設(shè)計(jì)模擬濾波器通常是給定幅函數(shù)學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1設(shè)計(jì)模擬濾波器通常是給定幅函數(shù)設(shè)計(jì)模擬濾波器通常是給定幅函數(shù)第一頁，編輯于星期二：九點(diǎn) 十二分。 dttjtthdtethjHtjsincos tdttjhtdtthsincosjHjjXjR thjejHjH dttjtthsincos jjXjRtdttjhtdtthsincos是實(shí)函數(shù)時(shí)，頻響為第1頁/共69頁第二頁，編輯于星期二：九點(diǎn) 十二分。 sH sH sHsH jHjHjH2對(duì)應(yīng)的LT T是 sHsHojoj定義幅度平方函數(shù)：的關(guān)系：零、極點(diǎn)是象限對(duì)稱的。與的零、極點(diǎn)的零、極點(diǎn)第2頁/共69頁第三頁，編輯于星期二：九點(diǎn) 十二分。 sHL sHL sHd無論設(shè)計(jì)何種模擬（高

2、通、帶通、帶阻）濾波器，都可以先設(shè)計(jì)得到模擬低通濾波器的換，得到所需要的，再經(jīng)頻率變。通常把低通濾波器（或模擬低通原型），所以我們只討論模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)方法稱為模擬原型2、AF的技術(shù)要求的技術(shù)要求討論低通AF的設(shè)計(jì)方法。低通AF的技術(shù)指標(biāo)是由容限圖給出的。第3頁/共69頁第四頁，編輯于星期二：九點(diǎn) 十二分。ps11jH2s確定模擬低通的參數(shù)有： 2p1，通帶允許誤差阻帶允許誤差阻帶截止頻率通帶截止頻率01第4頁/共69頁第五頁，編輯于星期二：九點(diǎn) 十二分。 sp12sp通帶截止頻率p通帶允許最大衰減s一般是由衰減表示的。由衰減表示的一般容限圖的參數(shù)有阻帶截止頻率阻帶允許最小衰減30dB3d

3、B0第5頁/共69頁第六頁，編輯于星期二：九點(diǎn) 十二分。 21lg10PP式中2jH jHjHjYjXPPlg201lg10lg10lg102222121PP1P2PjXjY定義衰減函數(shù)為AF的輸出功率；為AF的輸入功率；功率傳輸比若用表示，則輸入輸出電壓（或電流）的變換。第6頁/共69頁第七頁，編輯于星期二：九點(diǎn) 十二分。dBp3srads/1044dBs30sradp/1024kHz10kHz20例3-30 已知一模擬低通AF試求通、阻帶誤差 12（衰減越大，輸出越接近零）。以上的信號(hào)不能順利通過，衰減不小于30dB超過3dB，可以是單調(diào)的，也可以是波紋的。以下的信號(hào)可以順利通過，其衰減不

4、指標(biāo)說明阻帶允許最小衰減阻帶下限頻率：通帶允許最大衰減通帶截止頻率：第7頁/共69頁第八頁，編輯于星期二：九點(diǎn) 十二分。 p0dB3dBjH3lg20dBjH3lg2020/3lgjH707. 01020/3jH707. 0111293. 0通帶或第8頁/共69頁第九頁，編輯于星期二：九點(diǎn) 十二分。sdB30dBjH30lg20dBjH30lg202/3lgjH22/30316. 010jH1293. 00316. 02阻帶得到振幅函數(shù)變化范圍：第9頁/共69頁第十頁，編輯于星期二：九點(diǎn) 十二分。jH sH 21lg10jHjK當(dāng)給定濾波器的技術(shù)指標(biāo)后，設(shè)計(jì)的任務(wù)就是要找到一個(gè)符合要求的或。但

5、是不容易用多項(xiàng)式或有理式表示，所以要找到一個(gè)能夠用多項(xiàng)式或有理式逼近的函數(shù)。這個(gè)函數(shù)被稱為特征函數(shù)，用表示。并將功率比表示為2211jKPP2211jKjH3、濾波器對(duì)的逼近方法、濾波器對(duì)的逼近方法第10頁/共69頁第十一頁，編輯于星期二：九點(diǎn) 十二分。 221lg101lg10jKjH22jKjHdddjHdjK這樣我們得到用表示的衰減函數(shù)為為自變量的多項(xiàng)式或有理式。等于以逼近的方法是設(shè)，或是設(shè)法用某種方法逼近，我們的任務(wù)就或如果給定了所希望的衰減第11頁/共69頁第十二頁，編輯于星期二：九點(diǎn) 十二分。2jK NcNcNcjjjKjK22jK常用的函數(shù)有 xVVjKjKjKNcN22222x

6、c/這是巴特沃思逼近的特征函數(shù)。 式中 1coshcosh1coscos11xxNxxNxVN這是切比雪夫逼近的特征函數(shù)。 下面具體介紹由這兩個(gè) 器與切比雪夫?yàn)V波器。 2jK函數(shù)構(gòu)成的巴特沃思濾波(3-106)(3-107)(1)(2)第12頁/共69頁第十三頁，編輯于星期二：九點(diǎn) 十二分。2211jKjHNc2/11NcjH2/11巴特沃思濾波器也稱最平響應(yīng)特性濾波器。(3-106)式是其特征函數(shù)。3.8.1 Butterworth濾波器設(shè)計(jì)濾波器設(shè)計(jì)1、巴特沃思濾波器的數(shù)學(xué)模型、巴特沃思濾波器的數(shù)學(xué)模型模頻特性為其中：N是濾波器階數(shù)。第13頁/共69頁第十四頁，編輯于星期二：九點(diǎn) 十二分。

7、112NjHspcButterworth濾波器模頻特性濾波器模頻特性10.707第14頁/共69頁第十五頁，編輯于星期二：九點(diǎn) 十二分。2jHscNButterworth濾波器幅度平方函數(shù)圖濾波器幅度平方函數(shù)圖10.5第15頁/共69頁第十六頁，編輯于星期二：九點(diǎn) 十二分。212jH21jHcc1/2Nc1jHc1/2Nc0jHN2/1Nc2/1時(shí)(1)是濾波器的半功率點(diǎn)或幅頻特性所以（-3dB）點(diǎn)。的增加，通帶邊緣變化加快，幅頻特性越逼近理隨著為多少，幅頻特性都通過點(diǎn)。想特性。但無論第16頁/共69頁第十七頁，編輯于星期二：九點(diǎn) 十二分。都是平直的，即為“最平響應(yīng)”濾波器的由來。附近幅頻特性

8、，并且在 0時(shí)，01jH (3)模頻變化是單調(diào)的，相位特性較好。要設(shè)計(jì)一個(gè)符合性能指標(biāo)要求的巴特沃思濾波器，可知0jH阻帶內(nèi)越逼近理想特性，通帶內(nèi)N1jH且N數(shù) 。c首先要確定的參數(shù)有兩個(gè)：-3dB截止頻率 及系統(tǒng)階(2)第17頁/共69頁第十八頁，編輯于星期二：九點(diǎn) 十二分。Nc2pajH211Ncp2/11222sajHNcs2/11Nc112jHsp2的確定的確定、1兩個(gè)方程，兩個(gè)未知數(shù)，可以解出。第18頁/共69頁第十九頁，編輯于星期二：九點(diǎn) 十二分。spspspN/lg1/111/1lg/lg110110lg2211 . 01 . 0 (3-115)為改善阻帶指標(biāo) (3-116a)N

9、pcp211 . 0110或?yàn)楦纳仆◣е笜?biāo) (3-116b)Nscs211 . 0110第19頁/共69頁第二十頁，編輯于星期二：九點(diǎn) 十二分。 sHa2jHa sHaNc2/11 jHjHjH2sj22sssjj所以 22ssj sHsHNcNcss22222/11/11NcNs2/1113、求、求即將因?yàn)樗悸罚河傻?0頁/共69頁第二十一頁，編輯于星期二：九點(diǎn) 十二分。N0/12Ncs1/2NcskNjckNjckees22Nk2210， sHsHaaN/c的極點(diǎn)為奇數(shù)時(shí)，分母為當(dāng)解出實(shí)軸上有極點(diǎn)。的圓上，并且為間隔，分布在半徑為極點(diǎn)是以第21頁/共69頁第二十二頁，編輯于星期二：九點(diǎn) 十

10、二分。NkjNjcNkjckeees2212Nk2210， 0/12Ncs1/2NcsNN2N/c為偶數(shù)時(shí)，分母為當(dāng)解出的圓上，實(shí)軸上沒有極點(diǎn)。極點(diǎn)是以為間隔，起點(diǎn)在分布在半徑為第22頁/共69頁第二十三頁，編輯于星期二：九點(diǎn) 十二分。 sHasHa NkkaassksHsH210N2cNN由右半平面極點(diǎn)組成。由左半平面極點(diǎn)組成其中：為偶數(shù)時(shí)，實(shí)軸上沒有極點(diǎn)。 有極點(diǎn)；當(dāng)對(duì)稱虛軸，虛軸上無極點(diǎn)；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，實(shí)軸上為半徑，等間隔分布；個(gè)極點(diǎn)，以特點(diǎn)：特點(diǎn)：有第23頁/共69頁第二十四頁，編輯于星期二：九點(diǎn) 十二分。1Njcc1 , 0kjkckes2N2/ccj3 , 2 , 1 , 0k412

11、 kjckes24kjjcee例例第24頁/共69頁第二十五頁，編輯于星期二：九點(diǎn) 十二分。3/jcc5 , 2 , 1 , 0k3N3/jkckes4Nkjjckjckeees488127 , 2 , 1 , 0k例例4/jcc8/第25頁/共69頁第二十六頁，編輯于星期二：九點(diǎn) 十二分。 NkkassksH10 sHa0 js時(shí)， 10 aH0s 0ssHa110Nkksk0k的極點(diǎn)。點(diǎn)，做根據(jù)因果穩(wěn)定系統(tǒng)的要求，我們選出左半平面的N個(gè)極所以求因?yàn)榱钣傻?6頁/共69頁第二十七頁，編輯于星期二：九點(diǎn) 十二分?？山獬?NCNkksk10則 NkkNCNkkNkkssssssH111NCNCN

12、CNCNNCssss1221(3-122) 第27頁/共69頁第二十八頁，編輯于星期二：九點(diǎn) 十二分。各濾波器的幅頻特性不同，為使設(shè)計(jì)統(tǒng)一，可以作歸一化后的 表示為 sHa化處理。如果采用對(duì)-3dB截止頻率 c歸一化，歸一 1/12211CNCNNCNNCNsssssH (3-123a) NkckcsssH11或或 (3-123b) 第28頁/共69頁第二十九頁，編輯于星期二：九點(diǎn) 十二分。 NkksssH11為歸一化極點(diǎn)，表示為式中ks 01111asasasNNN(3-124)Nkjkes21221Nk，21(3-125)cssckkss，則 (5) 式 變?yōu)榱?、?9頁/共69頁第三十頁

13、，編輯于星期二：九點(diǎn) 十二分。歸一化后的巴特沃思濾波器一般也稱歸一化巴特沃思原型低通濾波器。將(3-124)式的分母多項(xiàng)式制成相應(yīng)的 表 3-3 巴特沃思多項(xiàng)式表N 0111asasasasDNNNN1 s1 122ss2 12223sss3表格如表3-3所示，這樣的多項(xiàng)式稱巴特沃思多項(xiàng)式。第30頁/共69頁第三十一頁，編輯于星期二：九點(diǎn) 十二分。 16131. 24142. 36131. 2234ssss45 12361. 32361. 52361. 52631. 32345sssss6 34561416. 94641. 78637. 3ssss7 45675918.140978.10494

14、. 4ssss 18637. 34641. 72ss 1494. 40978.105918.1423sss第31頁/共69頁第三十二頁，編輯于星期二：九點(diǎn) 十二分。4、設(shè)計(jì)步驟(1)由 ，及(3-115)式確定濾波器階數(shù) N入(3-124)式得歸一化系統(tǒng)函數(shù)。 (4) 去歸一化，得到實(shí)際濾波器的系統(tǒng)函數(shù) CsssHsH /(3)用（3-116）式確定 c。(2)由 查表3-3或由(3-125)式確定歸一化極點(diǎn) ks， 代Nspsp、第32頁/共69頁第三十三頁，編輯于星期二：九點(diǎn) 十二分。，設(shè)計(jì)滿足條件的巴特沃思低通濾波器。，設(shè)計(jì)滿足條件的巴特沃思低通濾波器。dBs30例例3-31、已知通帶截

15、止頻率、已知通帶截止頻率 ，通帶最大衰減，通帶最大衰減 kHzfp3，阻帶截止頻率，阻帶截止頻率 ，阻帶最小衰減，阻帶最小衰減 dBp1kHzfs12解解957. 5602. 05864. 3602. 09992589. 0lgspspN/lg110110lg1 . 01 . 012/3lg110110lg31 . 0第33頁/共69頁第三十四頁，編輯于星期二：九點(diǎn) 十二分。函數(shù)函數(shù) 34561416. 94641. 78637. 3sssssH 1218637. 34641. 7ss為改善阻帶指標(biāo)為改善阻帶指標(biāo) c取取211030001101211 . 0211 . 0Npcp4101096

16、. 221192. 13000取正整數(shù)，所以取正整數(shù)，所以 6N。查表得濾波器歸一化系統(tǒng)。查表得濾波器歸一化系統(tǒng)N第34頁/共69頁第三十五頁，編輯于星期二：九點(diǎn) 十二分。去歸一化，得到 CsssHsH /去歸一化計(jì)算較繁，可以借助MATLAB完成去歸一化的工作。本例去歸一化的MATLAB程序及結(jié)果如下b=0 0 0 0 0 0 1;%分子系數(shù)；a=1 3.8637 7.4641 9.1416 7.4641 3.8637 1; bt at=lp2lp(b,a,2.1096)% 去歸一化分子、母系數(shù)；%分母系數(shù)；第35頁/共69頁第三十六頁，編輯于星期二：九點(diǎn) 十二分。 1.0000 8.150

17、9 33.2183 85.8267 147.8352答案bt= 88.1456at 分母系數(shù)161.4373 88.1456分子系數(shù)第36頁/共69頁第三十七頁，編輯于星期二：九點(diǎn) 十二分。去歸一化后 65243342566CCCCCCCsssssssH因?yàn)閷?shí)際頻率 4101096. 2c數(shù)值太大，受運(yùn)算精度的影響，我們?cè)贛ATLAB程序中用取 1096. 2c。因此最后分子系數(shù)要乘以 2410，分母多項(xiàng)式系數(shù)結(jié)果所以最后正確結(jié)果為從第二項(xiàng)式要依次乘以 2420161284101010101010、，第37頁/共69頁第三十八頁，編輯于星期二：九點(diǎn) 十二分。 25221813946251081

18、5. 810614. 110478. 110583. 810321. 3101509. 810815. 8ssH 1394610583. 810321. 3101509. 8 ssD25221810815. 810614. 110478. 1 2510815. 8sN分子 分母 第38頁/共69頁第三十九頁，編輯于星期二：九點(diǎn) 十二分。的階數(shù)比巴特沃思濾波器要低。代價(jià)是相位特性比巴特巴特沃思濾波器是常用的一種濾波器，從它的幅頻特性可見，它的通帶誤差低端小高端大。為了保證濾波器通帶高端的性能指標(biāo)，濾波器的階數(shù)就會(huì)較高。切比雪夫?yàn)V波器采用等波紋逼近理想特性，使通帶內(nèi)誤差分布均勻。這樣在相同指標(biāo)情況

19、下，切比雪夫?yàn)V波器沃思濾波器差，且設(shè)計(jì)相對(duì)復(fù)雜。3.8.2 Chebyshev濾波器濾波器第39頁/共69頁第四十頁，編輯于星期二：九點(diǎn) 十二分。ps01112jHChebyshev濾波器濾波器特點(diǎn)較差。缺點(diǎn)：通帶內(nèi)相位特性數(shù)較低，結(jié)構(gòu)簡單。優(yōu)點(diǎn)：相同指標(biāo)下，階通帶內(nèi)單調(diào)，阻帶等波紋（型）。通帶內(nèi)等波紋，阻帶單調(diào)（型）；第40頁/共69頁第四十一頁，編輯于星期二：九點(diǎn) 十二分。cNVjH/11222Ncx/ 1coshcosh1coscos/11xxNxxNxVVNcN xVjHN22211，則是濾波器階數(shù)，式中是波紋系數(shù)。 xVN是第一類切比雪夫多項(xiàng)式，定義為1、數(shù)學(xué)模型（逼近函數(shù)）、數(shù)學(xué)模

20、型（逼近函數(shù)）令：第41頁/共69頁第四十二頁，編輯于星期二：九點(diǎn) 十二分。0N 10coscos0cos10 xxV1N xxxVcoscoscos11x1coscosx xVN遞推 2N 121cos22coscos2cos2212xxxV xVN1、令：第42頁/共69頁第四十三頁，編輯于星期二：九點(diǎn) 十二分。3N 3coscos3cos13xxV4N 1884coscos4cos2414xxxxV2N xVxxVxVNNN112xx34cos3cos433的遞推公式：第43頁/共69頁第四十四頁，編輯于星期二：九點(diǎn) 十二分。0-11-11x xV1x xV40-11-11x xV30-

21、11-11x xV20-11-11的特性曲線如圖3-63所示。 xVxV41第44頁/共69頁第四十五頁，編輯于星期二：九點(diǎn) 十二分。 xVN xVN2為奇數(shù)為偶數(shù)NNjHa1110220 x 為奇數(shù)為偶數(shù)NNxVxVNN01012的特點(diǎn)：、2jHajHa、(1)時(shí)，為奇數(shù)為偶數(shù)NNjHa11102第45頁/共69頁第四十六頁，編輯于星期二：九點(diǎn) 十二分。NC211C(3-129)式說明無論為多少，模頻特性在時(shí)通過點(diǎn)，所以定義的截止頻率。為切比雪夫?yàn)V波器1x 112xVxVNN2211cajH時(shí)，(2)211cajH第46頁/共69頁第四十七頁，編輯于星期二：九點(diǎn) 十二分。(3)10 xC0

22、10 xVN2111jHa時(shí)，(4)隨著N1x xVN的增加， 時(shí)的波動(dòng)增加，通帶1x xVN波紋增加；時(shí)，增加快，阻帶衰減亦加快。切比雪夫?yàn)V波器模頻特性如圖3-64所示。 第47頁/共69頁第四十八頁，編輯于星期二：九點(diǎn) 十二分。211jH圖3.8-9 切比雪夫?yàn)V波器模頻特性 N=3N=410第48頁/共69頁第四十九頁，編輯于星期二：九點(diǎn) 十二分。 xNxVN1coshcosh1/px這時(shí)110111111 . 0212ppajH 22221111111NpaVjHcN、pc的確定2、(1)由截止頻率確定(3) N由阻帶指標(biāo)確定所以因?yàn)橛赏◣г试S的波紋確定(2)第49頁/共69頁第五十頁，

23、編輯于星期二：九點(diǎn) 十二分。 212222/coshcosh1111psNsaNxVjH2222111/coshcosh1sapsjHN1111/coshcosh22221sapsjHN111111/coshcosh2221sapsjHN1101cosh111cosh/cosh1 . 012211spsN第50頁/共69頁第五十一頁，編輯于星期二：九點(diǎn) 十二分。1101cosh111cosh/cosh1 . 012211spsNpspssN/cosh1101cosh/cosh111cosh11 . 0112211lncosh21xxx其中第51頁/共69頁第五十二頁，編輯于星期二：九點(diǎn) 十二分

24、。 sHa cNaaajsVsjjHsHsH/112220/122cNjsV sHsHaa sHakkkjs0kkk、122ckckba有左半平面的極點(diǎn)作為的極點(diǎn)。個(gè)極點(diǎn)（所有極點(diǎn)是分布在一個(gè)橢圓上的），取出所3、確定因?yàn)榈?N，解出由即其中滿足橢圓方程：第52頁/共69頁第五十三頁，編輯于星期二：九點(diǎn) 十二分。為偶數(shù)NNkbNkackck212sin212cos為奇數(shù)NNkbNkackcksincos211NNa1121NNb1121則式中第53頁/共69頁第五十四頁，編輯于星期二：九點(diǎn) 十二分。NNks圓的分割點(diǎn)上，縱坐標(biāo)落在大圓的分割點(diǎn)上。當(dāng)?shù)臋M坐標(biāo)落在小為奇數(shù)時(shí)，實(shí)軸上有極點(diǎn)。在虛軸上

25、沒有極點(diǎn)。當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，實(shí)軸上無極點(diǎn)，極點(diǎn)分布特點(diǎn)極點(diǎn)在大小圓上按等角間隔分布，對(duì)虛軸對(duì)稱，并且第54頁/共69頁第五十五頁，編輯于星期二：九點(diǎn) 十二分。S平面平面3/jcbca例三階例三階Chebyshev濾波器的極點(diǎn)位置如圖濾波器的極點(diǎn)位置如圖3-65所示所示第55頁/共69頁第五十六頁，編輯于星期二：九點(diǎn) 十二分。2、求 sHa得到系統(tǒng)函數(shù)的一般表示為取Chebyeshev橢圓左半圓上的極點(diǎn)作為 sHa的極點(diǎn)，的極點(diǎn)， NkkpsksH10第56頁/共69頁第五十七頁，編輯于星期二：九點(diǎn) 十二分。由其模平方函數(shù)還可推得 NkkcNpskjsVsH1022/11式中 cNjsV/是 cjs/

26、的多項(xiàng)式，最高階次系數(shù)為 12N，由上式可解出102NNCk這樣，切比雪夫?yàn)V波器的系統(tǒng)函數(shù)為 NkkNNCpssH1112第57頁/共69頁第五十八頁，編輯于星期二：九點(diǎn) 十二分。 sHa與巴特沃斯濾波器一樣，為使設(shè)計(jì)統(tǒng)一，可將 對(duì) pc做歸一化處理。歸一化后的系統(tǒng)函數(shù)表示為 NkkNpssH1121 0111121asasasNNNN歸一化后的切比雪夫?yàn)V波器一般也稱切比雪夫低通原型濾波器。第58頁/共69頁第五十九頁，編輯于星期二：九點(diǎn) 十二分。的分母多項(xiàng)式制成多種的分母多項(xiàng)式制成多種對(duì)不同的對(duì)不同的 、N，可將，可將 sHaN表表3-4列出了通帶衰減為列出了通帶衰減為1dB時(shí)，階數(shù)時(shí)，階數(shù)

27、 表格，表格，與分與分母多項(xiàng)式系數(shù)的關(guān)系。母多項(xiàng)式系數(shù)的關(guān)系。表表3-4 切比雪夫低通原型濾波器分母多項(xiàng)式切比雪夫低通原型濾波器分母多項(xiàng)式（通帶波紋誤差為（通帶波紋誤差為1dB， 508847. 0）第59頁/共69頁第六十頁，編輯于星期二：九點(diǎn) 十二分。2 1.1025 1.09776 0.0689 0.3071 0.9393 1.2021 1.9308 0.92831 1.9652 3 0.4913 1.2384 0.98834 0.2756 0.7426 1.4539 0.93685 0.1228 0.5805 0.9744 1.6888 0.9368N0a1a2a3a4a5a第60頁/

28、共69頁第六十一頁，編輯于星期二：九點(diǎn) 十二分。4、設(shè)計(jì)步驟(1)由待求濾波器的通帶截止頻率p確定 c，即 pc11111212pajH11010/p(2)由通帶的衰減指標(biāo)確定波紋系數(shù) (3) 由波紋系數(shù) 、截止頻率 ps及阻帶衰減指標(biāo)、確定系統(tǒng)的階數(shù) N。第61頁/共69頁第六十二頁，編輯于星期二：九點(diǎn) 十二分。psN/cosh111cosh1221pss/cosh1101cosh110/1 NkkNpssH1121 0111121asasasNNNN查表3-4得歸一化系統(tǒng)函數(shù)N(4)由 第62頁/共69頁第六十三頁，編輯于星期二：九點(diǎn) 十二分。(5) 去歸一化，得到實(shí)際濾波器的系統(tǒng)函數(shù) CsssHsH /NkkNNCps