xoy面面上上的的投投影影區(qū)區(qū)域域?yàn)闉閤yD, , 函函數(shù)數(shù)),(yxzz 在在xyD 上上具具有有一一階階連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù), , ),(zyxR在在上上連連續(xù)續(xù). . 對(duì)對(duì)坐坐標(biāo)標(biāo)的的曲曲面面積積分分為為 xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR),(,),(xyD),(yx

11、fz xyzodsn有有向向曲曲面面的的法法向向量量的的方方向向余余弦弦為為 在點(diǎn)在點(diǎn)),(zyx處的單位法向量為處的單位法向量為 cos,cos,cos n, , .11cos,1cos,1cos222222yxyxyyxxzzzzzzzz 對(duì)面積的曲面積分為對(duì)面積的曲面積分為 xyDdxdyyxzyxRdSzyxR),(,cos),( 所所以以dSzyxRdxdyzyxR cos),(),( ( (注注意意取取曲曲面面的的兩兩側(cè)側(cè)均均成成立立) ) dSRQPdxdyRQdzdxPdydz)coscoscos( 兩類曲面積分之間的聯(lián)系兩類曲面積分之間的聯(lián)系對(duì)對(duì)坐坐標(biāo)標(biāo)的的曲曲面面積積分分為

12、為 xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR),(,),( 向量形式向量形式 dSAsdAdSnASdAn或或其中其中cos,cos,cos, nRQPA為為有向曲面上點(diǎn)有向曲面上點(diǎn)),(zyx處的單位法向量處的單位法向量, ,dxdydzdxdydzdSnSd 稱 為稱 為 有有 向 曲 面向 曲 面元元, ,nA為向量為向量A在在n上的投影上的投影. .例例 2 2 計(jì)計(jì)算算zdxdydydzxz )(2, ,其其中中是是旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)拋拋物物面面)(2122yxz 介介于于平平面面0 z及及2 z之之間間的的部部分分的的下下側(cè)側(cè). .解解 dydzxz)(2有有上上在曲面在曲面, dSxz

13、cos)(2 dxdyxz coscos)(2 dxdyzxxzzdxdydydzxz)()(22 xyDdxdyyxxxyx)(21)()(412222 xyDdxdyyxx)(21222 2022220)21cos(rdrrrd.11cos,1cos2222yxyxx .8 六、小結(jié)六、小結(jié)1.1.對(duì)坐標(biāo)曲面積分的物理意義對(duì)坐標(biāo)曲面積分的物理意義2.2.對(duì)坐標(biāo)曲面積分的計(jì)算時(shí)應(yīng)注意以下兩點(diǎn)對(duì)坐標(biāo)曲面積分的計(jì)算時(shí)應(yīng)注意以下兩點(diǎn)a.a.曲面的側(cè)曲面的側(cè)b.“b.“一投一投, ,二代二代, ,三定號(hào)三定號(hào)”思考題思考題 設(shè)設(shè) 為球面為球面1222 zyx，若以其，若以其球面的外側(cè)為正側(cè)，試問球面

14、的外側(cè)為正側(cè)，試問221zxy 之左側(cè)之左側(cè)（即（即oy軸與其法線成鈍角的一側(cè)）軸與其法線成鈍角的一側(cè)）是正側(cè)嗎？那么是正側(cè)嗎？那么221zxy 的左側(cè)的左側(cè)是正側(cè)嗎？是正側(cè)嗎？思考題解答思考題解答此時(shí)此時(shí) 的左側(cè)為的左側(cè)為負(fù)負(fù)側(cè)，側(cè)，221zxy 而而 的左側(cè)為的左側(cè)為正正側(cè)側(cè).221zxy 一、一、 填空題填空題: :1 1、 dzdxzyxQdzdxzyxQ),(),( = =_. .2 2、第二類曲面積分、第二類曲面積分dxdyRQdzdxPdydz 化成第化成第 一類曲面積分是一類曲面積分是_，其中，其中 ,為有向?yàn)橛邢?曲面曲面 上點(diǎn)上點(diǎn)),(zyx處的處的_的方向角的方向角 .

15、.二二、計(jì)計(jì)算算下下列列對(duì)對(duì)坐坐標(biāo)標(biāo)的的曲曲面面積積分分: : 1 1、 ydzdxxdydzzdxdy, ,其其中中 是是柱柱面面122 yx 被被平平面面0 z及及3 z所所截截得得的的在在第第一一卦卦限限內(nèi)內(nèi)的的部部分分的的 前前側(cè)側(cè)； 練練 習(xí)習(xí) 題題 2 2、 yzdzdxxydydzxzdxdy, ,其中其中 是平面是平面 1,0,0,0 zyxzyx所圍成的空間區(qū)所圍成的空間區(qū) 域的整個(gè)邊界曲面的外側(cè)；域的整個(gè)邊界曲面的外側(cè)； 3 3、dxdyyxez 22, ,其中其中 為錐面為錐面22yxz 和和 2,1 zz所圍立體整個(gè)表面的外側(cè)所圍立體整個(gè)表面的外側(cè) . .三、把對(duì)坐標(biāo)的

16、曲面積分三、把對(duì)坐標(biāo)的曲面積分 dzdxzyxQdydzzyxP),(),(dxdyzyxR),( 化化成對(duì)面積的曲面積分成對(duì)面積的曲面積分, ,其中其中 是平面是平面63223 zyx在第一卦限的部分的上側(cè)在第一卦限的部分的上側(cè) . .練習(xí)題答案練習(xí)題答案一一、1 1、0 0； 2 2、 dSRQP)coscoscos( , ,法法向向量量. . 二二、1 1、 23； 2 2、81； 3 3、22 e . . 三三、dSRQP)5325253( . . 莫比烏斯帶莫比烏斯帶典型典型單側(cè)曲面單側(cè)曲面:典型典型單側(cè)曲面單側(cè)曲面:莫比烏斯帶莫比烏斯帶典型典型單側(cè)曲面單側(cè)曲面:莫比烏斯帶莫比烏斯帶典型典型單側(cè)曲面單側(cè)曲面:莫比烏斯帶莫比烏斯帶典型典型單側(cè)曲面單側(cè)曲面:莫比烏斯帶莫比烏斯