方程的根與零點(diǎn)的關(guān)系

1、n31函數(shù)與方程函數(shù)與方程n31.1方程的根與函數(shù)的零方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)點(diǎn)n1函數(shù)yx21與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為n方程x210的實(shí)數(shù)根為.n函數(shù)yx2與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為n方程x20的實(shí)數(shù)根為.n函數(shù)yx21與x軸交點(diǎn)n方程x210的實(shí)數(shù)根(1,0)，(1,0)x1(0,0)x0無無n2一般地，一元二次方程ax2bxc0(a0)的實(shí)數(shù)根及其相應(yīng)的二次函數(shù)yax2bxc(a0)的圖象與x軸交點(diǎn)的關(guān)系如下表，請?zhí)顚慴24ac函數(shù)yax2bxc圖象方程的實(shí)根yax2bxc與x軸的交點(diǎn)結(jié)論0 方程的實(shí)根即函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)0 n3.對于函數(shù)yf(x)，我們把使的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)yf(x)的零點(diǎn)n方程f(

2、x)0有實(shí)數(shù)根n函數(shù)yf(x)的圖象與有交點(diǎn)n函數(shù)yf(x)有點(diǎn)n4若函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上的圖象是連續(xù)曲線，且有，則函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c(a，b)使得f(c).f(x)0 x軸零f(a)f(b)00n本節(jié)重點(diǎn)難點(diǎn)：通過方程與函數(shù)的關(guān)系，確定方程根的存在性和根的個(gè)數(shù)n1一般結(jié)論n如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上的圖象是連續(xù)不間斷的一條曲線，并且有f(a)f(b)0，那么，函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)即存在c(a，b)，使得f(c)0，這個(gè)c就是方程f(x)0的根零點(diǎn)c通常稱作函數(shù)f(x)的變號零點(diǎn)n注意：f(x)的圖象必須在區(qū)間a，b上連續(xù)不斷且f(

3、a)f(b)0時(shí)，才可確定f(x)在a，b上有零點(diǎn)n2函數(shù)變號零點(diǎn)的性質(zhì)n對于任意函數(shù)yf(x)，只要它的圖象是連續(xù)不間斷的，則有：n當(dāng)它通過變號零點(diǎn)時(shí)，函數(shù)值變號如函數(shù)f(x)x22x3的圖象在零點(diǎn)1的左邊時(shí)，函數(shù)值取正號，當(dāng)它通過零點(diǎn)1時(shí)，函數(shù)值由正變?yōu)樨?fù)，再通過第二個(gè)零點(diǎn)3時(shí)，函數(shù)值又由負(fù)變正n在相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間所有的函數(shù)值保持同號n3方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)的作用n一方面，函數(shù)是否有零點(diǎn)是研究函數(shù)性質(zhì)和精確地畫出函數(shù)圖象的重要一步例如，求出二次函數(shù)的零點(diǎn)及其圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)，就能確定二次函數(shù)的一些主要性質(zhì)，并能粗略地畫出函數(shù)的簡圖n另一方面，對于不能用公式法求根的方程f(x)0來說，我們可以

4、將它與函數(shù)yf(x)聯(lián)系起來，利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn)或所在范圍，從而求出方程的根或根的近似值n例11.指出下列函數(shù)的零點(diǎn)：nf(x)4x3f(x)x23x2nf(x)x41n2函數(shù)f(x)x2axb的兩個(gè)零點(diǎn)是2和4，求a、b.n3函數(shù)f(x)ax2x1僅有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍n(1)指出下列函數(shù)的零點(diǎn)：nf(x)x22x3零點(diǎn)為_ng(x)lgx2零點(diǎn)為_n(2)已知1和4是函數(shù)f(x)ax2bx4的零點(diǎn)，則f(1)_.n例2二次函數(shù)yax2bxc中，ac0，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是()nA1個(gè)B2個(gè)nC0個(gè) D無法確定n分析分析條件ac0，a是二次項(xiàng)系數(shù)，確定拋物線的開口方向，cf(0)

5、，所以acaf(0)0、0、0，f(b)0，則函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)()nA一定有零點(diǎn) B一定沒有零點(diǎn)nC可能有兩個(gè)零點(diǎn) D至多有一個(gè)零點(diǎn)n(2)若函數(shù)f(x)在定義域x|xR且x0上是偶函數(shù)，且在(0，)上為減函數(shù)，f(2)0，則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)有n()nA一個(gè) B兩個(gè)nC至少兩個(gè) D無法判斷n答案(1)C(2)Bn分析從已知的區(qū)間(a，b)，求f(a)和f(b)判斷是否有f(a)f(b)0.n總結(jié)評述：這是最基本的題型，所用的方法也是基本方法：只要判斷區(qū)間a，b的端點(diǎn)函數(shù)值的乘積是否有f(a)f(b)0.n若函數(shù)yf(x)在區(qū)間(2,2)上的圖象是連續(xù)不斷的曲線，且方程f(x)0

6、在(2,2)上僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根0，則f(1)f(1)的值n()nA大于0 B小于0nC無法判斷 D等于零n答案Cn解析當(dāng)有變號零點(diǎn)時(shí)f(1)f(1)0，故選C.n例4求函數(shù)f(x)(x2x2)(x22x8)的零點(diǎn)，并指出使y0成立的x的取值范圍n解析y(x2x2)(x22x8)(x2)(x1)(x2)(x4)(x2)2(x1)(x4)n函數(shù)的零點(diǎn)為2,1和4n畫出示意圖：n可知使y0成立的x的取值范圍是區(qū)間(1,4)n在求使y0)的x的取值范圍時(shí)，常根據(jù)零點(diǎn)的性質(zhì)畫出示意圖，在數(shù)軸上標(biāo)出零點(diǎn)，畫曲線時(shí)，奇過(乘方次數(shù)為奇數(shù)，即變號零點(diǎn))偶不過(乘方次數(shù)為偶數(shù)，即不變號零點(diǎn))直接據(jù)圖示寫出x的取值

7、范圍這種方法通常稱作“標(biāo)根法”(或“穿根法”)n例5已知函數(shù)f(x)在其定義域上是單調(diào)函數(shù)，證明f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn)n分析不妨設(shè)f(x)在R上是增函數(shù)，為證明f(x)0至多有一個(gè)實(shí)根，考慮用反證法證明n證明假設(shè)f(x)0至少有兩個(gè)不同的實(shí)根x1，x2，且不妨設(shè)x1x2，由題意得f(x1)0，f(x2)0.nf(x1)f(x2)nf(x)在其定義域上是單調(diào)函數(shù)，不妨設(shè)為增函數(shù)，由x1x2則nf(x1)1時(shí)，f(x)0，n從而不存在x1，使f(x)0，n方程f(x)0沒有大于1的實(shí)數(shù)根n錯(cuò)解f(1)20，f(1)20，nf(x)至少有一個(gè)零點(diǎn)，故選C.n辨析解決函數(shù)問題必須注意函數(shù)的定義域，本題

8、中，函數(shù)f(x)定義域?yàn)?，0)(0，)，f(x)的圖象不是連續(xù)不斷的在定義域上不能用勘根定理因?yàn)榇硕ɡ淼那疤釛l件是函數(shù)圖象連續(xù)不斷n正解易知函數(shù)定義域?yàn)閤R|x0，當(dāng)x0時(shí)，f(x)0時(shí)，f(x)0，函數(shù)無零點(diǎn)，故選A.n一、選擇題n1已知函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上單調(diào)，且f(a)f(b)0則方程f(x)0在區(qū)間a，b上()nA至少有一實(shí)根B至多有一實(shí)根nC沒有實(shí)根 D必有惟一的實(shí)根n答案Dn2若方程2ax2x10在(0,1)內(nèi)恰有一解，則a的取值范圍是n()nAa1nC1a1 D0a1n答案Bn解析a0時(shí)，顯然不滿足，令f(x)2ax2x1，nf(x)0在(0,1)內(nèi)恰有一解f(0)f(1)0，n即1(2a2)1.選B.n3已知函數(shù)f(x)的圖象是連續(xù)不斷的，有如下的x、f(x)對應(yīng)值表：n函數(shù)f(x)在區(qū)間1,6上的零點(diǎn)至少有()nA 2 個(gè) B 3 個(gè) C 4 個(gè)D5個(gè)n答案Bx123456f(x)123.5621.457.8211.5753.76126.49n4(2010天津理，2)函數(shù)f(x)2x3x的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間