2019年數(shù)學二輪復習專題八數(shù)學思想數(shù)學核心素養(yǎng)與數(shù)學文化

1、第1講 高考的熱門話題一一數(shù)學核心素養(yǎng)與數(shù)學文化數(shù)學素養(yǎng)解讀最新普通高中數(shù)學課程標準（2018年1月第1版）中明確提出數(shù)學六大核心素養(yǎng)：數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析.六大數(shù)學核心素養(yǎng)可劃分成三類，其中數(shù)學抽象和直觀想象是數(shù)學的物理特性，邏輯推理和數(shù)學運算體現(xiàn)數(shù)學的思維嚴謹性，數(shù)學建模和數(shù)據(jù)分析彰顯數(shù)學的實際應用性.20172018年全國卷高考多渠道滲透優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學文化，培養(yǎng)和踐行社會主義核心價值觀.隨著新課程標準實施，高考命題必將以數(shù)學核心素養(yǎng)為統(tǒng)領，兼顧試題的基礎性、綜合性、應用性和創(chuàng)新性，落實立德樹人的根本任務，推動人才培養(yǎng)模式的改革創(chuàng)新.因此，我們特別策劃了

2、本專題，將數(shù)學核心素養(yǎng)視角下的數(shù)學命題、數(shù)學文化與高考命題相結(jié)合，選擇典型例題深度解讀，希望能夠給予廣大師生復習備考提供幫助.稻京聚焦分類突破I.研僦一標應用一熱點一 數(shù)列與算法中的數(shù)學文化中華民族優(yōu)秀傳統(tǒng)文化博大精深和源遠流長，數(shù)學高考命題注重傳統(tǒng)文化在現(xiàn)實中的創(chuàng)造性和創(chuàng)新性發(fā)展，立德樹人，激勵學生民族自豪感和創(chuàng)新精神【例1】（1）（2017 全國n卷）我國古代數(shù)學名著算法統(tǒng)宗中有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一， 請問尖頭幾盞燈？”意思是： 一座7層塔共掛 了 381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈（ ）A.1盞B.3盞C.5盞D

3、.9盞（2）公元263年左右，我國數(shù)學家劉徽發(fā)現(xiàn)：當圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限增加時，多邊形 面積可無限逼近圓的面積，并創(chuàng)立了 “割圓術(shù)”，利用“割圓術(shù)”劉徽得到了圓周率精確到小數(shù)點后兩位的近似值 3.14 ,這就是著名的“徽率”.如圖是利用劉徽的“割圓術(shù)”思想設 計的一個程序框圖，則輸出n的值為 （參考數(shù)據(jù)：sin 15 =0.258 8 , sin7.5 0.130 5 , 擊1.732）.解析（1）設塔的頂層的燈數(shù)為ai,七層塔的總燈數(shù)為 S,公比為q,則依題意 S=381,公.ai (1 2 )無力/口比 q=2.- = 381,解得 ai=3.1 213 , 3(2) n=6, S=

4、26sin 60 = - = 2.59812sin 30= 33.1 ,滿足條件.，輸出n的值為24.答案（1）B（2）24探究提高1.第（1）題從古代數(shù)學名著算法統(tǒng)宗引入，通過詩歌提出數(shù)學問題，闡明試題的數(shù)學史背景，考查等比數(shù)列 .2 .第（2）小題以劉徽的割圓術(shù)為背景，創(chuàng)設問題情境，將優(yōu)秀傳統(tǒng)文化嵌入到程序框圖.事實上，更相減損術(shù)、秦九韶算法和割圓術(shù)都出現(xiàn)在數(shù)學必修3 （A版）“算法案例”中，源于教材.3 .這些試題傳播了正能量，有利于提升考生人文素養(yǎng)，傳承民族精神，試題的價值遠遠超出 其本身價值.【訓練1】（1）（2018 江西紅色七校聯(lián)考）九章算術(shù)之后，人們學會了用等差數(shù)列的知識來解決

5、問題，張丘建算經(jīng)卷上第 22題為：“今有女善織，日益功疾 （注：從第2天開 始，每天比前一天多織相同量的布 ），第一天織5尺布，現(xiàn)一月（按30天計）共織390尺布”， 則從第2天起每天比前一天多織 尺布.（2）（2018 成都診斷）秦九韶是我國南宋時期的著名數(shù)學家，普州 （現(xiàn)四川省安岳縣）人，他 在所著的數(shù)書九章中提出的多項式求值的秦九韶算法，至今仍是比較先進的算法，如圖所示的程序框圖給出了利用秦九韶算法求某多項式值的一個實例，若輸入x的值為9,則輸出v的值為（）100A.9B.91001C.10100D.1Q100- 1解析（1）每天織布數(shù)依次構(gòu)成一個等差數(shù)列an,其中31=5,設該等差數(shù)列

6、的公差為d.30X29,則一月織布 $0 = 30X5+2-d=150 + 435d=390,解之得d = ,故從第2天起每天比前一天多織16尺布. 2929(2)由程序框圖，輸出的 v滿足v= x10+ C100X99+ C200X98+ C900X+ C00= ( x + 1 ) 100.當 x=9 時，v=(9 + 1)100= 10100.答案29 (2)C 29熱點二立體幾何與概率中的數(shù)學文化【例2】（1）（2017 全國I卷）如圖，正方形 ABC吶的圖形來自中國 古代的太極圖.正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱.在正方形內(nèi)隨機取一點，則此點取自黑色部分的概

7、率是（）A.4B.fC.2D.7（2）（2018 湖南六校聯(lián)考）芻薨（chuhorjg中國古代算數(shù)中白一種幾何形體.九章算術(shù)中記載“芻薨者，下有袤有廣，而上有袤無廣.芻，草也.薨，屋蓋也.”翻譯為“底面有長有寬為矩形，頂部只有長沒有寬為一條棱.芻薨字面意思為茅草屋頂.”如圖，為一芻薨的三 視圖，其中正視圖為等腰梯形，側(cè)視圖為等腰三角形 .則搭建它（無底面，不考慮厚度）需要 的茅草面積至少為（）A.8 6B.16解析（1）設正方形的邊長為2,則面積側(cè)視圖C.8 5D.14S正方形=4.又正方形內(nèi)切圓的面積S= 兀所以根據(jù)對稱性，黑色部分的面積Sm=萬.由幾何概型的概率公式，概率P= 梟=三.S正

8、方形 8（2）茅草面積即為幾何體的側(cè)面積，由題意知，該幾何體中有兩個全等的等腰梯形，兩個全等的等腰三角形.其中等腰梯形的上底長為2,下底長為4,高為后斤等腰三角形（2+4）J51的底邊長為2,圖為22+1 =。5,因此幾何體的側(cè)面積 S= 2X2幺+2XX2xq5=8 5.即需要的茅草面積至少為8.5.答案（1）B（2）C探究提高 1.本例第（1）題中全國I卷（第2題）以我國太極圖中的陰陽魚為原型，設計幾何概型的概率計算，很好體現(xiàn)數(shù)學文化的美學特征.數(shù)學美表現(xiàn)為一種抽象、嚴謹、含蓄的理性美，從表現(xiàn)形式上分為數(shù)學內(nèi)容的和諧美、數(shù)學結(jié)構(gòu)的形式美、幾何圖形的構(gòu)造美、數(shù)學公式的簡潔美.2.第（2）題以

9、九章算術(shù) 的名題為背景，與幾何體的三視圖， 幾何體表面積的計算相滲透， 考查學生的空間想象能力、數(shù)學運算素養(yǎng)，又展示了中華民族的優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，增強數(shù)學問題的生活化，使數(shù)學的應用更貼近考生的生活實際【訓練2】（1）（2018 鄭州二模）歐陽修在賣油翁中寫到：“（翁）乃取一葫蘆置于地，以錢覆其口，徐以杓酌油瀝之，自錢孔入，而錢不濕”，可見賣油翁的技藝之高超，若銅錢直徑 4厘米，中間有邊長為 1厘米的正方形小孔，隨機向銅錢上滴一滴油 （油滴大小忽略不計），則油恰好落入孔中的概率 是（）2 A.兀1 B.兀1 D. 4兀(2)我國南北朝時期數(shù)學家、天文學家一一祖的I,提出了著名的祖附I原理：“哥勢即同

10、，則積不容異”.“哥”是截面積，“勢”是幾何體的高，意思是兩等高立方體，若在每一等高處的截面積都相等，則兩立方體體積相等.已知某不規(guī)則幾何體與如圖三視圖所對應的幾何體滿足“哥勢同”，則該不規(guī)則幾何體的體積為的視圖_ _4兀B.8 一3. 兀A.4 2C.8-兀D.8 2 兀解析 (1)易知銅錢的面積 S=兀X 2 2= 4兀，銅錢小孔的面積 3=1.根據(jù)幾何概型，所求概率 P= S0=S(2)由三視圖知，該幾何體是從一個正方體中挖去一個半圓柱V正方體=23= 8, V半圓柱=2(兀X2)x2=兀一二視圖對應幾何體的體積V=8 兀.根據(jù)祖附I原理，不規(guī)則幾何體的體積V =7= 8兀.答案(1)D

11、(2)C熱點三數(shù)學抽象與邏輯推理核心素養(yǎng)數(shù)學抽象是數(shù)學的最核心素養(yǎng)，是形成理性思維的重要基礎； 邏輯推理就是要得到數(shù)學結(jié)論,提出或者驗證數(shù)學命題的思維過程.數(shù)學研究對象的確立依賴于數(shù)學抽象，而數(shù)學內(nèi)部自身 的發(fā)展依賴于數(shù)學推理.【例3】(1)(2017 全國H卷)甲、乙、丙、丁四位同學一起去向老師詢問成語競賽的成績老師說：你們四人中有2位優(yōu)秀，2位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、 丙的成績，給乙看丙的成績,給丁看甲的成績.看后甲對大家說：我還是不知道我的成績.根據(jù)以上信息，則()A.乙可以知道四人的成績B. 丁可以知道四人的成績C.乙、丁可以知道對方的成績D.乙、丁可以知道自己的成績3x-12(2)(2

12、018 全國大聯(lián)考)已知函數(shù) f (x) =3x1 +x+sin x,若 xC2, 1,使得 f(x+ x)+f(x k)0在 xC2,1上恒成立，函數(shù)f (x)在 xC2,1上遞增.2右 x -2, 1,使得 f(x +x) +f (xk)0 成立，則 f(x2+x) f(x k) ? f(x2+x)f(k xj ? x2+xx2+ 2x,即 k(x2+ 2x) min )當 xC2, 1時，y = x2+2x=(x+1)21 的最小值為一1.故實數(shù)k的取值范圍是(一1, +oo).答案(1)D(2)A探究提高1.第(1)題對考生邏輯推理、數(shù)學抽象等數(shù)學核心素養(yǎng)有著不同層次的要求，求解的關(guān)鍵

13、是由條件信息推理判斷乙、丙中一人優(yōu)秀，一人良好，從而甲、丁中一人優(yōu)秀，另一人良好.2.第(2)題求解的關(guān)鍵在于：(1)利用定義判斷f(x)的奇偶性及xC2, 1時，函數(shù)f (x)2-2單倜性，(2)理解存在重詞的含義，將命題轉(zhuǎn)化為x -2, 1時，kx+2x,即k(x+ 2x) min.題目突出數(shù)學邏輯推理與轉(zhuǎn)化化歸數(shù)學思想方法的考查【訓練3】(2018 煙臺模擬)對于函數(shù)y=exf(x)(其中e是自然對數(shù)的底數(shù))，若存在實數(shù) T使得exf(x) T在(0, +8)上恒成立，則稱函數(shù)f(x)具有性質(zhì)“ 口” .給出下列函數(shù)：一。1f(x)=2e +1; f(x)=x 2x; f(x) = si

14、n x; f(x)=-.x其中具有性質(zhì)“ U”的所有函數(shù)的序號為.解析 對于f(x) =2e-2x+1,exf(x) = 2e x+ex22,取 TW2 /時，f(x)具有性質(zhì)“.對于，令Hx)=exf (x)，則。(x)=ex(x22) , xC (0 , +o).令 (j)(x)=0,解得 x=，2,易知()(x)在x =也時有極小值e(22蛆).因此函數(shù)f(x)具有性質(zhì)“ U” .對于，易知。(x) = exsin x8,則不具有性質(zhì)“ 3 .r -fx, ex ，,ex (x-1)對于，()(x) = e f (x) = , ()(x) =-2,xxxe (0 , +8),易知(f)

15、(x)在x=1時取到最小值 4(1) =e,取TW e, f(x)具有性質(zhì)“ U” .綜上可知中的函數(shù)具有性質(zhì)“.答案熱點四直觀想象與數(shù)學運算核心素養(yǎng)【例4】(1)從點P(-1, 3)向直線kx-y+k-1 = 0作垂線，垂足為 N,則N的軌跡方程為解析 易知直線kxy+k1 = 0恒過定點 Q1, 1).如圖所示，PNL QN所以點N在以PQ為直徑白圓上.因此圓心坐標為(一1, 1),半徑r = 2.所以點N的軌跡方程為(x+1)2+(y1)2= 4(xw 1).22答案 (x+1) + (y1) = 4(xw1) (2)(2018 惠州調(diào)研)在AB汕，D是BC邊的中點，AB= 3, AC=

16、巾3, AD=巾.求BC邊的長;求 ABC勺面積.解 設BD= x,則BC= 2x,如圖所示在AB有 cos/AB氏2AB BD在 ABC43,AB + BD- AD 9+x27 2X3x AE2+ BC2-AC2 9+4x213有 COS / ABC= 7-ZT =,2AB BC2 X 3 X 2 x5 / 口9+x27 9+4x2-13 /口且 / ABI /ABC 即 2x 二=2X3X?x ,得 x=2, 2 A 0 x2 A 3 A z x1由可知，cos B= 2,BC (0 ,兀)，得 sinB=當,1Sa ABk2 AB- BC- sin13B= 2 0,【訓練4】(1)(20

17、18 華師附中聯(lián)考)已知x,y滿足約束條件，xW2, 且z = x+3y；x+y+ k0,的最小值為2,則常數(shù)k=.(2)第24屆國際數(shù)學家大會會標是以我國古代數(shù)學家趙爽的弦圖為基礎進行設計的.如圖所示，會標是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形.如果小正方形的面積為1,大正方形的面積為25,直角三角形中較大的銳角為 0 ,那么tan +十；=.x-y+40, 解析 (1)作出不等式組xw2,所表示的平面區(qū)域，如圖,x+y + ko中陰影部分所示，由 z=x+3y 得 y=-1x + Z，33結(jié)合幾何直觀知，當直線 y= (x+3過點A時，z最小.x= 2,聯(lián)立方程，得x+y

18、+k=。，得72一k).Zmin = 2+3( 2k) =2,解之得 k= - 2.(2)依題意得大、小正方形的邊長分別是1, 5,于是有5sin0 -5cos 0 = 1 0k0)0.0500.0100.001k。3.8416.63510.828n (ad bc)一(a+b) (c+d) (a+c) (b+d)解(1)由頻率分布直方圖知，舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg的頻率為(0.012 +0.014+0.024+ 0.034 +0.040) X5= 0.62 ,則事件 A的概率估計值為 0.62.200X (62X6638X34)100X 100X 104X96(2)列聯(lián)表如下:箱產(chǎn)量50

19、 kg箱產(chǎn)量封50 kg舊養(yǎng)嫡法6238新力廣殖法34662-=15.7056.635 ,故有99%勺把握認為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)(3)由箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖可知，舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量平均值(或中位數(shù))約在4550 kg之間，新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量平均值 (或中位數(shù))約在5055 kg之間，且新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量分布 集中程度較舊養(yǎng)殖法分布集中程度高，可知新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量高且穩(wěn)定，從而新養(yǎng)殖法優(yōu)于舊養(yǎng)殖法.探究提高 1.本題以現(xiàn)實生活中的水產(chǎn)品養(yǎng)殖方法作為創(chuàng)新背景，試題的第(1)問是根據(jù)頻率分布直方圖估計事件的概率； 第(2)問是根據(jù)整理的數(shù)據(jù)進行獨立性檢驗； 第(3)問根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，比較兩

20、種養(yǎng)殖方法的優(yōu)劣.有效的考查學生閱讀理解能力與運用數(shù)學模型解決問題的能力.2.應用性和創(chuàng)新性相結(jié)合是歷年高考靚麗的風景線，全國卷概率與統(tǒng)計解答題尤為明顯，體現(xiàn)數(shù)學知識在現(xiàn)實生活中的應用.概率與統(tǒng)計問題需要對大量數(shù)據(jù)的分析和加工，揭示數(shù)據(jù)提供的信息及呈現(xiàn)的規(guī)律，進而分析隨機現(xiàn)象的本質(zhì)特征，發(fā)現(xiàn)隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律，從而考查數(shù)據(jù)分析數(shù)學核心素養(yǎng).【訓練5】(2018 昆明質(zhì)檢)中央政治局會議，通過了關(guān)于加快推進生態(tài)文明建設的意見，正式把“堅持綠水青山就是金山銀山”的理念寫進中央文件，成為指導中國加快推進生態(tài)文明建設的重要指導思想 .為響應國家號召，某市 2017年清明節(jié)期間種植了一批樹苗， 兩年后市

21、園林部門從這批樹苗中隨機抽取 100棵進行跟蹤檢測，得到樹高的頻率分布直方圖如圖所示：(1)求樹高在225235 cm之間樹苗的棵數(shù)，并求這100棵樹苗樹高的平均值和方差(方差四舍五入保留整數(shù))；(2)若將樹高以等級呈現(xiàn)，規(guī)定：樹高在185205 cm為合格，在205235 cm為良好，在235265 cm為優(yōu)秀.視該樣本的頻率分布為總體的概率分布，若從這批樹苗中隨機抽取3棵，求樹高等級為優(yōu)秀的棵數(shù)E的分布列與數(shù)學期望；(3)經(jīng)驗表明樹苗樹高 XNd, b2),用樣本的平均值作為科的估計值，用樣本的方差作2 一為(T的估計值，試求該批樹苗小于等于255.4 cm的概率.(提供數(shù)據(jù)：571 16.45, 30517.45, 34018.45)附：若隨機變量 Z服從正態(tài)分布 Nd, b 2),則P(科一b ZW科+ b ) = 0.682 6 , P(-2 d Z 科 + 2 b ) = 0.954 4 , P(w3b Zw+3(r) = 0.997