2021屆高考數(shù)學圓錐曲線壓軸題專題02圓錐曲線與內心問題(通用版解析版)

1、專題2、111維曲線與內心問題從近幾年圓錐曲線的命題風格看，既注重知識又注重能力，既突出圓錐曲線的本質特征。而現(xiàn)在圓錐 曲線中面積、弦長、最值等幾乎成為研究的常規(guī)問題。“四心”問題進入圓錐曲線，讓我們更是耳目一新。 因此在高考數(shù)學復習中，通過讓學生研究三角形的“四心”與圓錐曲線的結合問題，快速提高學生的數(shù)學 解題能力，增強學生的信心，備戰(zhàn)高考.三角形的內心：三角形三條角平分線的交點。重要結論：/是AA3c的內心（其中db、c為M3c的三條邊）:知識儲備:三角形內切圓的半徑求法:（1）任意三角形：=二上（其中C為三角形的周長，S為三角形的面積）:（2）直角三角形：i= " + （其中，

2、b為直角邊，c為斜邊） 2經(jīng)典例題:例1.（2020.浙江高三期中）已知M是橢圓二+二=1上一點，F(xiàn)?是橢圓的左，右焦點，點/是AA 25 16的內心,延長聞交線段可巴于N,則疆的值為（A-1【答案】A【解析】如圖，點是同曲上+乙=1上一點，過點M作BM垂直直線耳亮于點5,過點I作ZA垂直直 25 16線耳亮于點4，次&W"5的內切圓半役為小則四=r,由三角形而枳相等跳：S&MFj乃 =SdMFl + S 兇嗎 + S F昌 得：大用= 明圖+ 比尸2| + "國 乙乙乙乙又網(wǎng)+1峭1=0礴 次網(wǎng)=%叫小所以晟=&由橢圓方程25 16 |M| c 3

3、得：。=5, b = 4, c = a2 b，= 3, 所以口才可=§ 干MV3'/M4 Ml似,可得:瑞T瑞 V令網(wǎng)=3的卜8團、嘰求得：瑞=師玲曠就一 丁3m故選A.【點睛】本題主要是利用三角形相似將所求的比值轉化成三角形相似比問題，即構造兩個三角形相似來處 理.于內切圓問題通常利用等面積法列方程 即：跳：（其中/是的 內切圓圓心）<S&AliC=r（a+b + c）,從而解決問題.例2、（2020江西高三期中（理）已知橢圓三+ ? = 1卜>>0）的左右焦點分別為小 網(wǎng),夕為橢圓 上不與左右頂點重合的任意一點，/是尸耳工的內心，當|%|=4）力

4、時（其中為,為分別為點。與內 心/的縱坐標），橢圓的離心率為（）A. 1B.在C. 1D, 12233【答案】C【分析】根據(jù)內切圓的性質利用等面積法求出內切圓的半徑，即可得內切圓圓心的縱坐標，利用條件 回| = 45|化簡方程，即可求出離心率.【詳解】設玖，匕,）,爐妨設, >0,如圖，設三角形內切圓的半徑為二由三角形內切圓的性感稼：Lr(2a + 2c) = -2c-yp,解得：r = 2L,，刃=_2k 22a + ca + c/1 cr 1因為|力| = 4回|，所以 =1，解得女=,所以e =不 故選：Ca + ca 3【點話】關鍵點點睛，利用內切圓的性質得到:"2a

5、+ 2c) = ；-2c-yp是解題的關他根據(jù)，=為及 乙乙|)'p| = 4|»卜建立方程求出離心率.屬于中檔題.例3. (2020 浙江溫州中學高三)已知"，凡為橢圓C:± +二=1的左、右焦點，點P在橢圓C上移動時, 43P"鳥的內心/的軌跡方程為【答案】x2+3/=1(30)x【詳解】考查更為一般的問題：設尸為橢MU 2 = 1(«>0/>0)上的動點，片,鳥為橢圓的兩個焦 /為尸尸內的內心,求點/的軌跡”.解法：如圖，設內切園/與Fi乃的切點為H，半徑為八且，F(xiàn)好=?,尸產1=.葉尸尸4三丑二，c =工F，則y +

6、 z = 2c2x + y + z = 2a門線加I，汨的斜率之積：1 11 卜、H而根據(jù)海倫公式，有尸的面積為(x+y + z) = Jvyz(x+y + z).x a-c因此有標” =一寸7二一百再根據(jù)橢圓的斜率積定義可得,點的軌跡是以尸質為長軸，離心率。滿足/ 一 1=- 的橢圓，其標準方程為7r + ，=1()'*°). a + c- c-a + c解法二:令 P(acos8、bsin 8),則 sin 6 W 0.三角形 PFF2 的而積：S = 2c-bsin 0 =(2c + 2a)-r , 22其中7為內切圓的半徑，解得=竺回必= b，J力-方面，由內切圓的性

7、質及焦半徑公式得： a + c(c-X/)(巧 +c) = |P4 |一|叫| = m-ccos，)一(+ccosg),從而有巧=ccos6 .消去6得到點/的軌跡方程為：/十)=1("。).L a + c本題中：4 = 2,c = l,代入上式可得軌跡方程為：X2+3/=1()0)例4、(2019年綿陽市高三模擬12題)點”、F?分別是雙曲線Y -二=1的左、右焦點，點P在雙曲線上,則尸E入的內切圓半徑r的取值范圍是()A.(0,>/3)B. (0,2)C.(0,72)D. (0,1)【答案】A【解析】如圖所示，設AP”用的內切圓圓心為/，內切圓卜廣：邊分別相切于點48,C,

8、又因為|RA| + %A| = 2c,所以忻4| = a + c,陰A| = c-a,所以A點為右頂點，即圓心/（4 r）.考慮P點在無窮遠時，直線尸耳的斜率趨近于2， a此時尸耳方程為y =+ C）,aab-ar + bc此時留心到直線的距離為. 加廠十（廣因此AP"鳥內切圓半徑re（O,b）,所以選擇A.22例5、（2020年湖北省高三聯(lián)考12題）過雙曲線C:二-1=1（。>02>0）的右焦點/作直線/,且直線/與cr b-雙曲線。的一條漸近線垂直，垂足為A，直線/與另一條漸近線交于點4,已知。為坐標原點，若AOA5的內切圓的半徑為避二1”，則雙曲線C的離心率為（ 2

9、A平B. 6+1c-¥D ¥或2【答案】D【解析】有兩種情況:（1）若A8在y軸同側，不妨設A住笫一象限.如圖,設根臺內切圓的圓心為M ,則M在N4O8的平分線匕過點M分別作MNJ»O4于N,加丁，48于7，由E4_L。以得四邊或ML4N為正方形，利川點到直線的距離公式可彳匕b c化點/到漸近線y = 2工的距離為|必卜a=b從而可得離心、率e =2 c F又 I。/ l=c,所以 1041=。， 又 |NA|=|MNI=Ya，所以 INOI=±二叵。所以 2 = tanNAC = "1 = 9, aNO 3（2）昔A,若在y軸異側，不妨設4象

10、限如圖，易知1必1=/乙0F =c9 1041=。,因為AOAB的內切圓半徑為匚""=止1 ”， 22所以 1081-1 A31= 2a-島，又因為I08FTA3F+/,所以|.=島,1081=2。,所以N3OA = 60。，ZAOF = 60% 51iJ- = tan60o = >/3 ,a從而可得離心率6 = Jl+（2） =2 .綜上，雙曲線C的離心率為 手或2.故選: 例6、（2。20年山東省濟南市高三二?！?題）已知小人分別是雙曲線）的左，右 焦點，過點”向一條漸近線作垂線，交雙曲線右支于點P,直線F2P與y軸交于點Q（p, Q在x軸同側）, 連接若PQ&q

11、uot;的內切圓圓心恰好落在以"鳥為直徑的圓上，則/耳尸乙的大小為；雙曲線 的離心率為【答案】y邪【解析】如圖所示：不妨取漸近線y =易知（否則不能。右支相交）.a則宜線耳為：y = -y-（a + c） , EI1J ax + by + ac = 0 , 設內切圓圓心為Oi，根據(jù)對稱性知。1在）'軸上，PQF的內切圓圓心恰好落在以耳心為直徑的圓上,故 0亂工 OF2,故O（0,-c）,0、到直線PK的距離為:4 =尸一何=b-a, >Ja2+b2設直線PE： y = （x-c）,即Ax-y-&、=。&到直線PF,的距離為：乩=母旦=化簡整理得到a兒2

12、一（,/*而=。，解得攵=9或k = £,時，直線y = 3x + c）ijy = 'x c）的交點橫坐標為0,不滿足題意，£ 故直線 PF” y = g（xc）,故 PPF2, NFPF?=g聯(lián)立方程得到y(tǒng)=-Y(x+c)，解得p y = -(x-c)< b1 -a12abc >，代入雙曲線方程得到："4d化簡整理得到：c? =5,J ,故e =在".故答案為：下一【點暗】本題考查了雙曲線中直線的位置關系，離心率，意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.例7、己知點夕是雙曲線二-二=1上除頂點外的任意一點，耳，居分別為左、右焦點，c為

13、半焦距，/尸耳居 a- b-的內切圓與月入切于點M，則.【答案】b2【解析】設圓，PFX的切點為點S,與PF1的切點為點T,根據(jù)從圓外一點向圓所引的兩條切線長相等可知：I耳= |瑪,|PS| = |PT|當尸在雙曲線圖象的右支時，而根據(jù)雙曲線的定義可知|"凹一怩叫=|""一醫(yī)尸| =勿；而比M+I”用=區(qū)用卜2c，聯(lián)立解得：忸叫= a+c,|瑪M|=c一凡所以|耳陷內M| = 3+c）（c -。）=。2 -療土以當尸在雙曲線圖象的左支時，而根據(jù)雙曲線的定義可知醫(yī)凹|"根=優(yōu)"|"尸| =勿值：而歸必+|摩卜周=2c，聯(lián)立®解

14、得：|&W| = +cjEM=ca,舊MH&W| = S+c）（ca） = c2/=2綜上，可得|耳如怪凹=【點睛】本題主要考查雙曲線的定義及其應用，外切圓的性質等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求 解能力.2例8、（2019年成都七中高三模擬16題）已知雙曲線M ：/-二=1的左,右焦點自，凡，點P在雙曲線上左支3上動點，則三角形PFJ2的內切圓的圓心為G,若AGP修與GFJ2的面積分別為S,S',則一取值范圍是 S'解析：如圖設切點分別為M, M。，則尸尸1尸2的內切圓的圓心G的橫坐標與。橫坐標相同.由雙曲線的定義，PFi-PF2=2a.由圓的切線性質PF

15、PB=BN - FM=EQ -尸i0=2，B0+B2=BB=2c, ：.F2Q=c+a. OQ=a,。橫坐標為雙曲線M :犬一L=1為=1, b= 6 , c=2, 3可設 G(-l, f), />0,設 PFi=w1= ->-，故答案為：（L, +00）.c tin可得士 = 3S 1.4/ 2例9. （2020.山東省高三期中）雙曲線。：二一二=1（。> 0力> 0）的漸近線與拋物線C ： a2= 2py（p> 0）交 cr b，于點AO,8,若拋物線g的焦點恰為A4O8的內心，則雙曲線C的離心率為（）A 2R/TcD 1+應Jo 、/ SI* JL2 242

16、【答案】D【分析】作H；圓錐曲線的大致圖像，利用拋物線的焦點到漸近線的距離等于到的距離，國電【詳解】作出雙曲線孰：=一 3 = 1（。> °，6> °）。拋物線C := 2py（p > 0）的大致圖像，如圖： cr b-22r雙曲線c ：一；_ = 1伍0力0）的漸近線方程為：y = ±-x,即"±。），= 0, cra聯(lián)立? = 2y ,解得40或戶泗，當戶亞時，則尸要，bx-ay = 0aaa"所以焦點fi 0、C |到Ab的距離為年二2，I 2）a2 2,焦點尸。得 到漸近線瓜一緲=。的外離為d所以衛(wèi)二一2=絲

17、，整理可得二=二，即生二£="£,整理可得4c35/c_/=0, cr 2 2ccr 2ca2 2c兩邊同除以/可得4/一5-1 = 0，4/一央一6 1=0 = （。+ 1乂4/+4« - 1） = 0,又即4，2+，-1 = 0,解得e = TI.故選：D2【點睛】本題考查了雙曲線的簡單幾何性質、直線與拋物線的位置關系，考查了考生的計算能力，屬于中檔題.例10、（2020年河北省石家莊市一模12題）己知"，A分別為雙曲線二-二=1（"0.0）的左焦點和 cr b-右焦點，過F?的直線/與雙曲線的右支交于A, 8兩點，&4&

18、quot;后的內切圓半徑為小 幼與鳥的內切圓半徑為2,若4=2q,則直線/的斜率為（）A. 1B. 72C. 2D. 2點【答案】D【解析】設&44鳥的內切圓圓心為人，寫的內切圓圓心為八.，邊人耳、AF2. FxF2上的切點分別為M、M E,易見人、E橫坐標相等，則4刈=|47|,恒根=|耳環(huán)優(yōu)叫=優(yōu)耳由|A用|A引=2" 即+ 耳卜（|AN|+|N聞）= 2a,得附用一|7勾=2即忻同一|生日=2。，記/|的橫坐標為小 ,則E（,%,0）,于是Xo+c-（c-/） = 2",得/ =出 同理內心人的橫坐標也為“則有軸，nn0 _ r2tan -=2 F.E,tan

19、 N/1 鳥O = tan(90。一：14o萬=，* f = 2Go f.e 1 - tan2設直線的傾斜角為氏則N。鵬二，46。=9。»則22。i eg2tan? r二.tan = Jan =.tan 0 =t=-zr = 2 J2 .故選 D.2 222l-tan2一222例11、（2020年師大附中高三模擬12題）已知點尸為雙曲線二-二二1（>0.>0）右支上一點，點B,產2 a分別為雙曲線的左右焦點，點I是尸產1尸2的內心（三角形內切圓的圓心），若恒有S lp. -S N叵S 4 11 r a lrr> ?成立，則雙曲線的離心率取值范圍是（）A. （1, 7

20、2 ）B. （1, 272 ） C. （1, 272 D, （1, R【答案】D【解析】根據(jù)條件和三角形的面枳公式，求得，c的關系式，從而得出離心率的取值范圍,引到答案.設鳥的內切圓的半徑為，則S”叫=；|P用",Sy吟=；|尸治",S"向周V , 乙乙乙因為5 » N烏SFJ所以附|卡周之芻甲訃 由雙曲線的定義可知|產用一|尸馬=勿,怩鳥卜之、，所以心當C，即亍<8,<e = ->,所以雙曲線的離心率的取值范圍是（1,口，故選D.例12、已知雙曲線C:二一二=1 （f/>0,。>0）的兩條漸近線與拋物線V=2px （p0）

21、的準線分 b'別交于A, 8兩點，。為坐標原點，若雙曲線C的離心率為2, AO8的面積為則AO8的內切圓半徑為（）.A . 、/1B . /3 +1C. 26一3 D. 25/3+3解析：由e = 2,可得9 =b y = ± x",求得4丫一 A -2，一空），所以SaiO8=；X也=2a2 a 2/2 =代入式，得p2=4,解得p = 2,所以41,6）,次一 1,一/）,則498的三邊長分別為2, 2, 2石,設ZvlOB的內切圓半徑為r,由;（2 + 2 + 2jJ）r = J5,解得r=2C一3.故選C.課后訓練:1. （2020 湖北襄陽四中高三（理）橢

22、圓二十二=1的兩焦點是"、F, M為橢圓上與"、cr ZrF?不共線的任意一點，/為MEF2的內心，延長MZ交線段片死于點N,則的值等于（）B.- cD.- a【答案】BMI bWFl【解析區(qū)接.在中下”是/MFiN的角平分線,根據(jù)三角形內角平分線性質定理.焉 = |w| |£N|口理語解|峭1M叫|嶼| 同理“網(wǎng)一兩叔：網(wǎng)一麗一百，MI MFx + MFA2ci a出據(jù)等匕定理7777 = =一= 一.1二攔B選項.網(wǎng) ”N+住 Ncr* v"2.（2020黑龍江高三期末）如圖所示，點尸為橢圓一+ 431上任一點，A，5為其左右兩焦點，3FR&

23、PFh1A.- 32 C.一33 D.-4【答案】A【分析】首先連尸7延長x軸于D,連陰，IF2,利用角平分線定理得到閆蕓 1=1器I,再利用和11 I 1 1 r比定理和橢圓的性質，得到|2|=|2S = e = L 從而得到而枳比值.IP 2a 2【洋解】解：連尸/延Kx軸于D，連/"，心,在”6。中有勺，在鳥。中有”DF,一故I”日空日絲陷+"=2=-1,2=g=1'IP 尸" PF? PF + PF2 2a 2，其他 即 3,故選：A【點睛】本題考查橢圓的性質和角平分線定理解決三角形面積比值，意在考查轉化。化歸的思想，數(shù)形結 合分析問題，屬于中檔題

24、型，本題的難點是角平分線定理的應用.223.（浙江高三）已知橢圓C 二+二=1（4>>。），為左右焦點，點P（2,&）在橢圓C上，”尸人 cr b-的重心為G,內心為/,且有=（4為實數(shù)），則橢圓方程為（）A.二+ 匚 B.:+ Y = 1 C.匚至=1 D,上 + 匚8 616492710 5【答案】A【解析】設點尸距x軸的距離為J5,因為IG 片鳥，則點I距x軸的距離為走.連接耳/,用/,2/.則3m=gx|"用 x>/5 = gx2cx>/5 = >/Jc,S應pf, =5乂匹十SF +S宅* = ；x為x曰十;x(E邛十尸尸卜*=(4十c

25、)日 « 所以(4 + C)=小3 =4 = 2。= /? = JJc，用： -2 +f = 1 = C? = 2 ,所以橢員I方程為 - + - 考點：橢圓的標準方程.4.（2020 ,湖南高二期中（理）已知點M在橢圓：二+二=1（。%0）上，5、居為左、右焦點，點 lr丁是內心，連接MT并延長交線段耳心于N,則鬻的值為（A、b【答案】C【解析】連接尸耳、PF?,在M£P中,片是/岬的角平分線,根據(jù)三角形角平分線的性質定理得故有蕭篇根據(jù)等比定理得幽=出；同理可得四二g |PN| FNPN 區(qū) N|網(wǎng)= 2a = a網(wǎng)1府+展護工=及與所以答案為C.考點：1、橢圓的定義;2

26、、角平分線的性質.【技巧點睛】本題考查的是橢圓的定義、角平分線的性質定理、等比定理等的綜合知識，屬于難題：在解 決涉及圓錐曲線上的點與焦點之間的關系的問題中，圓錐曲線的定義往往是解題的突破口:由于三角形的內心是三個內角的平分線的交點，根據(jù)三角形內角平分線的性質定理，把所求的比值轉化為三角形邊長之 間的比值關系來求解.5.雙曲線二一二=1的左、右焦點分別為£, 916F?,尸為雙曲線右支上一點，I是P"F?的內心，且Sypf = Sy% ，則4=(C.D.【答案】C【分析】由已知可得|尸娟一|尸鳥|=可可可，結合雙曲線的定義和標準方程，即可求解.【詳解】如圖，設API巴內切圓

27、的半徑為r, 由%" =S"4一如"心，得;|P6”=；小娟一外;歸鳥”,整理得|。用|0入|=4甲可.因為P為雙曲線右支上一點，3所以忙用一|桃| = 2。= 6,上用= 10,所以4 = .故選:C.【點睛】本題考查雙曲線的標準方程，以及雙曲線定義和性質的應用，屬于基礎題.226. （2020安徽高二期末）點A是橢圓£ + § = 1（4人0）上一點，片、心分別是橢圓的左、右焦點，/是AA"5的內心.若=2&S5向一5,凡，則該橢圓的離心率為（）a 1n "c 1n "A. -B. C. -D.-442

28、2【答案】B.【解析】設A4£鳥的內切明的半行為r,則由Sm=2在S"浜一Sy"得:-AFlxr = 2y/2x-FlF2xr-AF2xr 即：A6+4鳥=2后行222.2a = 2y/2x2c 所以橢圓的離心率6 = £= =也.故選B.« 2V24考點：橢圓的簡單性質.【思路點晴】本題主要考查了橢圓的定義、橢圓的標準方程、橢圓的幾何性質，橢圓的離心率的定義及其 il算方法，屬基礎題：求橢圓的離心率，關鍵在于找到關于基本量”,ac之間的等量關系式，再利用離心率 的定義，通過解方程而求得：再建立關系式的過程中，一定要充分注意橢圓定義的應用.27

29、.設橢圓亍+J=1的左、右焦點分別為M為橢圓上異于長軸端點的一點，ZFMF2 = 20, 的內心為 L 貝ijl M/I cos6 =（）A 9 77 R 1C e D 2-邪222【答案】A【解析】由題意,IMFHMFM,而IFRI=2JJ，設圓與MB、MFz,分別切于點A, B,根據(jù)切線長定理就有IFF2l=IF】AI+IF2BI=2褥,所 U. MI cos0=MA|=|MB = = 2 » 故選 A.2考點：橢圓的定義，橢圓的幾何性質，圓的切線長定理。點評：小綜合題，將橢圓的基礎知識與圓的知識綜合考查，難度不大，注意結合圖形特征，尋求解題途徑。8. （2020湖北高二期中（理

30、）己知月，尸2分別是橢圓：三+*=1（"。）的左、右焦點，點戶是橢圓上一點，I為用的內心，若5加的=45"與，則該橢圓的離心率是A. -B. -C.立D.走3423【答案】A分析：首先根據(jù)三角形面枳的關系，確定出三角形的三邊的關系,結合橢快I的定義，得到3=-再1 、3一， 2。2根據(jù)橢圓的離心率的公式求得結果.【解析】設AP耳鳥的內切圓的半價為r,根據(jù)題意S"¥； =4S.死可得，S"個一 =1,根據(jù)三角1 c一2cr 形的面式，可以求行3=;，整理得£=：，跳6 = ，故選A.34 33點睛：該題考查的是有關橢圓的離心率的求解問題

31、，在解題的過程中，需要注意根據(jù)題的條件，結合焦點 三角形的特征，求得對應的離心率的大小.9.己知橢圓C:=十二=1（。>>0）的左、右焦點分別為居，。為C上一點，若/為居的內 cr b'心，且Sa"m=3S叼”則C的方程可能是（）72，）a t ,c x ， ,c廠 v ,cr v",A. + y- = 1B.+ y=1C.卜二=1D.F- = 12 .33243【答案】D【分析】先根據(jù)/為耳鳥的內心，且S尸再得2耳5=尸耳+工，即 = 2c,再依次討論選項即可得答案.詳解】解:因為/為耳耳的內心,設AP耳瑪內切圓的半”、為r ,所以S&pf再=

32、（尸石+尸鳥+ ”鳥）小 2因為=3Sjfm ,所以S%尼=1（PG+PE + EE）» = 3x，GE",所以2大鳥=0片+0入， 22根據(jù)橢圓的定義得：2。= 4c，即。= 2c.對于A選項，。=5 =,不滿足。= 2c,故錯誤：對于B選項，。=&=立,不滿足a = 2c,故鋁誤：對于C選項，。=瓜（=1,不滿足 = 2c,故錯誤：對于D選項，a = 2,c = l,滿足。=2c，故正確.故選：D.【點睛】本題號俺利用橢圓的性所求解橢網(wǎng)的方程，解題的核心是通過而積關系和橢圓的定義得到 = 2c, 考查分析解決問題的能力，是中檔題.10. （2020浙江高三月考）

33、已知”（一1,0）,區(qū)1.0 , M是第一象限內的點，且滿足|M用+ |M用=4, 若/是M"F?的內心，G是加巴鳥的重心，記/"馬與的面積分別為S邑，則（）A. S, >5,B. S、= SC. S1 <S2D. S1與 S2大小不確定【答案】Bt分析】作出圖示，根據(jù)/,G的特點分別表示出SS”即可判斷出51同的大小關22【詳解】因為|町出叫|=4>|6用=2,所以M的軌跡是橢圓三+工=1在第一象限內的部分，如圖所示：因為/是的內心，設內切圓的半徑為人幽業(yè)處史近二幽叢，所以= "所以S"印"瑪.、加223' 1223

34、又因為G是MfJF?的重心，所以OG:GM = 1:2,所以S2 = ：Swm=；S處仍=；嗎包=當，所以5=與，故選：B. JJJ4【點睛】本題考查橢圓的定義，其中涉及到三角形的內心和重心問題，對學生分析圖形中關系的能力要求 較高,難度一般.11、（2020屆綿陽中學二診模擬12題）設廠是雙曲線C:二一二=1（。>0/>0）的右焦點，。為坐標原 cr b點，過尸作。的一條漸近線的垂線，垂足為H若江OH的內切圓與軸切于點B，且8戶=2。氏則C的離 心率為A 3 + Vn” + 后3 + 3g八 3 + 3"A. B. C. D.解析：因為尸到漸近線的距離為國1=夕所以防=

35、貴了 =a + h-c則尸明的內切圓的半徑為-2葭尸田的內切圓與方切于點M則附"1二竺產2由麗=2而，得怛M=怛日=3°，怛川+=+=歸叫=，即劾= c + 3即9b2 =c2+ 6oc + 9/,得4/-3e-9 = 0,由于e>l,解得e =812、(2019年成外高三一診模擬11題)已知雙曲線C:二一 L = i(>o/>o)的左、右焦點分別兒F:, a b。為雙曲線的中心，尸是雙曲線右支上的點，/年片的內切圓的圓心為1,且0/與x軸相切于點4過用作直線,的垂線，垂足為8若，為雙曲線的率心率，則A. OB-eOA B. OA =e OB C. OB-

36、 OA D.7與 I 必關系不確定 解析：Fi (-c, 0)、Fi (c, 0),內切圓與x軸的切點是點AVIPFiI-IPF2I=2«,及圓的切線長定理知,lAFJ-IAFz/,設內切圓的圓心橫坐標為X,則I (x+c) - (c-x) 1=2。 .x=t/；OA=a9在三角形PCF?中,由題意得，它是一個等腰三角形，PC=PF2,.在三角形中，有：OB=-CFi=- (PFrPC) =- (PR-PFC =-x2a=a.：. 22221081=1041.故選 C.r- v-13、(2019年衡水金卷(一)11題)點P是雙曲線C:一一一 = 1的上支上的一點，事,巳分別為雙曲線的

37、上、9 16下焦點，則APBE的內切圓圓心M的坐標一定適合的方程是()工.y=-3B. y=3C. /+/=5 D. j.=3/2解析:.川il線方程為土一馬=1916'a2=9, = 16,設尸尸】尺的內切圓分別與尸尸】、尸尸2切于點a、B,與F1B切于點C 則附=|P5|, FB=FQ. F2A=F2C,又點P在雙曲線上支上，PF2-PFi=2a=6,即(匠毋以|)- (FiB+PB )=6 ,化簡得曰卜展|=6 ,BP|F2q-|FiQ=6 ,而 JFiC+嗎 C|=2c=10,設C點坐標為(0/),由層4-尸。=6可得(2+5)-(5力=6,解之得z=3，得C的坐標為(0, 3

38、)二圓M與FiF2切于點C, ：.CM±y軸，可得CM所在直線方程為尸314、(2018年湖南師大附中高三模擬12題)已知點夕為雙曲線二一二=1(。>0力>0)右支上一點，月，F(xiàn)i cr b-分別為雙曲線的左右焦點，且爐1尸2|=，/為三角形PFF2的內心，若S"1 = Se*+B"F浜成立，則入的值為()A. ?£+1 B. 2y/3-l C. >/2 + 1 D. >/2-l解析：設2心后的內切圓半徑為八由雙曲線的定義得|P川-PF2=2a, |FiF2|=2c,S"2o片2出題意得:白囪3；閘山6故4=句"

39、;，A 2CJL = LLS /ph = J |M|r，Snpkl= J 伊用八：£ =乏-115、如圖，已知雙曲線二二=1 （。0, Z?>0）的左右焦點分別為E、F）, IE居1=8，P是雙曲線 cr b"右支上的一點，直線鳥尸與），軸交于點A，AP”的內切圓在邊P”上的切點為。，若IP。1=2,則該 雙曲線的離心率為（）A. V2B.C. 2D. 3【解析】如F圖所示，設Af,A乃與必尸石的內切圓相切于N,M，則 AN = AM,PM =PQ,N" =QFvAFx=AF2.所以= A月一 AN = 45一 AM = MF?,所以Q" =Mf；

40、,所以=(Q"+PQ)-(M5一PM) = Q"+PQ-M鳥+ PM= PQ + PM =2PQ = 4,所以2a = 4,即 = 2,由"E=8 = 2c可得c = 4,所以該雙曲線的離心率e = ' = 2,故應選C.16、已知點P為雙曲線C：二一二=1（。>0, Z?>0）右支上一點，耳，居分別為左右焦點，若雙曲線C的 cr lr離心率為小,APEE的內切圓圓心為/,半徑為2,若又M/=S"F"+2jL則。的值是（）A. 2B. 72C.娓D. 622【解析】點P為雙曲線C： J一> 二>0/>0）右

41、支上一點，"，鳥分別為左右焦點,"鳥的內切圓圓心為/,半徑為2 .因為反呻=S»F、/+2jL 所以Lx|P用" = |p用, + 2時，22可得歸用一歸用=2不，即2a = 2x/3,.-. a = #>，雙曲線C的離心率為6,7 = 6,可得c = 3,則/?=必方=斥9 ="，故選C.【點睛】本題主要考查雙曲線的定義、雙曲線的離心率以及雙曲線的幾何性質，屬于中檔題.求解與雙曲線 性質有關的問題時要結合圖形進行分析，既使不畫出圖形，思考時也要聯(lián)想到圖形，當涉及頂點、焦點、 實軸、虛軸、漸近線等雙曲線的基本量時，要理清它們之間的關系，挖

42、掘出它們之間的內在聯(lián)系.2217、（2018山東省濰坊市三模11題）點0是雙曲線二一二=1右支上一點，"、A分別為左、右焦點.cr 1廠尸再用的內切圓與X軸相切于點N.若點N為線段of?中點，則雙曲線離心率為（）A. 72 + 1B. 2C. y/2D. 3【解析】設AP"鳥的內切圓圓心為/ ,邊尸耳、”、FF2上的切點分別為“、Q、N,易見/、N橫坐標相等，則1PM = |尸。|,|耳刈=|耳叫，|尼。卜因N|,由 |尸”PF2 =%即 1P必 + 河£ 卜（|尸°|+| 尸引）=2a,得附用|QF21 = 2a,即忻NF2N = 2a , 記/的橫坐

43、標為七，則Mx。,。），于是Xo+c-（c-Xo）= 2a ,得玉）=,由點N為線段OF-,中點，知c = 2a,.e = 2.故選B.點儲：（1）解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范惘問題其關鍵就是確立一個關于的方程或不等式. 再根據(jù)的關系消掉得到，c的關系式，而建立關于的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲 線的幾何性質、點的坐標的范陽等：（2）在雙曲線中，焦點三角形的內切圓圓心與工軸的切點為（。,0）.2218、如圖，已知橢圓二十二=1（。方0）的左，右焦點分別為Z，A,=。是軸正半軸上cr b""一點，尸片交橢圓于A,若A居_!./¥；,且A4尸居的內切圓半徑

44、為丫5,則橢圓的離心率為（）2t解析】由題意，直角三角形的內切圓半徑/二%+從5工=45一4耳=叵 2222/21=加，AAF I2 AF2 l2=10t，2HQIL4BI=4,工（|A用+| A周了=14, ：.AFi+AF2= y/4=2a.凡&1=加.橢圓的離心率是6=£ = 膽=組=遮.故選：B.V14 V7 7【點暗】本題考查橢圓的幾何性質，考查橢圓的定義，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題.19、（2020年湖北省高三聯(lián)考改編）過雙曲線:-二=1右焦點/的直線交兩漸近線于A、cr b'3兩點,若加4耳=0，0為坐標原點，且AOAB內切圓半徑為9二L/,

45、則該雙曲線的離心率為 2設內切圓圓心為M,則M在NAOB平分線上，過點M分別作MN_LQ4于N,于T，由E4_LQ4得四邊形ML4N為正方形，由焦點到漸近線的距離為b得E4 = ，乂OF = c,所以。4=,=孚.故選:A.|M4| = |MN| =下2 1 a , 所以 I NO 1=2 a ,所以二匕門/人0二點口二左，得 = aNO 3【點睛】本題考查雙曲線的性質，考查邏輯思維能力，正確作出圖形是解題的關鍵，屬于中檔題.I/20、（福建省漳州市模擬）已知雙曲線C：=-十=1（。>00 >0）的左右焦點為石蠡片，尸為雙曲線C b b .右支上異于頂點的一點，尸尸三的內切圓與工軸

46、切于點（1,0）,且尸與點石關于直線y =對稱，則a雙曲線方程為【解析】設點a（1, 0）,因為aP耳片的內切圓與x軸切于點（1, 0）,則I尸耳IT尸耳I斗巧I一卜見，所以2a = （c + l） （。一1）,則=1.bx笈 | 尸F(xiàn)； I b 7因為P與點Fi關于直線尸=一下對稱，所以NRPF?=彳且鬲=力=方，聯(lián)立|咫卜國=2且歸上+1%=4c? = 4 + 4/解得6 = 2 .所以雙曲線方程為一一二二1.421、(2020年浙江省新高考名校聯(lián)考10題)已知橢圓q ：二+二=1(。人0)的左、右焦點分別是"”， cr lr過點M作圓。：爐十/二尸的一條切線，切點為P,延長M尸

47、交橢圓于點。，且IMP曰PQI,雙曲線 )二=1的左、右焦點分別為耳，居，后是a右支上一點，EK與y軸交于點a，aea居的內切圓與的切點為尸，若IA/1="，則雙曲線G的方程為A.二上=B,二上=1C,工-工=344393【答案】D【解析】連接OP,M2，在橢圓G中，尸是圓/ +),2=2的切線，。是切點，.opim。，Vl MP 日 PQ 1,1 OM IT ON 1, ：.OP=QN, ：.MP=MQ=(2a-NQ) = (2a-2b) = a-b, 在用OW9中，由勾股定理得，IOW F=IOPF +IPM F, 即=/ +(“ )2,又/=,/一從，=3®.22在雙

48、曲線G：二一二=1中，內用同可=%， CT 1)-由題意知，上式可變?yōu)閨AE|+IAEI區(qū)同= 2。， 由三角形內切圓的性質得|隹|+1AE-F2E = 2AF, ,( )1 D. -2 = 1 34OP=b. yx.211= 2。，則 a =".-a- lr聯(lián)立并解得b = 3巨，雙曲線。，的方程為二型=1，故選:D. 334【點睛】本題考查橢圓和雙曲線的定義，三角形內切圓的知識，考查數(shù)形結合思想及運算求解能力.2222 .點M為橢圓二+二=1上一點，"，尺為橢圓的兩個焦點，則"MF,的內心軌跡方程為 95【答案】 + = 1()0) 44A|M/| 3【什析】設甲0名的內心為/,連接A交x軸于點N,由內角平分線性質定理得到局 =3,設17V4 2/(x,y)M/,)b),NaM，再由焦半徑公式及內角平分線定理得到巧=9，則義修與,0),然后利川向量關系把M的坐標用/的坐標表示出來，代入橢圓方程求【詳解】如圖，設片屈巴的內心為/,連接M/交工軸于點N,連接鳥在MF"中區(qū)是N