協(xié)方差與相關系數(shù)

1、11 1、協(xié)方差、協(xié)方差第第1616講講 協(xié)方差與相關系數(shù)協(xié)方差與相關系數(shù)2 2、相關系數(shù)、相關系數(shù)主要內容：主要內容：重點：重點：1-31-3難點：難點：2 23 3、數(shù)字特征復習、數(shù)字特征復習華軟軟件學院課件華軟軟件學院課件 對于多維隨機變量，期望和方差只反映了各自的對于多維隨機變量，期望和方差只反映了各自的平均值與偏離程度，并沒有反映隨機變量間的關系平均值與偏離程度，并沒有反映隨機變量間的關系. .0)()( YEYXEXE由由方方差差性性質質的的證證明明知知，相相互互獨獨立立，則則若若YX, 0)()( YEYXEXE反反之之，若若不不獨獨立立。與與則則YX這這說說明明)()(YEYX

2、EXE 在在一一定定程程度度上上之之間間的的關關系系。與與反反映映了了YX一、協(xié)方差一、協(xié)方差 設設(X,Y)為二維隨機變量，為二維隨機變量， 若若)()(YEYXEXE 存在，則稱其為隨機變量存在，則稱其為隨機變量 X和和Y 的協(xié)方差的協(xié)方差.記作記作 cov(X,Y), 即即)()(),cov(YEYXEXEYX ),cov(),(YXYX是是離離散散型型，則則若若ijjjiipYEyXEx)()(, ),cov(),(YXYX是是連連續(xù)續(xù)型型，則則若若dxdyyxfYEyXEx),()()( 易易得得此此外外，由由期期望望的的性性質質，)()()(),cov(YEXEXYEYX 相相互互

3、獨獨立立時時，有有與與特特別別地地，當當YX. 0),cov( YX協(xié)協(xié)方方差差的的性性質質1性性質質)(),cov(XDXX 2性質性質),cov(),cov(XYYX 3性質性質),cov(),cov(YXabbYaX 4性質性質0),cov( cX5性質性質),cov(),cov(),cov(2121YXYXYXX 6性質性質0),cov(, YXYX則則相相互互獨獨立立與與若若為常數(shù)為常數(shù)cba,7性質性質),cov(2)()()(YXYDXDYXD ?),cov( baXX)(XaD :),(1的的聯(lián)聯(lián)合合分分布布律律為為設設二二維維隨隨機機變變量量例例YX - 1 0 2 0 0.

4、1 0.2 0 1 0.3 0.05 0.1 2 0.15 0 0.1XY).,cov(YX求求0)( XYE,15. 0)(,95. 0)( YEXE解解：)()()(),cov(YEXEXYEYX 15. 095. 0 1425. 0 求協(xié)方差。求協(xié)方差。練習：練習：20. 4:89P的的密密度度函函數(shù)數(shù)為為設設二二維維隨隨機機變變量量例例),(2YX 其其它它, 0, 10,8),(yxxyyxf).,cov(YX求求 其它其它, 010),1(4)(2xxxxfX 其其它它, 010,4)(3yyyfY dxxxfXE)()( 102)1(4dxxxx158 dyyyfYE)()( 1

5、034dyyy54 dxdyyxxyfXYE),()( 10dx 18xxydyxy94 )()()(),cov(YEXEXYEYX 753294 2254 的的密密度度函函數(shù)數(shù)為為設設二二維維隨隨機機變變量量練練習習：),(YX 其它其它, 0, 2,0),(81),(yxyxyxf).,cov(YX求求,67)()( YEXE,34)( XYE)()()(),cov(YEXEXYEYX 361 其其它它, 020,4)1()(xxxfX協(xié)方差是對兩個隨機變量的協(xié)同變化的度量協(xié)方差是對兩個隨機變量的協(xié)同變化的度量, 但是其但是其受度量單位的影響。受度量單位的影響。例如例如, KX與與KY之間

6、的統(tǒng)計關系和之間的統(tǒng)計關系和X與與Y之間的統(tǒng)計關之間的統(tǒng)計關系應該一樣，但協(xié)方差卻擴大了系應該一樣，但協(xié)方差卻擴大了K2倍。倍。. ),cov(),cov(2YXkkYkX 即即為避免量綱的影響，取標準化隨機變量為避免量綱的影響，取標準化隨機變量)()(,)()(*YDYEYYXDXEXX 二、相關系數(shù)二、相關系數(shù) )()(,)()(*YDYEYYXDXEXX 不不再再有有量量綱綱的的影影響響。則則),cov(*YX稱稱為為二二維維隨隨機機變變量量設設定定義義, 0, 0 )D(Y)D(X(X,Y)，)()(),cov(),cov(*YDXDYXYX 記記作作的的相相關關系系數(shù)數(shù)和和為為隨隨機

7、機變變量量,YX. 或或XYXY 不不相相關關。與與時時，稱稱特特別別地地，當當YXXY0 (1) 不相關與相互獨立的關系不相關與相互獨立的關系 相互獨立相互獨立不相關不相關 (2) 不相關的充要條件不相關的充要條件 ; 0,1o XYYX不不相相關關; 0),Cov(,2o YXYX不不相相關關).()()(,3oYEXEXYEYX 不不相相關關相相關關系系數(shù)數(shù)的的性性質質(3)1 XY 線線性性相相關關程程度度越越弱弱。與與，越越接接近近線線性性相相關關程程度度越越高高；與與，越越接接近近XYXYXYXY01 無無線線性性關關系系。與與時時，當當有有嚴嚴格格的的線線性性關關系系；與與時時，

8、當當XYXYXY01 YX例例3 設（設（ X ，Y ）的聯(lián)合分布律為的聯(lián)合分布律為412112 410041041410判斷判斷 X與與Y的相關性和獨立性。的相關性和獨立性。, 0)( XE,25)( YE, 0)( XYE0 XY 不不相相關關。與與YX無無線線性性關關系系。與與這這表表示示XY1201, 2 YPXPYXP但但不不獨獨立立。與與YX2XY 事事實實上上，,cos,sin,4 YX且且上上的的均均勻勻分分布布設設例例.是是否否相相關關，是是否否獨獨立立與與判判斷斷YX dXEsin21)(, 0 dXYEcossin21)( dYEcos21)(, 0 , 0 )()()(

9、YEXEXYE .不相關不相關與與YX.122不獨立不獨立與與，所以，所以但是但是YXYX .)(,23,21,)16, 0(),9,1(5XZXYZDYXZYNX 及及求求設設且且已已知知例例 分析分析: 協(xié)方差。協(xié)方差。的的與與必須先求出必須先求出的方差的方差獨立，所以求獨立，所以求與與已知條件沒有告訴已知條件沒有告訴YXZYX解解: : XYYDXDYX )()(),cov( 6 )23()(YXDZD )(41)(91YDXD )2,3cov(2YX )(41)(91YDXD ),cov(21312YX 7 , 6),cov( YX, 9)( XD)23,cov(),cov(YXXZX

10、 又又),cov(21),cov(31YXXX 6 , 7)( ZD),cov(21)(31YXXD )()(),cov(ZDXDZXXZ 736 772 思考與練習：思考與練習：).()(, 6 . 0,25)(,49)(),(. 1YXDYXDYDXDYXXY 與與求求為為二二維維隨隨機機變變量量，設設 ).,cov(, 2 . 0,16)(, 9)(, 0)()(),(. 222YXYEXEYEXEYXXY求求為為二二維維隨隨機機變變量量，設設 ,21),cov( YX),cov(2)()()(YXYDXDYXD 116 ),cov(2)()()(YXYDXDYXD 32 ,16)(,

11、9)( YDXD4 . 2)()(),cov( YDXDYXXY 課課 后后 作業(yè)作業(yè)數(shù)學期望（均值）數(shù)學期望（均值） 1)(kkkpxXExxfxXEd)()( 重 點 回 顧 kkkpxgXgE)()( dxxfxgXgE)()()(數(shù)數(shù)學學期期望望的的性性質質1性性質質ccE )(2性質性質cXEcXE )()(3性質性質)()(XkEkXE 4性質性質cXkEckXE )()(5性質性質)()()(YEXEYXE 推論推論)()()()(2121nnXEXEXEXXXE .)()(.)(,22XEXEXDXDXX 即即或或記記作作的的方方差差期期望望稱稱為為離離差差的的平平方方的的數(shù)數(shù)

12、學學隨隨機機變變量量定定義義.,)(或標準差或標準差的均方差的均方差稱為稱為方差的算術平方根方差的算術平方根XXD方差方差 離散型隨機變量離散型隨機變量 X 的方差的方差 )(XDiiipXEx21)( 連續(xù)型隨機變量連續(xù)型隨機變量 X 的方差的方差 xxfXExXDd)()()(2 差差的的簡簡便便公公式式由由期期望望的的性性質質，可可得得方方22)()()(XEXEXD 方方差差的的性性質質1性性質質0)( cD2性質性質)()(XDcXD 3性質性質)()(2XDccXD 4性質性質)()()(YDXDYXDYX 相相互互獨獨立立，則則與與若若10 pp)1(pp 10, 1 pnnp)

13、1(pnp 0 ba 2)(ba 12)(2ab 0 2分布分布 參數(shù)參數(shù) 數(shù)學期望數(shù)學期望 方差方差 兩點分布兩點分布 二項分布二項分布 泊松分布泊松分布 均勻分布均勻分布 指數(shù)分布指數(shù)分布 正態(tài)分布正態(tài)分布 0, 2常見分布的期望與方差常見分布的期望與方差_)(, 4 . 2)(), 6(. 12 XEXEpBX則則且且設設隨隨機機變變量量練練習習：2 . 7._)(_,)(2,PX1PX),(. 2 XDXEPX則則且且設設 22_)(),1(. 32 XeXEEX則則設設34._)(_,)(, 12),1 , 0(. 4 YDYEXYNX則則且且設設14._)(_,)(,5. 5 XDXEX方方差差的的期期望望則則其其點點數(shù)數(shù)和和顆顆骰骰子子擲擲23512175_)32(, 1)(, 2)(. 6 YXDYDXDYX則則相相互互獨獨立