九連環(huán)中的數(shù)學(xué)

1、九連環(huán)中的數(shù)學(xué)石嘴山市第三中學(xué)高二年級七班郭婉婷l 課題：探索九連環(huán)中的數(shù)學(xué)規(guī)律l 研究人：郭婉婷l 研究方法：通過網(wǎng)絡(luò)和書籍查找相關(guān)資料，收集，整理，得出結(jié)論l 研究時間：2011年9月1日l 研究過程：1.提出問題2.做出假設(shè)3.查找資料4.驗證假設(shè)5.概括整理6.得出結(jié)論l 研究成果：九連環(huán)中蘊含著深刻的數(shù)學(xué)思想，與數(shù)學(xué)中的二進制，N次方，數(shù)列等知識具有緊密聯(lián)系。l 總結(jié)體會：研究性學(xué)習(xí)讓我明白了探討問題的基本方法，即提出問題、做出假設(shè)、解決問題、得出結(jié)論。從研究學(xué)習(xí)的過程中既能夠鍛煉能力，增長知識，最重要的是獲得探索的樂趣，使我明白了重點不在于結(jié)果而在于過程。九連環(huán)中的數(shù)學(xué)探索九連環(huán)中

2、的數(shù)學(xué)規(guī)律石嘴山市第三中學(xué) 高二年級七班 郭婉婷【摘 要】九連環(huán)是我國的一種傳統(tǒng)智力玩具，歷史悠久，流傳廣泛，征服了古今中外無數(shù)愛好者，是中國傳統(tǒng)文化中的一顆璀璨明珠。而本文主要探索九連環(huán)中的數(shù)學(xué)規(guī)律。【關(guān)鍵詞】九連環(huán)；數(shù)學(xué)；規(guī)律；九連環(huán)是中國傳統(tǒng)的有代表性的智力玩具，凝結(jié)著中國傳統(tǒng)文化，具有極強的趣味性。九連環(huán)能既練腦又練手，對于開發(fā)人的邏輯思維能力及活動手指筋骨大有好處。同時它還可以培養(yǎng)學(xué)習(xí)工作的專注精神和耐心，實為老少咸宜。l 九連環(huán)的發(fā)展歷史九連環(huán)歷史非常悠久，據(jù)說發(fā)明于戰(zhàn)國時代。它是人類所發(fā)明的最奧妙的玩具之一。宋朝以后，九連環(huán)開始廣為流傳。在明清時期，上至士大夫，下至販夫走卒，大家

3、都很喜歡它。很多著名文學(xué)作品都提到過九連環(huán)，紅樓夢中就有林黛玉巧解九連環(huán)的記載。在國外，數(shù)學(xué)家卡爾達諾在公元1550年已經(jīng)提到了九連環(huán)。后來，數(shù)學(xué)家華利斯對九連環(huán)做了精辟的分析。格羅斯也深入研究了九連環(huán)，用二進制數(shù)給了它一個十分完美的答案。九連環(huán)主要由九個圓環(huán)及框架組成。每一個圓環(huán)上都連有一個直桿，各直桿在后一個圓環(huán)內(nèi)穿過，九個直桿的另一端用板或圓環(huán)相對固定住。圓環(huán)在框架上可以解下或套上。玩九連環(huán)就是要把這九個圓環(huán)全部從框架解下或套上。九連環(huán)的玩法比較復(fù)雜，無論解下還是套上，都要遵循一定的規(guī)則。19世紀的格羅斯經(jīng)過運算，證明共需要三百四十一步，到目前為止還沒有其它更為便捷的答案。1975年國外

4、出了一本關(guān)于離散數(shù)學(xué)的書，其中收錄了這樣一個數(shù)列： 1,2,5,10,21,42,85,170,341 這就是"九連環(huán)"的數(shù)列。實際上，解下或套上n連環(huán)所需步數(shù)可用CM公式算出： f(n)=2(n 1)-0.5*(-1)n-1.5/3。九連環(huán)的確環(huán)環(huán)相扣，趣味無窮。在第一次玩時，需要分析與綜合相結(jié)合，不斷進行思考和推理。復(fù)雜的玩法需要耐心和在困難面前不急躁的作風(fēng)，切不可心浮氣躁，使用暴力。玩九連環(huán)的次數(shù)多了，就會越來越熟練，也會對玩法有更加深刻的理解，能更好地體會其中的內(nèi)在思想。l 九連環(huán)的特點九連環(huán)是我國的一種傳統(tǒng)智力玩具，歷史悠久，流傳廣泛，征服了古今中外無數(shù)愛好者，是

5、中國傳統(tǒng)文化中的一顆璀璨明珠，與七巧板、華容道并稱為我國古代三大智力玩具。九連環(huán)在其上千年的發(fā)展中，產(chǎn)生了許許多多的變種，形成了一大類連環(huán)類玩具。我國研究和收藏連環(huán)類玩具的專家周偉中先生指出，連環(huán)類玩具的種類至少在1000種以上，他本人收藏的就達600余種。連環(huán)類玩具有三大特點：一是挑戰(zhàn)性。任何一種連環(huán)的解法都具有較高的難度，有的難度極高，甚至令人覺得根本不可能解開。因此解連環(huán)就具有強大的挑戰(zhàn)性，強烈地吸引著人們的好奇心和征服欲。二是規(guī)律性。智力玩具都有其內(nèi)在的規(guī)律，連環(huán)類玩具的規(guī)律性則特別強，必須按照特定的程序，有條不紊地操作，才能最終解開。三是趣味性。伴隨著挑戰(zhàn)性和規(guī)律性而來的是趣味性。蘇

6、霍姆林斯基說：“在人的心靈深處，都有一種根深蒂固的需要，這就是希望感到自己是一個發(fā)現(xiàn)者、研究者、探索者。而在兒童的精神世界中，這種需要則特別強烈?！币虼耍藗儗χ橇ν婢呔哂刑焐膼酆?，都想探索它、研究它、發(fā)現(xiàn)其中的奧妙，兒童更是如此。挑戰(zhàn)性越強就越能吸引人，發(fā)現(xiàn)規(guī)律的過程往往令人心醉神迷。由于這三大特點，連環(huán)類玩具具有良好的教育功能，首先是開發(fā)智力，這一點很明顯，無庸贅述。其次，也許更重要的是非智力因素的培養(yǎng)。解九連環(huán)不但難度大，而且操作相當復(fù)雜，即使是熟手，也需6分鐘一8分鐘(目前世界記錄是1分54秒)。一般人就可能需要加倍的時間了。這對于培養(yǎng)信心、耐心、細心、恒心都是很有功效的，對于兒童來

7、說尤其重要。本文綜合已經(jīng)得到的研究成果，看看九連環(huán)中的數(shù)學(xué)問題，希望能夠提高各位玩家的興趣。l 九連環(huán)的解法顧名思義，九連環(huán)有9個環(huán)，環(huán)環(huán)相連。這九個環(huán)套在一個劍形的環(huán)柄上，從最左邊起，依次叫1號環(huán)、2號環(huán)、9號環(huán)。環(huán)柄的把叫柄把，形似劍葉的部分叫柄釵。環(huán)可以從柄釵這一端套上或取下，但不能從柄把這一端套上或取下。每一個環(huán)都連有一根環(huán)桿，1號環(huán)的環(huán)桿穿過2號環(huán)，2號環(huán)的環(huán)桿穿過3號環(huán)，8號環(huán)的環(huán)桿穿過9號環(huán)。環(huán)桿的另一端都穿過一塊底板。這樣環(huán)通過桿連在一起，桿又通過底板連在一起，形成一個疊錯扣連的封閉體系。九連環(huán)的奧妙就來自它的這種結(jié)構(gòu)。解九連環(huán)首先要掌握以下兩種基本操作。1. 單環(huán)和雙環(huán)上、下

8、法單環(huán)上、下法就是把1號環(huán)裝上或取下的方法。上環(huán)時首先將環(huán)轉(zhuǎn)90°，自下而上從環(huán)柄的兩根桿中穿過；然后將環(huán)再轉(zhuǎn)90°，向左移過環(huán)柄的左端，套到環(huán)柄上。下環(huán)的過程是上環(huán)的逆過程。雙環(huán)的上、下法與單環(huán)相同，只是需同時拿住兩個環(huán)操作(只適用于1、2號兩個環(huán))。2. 3號環(huán)的上、下法大于2號的環(huán)，其上、下法都相同，這里我們以3號環(huán)作代表來說明。上環(huán)時，2號環(huán)必須在柄上。1號環(huán)必須在柄下。操作方法是，先將在柄上的2號環(huán)左移，退出環(huán)柄，推到柄釵的上方；再按照單環(huán)的上法將3號環(huán)套人柄釵；最后將2號環(huán)下降，套入柄釵復(fù)位。下環(huán)時，首先也用同樣的操作將2號環(huán)“浮”到柄釵的上方；然后下3號環(huán)，其

9、路線與上的路線恰好相反；最后要用同樣的操作將2號環(huán)復(fù)位。根據(jù)九連環(huán)的結(jié)構(gòu)，我們來分析一下每一環(huán)套上柄釵和從柄釵上取下的情況。對于1號環(huán)，由于沒有別的環(huán)的環(huán)桿約束它，所以它可以自由上、下。對于2號環(huán)，由于1號環(huán)的環(huán)桿從其中穿過，把它與l號環(huán)連起來，所以它可以隨1號環(huán)一起上下；如果要單獨下，那么l號環(huán)必須在柄上，否則的話，由于1號環(huán)在柄下，它的環(huán)桿已在柄外，而這根環(huán)桿是穿過2號環(huán)的，它就會阻止2號環(huán)在左移過柄釵后返回，重新從兩根橫桿中間落下，這樣2號環(huán)就無法下環(huán)。2號環(huán)的上環(huán)與下環(huán)卻有所不同，這時1號環(huán)在柄上、柄下均可。在柄上時，上法相同；在柄下時，由于其環(huán)桿穿過2號環(huán)，在2號環(huán)上時，會連帶著把l

10、號環(huán)也帶到柄釵上方“浮”著，解決的方法是只要把它向左推過柄釵的左端即可。對于3號環(huán)的下，可以發(fā)現(xiàn)，若1、2號環(huán)都在柄上，則1號環(huán)的環(huán)桿將阻止3號環(huán)左移過柄釵；若l、2號環(huán)都在柄下，則2號環(huán)的環(huán)桿將阻止3號環(huán)在左移過柄釵后從兩根橫桿之間落下，所以都無法實現(xiàn)下環(huán)。當且僅當1號環(huán)在柄下、2號環(huán)在柄上時，3號環(huán)才能取下。3. 其他各環(huán)的情況以下依此類推，4號環(huán)、5號環(huán)、的上下，都與3號環(huán)類似，當且僅當它前面相鄰的環(huán)在柄上，再前面的所有環(huán)都在柄下時，這個環(huán)才能上下。因此，要取下9號環(huán)，8號環(huán)必須在柄上，17號環(huán)必須在柄下；要取下8號環(huán)，7號環(huán)必須在柄上，16號環(huán)必須在柄下；由此可知，解九連環(huán)時，第一步應(yīng)

11、取下1號環(huán)，而不可將1、2號環(huán)同時取下，否則就無法取下3號環(huán)，而在不影響3號環(huán)上下的情況下，1、2號環(huán)可同時上下，以便加快速度。從上面的分析可知，九連環(huán)的9個環(huán)中，1號環(huán)可自由上、下，1、2號環(huán)可以同時自由上、下；2號環(huán)可以自由上，但只有1號環(huán)在柄上時才能下；其他的環(huán)都只能在嚴格的條件限制下單獨上、下。這就是解九連環(huán)的規(guī)則，按照這一規(guī)則就可順利地解九連環(huán)。l 九連環(huán)與二進制二進制數(shù)是九連環(huán)中蘊藏的最驚人的數(shù)學(xué)理念。1號環(huán)可以隨意穿進穿出，這就相當于二進制中的0和1。事實上，9個環(huán)中，只有1號環(huán)能夠隨意進出，其他的環(huán)都必須在滿足一定條件的情況下，才能被取下和套上。如果要取下3號環(huán)，則1、2號環(huán)必

12、須安裝上；如果要取下4號環(huán)，則1-3號環(huán)必須安裝好。同理，如果要取下N號環(huán)，則1-（N-1）號環(huán)必須安裝好才可以實現(xiàn)。同樣的，如果想取下第N個環(huán)，必須保留N-1環(huán)的情況下，將其余的1-（N-2）號環(huán)清零，這種思路，就是二進制的思路。前面所有位數(shù)全滿的情況下，才能向最高位進位。現(xiàn)在，我們分析一下解九連環(huán)的完全解法。由于每次只動一個環(huán)，故兩步只有一個數(shù)字不同。為簡單起見，我們先以五個環(huán)為例分析。左邊起第一列的五位數(shù)是5個環(huán)的狀態(tài)，依次由第一環(huán)到第五環(huán)，如11000就表示第一環(huán)第二環(huán)在上面。第二列是把這個表示次序反轉(zhuǎn)后得到的五位數(shù)，可以看成二進制數(shù)。第三列是從初始狀態(tài)到這個狀態(tài)所用的步數(shù)。最右邊一列

13、才是步數(shù)的二進制表示。環(huán)的狀態(tài)順序序數(shù)反轉(zhuǎn)步數(shù)十進制步數(shù)二進制00000000000000001000000001100001110000001120001001000000103000110110000110400100111000011150010110100001016001100010000100700111001100110080100010110011019010011111001111100101001110011101101011010100101012011001101001011130110110010010011401110000100100015011110001111

14、00016100001001111001171000111011110111810010010111101019100110111111110201010011111111112110101     由上表可以看出，二進制數(shù)從00000到11111相當于十進制的32，而九連環(huán)的變化只有21步！并非嚴格按照二進制來的，更無法將環(huán)的狀態(tài)序數(shù)碼和步數(shù)掛鉤。    我們發(fā)現(xiàn)，右邊一列數(shù)恰好是0到21的二進制數(shù)的Grey碼！格雷碼（英文：Gray Code, Grey Code，又稱作葛萊碼，二進制循環(huán)碼）是1880年由法國工程師Je

15、an-Maurice-Emlle Baudot發(fā)明的一種編碼，因Frank Gray于1953年申請專利“Pulse Code Communication”得名。當初是為了機械應(yīng)用，后來在電報上取得了巨大發(fā)展，現(xiàn)在則常用于模擬數(shù)字轉(zhuǎn)換和轉(zhuǎn)角數(shù)字轉(zhuǎn)換中。    典型格雷碼是一種具有反射特性和循環(huán)特性的單步自補碼，它的循環(huán)、單步特性消除了隨機取數(shù)時出現(xiàn)重大誤差的可能，它的反射、自補特性使得求反非常方便。    格雷碼屬于可靠性編碼，是一種錯誤最小化的編碼，因為它大大地減少了由一個狀態(tài)到下一個狀態(tài)時電路中的混淆。由于這種編碼相鄰的兩個碼組之

16、間總是只有一位不同，因而在用于模數(shù)轉(zhuǎn)換中，當模擬量發(fā)生微小變化而可能引起數(shù)字量發(fā)生變化時，格雷碼僅改變一位，這樣與其它碼同時改變兩位或多位的情況相比更為可靠，即可減少出錯的可能性這就允許代碼電路能以較少的錯誤在較高的速度下工作。而普通二進制編碼則有可能存在同時變化多位的情況，如從1110變成1000就要求四位碼同時變化，因而也變得非常不可靠，在模數(shù)電路中很少采用。    如何才能從二進制數(shù)轉(zhuǎn)換為格雷碼呢？將一個二進制數(shù)，從右到左檢查，如果某一數(shù)字左邊是0，該數(shù)字不變；如果是1，該數(shù)字改變。二進制數(shù)11011的格雷碼是10110。   

17、 由格雷碼表示變?yōu)槎M制數(shù)：從右到左檢查，如果某一數(shù)字的左邊數(shù)字和是偶數(shù)，該數(shù)字不變；如果是奇數(shù)，該數(shù)字改變（0變?yōu)?，1變?yōu)?）。如格雷碼10101表示為二進制數(shù)是11001。根據(jù)以上規(guī)律，我們將5位二進制數(shù)依次寫完，并將第二列數(shù)字用二進制數(shù)的格雷碼來表示，同時將序號反轉(zhuǎn)，求得第一列，也就是五個環(huán)的排列狀態(tài)，如下表：10111111012210110001111110023101110010110100241100010101101012511001111011011126110100110110110271101101001100102811100110011001129111011000

18、110001301111000001100003111111     我們很驚奇的發(fā)現(xiàn)，對于只有5個環(huán)的五連環(huán)，從初始到狀態(tài)11111用的不是并不是最多，到狀態(tài)00001才是最多，用31步！而所謂的狀態(tài)00001正是只有第五環(huán)的情況，也就是說，此時我們可以上第六環(huán)了！    這是一種奇怪的步進方式，并非嚴格的二進制數(shù)，卻是九連環(huán)的步進方式?，F(xiàn)在，已經(jīng)有數(shù)學(xué)家指出，可以通過格雷碼直接算出十進制數(shù)，也許冥冥之中，九連環(huán)就是最古老的計算工具和模型！    以此類推，對于九連環(huán)，從初始到狀態(tài)111111

19、111用的不是并不是最多（即將柄全部套上九環(huán)），到狀態(tài)000000001才是最多，用511步，而此時，又準備將第十環(huán)（虛擬環(huán)）裝上，也就是進位了。由于格雷碼111111111表示二進制數(shù)101010101，表示十進制數(shù)341，故從初始狀態(tài)到9個環(huán)全部上去用341步。由于第二環(huán)和第一環(huán)的解法既可以視為兩步，也可以將二者合二為一，看做一步，所以九連環(huán)的簡單解法步數(shù)其實只有256步！這個數(shù)字也許看上去更加神奇，因為它是2的8次方！也就是（9-1）次方！    設(shè)九連環(huán)的初始狀態(tài)是110100110，要求終止狀態(tài)是001001111，簡單解法與完整解法各需要多少步？過程如

20、何？    初始狀態(tài)110100110，格雷碼是011001011，轉(zhuǎn)換為二進制數(shù)是010001101，相應(yīng)十進制數(shù)是141。終止狀態(tài)是001001111，格雷碼是111100100，轉(zhuǎn)換為二進制數(shù)是101000111，相應(yīng)十進制數(shù)是327。二者差：    326141186，完整解法需要186步。簡單解法步數(shù)，我們由141，327分別求相應(yīng)的簡單步數(shù)，    對于N=141，得到N0=103；對于N=327，N0=242.二者差139，故簡單步數(shù)139。l 九連環(huán)與N次方根據(jù)上面的分析可知，九連環(huán)的拆裝

21、都需要256步（傳統(tǒng)的算法是341步，把兩個環(huán)同時拆裝看做兩步）。而如果達到只保留第九環(huán)的情況，那就是511步，恰好是2的9次方！    進一步的研究可以發(fā)現(xiàn)，以256步而論，一個環(huán)的拆裝需1步，三個環(huán)需4步，五個環(huán)需16步，7個環(huán)需64步，而九連環(huán)恰好達到需256步；即每增加兩個環(huán)步數(shù)呈4倍增長。我們看看對應(yīng)的公式：    一個環(huán)      1步      2的0次方    2的（1-1）次方 

22、  1的平方    三個環(huán)      4步      2的2次方    2的（3-1）次方   2的平方    五個環(huán)     16步      2的4次方    2的（5-1）次方   4的平方    七個環(huán)

23、     64步      2的6次方    2的（7-1）次方   8的平方    九個換    256步      2的8次方    2的（9-1）次方  16的平方也就是說，奇數(shù)個環(huán)的情況下，要想解開必須付出2的（N-1）次方步。與此同時，這些數(shù)還是完全平方數(shù)。如果是偶數(shù)個環(huán)，情況有些不同，二連環(huán)需1步

24、，4連環(huán)需7步，6連環(huán)需31步，8連環(huán)需127步，每增加兩個環(huán)步數(shù)呈4倍加3增長。除了前兩個環(huán)的情況，有其特殊性，一、二號環(huán)可以一起拆下之外，其余的集中情況均為2的（N-1）次方再減去1！即：   四個環(huán)      7步       2的3次方-1   六個環(huán)     31步       2的5次方-1   八個環(huán) &

25、#160;  127步       2的7次方-1奇數(shù)個環(huán)時，拆裝步數(shù)的尾數(shù)為4或6（一個環(huán)除外），而且必然是完全平方數(shù)，即一個環(huán)時步數(shù)為1的二次方，三個環(huán)為2的二次方，五個環(huán)為4的二次方，七個環(huán)為8的二次方，九個環(huán)為16的二次方；偶數(shù)個環(huán)時，拆裝步數(shù)的尾數(shù)是1或7。只要加上1，就是2的N次方的形式。l 九連環(huán)與數(shù)列奇數(shù)個環(huán)時，拆裝步數(shù)的尾數(shù)為4或6（一個環(huán)除外），而且必然是完全平方數(shù)，即一個環(huán)時步數(shù)為1的二次方，三個環(huán)為2的二次方，五個環(huán)為4的二次方，七個環(huán)為8的二次方，九個環(huán)為16的二次方；偶數(shù)個環(huán)時，拆裝步數(shù)的尾數(shù)是1

26、或7。只要加上1，就是2的N次方的形式。根據(jù)上面的介紹，我們可以再細化一下。如果我們從九連環(huán)的九個環(huán)都在下邊的初始狀況開始，到上第一個環(huán)所用的操作次數(shù)（稱作步數(shù)）記作J1，到上前兩個環(huán)的步數(shù)記作J2，到上前三個環(huán)的步數(shù)記作J3，等等。既然是討論數(shù)學(xué)，我們完全可以設(shè)想出更多的環(huán)，這樣就得到一個數(shù)列。九連環(huán)有兩種不同的玩法，即完全解法和簡單解法，把數(shù)列分別記作Jn（完全解法）與jn（簡單解法）。用字母J或j，是使用九連環(huán)漢語拼音的第一個字母，也可以采用Rn與rn，九連環(huán)在英語里的名稱是The Chinese Rings ,或The Chinese Rings Puzzle。它們的前九項分別是1，2，5，10，21，42，85，170，341和1，1，4，7，16，31，64，127，256這兩個數(shù)列也滿足相應(yīng)的遞推方程，它們分別是