2021屆高考數(shù)學圓錐曲線壓軸題專題05圓錐曲線的光學性質(zhì)問題(通用版原卷版)

1、111推曲線的光學性質(zhì)從近幾年圓錐曲線的命題風格看，既注重知識又注重能力，既突出圓錐曲線的本質(zhì)特征。而現(xiàn)在圓錐 曲線中面積、弦長、最值等幾乎成為研究的常規(guī)問題。從八省聯(lián)考的趨勢看圓錐曲線的光學性質(zhì)和新定義 問題必將在高考占一席之地。因此在高考數(shù)學復習中，通過讓學生研究圓錐曲線的光學性質(zhì)和新定義的相 關問題，快速提高學生的數(shù)學解題能力，增強學生的信心，備戰(zhàn)高考.1）橢圓的光學性質(zhì)：1. （2020.河北衡水中學高三模擬）人造地球衛(wèi)星繞地球運行遵循開普勒行星運動定律:如圖，衛(wèi)星在以地球 的中心為焦點的橢圓軌道上繞地球運行時，其運行速度是變化的，速度的變化服從面積守恒規(guī)律，即衛(wèi)星 的向徑（衛(wèi)星與地心

2、的連線）在相同的時間內(nèi)掃過的面積相等設該橢圓的長軸長、焦距分別為2。, 2c.某同學 根據(jù)所學知識，得到下列結論：衛(wèi)星向徑的取值范圍是a-c,a+c；衛(wèi)星向徑的最小值與最大值的比值越大，橢圓軌道越扁衛(wèi)星在左半橢圓弧的運行時間大于其在右半橢圓弧的運行時間;衛(wèi)星運行速度在近地點時最小，在遠地 點時最大.其中正確的結論是（）A. ®B.C.D. ®®2. （2021全國高三模擬）如圖所示，橢圓有這樣的光學性質(zhì)：從橢圓的一個焦點出發(fā)的光線，經(jīng)橢圓反射 后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點.根據(jù)橢圓的光學性質(zhì)解決下題：已知曲線C的方程為Y+4y2=4, 其左、右焦點分別是片，F(xiàn)

3、2,直線/與橢圓C切于點夕，且歸司=1,過點p且與直線/垂直的直線/'與 橢圓長軸交于點M，則|"叫：區(qū)叫=（）B- 1：V2C. 1:3D. l：/33. （2020成都七中高三模擬）橢圓有如下光學性質(zhì)：從橢圓的一個焦點射出的光線，經(jīng)橢圓反射，其反射 光線必經(jīng)過橢圓的另一焦點，已知橢圓。，其長軸的長為2，焦距為2c,若一條光線從橢圓的左焦點出 發(fā)，第一次回到左焦點所經(jīng)過的路程為5c,則橢圓C的離心率為.2）雙曲線的光學性質(zhì)1. （2020江蘇省鎮(zhèn)江中學高三月考）智慧的人們在進行工業(yè)設計時，巧妙地利用了圓錐曲線的光學性質(zhì)， 比如電影放映機利用橢圓鏡而反射出聚焦光線，探照燈利用

4、拋物線鏡面反射出平行光線.如圖，從雙曲線右 焦點鳥發(fā)出的光線通過雙曲線鏡而反射出發(fā)散光線，且反射光線的反向延長線經(jīng)過左焦點月.己知雙曲線的離心率為&，則當入射光線外尸和反射光線PE互和垂直時（其中P為入射點），的大小為（）D.2. （2020福建高三期末）光線從橢圓的一個焦點發(fā)出，被橢圓反射后會經(jīng)過橢圓的另一個焦點：光線從雙 曲線的一個焦點發(fā)出，被雙曲線反射后的反射光線等效于從另一個焦點射出.如圖，一個光學裝置由有公共 焦點"，入的橢圓與雙曲線構成，現(xiàn)一光線從左焦點1發(fā)出，依次經(jīng)r與反射，又回到了點”， 歷時。秒:若將裝置中的去掉，此光線從點E發(fā)出，經(jīng)兩次反射后又回到了點A，

5、歷時秒;若，2=46， 則與的離心率之比為（）A. 1：虎B. 1:2C. 2:3D. 3:43. （2020安徽省高三期末）光線被曲線反射，等效于被曲線在反射點處的切線反射.已知光線從橢圓的一個焦點出發(fā)，被橢圓反射后要回到橢圓的另一個焦點；光線從雙曲線的一個焦點出發(fā)被雙曲線反射后的反2222射光線等效于從另一個焦點發(fā)出；橢圓C：二+二=1（。>>0）與雙曲線C':二一二=1（2>0,“>0） b'nr有公共焦點（如圖），現(xiàn)一光線從它們的左焦點出發(fā)，在橢圓與雙曲線間連續(xù)反射，則光線經(jīng)過2Z（keN.）次反射后回到左焦點所經(jīng)過的路徑長為C. k(a-in)

6、D. 2k(a m)4. （2020廣東省高三模擬）閱讀下列材料，解決數(shù)學問題.圓錐曲線具有非常漂亮的光學性質(zhì)，被人們廣 泛地應用于各種設計之中，比如橢圓鏡而用來制作電影放映機的聚光燈，拋物而用來制作探照燈等，它們 的截面分別是橢圓和拋物線.雙曲線也具有非常好的光學性質(zhì)，從雙曲線的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過雙2 曲線反射后，反射光線是發(fā)散的，它們好像是從另一個焦點射出的一樣，如圖（1）所示.反比例函數(shù)），= x 的圖像是以直線y=x為軸，以坐標軸為漸近線的等軸雙曲線，記作c.（i）求曲線。的離心率及焦點坐標： （H）如圖（2）,從曲線C的焦點尸處發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線反射后得到的反射光線與入射光線垂

7、直，求入射光 線的方程.圖圖（2）3）拋物線的光學性質(zhì)1. （2020綏陽縣綏陽中學高考模擬）拋物線有如下光學性質(zhì)：過焦點的光線（光線不同過拋物線對稱軸上任意兩點）經(jīng)拋物線反射后平行于拋物線的對稱軸：平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過 拋物線的焦點.若一條平行于X軸的光線從M（3/）射出，經(jīng)過拋物線卡=41上過的點A反射后，再經(jīng)拋物線上的另一點8反射出，則直線的斜率為2. （2020山東高三）拋物線有如下光學性質(zhì)：過焦點的光線經(jīng)拋物線反射后得到的光線平行于拋物線的對 稱軸；反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點.已知拋物線V=4x的焦 點為凡一條平行于x軸

8、的光線從點”（3,1）射出，經(jīng)過拋物線上的點乂反射后，再經(jīng)拋物線上的另一點8 射出，則A8W的周長為（）783A. 9 + fO B. 9 + J26 C. - + >/26D.卜 J263. （2020湖南高三（文）拋物線有如下光學性質(zhì)：由其焦點射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出.現(xiàn)有拋物線丁=2/八（>0）,如圖一平行于x軸的光線射向拋物線，經(jīng)兩次反射后沿平 行x軸方向射出，若兩平行光線間的最小距離為4,則該拋物線的方程為4. （2020重慶高三月考）光學是當今科技的前沿和最活躍的領域之一，拋物線有如下光學性質(zhì)：由其焦點射 出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于

9、拋物線對稱軸的方向射出，今有拋物線C：F=2py（p>0）, 一平行 于）'軸的光線從上方射向拋物線上的點P,經(jīng)拋物線2次反射后，又沿平行于丁軸方向射出，若兩平行光 線間的最小距離為8. （1）求拋物線C的方程：（2）若直線/:y = x + 7與拋物線C交于A, 8兩點,以49、點4為頂點作ABN,使43N的外接圓圓心了的坐標為3,求弦A3的長度.84）圓錐曲線的新定義問題1. （2020內(nèi)蒙古高三期末）一般地，我們把離心率為避二1的橢圓稱為“黃金橢圓對于下列命題： 22222橢圓工十二=1是黃金橢圓：若橢圓二+二=1是黃金橢圓，貝iJm = 6布-6：16 1212 ？在八4

10、3。中，B（-2,O）,C（2,O）,且點A在以民。為焦點的黃金橢圓上，則MBC的周長為6 + 2行：22過黃金橢圓與+ * = l®>/2>0）的右焦點/心,0）作垂直于長軸的垂線，交橢圓于48兩點，則22|AB| = （>/5-l）6/；設E，居是黃金橢圓0:與+= l（a>Z7>0）的兩個焦點，則橢圓C上滿足/"尸尸2= 9。°的點尸不存在.其中所有正確命題的序號是.（把你認為正確命題的序號都填上）2.已知橢圓C：二十二=1（。>>0）,其焦距為2c,若£ =避二?。ū芏?六0.618）,則稱橢圓C為 cr

11、 /r“22“黃金橢圓”.黃金橢圓有如下性質(zhì)：“黃金橢圓”的左、右焦點分別是耳（一C，。），鳥（C,。），以4（一。,0）,8（aO）, D（O,b）, £（。/）為頂點的菱形AEBO的內(nèi)切圓過焦點5，（1）類比“黃金橢圓”的定義，試寫出“黃金雙曲線”的定義;（2）類比“黃金橢圓”的性質(zhì)，試寫出“黃金雙曲線”的性質(zhì)，并加以證明.3. （2020.北京市高三模擬）如果從北大打車到北京車站去接人，聰明的專家一定會選擇走四環(huán)。雖然從城 中間直穿過去看上去很誘人，但考慮到北京的道路幾乎總是正南正北的方向，事實上不會真有人認為這樣 走能抄近路.在城市中，專家估算兩點之間的距離時，不會直接去測量

12、兩點之間的直線距離，而會去考慮 它們相距多少個街區(qū)。在理想模型中，假設每條道路都是水平或者豎直的，那么只要你朝著目標走（不故 意繞遠路），不管你這樣走，花費的路程都是一樣的。出租車幾何學（taxicab geometry）,所謂的“出租車幾 何學”是由十九世紀的另一位真專家赫爾曼-閔可夫斯基所創(chuàng)立的。在出租車幾何學中，點還是形如（x,y）的 有序?qū)崝?shù)對，直線還是滿足依+切，+。=0的所有（尤?。┙M成的圖形，角度大小的定義也和原來一樣。只是 直角坐標系內(nèi)任意兩點A（x，yJ, 8（%2，）2）定義它們之間的一種“距離”：M可=|%一工2| + |»-）2|，請 解決以下問題：（1）定義

13、：“圓”是所有到定點“距離”為定值的點組成的圖形，求“圓周”上的所有點到點力）的“距離”均為，的"圓”方程，并作出大致圖像：（2）在出租車幾何學中，到兩點A、3“距離''相等 的點的軌跡稱為線段的“垂直平分線”，已知點A（l,3）, 8（6.9）, C（l,9）；寫出在線段A8的“垂直平分線''的軌跡方程，并寫出大致圖像：求證：AA3C三邊的“垂直平分線”交于一點（該點稱為AA8C的“外心”），并求出AABC的“外心”.課后訓練：1. （2020河北辛集中學高三月考）拋物線有如下光學性質(zhì)：過焦點的光線經(jīng)拋物線反射后得到的光線平行于拋物線的對稱軸；反之，

14、平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點.已知拋物線y2 =41的焦點為尸，一條平行于X軸的光線從點M（3,l）射出，經(jīng)過拋物線上的點A反射后，再經(jīng)拋物線上的另一點3射出，則A48W的周長為（）71r83r-f-A. 卜。26B. 9 + >/10C. 卜>J26 D. 9 + ,2612122. （2020,湖南高三（文）拋物線有如下光學性質(zhì)：由其焦點射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線 對稱軸的方向射出，今有拋物線V=2pNp>0）,如圖，一平行X軸的光線射向拋物線上的點P,經(jīng)過拋 物線的焦點廠反射后射向拋物線上的點。，再反射后又沿平行x軸方向射出，

15、若兩平行光線間的最小距離 為6,則此拋物線的方程為.3. （2021湖北高二期中）綜合應用拋物線和雙曲線的光學性質(zhì)，可以設計制造反射式天文望遠鏡.這種望遠 鏡的特點是，鏡筒可以很短而觀察天體運動又很清楚，例如，某天文儀器廠設計制造的一種反射式望遠鏡， 其光學系統(tǒng)的原理如圖（中心截口示意圖）所示，其中，一個反射鏡尸?；∷诘那€為拋物線，另一個 反射鏡MQN弧所在的曲線為雙曲線的一個分支，已知£、鳥是雙曲線的兩個焦點，其中F?同時又是拋 物線的焦點，。也是雙曲線的左頂點.若在如圖所示的坐標系下，MO?N弧所在的曲線方程為標準方程， 試根據(jù)圖示尺寸（單位：cm）,寫出反射鏡尸。|?；∷?/p>

16、的拋物線方程為.4. （2020樂清市知臨中學高二期末）橢圓滿足這樣的光學性質(zhì)：從橢圓的一個焦點發(fā)射光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點.現(xiàn)在設有一個水平放置的橢圓形臺球盤，滿足方程：二十二=1,點 16 9A、B是它的兩個焦點，當靜止的小球放在點A處，從點A沿直線出發(fā)，經(jīng)橢圓壁反彈后，再回到點A時， 小球經(jīng)過的最短路程是（）.A. 20 B. 18C. 16 D.以上均有可能5. （2020廣東高三月考）橢圓滿足這樣的光學性質(zhì)：從橢圓的一個焦點發(fā)射光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點?，F(xiàn)在設有一個水平放置的橢圓形臺球盤，滿足方程：三十匯二1，點是 16 9它的兩個焦點

17、，當靜止的小球放在點力處，從/點沿直線出發(fā)，經(jīng)橢圓壁反彈后，再回到點力時，小球經(jīng) 過的最長路程是（）A. 20 B. 18 C. 16 D. 146. （2020山西高三期末）橢圓具有如下的光學性質(zhì)：從一個焦點發(fā)出的光線經(jīng)過橢圓內(nèi)壁反射后恰好穿過 另一個焦點.現(xiàn)從橢圓二十二=1的左焦點尸發(fā)出的一條光線，經(jīng)過橢圓內(nèi)壁兩次反射后，回到點尸，則9 5光線所經(jīng)過的總路程為.7 .沿直線9=-2發(fā)出的光線經(jīng)拋物線，=ax反射后，與x軸相交于點月（2, 0）,則拋物線的準線方程為 .（提示：拋物線的光學性質(zhì)：從焦點發(fā)出的光線經(jīng)拋物線反射后與軸平行）8 .橢圓有如下光學性質(zhì)：從橢圓的一個焦點射出的光線，經(jīng)橢

18、圓反射，其反射光線必經(jīng)過橢圓的另一個焦 點，已知橢圓C長軸長為2，焦距為2c,若一條光線從橢圓的左焦點出發(fā)，第一次回到該焦點所經(jīng)過的 路程為6c,則橢圓C的離心率為.9 .橢圓具有這樣的光學性質(zhì):從橢圓的一個焦點出發(fā)的光線，經(jīng)橢圓反射后,反射光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點. 今有一個水平放置的橢圓形臺球盤，點A、B是它的焦點，長軸長為2a,焦距為2c,靜放在點A的小球（小球的半 徑忽略不計）從點A沿直線出發(fā)，經(jīng)橢圓壁反射后第一次回到點A時，小球經(jīng)過的路程是.10 .拋物線有如下光學性質(zhì)：過焦點的光線經(jīng)拋物線反射后得到的光線平行于拋物線的對稱軸：反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必經(jīng)拋物

19、線的焦點，已知拋物線V=4x的焦點為月，一條 平行于x軸的光線從點”（3,1）射出，經(jīng)過拋物線上的點A反射后，再經(jīng)拋物線上的另一點B射出，則I MB I 的長度為.11 . （2020湖北省高三期中）橢圓有一條光學性質(zhì)：從橢圓一個焦點出發(fā)的光線，經(jīng)過橢圓反射后，一定經(jīng) 22過另一個焦點.假設光線沿直線傳播且在傳播過程中不會衰減，橢圓的方程為三+ t = 1,則光線從橢圓一 43個焦點出發(fā)，到首次回到該焦點所經(jīng)過的路程不可能為（）A. 2B. 4C. 6D. 812 .雙曲線的光學性質(zhì)是：從雙曲線一個焦點發(fā)出的光，經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線的反向延長線都匯聚到雙曲線的另一個焦點上.已知雙曲線二-

20、二二1的左、右焦點分別為"，F(xiàn)?,從F?發(fā)出的光線射 16 9向C上的點P（8,y0）后，被。反射出去，則入射光線與反射光線夾角的余弦值是（）13A.1411B.1413D.1413 . （2020,廣東高三月考）橢圓滿足這樣的光學性質(zhì)：從橢圓的一個焦點發(fā)射光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點?，F(xiàn)在設有一個水平放置的橢圓形臺球盤，滿足方程：三十二二1，點43是 16 9它的兩個焦點，當靜止的小球放在點/處，從/點沿直線出發(fā)，經(jīng)橢圓壁反彈后，再回到點/時，小球經(jīng) 過的最長路程是（）A. 20 B. 18 C. 16 D. 1414 .橢圓滿足這樣的光學性質(zhì)：從橢圓的一個焦點

21、發(fā)射的光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點.現(xiàn)有一個水平放置的橢圓形臺球盤，滿足方程1 + =1，點48是它的兩個焦點.當靜止的小球從點4開始出發(fā)，沿直線運動，經(jīng)橢圓壁反射后再回到點力時，此時小球經(jīng)過的路程可能是（）A. 32 或 4 或16-4bB. 16 + 4”或 28 或 16 - 4近 C. 28 或 4 或16 +4近 D. 32 或 28 或 415 . （2020上海市高三期中）出租車幾何學是由十九世紀的赫爾噠閔可夫斯基所創(chuàng)立的.在出租車幾何學中, 點還是形如（x,y）的有序?qū)崝?shù)對，直線還是滿足ax + b，+ c = O的所有（x,y）組成的圖形，角度大小的定義 也和原來一樣，對于直角坐標系內(nèi)