西部教師暑期培訓(xùn)高數(shù)疑難選講微分學(xué)學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1西部教師西部教師(jiosh)暑期培訓(xùn)暑期培訓(xùn) 高數(shù)疑難選講高數(shù)疑難選講 微分學(xué)微分學(xué)第一頁，共55頁。第2頁/共55頁第二頁，共55頁。處可導(dǎo)的充要條件是：處可導(dǎo)的充要條件是：在在的某鄰域內(nèi)有定義，則的某鄰域內(nèi)有定義，則在在設(shè)設(shè)00)()(xxfxxf存在；存在； )()1(lim)(00 xfnxfnAn存在；存在；20200)()(lim)(xxfxxfBx 存在；存在；xxxfxxfCx2)()(lim)(000 .)()(lim)(000存在存在xxxfxfDx 第3頁/共55頁第三頁，共55頁。于是于是則則令令有人采用下述方法有人采用下述方法處可導(dǎo)，為求極限處可導(dǎo)，為求極限

2、在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù),)(,.)()(lim)(000000hbaxahxbhxxhbhxfahxfxxfh hxfhbaxfh)()(lim0 原式原式)( )(xfba )( lim)(00bhxfbah )( )(0 xfba 試問試問(shwn)這個解法對嗎？為什么？這個解法對嗎？為什么？?第4頁/共55頁第四頁，共55頁。 為無理數(shù)為無理數(shù)為有理數(shù)為有理數(shù)xxxxxf,)(22解答解答(jid)：不一定。：不一定。例如例如(lr)函數(shù)函數(shù)在在x=0處可導(dǎo)，從而在處可導(dǎo)，從而在x=0處必連續(xù)，處必連續(xù)，但在但在x0處，處，f (x) 均不連續(xù)。均不連續(xù)。函數(shù)在一點可導(dǎo)，是否在該點的某鄰域內(nèi)

3、該函數(shù)函數(shù)在一點可導(dǎo)，是否在該點的某鄰域內(nèi)該函數(shù)一定連續(xù)？一定連續(xù)？第5頁/共55頁第五頁，共55頁。的某鄰域內(nèi)單調(diào)增嗎？的某鄰域內(nèi)單調(diào)增嗎？點點在在由此可以斷定由此可以斷定如果如果00)(, 0)(xxfxf . 0, 0, 0,1sin2)(2xxxxxxf，01)0( f解答解答(jid)：不可以：不可以。例如例如(lr)函數(shù)函數(shù)xxxxfx1cos21sin41)( 0 時，時，當(dāng)當(dāng)調(diào)調(diào)的的。的的任任何何鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)都都不不是是單單在在從從而而的的取取值值有有正正有有負(fù)負(fù)，的的任任何何鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)，在在0)()( 0 xxfxfx第6頁/共55頁第六頁，共55頁。第7頁/共55頁第七頁

4、，共55頁。是否有區(qū)別？是否有區(qū)別？與與符號符號)0( )( 00 xfxfxxfxxfxfx )()(lim)( 0000)( lim)0( 00 xfxfxx 存存在在無無必必然然聯(lián)聯(lián)系系是是否否是是否否存存在在與與一一般般來來說說，)( )( lim00 xfxfxx )( )( lim00 xfxfxx 一一般般情情況況下下，處處的的右右導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)在在0 xf處處的的右右極極限限在在導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)0)( xxf答：有區(qū)別答：有區(qū)別(qbi)。第8頁/共55頁第八頁，共55頁。 . 0, 0, 0,1sin)()1(2xxxxxf . 0, 0, 0,1arctan)()2(xxxxf, 0)0

5、( f)( lim)00( 0 xffx )1cos1sin2(lim0 xxxx 不存在不存在(cnzi),)0( 不不存存在在 f111lim)00( 20 xfx第9頁/共55頁第九頁，共55頁。但是但是(dnsh)他們之間有如下結(jié)論：他們之間有如下結(jié)論：的右鄰域可導(dǎo)，的右鄰域可導(dǎo)，處右連續(xù)，在處右連續(xù)，在在在如果函數(shù)如果函數(shù)00)(xxxf存存在在，且且)( lim)0( 00 xfxfxx )0( ( 00 xfxf）則則xxfxxfxfx )()(lim)( 000010)( lim00 xxfx)0( 0 xf證證第10頁/共55頁第十頁，共55頁。的的右右半半鄰鄰域域單單調(diào)調(diào)減

6、減少少？在在的的左左半半鄰鄰域域單單調(diào)調(diào)增增加加，在在的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)點點在在處處有有極極大大值值，能能否否肯肯定定在在如如果果0000)(,)(xxxfxxxf . 0, 2, 0),1sin2(2)(2xxxxxf解答解答(jid)：不可以。：不可以。例如例如(lr)函函數(shù)數(shù)但由于但由于處取得極大值處取得極大值在在. 2)0(0 fx . 0, 2, 0,1cos)1sin2(2)( xxxxxxf，無限次的改變正負(fù)號，無限次的改變正負(fù)號的任何充分小的鄰域內(nèi)的任何充分小的鄰域內(nèi)在在0 x.00)(減減的任何右半鄰域非單調(diào)的任何右半鄰域非單調(diào)增，而在增，而在的任何左半鄰域非單調(diào)的任何左半

7、鄰域非單調(diào)在在因此因此 xxxf第11頁/共55頁第十一頁，共55頁。處處連連續(xù)續(xù)嗎嗎？反反之之如如何何？在在那那么么處處的的左左右右導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)都都存存在在，在在如如果果00)()(xxfxxf答：是的。反之不一定答：是的。反之不一定(ydng)成立。成立。左導(dǎo)數(shù)左導(dǎo)數(shù)(do sh)存在存在左連續(xù)左連續(xù)右導(dǎo)數(shù)存在右導(dǎo)數(shù)存在右連續(xù)右連續(xù)連續(xù)連續(xù)第12頁/共55頁第十二頁，共55頁。是是否否成成立立，為為什什么么？均均可可導(dǎo)導(dǎo)，問問和和其其中中設(shè)設(shè)有有分分段段函函數(shù)數(shù) ,),( ,),( )( )()(,),(,),()(0000 xxxxxxxfxxxxxxxxxf解答解答(jid)：不一定：不一

8、定成立。成立。來來判判定定是是否否存存在在。處處的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)應(yīng)應(yīng)按按照照定定義義在在分分段段點點0)(xxf第13頁/共55頁第十三頁，共55頁。)( 2)( )( lim2)( )( lim)()(2)(lim)(0000000200000 xfhxfhxfhhxfhxfhhxfxfhxfxxfhhh 處二階可導(dǎo)，則處二階可導(dǎo)，則在在設(shè)設(shè)試問試問(shwn)(shwn)：1 1）以上解法是否正確？為什么？）以上解法是否正確？為什么？ 2 2）正確解法是什么？）正確解法是什么？ 3 3）如何改變原題設(shè)條件，可使以上解法）如何改變原題設(shè)條件，可使以上解法 正確？正確？ 第14頁/共55頁第十四頁

9、，共55頁。解答：解答：1 1）不正確）不正確(zhngqu)(zhngqu)，錯誤出現(xiàn)在第二和，錯誤出現(xiàn)在第二和第三個等號。第三個等號。 2 2）正確）正確(zhngqu)(zhngqu)解法有兩種：解法有兩種： 法一法一hhxfhxfhhxfxfhxfhh2)( )( lim)()(2)(lim00020000 hxfhxfxfhxfh2)( )( )( )( lim00000 )( )( )( lim210000 xfxfxfh 第15頁/共55頁第十五頁，共55頁。法二法二)(! 2)( )( )()(220000hhxfhxfxfhxf 由由TaylorTaylor定理定理(dngl

10、)(dngl)知知)(! 2)( )( )()(220000hhxfhxfxfhxf 20000)()(2)(limhhxfxfhxfh 則則2220200)(! 2)( ! 2)( limhhhxfhxfh )( 0 xf 第16頁/共55頁第十六頁，共55頁。)( 2)( )( lim2)( )( lim)()(2)(lim)(0000000200000 xfhxfhxfhhxfhxfhhxfxfhxfxxfhhh 處二階可導(dǎo)，則處二階可導(dǎo)，則在在設(shè)設(shè)3 3）若將題設(shè)條件）若將題設(shè)條件(tiojin)(tiojin)改為：改為：處二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)處二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)在在0)(xxf則上述則上述(sh

11、ngsh)(shngsh)解法正確。解法正確。第17頁/共55頁第十七頁，共55頁。的的極極大大（小?。┲抵迭c點嗎嗎？一一定定是是上上的的最最大大（小?。┲抵迭c點在在函函數(shù)數(shù))(,)(xfbaxf答：答： 不一定不一定(ydng)。第18頁/共55頁第十八頁，共55頁。，則則有有唯唯一一極極值值點點上上上上的的連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)，且且在在是是區(qū)區(qū)間間設(shè)設(shè)0II)(xxf上上的的最最大大值值。在在區(qū)區(qū)間間必必為為為為極極大大值值時時，當(dāng)當(dāng)上上的的最最小小值值在在區(qū)區(qū)間間必必為為為為極極小小值值時時，當(dāng)當(dāng)I)()()()2(;I)()()()1(0000 xfxfxfxfxfxf答：答： 正確正確(

12、zhngqu)(zhngqu)?？梢杂梅醋C法證?？梢杂梅醋C法證明之。明之。第19頁/共55頁第十九頁，共55頁。而而無無極極大大值值點點。，值值點點上上連連續(xù)續(xù)，只只有有唯唯一一極極小小在在區(qū)區(qū)間間設(shè)設(shè)0I)(xxf上上的的最最小小值值，在在區(qū)區(qū)間間不不是是如如果果I)()(0 xfxf，使使則則必必存存在在)()(,011xfxfIx .01xx 不不妨妨設(shè)設(shè)，,)(01xxCxf 處處在在使使xxxfxxx )(,01.,01上上的的最最大大值值取取得得它它在在區(qū)區(qū)間間xx.)(),(01的的極極大大值值，導(dǎo)導(dǎo)出出矛矛盾盾成成為為從從而而下下證證xfxxxx ;)()()1101xxxfx

13、f 由由，若若0)2xx 內(nèi)內(nèi)為為常常數(shù)數(shù)，在在使使存存在在,()(, 000 xxxf .I)(0上上唯唯一一的的極極小小值值點點矛矛盾盾在在區(qū)區(qū)間間為為這這與與xfx注：注：I I為閉區(qū)間為閉區(qū)間(q jin)(q jin)，開區(qū)間，開區(qū)間(q jin)(q jin)，無，無窮區(qū)間窮區(qū)間(q jin)(q jin)，結(jié)論都成立。，結(jié)論都成立。第20頁/共55頁第二十頁，共55頁。利用導(dǎo)數(shù)利用導(dǎo)數(shù)(do sh)知識證明不等式常用的有哪些方知識證明不等式常用的有哪些方法？法？第21頁/共55頁第二十一頁，共55頁。 )(xf,10:時時當(dāng)當(dāng)證明證明 x.112xxex 證證: : 只要只要(z

14、hyo)(zhyo)證證)10(01)1(2 xxexx,1)1()(2xexxfx 設(shè)設(shè)0)0( f則則, 1)21()(2 xexxf0)0( f)10(04)(2 xexxfx利用利用(lyng)Taylor公式公式, 得得2!2)()0()0()(xfxffxf )10(0222 xxe故原不等式成立故原不等式成立(chngl).法一法一0)( xf )(xf0)0()( fxf法二法二第22頁/共55頁第二十二頁，共55頁。,0)0(f且在且在),0 上上)(xf 存在存在(cnzi) , 且單調(diào)且單調(diào)遞減遞減(djin) , 證明證明對一切對一切0,0 ba有有)()()(bfaf

15、baf 證證: 設(shè)設(shè), )()()()(xfafxafx 則則0)0( )()()(xfxafx )0(0 x所以所以(suy)當(dāng)當(dāng)時，時，0 x)(x 0)0( 令令,bx 得得0)()()()( bfafbafb即所證不等式成立即所證不等式成立 .第23頁/共55頁第二十三頁，共55頁。.)1(ln)1(22 xxx證證: 令,)1(ln)1()(22 xxxxf則則0)1( fxxxfln2)( 0)1( fxxfln2)( ,121x 02)1( f32)1(2)(xxxf xx1 , )1(2 x法法1 由由)(xf在在1 x處的二階泰勒處的二階泰勒(ti l)公式公式 ,得得 )(

16、xf2)1(!2)1( xf3)1(!3)( xf2)1( x332)1(31 xxx在在 , 0(0 故所證不等式成立故所證不等式成立(chngl) .與與 1 之間之間)第24頁/共55頁第二十四頁，共55頁。,0)(1的唯一根的唯一根是是易知易知 xfx的唯一的唯一為為)(1xfx 故故0)1( f也是最小值也是最小值 , ,因此當(dāng)因此當(dāng)0 x時時,0)( xf即即22)1(ln)1( xxx,)1(ln)1()(22 xxxxf0)1( f2ln2)(1 xxxxf0)1( f,1ln2)(21 xxxf02)1( f，極小點極小點,0)1( f且且1yox22)1(ln)1( xxx

17、y第25頁/共55頁第二十五頁，共55頁。,2)( xf在在)(xf1 ,0上二階可導(dǎo)上二階可導(dǎo), )1()0(ff 且且證明證明(zhngmng).1)( xf證證:, 1,0 x由泰勒由泰勒(ti l)公式公式得得)0(f)1(f兩式相減得兩式相減得221221)()1)()(0 xfxfxf 221221)()1)()(xfxfxf 221221)()1()(xfxf 22)1(xx )1(21xx 1,0,1 x)(xf xxf)( 221)(xf )10( )10()1)()1)()(221 xfxxfxf第26頁/共55頁第二十六頁，共55頁。)., 0, 0( ,2ln)(lnl

18、nyxyxyxyxyyxx 證明不等式證明不等式證證),0(ln)( ttttf令令, 1ln)( ttf則則, 01)( ttf.0, 0),(),(ln)(是上凹的是上凹的或或在在 yxxyyxtttf)2()()(21yxfyfxf 于是于是,2ln2lnln21yxyxyyxx 即即.2ln)(lnlnyxyxyyxx 即即第27頁/共55頁第二十七頁，共55頁。(n)(x) 0 ，則方程n f (x) =0在區(qū)間I上最多有n實根第28頁/共55頁第二十八頁，共55頁。恰有兩個不同的實根。恰有兩個不同的實根。求證方程求證方程xxxxcossin2 xxxxxfcossin)(2 證：令

19、證：令連續(xù)連續(xù)(linx)偶函數(shù)偶函數(shù), 01)0( f)cos2()( xxxf 0 ), 0( x上嚴(yán)格單調(diào)增，上嚴(yán)格單調(diào)增，在在), 0()(xf.最多有一個零點最多有一個零點上至少有一個零點。上至少有一個零點。在在), 0()(xf上有且僅有一個零點。上有且僅有一個零點。在在所以，所以，), 0()(xf恰有兩個不同的實根。恰有兩個不同的實根。故方程故方程xxxxcossin2 01)(2 f第29頁/共55頁第二十九頁，共55頁。各各個個根根所所在在的的區(qū)區(qū)間間。有有幾幾個個實實根根，并并指指出出判判定定方方程程02 xex則則解解：令令,2)( xexfx 2,22,2)(xxex

20、xexfxx 2, 12, 1)( xexexfxx,0 x唯唯一一駐駐點點：2 x分分段段點點：x2 )( xf)(xf0)2,( )0 , 2( ), 0( 2 e1 )(limxfx )(limxfx各有一根各有一根(y n)內(nèi)內(nèi)。和和間間共共有有三三個個根根，分分別別在在區(qū)區(qū)方方程程), 0()0 , 2(),2,(02 xex第30頁/共55頁第三十頁，共55頁。內(nèi)有且僅有一個實根。內(nèi)有且僅有一個實根。在在試證方程試證方程且且一階導(dǎo)數(shù)一階導(dǎo)數(shù)有連續(xù)有連續(xù)上，函數(shù)上，函數(shù)設(shè)在區(qū)間設(shè)在區(qū)間), 0(0)(, 0)0(, 0)( ,)(), 0 xffkxfxfxyO) 0 ( fkxy

21、)0(f1x)(xfy ，證證：令令kfx)0(1 定定理理得得由由Lagrange11)( )0()(xffxf )0()( kff )0(kfk )0(f ，原原題題已已證證；若若0)(1 xf，若若0)(1 xf由由零零點點定定理理知知，內(nèi)有且僅有一個實根。內(nèi)有且僅有一個實根。在在所以方程所以方程), 0(0)( xf, 0)( xf又又. 0)(), 0(010 xfxx使使存存在在0)(1 xf第31頁/共55頁第三十一頁，共55頁。（1 1）導(dǎo)數(shù)）導(dǎo)數(shù)(do sh)(do sh)概念中的局部線性概念中的局部線性化思想化思想 質(zhì)量非均勻分布細(xì)棒上點質(zhì)量非均勻分布細(xì)棒上點 x0 x0處

22、密度歸結(jié)為質(zhì)量函數(shù)處密度歸結(jié)為質(zhì)量函數(shù)(hnsh)m=m(x) (hnsh)m=m(x) 在在x0 x0處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù)0)()(limlim)(00000 xxxdxdmxxmxxmxmx 微小局部以勻代非勻，微小局部以勻代非勻，即局部線性化即局部線性化第32頁/共55頁第三十二頁，共55頁。)( )(:0000 xxxfxdfdyx 微分微分（2 2）微分）微分(wi fn)(wi fn)與局部線性化與局部線性化線性函數(shù)線性函數(shù)(hnsh)()()()( 00 xxdfxxxfy )( )()(000 xxxfxfxf 用微分近似代替用微分近似代替(dit)改變量，得下面近似公式改變量，得

23、下面近似公式在在x0的小鄰域內(nèi)用微分近似代替改變量，本質(zhì)上的小鄰域內(nèi)用微分近似代替改變量，本質(zhì)上就是用線性函數(shù)近似代替非線性函數(shù)；在幾何上就是用線性函數(shù)近似代替非線性函數(shù)；在幾何上就是用直線近似代替曲線。就是用直線近似代替曲線。 局部線性化思想局部線性化思想第33頁/共55頁第三十三頁，共55頁。答：是的。因為可以證明答：是的。因為可以證明(zhngmng)下面命題：下面命題： 設(shè)過點設(shè)過點(x0 , f(x0)(x0 , f(x0)的任一直線方程和曲線的任一直線方程和曲線(qxin)y=f(x)(qxin)y=f(x)的切線方程分別為：的切線方程分別為：)( )()()(000 xfkxxk

24、xfxL )( )( )()(0000 xfkxxxfxfxl )()()()(),(, 00 xLxfxlxfxxU 恒有恒有使得使得則必存在則必存在第34頁/共55頁第三十四頁，共55頁。根據(jù)根據(jù)(gnj)導(dǎo)數(shù)定導(dǎo)數(shù)定義，有義，有)()( )()(0000 xxxxxxfxfxf . 0)(lim0 xxx其中其中從而從而(cng r)有有0)()()(xxxxlxf )()(xLxf )()()( 00 xxkxxf )()()( lim00 xkxxfxx 因為因為kxf )( 00 由由保保號號性性知知，有有使得使得必存在必存在),(, 00 xxU)()()( 0 xkxxf 于是

25、有于是有000)()()( xxxxxkxxf )()()()(xLxfxlxf 即即第35頁/共55頁第三十五頁，共55頁。的參數(shù)方程。的參數(shù)方程。看做平面曲線看做平面曲線將將)()(),(Ctfytgx （1） LHospital 法則法則(fz)的幾何意義的幾何意義：滿足該法則的三個條件滿足該法則的三個條件，在在與與假設(shè)假設(shè))(00tttgf ; 0)(lim)(lim1000 tgtftttt; 0)( )(2000 tgtttgf內(nèi)可導(dǎo)，且內(nèi)可導(dǎo)，且，在在與與為有限或無窮大）為有限或無窮大）aatgtftt()( )( lim300 處右連續(xù)，處右連續(xù)，在在與與不妨設(shè)不妨設(shè)0tgf.

26、 0)()(00 tgtf則則.OC且在原點連續(xù)且在原點連續(xù)）通過原點）通過原點這樣曲線（這樣曲線（第36頁/共55頁第三十六頁，共55頁。(C)xyOP)( )( tgtf)()(tgtf.0OCPtt趨于原點趨于原點沿沿，當(dāng)當(dāng) )( )( lim)()(limospitalL00tgtftgtftttt ：法則法則時的極限位置。時的極限位置。趨于趨于處切線當(dāng)處切線當(dāng)上點上點就是就是）在原點處（右）切線）在原點處（右）切線曲線（曲線（OP)(CPC幾何幾何(j h)意義：意義：曲線曲線P點處切線點處切線(qixin)的斜率的斜率割線割線(gxin)OP的斜率的斜率)(),(tgtf原點的右原

27、點的右切線斜率切線斜率第37頁/共55頁第三十七頁，共55頁。（2 2）利用）利用LHospital LHospital 法則求極限時應(yīng)當(dāng)法則求極限時應(yīng)當(dāng)注意下面幾個注意下面幾個(j (j )問題問題不可貿(mào)然使用。不可貿(mào)然使用。型不定式，若不是，則型不定式，若不是，則或或是否為是否為 0010有人求解如下：有人求解如下：例例,34223lim2331 xxxxxx211262126lim42633lim1221 xxxxxxx原式原式第38頁/共55頁第三十八頁，共55頁。它方法計算。它方法計算。下仍可能存在，可用其下仍可能存在，可用其用。但這種情況用。但這種情況則該法則失效，不能應(yīng)則該法則失

28、效，不能應(yīng)大，大，既不存在，也不是無窮既不存在，也不是無窮極限極限若若)()(lim)()(lim20 xgxfxgxf 例例另解另解不定式，不定式，屬于屬于 xxxxcoslim1sin1limcoslimxxxxxx ）（原式原式洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則(fz)失效。失效。)cos11(limxxx 原式原式. 1 極限極限(jxin)不存在不存在但是但是(dnsh)第39頁/共55頁第三十九頁，共55頁。例例).1arctan(arctanlim2 nanann求求)1arctan(arctanlim2 xaxaxx原極限原極限21)1arctan(arctanlimxxaxax a 解解第

29、40頁/共55頁第四十頁，共55頁。40 LHospital法則是求未定式極限的一種法則是求未定式極限的一種(y zhn)有效方法，但在使用過程中，應(yīng)與無窮小等有效方法，但在使用過程中，應(yīng)與無窮小等價代換、求出式中非零因子的極限值等方法交替使用價代換、求出式中非零因子的極限值等方法交替使用，以免出現(xiàn)復(fù)雜的求導(dǎo)運算，簡化極限的計算過程，以免出現(xiàn)復(fù)雜的求導(dǎo)運算，簡化極限的計算過程.例例xxxxxtantanlim20 30tanlimxxxx 22031seclimxxx .31 xxexxxxtan)(tanlim2cos0 xxxxexxxtan)(tanlimlim20cos0 xxxxex

30、tan)(tanlim20 3e 第41頁/共55頁第四十一頁，共55頁。.0)( )()(ospitalL600處處并并且且不不容容易易發(fā)發(fā)現(xiàn)現(xiàn)錯錯在在何何這這個個條條件件常常常常被被忽忽視視，域域）內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)，且且某某去去心心鄰鄰域域（或或單單側(cè)側(cè)鄰鄰的的在在與與分分母母法法則則要要求求分分子子 xgxxgxf202000000)()(! 2)( )( )()(lim)(0 xxxxxfxxxfxfxfxxfxx 方法求極限方法求極限處二階可導(dǎo)，有人如下處二階可導(dǎo)，有人如下在在、設(shè)、設(shè)例例 )(2)( )( )( lim00000 xxxxxfxfxfxx 2)( )( lim00 xf

31、xfxx 0 錯誤錯誤(cuw)何在？何在？2)( )(2)( )( lim0000 xfxxxfxfxx 0 第42頁/共55頁第四十二頁，共55頁。.)()(lim)()(lim70否則，應(yīng)另尋他法否則，應(yīng)另尋他法該法則才用使用價值該法則才用使用價值簡單易求時，簡單易求時，比比僅當(dāng)僅當(dāng)xgxfxgxf xxxxeee lim例如，例如，型型 xxxxeee lim型型 xxxxeee lim循環(huán)循環(huán)(xnhun)，無法求出，無法求出.xxe211lim 原式原式1 另解：另解：第43頁/共55頁第四十三頁，共55頁。)( 0 xf導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)是一個是一個(y )數(shù)；是函數(shù)在該點處的數(shù)；是函數(shù)在

32、該點處的變化率；變化率；xxfdy )( 0微分微分處處改改變變量量的的線線性性主主部部；在在是是函函數(shù)數(shù)0)(xxf的近似值；的近似值；是是 y 的線性函數(shù)。的線性函數(shù)。是是 x 處的切線的斜率處的切線的斜率在點在點是曲線是曲線)(,()(00 xfxxfy 縱坐標(biāo)的改變量?？v坐標(biāo)的改變量。的的處的切線在點處的切線在點在點在點是曲線是曲線000)(,()(xxfxxfy 導(dǎo)數(shù)與微分之間的聯(lián)系導(dǎo)數(shù)與微分之間的聯(lián)系第44頁/共55頁第四十四頁，共55頁。)()(!)()(0000)(nknkkxxoxxkxfxf Taylor 定理定理 階階可可導(dǎo)導(dǎo)，則則處處在在設(shè)設(shè)nxxf0)(-帶有帶有Pe

33、anoPeano余項的余項的TaylorTaylor公式公式(gngsh)(gngsh)10)1(00)(0)()!1()()(!)()( nnkknkxxnfxxkxfxf 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間I上上)1( n可導(dǎo)，可導(dǎo)，Ix 0，則，則對任何對任何Ix ，在，在0 x與與x之間至少存在一點之間至少存在一點 ，使，使 -帶有帶有LagrangeLagrange余項的余項的TaylorTaylor公式公式(gngsh)(gngsh)第45頁/共55頁第四十五頁，共55頁。TaylorTaylor定理的基本定理的基本(jbn)(jbn)思想思想1 1）用簡單函數(shù)逼近復(fù)雜函數(shù)；）用簡單

34、函數(shù)逼近復(fù)雜函數(shù)；2 2）通過函數(shù)）通過函數(shù)f f在已知點的信息在已知點的信息(xnx)(xnx)來表達(dá)它來表達(dá)它在未知點的信息在未知點的信息(xnx).(xnx).這樣，我們可以借助簡單函數(shù)的性質(zhì)來研究復(fù)雜函數(shù)這樣，我們可以借助簡單函數(shù)的性質(zhì)來研究復(fù)雜函數(shù)的性質(zhì)；利用的性質(zhì)；利用(lyng)(lyng)函數(shù)在已知點信息構(gòu)造的簡函數(shù)在已知點信息構(gòu)造的簡單函數(shù)計算函數(shù)在未知點的近似值。單函數(shù)計算函數(shù)在未知點的近似值。逼近思想逼近思想第46頁/共55頁第四十六頁，共55頁。1 1）是進(jìn)一步研究函數(shù)性態(tài)的理論）是進(jìn)一步研究函數(shù)性態(tài)的理論(lln)(lln)基礎(chǔ)；基礎(chǔ)；TaylorTaylor定理可以

35、用于證明：用二階導(dǎo)數(shù)值或更高定理可以用于證明：用二階導(dǎo)數(shù)值或更高階導(dǎo)數(shù)值在駐點的正負(fù)來研究函數(shù)極值階導(dǎo)數(shù)值在駐點的正負(fù)來研究函數(shù)極值(j (j zh)zh)問題的定理。問題的定理。,)(0階可導(dǎo)階可導(dǎo)處處在在設(shè)設(shè)nxxf0)(, 0)()()(0)(0)1(00 xfxfxfxfnn且且必取極值必取極值則則如果如果,)(,2)10 xfkn .)(, 12)20不取極值不取極值則則如果如果xfkn 極大極大極小極小)(0)()(0)(00)2(00)2(xfxfxfxfkk第47頁/共55頁第四十七頁，共55頁。2 2）計算）計算(j sun)(j sun)函數(shù)的近似值；函數(shù)的近似值；利用利用

36、TaylorTaylor公式來計算函數(shù)的近似值比用微分精度公式來計算函數(shù)的近似值比用微分精度更高，使用范圍更廣，而且可以進(jìn)行誤差更高，使用范圍更廣，而且可以進(jìn)行誤差(wch)(wch)估計估計. .法；法；型不定式極限的一般方型不定式極限的一般方）是求）是求003利用利用(lyng)(lyng)帶有帶有LagrangeLagrange余項的余項的TaylorTaylor公式公式利用帶有利用帶有PeanoPeano余項的余項的TaylorTaylor公式公式例例 4202coslimxexxx 442224420)2(! 2121 ! 421limxxoxxxoxxx ！121 第48頁/共55

37、頁第四十八頁，共55頁。.)4 證明不等式證明不等式.不不等等式式處處二二階階以以上上導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)有有關(guān)關(guān)的的常常用用于于證證明明與與中中間間值值 一般使用一般使用(shyng)(shyng)帶有帶有LagrangeLagrange余項的余項的TaylorTaylor公式公式充分利用給定函數(shù)充分利用給定函數(shù)(hnsh)(hnsh)的函數(shù)的函數(shù)(hnsh)(hnsh)值及值及各階導(dǎo)數(shù)的已知信息各階導(dǎo)數(shù)的已知信息恰當(dāng)選擇恰當(dāng)選擇(xunz)(xunz)在哪一點將函數(shù)在哪一點將函數(shù)TaylorTaylor展開展開第49頁/共55頁第四十九頁，共55頁。證證, 1)(),1 , 0(00 xfx使得使得設(shè)

38、設(shè)20000)(! 2)()()()(xxfxxxfxfxf ),(0 xx 201! 2)(1)0(xff 202)1(! 2)(1)1(xff ), 0(01x )1 ,(02x 2012)(xf 202)1(2)(xf 8212)1(2,2max)(22020 xxf 8)(),1 , 0( f使使即即存存在在例例, 0)1()0(,1 , 0)( ffxf且且上二階可導(dǎo)上二階可導(dǎo)在在設(shè)設(shè)8)(),1 , 0(: f使使存存在在證證明明, 1)(min10 xfx0)(0 xf第50頁/共55頁第五十頁，共55頁。axfxxfxx )( lim000外可導(dǎo)，且外可導(dǎo)，且的鄰域內(nèi)連續(xù)，除的鄰域內(nèi)連續(xù)，除在在設(shè)設(shè).)( lim)( lim00axfxfxxxx 則則)( lim)()(lim000000 xxxfxxxfxfxxxx 可微函數(shù)可微函數(shù)(hnsh)f (hnsh)f 的導(dǎo)數(shù)有幾個重要性質(zhì)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)有幾個重要性質(zhì)是函數(shù)(hnsh)f (hnsh)f 所