2020年高考江蘇版高考數(shù)學(xué)附加題部分專題十六曲線與方程

1、O核心考點(diǎn)IIU將片的母段方程：之點(diǎn)上下直才的對的i士鵬與物物蛇的佗置鼻鼠思路分析L他胞稅的標(biāo)族方程口有,個奉依，教R雷了果據(jù)口靚點(diǎn)山熊點(diǎn)嗓標(biāo)營間求出心物域的時(shí)殖工療C做打？V蘆睢了 TPJV舜與中點(diǎn)O方法總結(jié)聯(lián)觸標(biāo)用用3.可L訪山掰世他胤I.W坐懾法耐向錐曲同即旦調(diào)©命囂特點(diǎn),到跡匕鍛件附加膻的兩午史映明中栗理 制鼠的可陸性不大.臣哂關(guān)注M林的求 他方法即可一2,亶嶷，H物線的位置關(guān)系主要渺他相交 號鼻亶花.以中白II及三前華的闿幟等一幾何的核心，同防也需要茬網(wǎng)所蒯耳 ttff,泣形靠合衙克.幺求舞教的取他也里iff要堂，門都一??； 來求第金值.也可以根據(jù)不等關(guān)系建 小等式求晚附加

2、題部分專題十六曲線與方程挖命題【真題典例】1加伸江苑 a 1。分)如叫并平面宜角堂麻曲如禮已知直線也十 2=0,陽朔£>=知戶0).(»石直戰(zhàn)/過拋物線幽魂點(diǎn).求效物線函方程1(2 I已知拋物線C上存在美于國U對稱的相異闞點(diǎn)加1口4求證，蹬醛現(xiàn)，的中點(diǎn)依標(biāo)為(1-P.-P 2求P的取侑范囿【考情探究】考點(diǎn)內(nèi)容解讀5年考情預(yù)測熱度考題不例考向關(guān)聯(lián)考點(diǎn)曲線與方程軌跡方程拋物線1.拋物線的標(biāo)準(zhǔn) 方程及幾何性質(zhì) 2.直線與拋物線 的位置關(guān)系2016 江蘇,221 .拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程2 .直線與拋物線的位置關(guān)系點(diǎn)關(guān)于直線的對稱分析解讀由于江蘇卷附加題的題型固定，分值固定，兩個必

3、做題中圓錐曲線與方程出現(xiàn)的頻次較低，分別在2009年和2016年出現(xiàn)在解答題的第 22題，屬于中檔題.本節(jié)主要考查的內(nèi)容是求軌跡方程、拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的求解、拋物線的幾何性質(zhì)、直線與拋物線的位置關(guān)系以及用坐標(biāo)法研究圓錐曲線的性質(zhì)等破考點(diǎn)考點(diǎn)一曲線與方程1 .已知圓Ci：(x+3)2+y2=1和圓C2：(x-3) 2+y2=9,動圓M同時(shí)與圓 Ci及圓C2相外切，求動圓圓心 M的軌跡方 程.解析 如圖所示，設(shè)動圓M與圓Ci及圓C2分別外切于點(diǎn) A和點(diǎn)B,根據(jù)兩圓外切的充要條件彳導(dǎo)|MCi|-|AC i|=|MA|,|MC 2|-|BC2|=|MB|.因?yàn)?|MA|=|MB|,所以 |MC2|-|M

4、C i|=|BC 2|-|AC i |=3-i=2.這表明動點(diǎn)M到兩定點(diǎn)C2、Ci的距離的差是常數(shù)2.x2=i(x «i).根據(jù)雙曲線的定義，動點(diǎn)M的軌跡為雙曲線的左支(點(diǎn)M到C2的距離遠(yuǎn)，到Ci的距離近，且a=i,c=3,則b2=8, 設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y),則其軌跡方程為2 .已知x軸上一定點(diǎn) A(i,0),Q 為橢圓一+y2=i上一動點(diǎn)，求AQ中點(diǎn)M的軌跡方程解析設(shè) Q(x0,y0),M(x,y),M是AQ的中點(diǎn)，：?-,Q為橢圓一+y2=1上的點(diǎn),.一+=1,+(2y)2=1,即- +4y 2=1,:點(diǎn)M的軌跡方程為-+4y2=1.3 .(2019屆江蘇海門中學(xué)調(diào)研)已知三

5、點(diǎn)O(0,0),A(-2,1),B(2,1),曲線C上任意一點(diǎn) M(x,y)滿足I +1=(+)+2.(1)求曲線C的方程；點(diǎn)Q(x0,y0)(-2<x0<2)是曲線C上動點(diǎn)，曲線C在點(diǎn)Q處的切線為l,點(diǎn)P的坐標(biāo)是(0,-1),l與PA,PB分別交于點(diǎn)D,E,求4QAB與APDE的面積之比.解析(1)=(-2-x,1-y),=(2-x,1-y),=(x,y),+=(0,2),I +|=(+)+2,-=2y+2, .x=4y.;曲線C的方程為x2=4y.設(shè) Q 一，則 S&ab=2-,y=-, ; y'=x, ：i=-x0,:切線l的方程為y-1=x0(x-x0),設(shè)

6、l與y軸的交點(diǎn)為 N,易知N - ,|PN|=1-.直線PA的方程為y=-x-1,直線PB的方程為y=x-1,-由得xd=,得xE=SZPDE=-|XD-XE| |PN| = 1,/QAB與APDE的面積之比為 2： 1.考點(diǎn)二拋物線1.(2019屆江蘇常州灤陽中學(xué)調(diào)研)已知動圓P過點(diǎn)F -且與直線y=-相切.(1)求點(diǎn)P的軌跡C的方程；(2)過點(diǎn)F作一條直線交軌跡 C于A,B兩點(diǎn)，軌跡C在A,B兩點(diǎn)處的切線相交于點(diǎn)N,M為線段AB的中點(diǎn).求證:MN ±x軸.解析(1)根據(jù)拋物線的定義，可得動圓圓心P的軌跡C的方程為x2=y.證明：設(shè)A(xi, ),B(x2,)，因?yàn)閥=x2，所以y

7、'=2x,所以AN,BN的斜率分別為2xi,2x2，故AN的方程為y- =2x i(x-x 1)，即 y=2x ix- ,BN 的方程為 y- =2x 2(x-x2)，即 y=2x 2x-,-聯(lián)立兩式相減，得xn=，又xm=,-所以M,N的橫坐標(biāo)相等，所以MN±x軸.2.(2018江蘇江陰南菁中學(xué)調(diào)研)如圖，已知直線l:y=2x-4與拋物線C:y2=4x相交于A,B兩點(diǎn),T(t,0)(t>0且tR)為x軸上任意一點(diǎn)，連接AT,BT并延長與拋物線 C分別相交于點(diǎn) A1,B1.設(shè)A1B1斜率為k,求證:kt為定值；(2)設(shè)直線 AB,A1B1 與 x 軸分別交于點(diǎn) M,N,

8、令 Szatm=Si,SZ6tm=S 2, =S3, =S4,若 S1,S2,S3,S4 構(gòu)成等比數(shù)列，求t的值.解析(1)由可得 A(4,4),B(1,-2).設(shè) A1 ,Bi 因?yàn)?kAT=,所以一=,- -所以 m2-4t=4m-tm,所以 m(m-4)=t(4-m),所以 m=-t,所以Ai.同理,B1(t2,2t),所以 k=-,所以kt=4,為定值. -_AiBi：y-2t=-(x-t2).令 y=0,得 N ，易知 M(2,0),= 一 =2,所以 S2=Si,-= 一 -=一，所以- -_S4=Si,= - =,ffi以 S3=S i.-因?yàn)镾i,S2,S3,S4構(gòu)成等比數(shù)列，

9、所以t2=i,又t>0,所以t=i.煉技法【方法集訓(xùn)】方法一拋物線中定值問題的求解方法1 .在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線方程為x=-，過點(diǎn)M(0,-2)作拋物線的切線 MA,切點(diǎn)為A(異于點(diǎn)O).直線l過點(diǎn)M與拋物線交于B,C兩點(diǎn)，與直線OA交于點(diǎn)N.(i)求拋物線的方程；(2)+的值是不是定值？若是，求出定值；若不是，說明理由.解析(i)由題設(shè)，知一=-,即p=-,所以拋物線的方程為y2=x.設(shè)A(x0,y0),因?yàn)楹瘮?shù)y=- 的導(dǎo)函數(shù)為y'= -所以直線 MA的方程為y-y 0=(x-x。)，因?yàn)辄c(diǎn)M(0,-2)在直線MA上，所以-2

10、-y 0=- (0-x 0).由-解彳導(dǎo)A(16,-4).所以直線OA的方程為y=- -x.直線BC的斜率顯然存在.設(shè)直線BC的方程為y=kx-2,B(x B,yB),C(x c,yc),N(x N,yN),由得 k2x2-(4k+1)x+4=0,-易知k3，所以 xB+xC =,xBxC=. 由得xN=.- 所以1=2,故+為定值2.2 .如圖，拋物線關(guān)于y軸對稱，它的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P(2,1),A(x 1,y1),B(x2,y2)均在拋物線上(1)求拋物線的方程；(2)若/APB的平分線垂直于y軸，證明直線AB的斜率為定值.解析(1)由已知條件，可設(shè)拋物線的方程為x2=2py(p>

11、;0),因?yàn)辄c(diǎn)P(2,1)在拋物線上所以22=2px 1,解得p=2,故所求拋物線的方程是x2=4y.(2)證明:由題知kAP+kBP=0,所以+=0, -即+=0, -所以+=0,所以 Xl+X2=-4,所以 kAB=-1.-所以直線AB的斜率為定值.方法二 拋物線中取值范圍(或最值)問題的求解方法1 .如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P-到拋物線C:y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線的距離為-.點(diǎn)M(t,1)是C上的定點(diǎn),A,B是C上的兩動點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)Q(m,n)在直線OM上.(1)求拋物線C的方程及t的值；(2)記d=，求d的最大值.解析(1)拋物線y2=2px(p>0)的準(zhǔn)

12、線為x=-. .-.4 - =-,p=-,：拋物線C的方程為y2=x.又點(diǎn)M(t,1)在C上，：t=1.(2)由(1)知,點(diǎn) M(1,1),從而 m=n,即點(diǎn) Q(m,m).依題意知直線 AB的斜率存在，且不為0.設(shè)直線AB的斜率為k(k 0),A(x 1,y1),B(x2,y2).由得(y 1-y2)(y1+y2)=x1-x2，故 k - 2m=1,： k=,;直線AB的方程為y-m=(x-m).由消去x,整理得y2-2my+2m 2-m=0,:y +y2=2m,y 1 y2=2m 2-m,從而 |AB|= |yi-y2|=2-.:d= =2-，+(1-m)=1,當(dāng)且僅當(dāng) m=1-m,即 m

13、=-時(shí)，等號成立.又m= -滿足 =4m4m2>0, ：d的最大值為1.2 .已知點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)是拋物線y2=4x上的相異兩點(diǎn)，且滿足x1+x2=2.(1)若AB的中垂線經(jīng)過點(diǎn)P(0,2),求直線AB的方程；(2)若AB的中垂線交x軸于點(diǎn)M,求"MB的面積的最大值及此時(shí)直線AB的方程.解析(1)當(dāng)AB垂直于x軸時(shí)，顯然不符合題意.當(dāng)AB不垂直于x軸時(shí)，可設(shè)直線AB的方程為y=kx+b,將其代入方程y2=4x,得k2x2+(2kb-4)x+b 2=0,：%+x2=2,得 b=-k,;直線AB的方程為y=k(x-1)+ -.AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1, ：A沖點(diǎn)的坐

14、標(biāo)為-，：AB的中垂線方程為 y=-(x-1)+ -=-x+-. AB的中垂線經(jīng)過點(diǎn) P(0,2), t=2,得k=-.;直線AB的方程為y=-x-.由(1)知AB的中垂線方程為y=-x+-,:點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3,0), ,直線 AB 的方程為 k2x-ky+2-k 2=0,到直線 AB的距離d= -=,由得一y2-ky+2-k 2=0,貝U y1+y2=-y1y2 =. |AB|= |yi-y21=. Szmab=_|AB| d=4一 -,設(shè)-=t,貝U 0<t<1,故 SAMAB=4t(2-t 2)=-4t3+8t,則 S' ZMAB=-12t2+8,由 S' Z

15、MAB=0,得 t=,即當(dāng) k= +時(shí),(S /MAB)max=,此時(shí)直線AB的方程為3x+ -y-1=0.過專題【五年高考】自主命題江蘇卷題組(2016江蘇,22,10分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，已知直線l:x-y-2=0,拋物線C:y 2=2px(p>0).(1)若直線l過拋物線C的焦點(diǎn)，求拋物線C的方程；(2)已知拋物線C上存在關(guān)于直線l對稱的相異兩點(diǎn)P和Q.求證：線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為(2-p,-p);求p的取值范圍.解析(1)拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為-，由點(diǎn)一在直線l:x-y-2=0上，得-0-2=0,即p=4.所以拋物線C的方程為y2=8x.(2

16、)設(shè) P(xi,yi),Q(x2,y2),線段 PQ 的中點(diǎn) M(x0,y0).因?yàn)辄c(diǎn)P和Q關(guān)于直線l對稱,所以直線l垂直平分線段PQ,于是直線PQ的斜率為-1,則可設(shè)其方程為y=-x+b.由消去 x 得 y2+2py-2Pb=0.(*)-因?yàn)镻和Q是拋物線C上的相異兩點(diǎn)，所以yi列2,從而 =(2pf-4X-2pb)>0,化簡得 p+2b>0.方程(*)的兩根為y1,2=-p±，從而y0=-p.因?yàn)镸(x0,y0)在直線l上，所以x0=2-p.因此，線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為(2-p,-p).因?yàn)镸(2-p,-p)在直線y=-x+b上，所以-p=-(2-p)+b,即 b=2-

17、2p.由知 p+2b>0,于是 p+2(2-2p)>0,所以 p<-.因此,p的取值范圍是-.評析本題主要考查直線和拋物線的方程、直線與拋物線的位置關(guān)系，考查運(yùn)算求解能力及推理論證能力.B組 統(tǒng)一命題、省(區(qū)、市)卷題組考點(diǎn)一曲線與方程(2017課標(biāo)全國口理,20,12分)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動點(diǎn)M在橢圓C:-+y2=1上，過M作x軸的垂線，垂足為N,點(diǎn)P滿足 =.(1)求點(diǎn)P的軌跡方程；設(shè)點(diǎn)Q在直線x=-3上，且 =1.證明:過點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點(diǎn)F.解析本題考查了求軌跡方程的基本方法和定點(diǎn)問題設(shè) P(x,y),M(x 0,y。),則 N(x0,0),=(x-x

18、0,y),=(0,y 0).由 = 一 得 x0=x,y0=y.因?yàn)镸(x0,y。)在C上，所以一+=1.因此點(diǎn)P的軌跡方程為x2+y2=2.由題意知 F(-1,0).設(shè) Q(-3,t),P(m,n),則 =(-3,t),=(-1-m,-n), =3+3m-tn,=(m,n),=(-3-m,t-n).由 =1 得-3m-m 2+tn-n 2=1,又由(1)知 m2+n2=2,故 3+3m-tn=0.所以 =0,即 ± .又過點(diǎn)P存在唯一直線垂直于OQ,所以過點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點(diǎn)F.思路分析(1)設(shè)出P、M的坐標(biāo)，利用 =一 得到P、M坐標(biāo)間的關(guān)系，由點(diǎn)M在C上求解.(

19、2)利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算得 =0,進(jìn)而證明直線l過曲線C的左焦點(diǎn)F.方法總結(jié)求軌跡方程的方法有直接法和間接法.直接法有定義法、待定系數(shù)法和直譯法.間接法有相關(guān)點(diǎn)法、 交軌法和參數(shù)法.考點(diǎn)二拋物線1.(2018浙江,21,15分)如圖，已知點(diǎn)P是y軸左側(cè)(不含y軸)一點(diǎn),拋物線C:y2=4x上存在不同的兩點(diǎn) A,B滿 足PA,PB的中點(diǎn)均在 C上.設(shè)AB中點(diǎn)為M,證明:PM垂直于y軸； 若P是半橢圓x2+=1(x<0)上的動點(diǎn)，求APAB面積的取值范圍解析本題主要考查橢圓、拋物線的幾何性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，同時(shí)考查運(yùn)算求解能力和綜合應(yīng)用能力.設(shè) P（xo,yo）,A - ,

20、B -.因?yàn)镻A,PB的中點(diǎn)在拋物線上，所以yi,y2為方程 =4 即y2-2yoy+8xo- =0的兩個不同的實(shí)根.所以yi+y2=2y 0,因此,PM垂直于y軸.由（1）可知 -所以 |PM|=-（ + ）-x0=-3x0,|y1-y2|=2-因止匕，zPAB 的面積 S/pab=-|PM| |yi-y2|=（-4x0 ".因?yàn)?=1（x 0<0）,所以 -4x0=-4-4x0+4 4,5.因此,zPAB面積的取值范圍是-.疑難突破解析幾何中“取值范圍”與“最值”問題在解析幾何中，求某個量（直線斜率，直線在x、y軸上的截距，弦長，三角形或四邊形面積等）的取值范圍或最值問題的

21、關(guān)鍵是利用條件把所求量表示成關(guān)于某個變量（通常是直線斜率，動點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)等）的函數(shù)，并求出 這個變量的取值范圍（即函數(shù)的定義域）,將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域或最值2.(2017北京理，18,14分)已知拋物線C:y2=2px(p>0)過點(diǎn)P(1,1).過點(diǎn) -作直線l與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)M,N,過點(diǎn)M作x軸的垂線分別與直線 OP,ON交于點(diǎn)A,B,其中O為原點(diǎn).(1)求拋物線C的方程，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；求證:A為線段BM的中點(diǎn).解析本題考查拋物線方程及性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系.(1)由拋物線 C:y2=2px(p>0)過點(diǎn) P(1,1)，得 p=-所以拋物線C的方程

22、為y2=x.拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為-，準(zhǔn)線方程為x=-.(2)由題意，設(shè)直線l的方程為y=kx+-(k#0),l與拋物線C的交點(diǎn)為M(x 1,y1),N(x2,y2).由一得 4k2x2+(4k-4)x+1=0.貝U X1+X2=,x1x2= .因?yàn)辄c(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,1),所以直線OP的方程為y=x,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(xi,xi).直線ON的方程為y=x,點(diǎn)B的坐標(biāo)為 .-因?yàn)?y1+-2x1=0,所以y1+=2x1.故A為線段BM的中點(diǎn).方法總結(jié)在研究直線與圓錐曲線位置關(guān)系時(shí)，常涉及弦長、中點(diǎn)、面積等問題.一般是先聯(lián)立方程，再根據(jù) 根與系數(shù)關(guān)系，用設(shè)而不求，整體代入的技巧進(jìn)行求解.易錯警示 在設(shè)直

23、線方程時(shí)，若要設(shè)成y=kx+m的形式，注意先討論斜率是否存在；若要設(shè)成x=ty+n的形式,注意先討論斜率是不是 0.C組教師專用題組1 .（2018課標(biāo)全國I理改編,8,5分）設(shè)拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)（-2,0）且斜率為-的直線與C交于M,N兩點(diǎn)，則- =.答案 82 .（2017課標(biāo)全國I理改編,10,5分）已知F為拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)，過F作兩條互相垂直的直線11,12，直線11與C交于A,B兩點(diǎn)，直線l2與C交于D,E兩點(diǎn)，則|AB|+|DE|的最小值為 .答案 163 .（2016課標(biāo)全國口改編,5,5分）設(shè)F為拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)，曲線y=-（k>0）

24、與C交于點(diǎn)P,PF卜軸，則k=答案 24 .（2014遼寧改編,10,5分）已知點(diǎn)A（-2,3）在拋物線C:y2=2px的準(zhǔn)線上，過點(diǎn)A的直線與C在第一象限相切于點(diǎn)B,記C的焦點(diǎn)為F,則直線BF的斜率為 .答案-5 .（2014四川改編，10,5分）已知F為拋物線y2=x的焦點(diǎn)，點(diǎn)A,B在該拋物線上且位于 x軸的兩側(cè)， =2（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則 ABO與MFO面積之和的最小值是 .答案 36 .（2014課標(biāo)全國口改編，10,5分）設(shè)F為拋物線C:y2=3x的焦點(diǎn)，過F且傾斜角為30°的直線交C于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則為AB的面積為 .答案 -7 .（2018北京，19,1

25、4分）已知拋物線C:y2=2px經(jīng)過點(diǎn)P（1,2）.過點(diǎn)Q（0,1）的直線l與拋物線C有兩個不同的交點(diǎn)A,B,且直線PA交y軸于M,直線PB交y軸于N.（1）求直線l的斜率的取值范圍；設(shè)。為原點(diǎn)，=入=g，求證:一+-為定值.解析(1)因?yàn)閽佄锞€y2=2px過點(diǎn)(1,2),所以2P=4,即p=2.故拋物線C的方程為y2=4x,由題意知，直線l的斜率存在且不為0.設(shè)直線l的方程為y=kx+1(k3).由得 k2x2+(2k-4)x+1=0.依題意 =(2k-4)2-4x k2x 1>0,解得k<0 或 0<k<1.又PA,PB與y軸相交，故直線l不過點(diǎn)(1,-2).從而k

26、六3.所以直線l斜率的取彳！范圍是(-8-3)43,0) L(0,1).設(shè) A(x1,y1),B(x2,y2),由(1)知 x1+x2=-,x1x2= .直線PA的方程為y-2=(x-1). -令x=0，得點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為yM=+2=+2.-同理得點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為yN=+2.-由 =入，=p, 得 入=-yM, R =-1yN.所以-+-=+=+- - =2.-所以-+-為定值.方法總結(jié)圓錐曲線中的定值問題的常見類型及解題策略(1)求代數(shù)式為定值.依題設(shè)條件，得出與代數(shù)式有關(guān)的等式，化簡即可得出定值(2)求點(diǎn)到直線的距離為定值.利用點(diǎn)到直線的距離公式得出距離的表達(dá)式，再利用題設(shè)條件化簡、變形求得(

27、3)求某線段長度為定值.利用兩點(diǎn)間的距離公式求得線段長度的表達(dá)式，再依據(jù)條件對表達(dá)式進(jìn)行化簡、變形即可求得.8.(2018課標(biāo)全國I文20,12分)設(shè)拋物線C:y2=2x,點(diǎn)A(2,0),B(-2,0),過點(diǎn)A的直線l與C交于M,N兩點(diǎn).當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，求直線BM的方程；證明：ZABM= ZABN.解析(1)當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，l的方程為x=2，可得M的坐標(biāo)為(2,2)或(2,-2).所以直線BM的方程為y=-x+1或y=-x-1.當(dāng)l與x軸垂直時(shí),AB為MN的垂直平分線，所以/ABM= ZABN.當(dāng) l 與 x 軸不垂直時(shí)，設(shè) l 的方程為 y=k(x-2)(k 項(xiàng),M(x 1,y1),N(

28、x2,y2),則 xi>0,x2>0.由得 ky2-2y-4k=0,可知 y1+y2=-,y 1y2=-4.直線BM,BN的斜率之和為kBM +k BN =+ =.將xi = +2,x 2=+2及y1+y2,yy2的表達(dá)式代入式分子，可得 -x2y 1+x 1y2+2(y 1+y 2)=0.所以kBM+kBN=0,可知BM,BN的傾斜角互補(bǔ)，所以/ABM=ZABN.綜上，ZABM= ZABN.方法總結(jié)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的常見題型及解題策略：(1)求直線方程.先尋找確定直線的兩個條件.若缺少一個可設(shè)出此量，利用題設(shè)條件尋找關(guān)于該量的方程，解方程即可.(2)求線段長度或線段之積(

29、和)的最值.可依據(jù)直線與圓錐曲線相交，利用弦長公式求出弦長或弦長關(guān)于某個量的函數(shù)，然后利用基本不等式或函數(shù)的有關(guān)知識求其最值；也可利用圓錐曲線的定義轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間的距離 或點(diǎn)到直線的距離(3)證明題.圓錐曲線中的證明問題多涉及定點(diǎn)、定值、角相等、線段相等、點(diǎn)在定直線上等，有時(shí)也涉及一些否定性命題，常采用直接法或反證法給予證明.借助于已知條件，將直線與圓錐曲線聯(lián)立，尋找待證明式子的表達(dá)式，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系及整體代換思想化簡即可得證.失分警示 (1)由于忽略點(diǎn)M,N位置的轉(zhuǎn)換性，使直線BM方程缺失，從而導(dǎo)致失分；(2)由于不能將“"BM=ZABN”正確轉(zhuǎn)化為k'BM+kBN=0”

30、進(jìn)行證明,從而思路受阻，無法完成后續(xù)內(nèi)容.9.(2017課標(biāo)全國I文20,12分)設(shè)A,B為曲線C:y=一上兩點(diǎn)，A與B的橫坐標(biāo)之和為4.(1)求直線AB的斜率；設(shè)M為曲線C上一點(diǎn),C在M處的切線與直線 AB平行，且AM IBM,求直線AB的方程.解析本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系.(1)設(shè) A(x1,y1),B(x2,y2),則 xi%,y 1=,y2=,xi+X2=4,于是直線AB的斜率k=1.-由y=，得y'= -，設(shè)M(x 3,y3),由題設(shè)知一=1,解彳潺x3=2，于是M(2,1).設(shè)直線AB的方程為y=x+m,故線段 AB 的中點(diǎn)為 N(2,2+m),|MN|=|m+1|.

31、將 y=x+m 代入 y=一得 x2-4x-4m=0.當(dāng) z=16(m+1)>0,即m>-1 時(shí),xi,2=2±2.從而 |AB|=|xi-x2|=4.由題設(shè)知|AB|=2|MN|,即 4=2(m+1),解彳導(dǎo) m=7.所以直線AB的方程為y=x+7.方法總結(jié)(1)直線與拋物線的位置關(guān)系點(diǎn)差法：在已知Xi+x2”或y1'+y2”的值求直線l的斜率時(shí)，利用點(diǎn)差法計(jì)算，在很大程度上減少運(yùn)算過程中的計(jì)算量.(2)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系已知直線與圓錐曲線相交，求參數(shù)時(shí)，一般聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，消元后利用韋達(dá)定理，結(jié)合已知列方程求解參數(shù).求弦長時(shí)，可通過弦長公式|A

32、B|=|xi-x2|=- 或|AB|=|yi-y2|= -(k 祀)求解.10.(2017浙yX ,21,15分)如圖，已知拋物線x2=y,點(diǎn)A 一 一，B - -，拋物線上的點(diǎn) P(x,y)-過點(diǎn)B作直線AP的垂線，垂足為Q.(1)求直線AP斜率的取值范圍；求|PA| |PQ|的最大值.解析(1)設(shè)直線AP的斜率為k,k= -=x-,因?yàn)?<x<-,所以直線AP斜率的取彳！范圍是(-1,1).(2)解法一：聯(lián)立直線AP與BQ的方程解得點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)是xq=.因?yàn)?|PA|=- =(k+1),|PQ|=(xQ-x)=- -,所以 |PA| |PQ|=-(k-1)(k+1) 3,令 f

33、(k)=-(k-1)(k+1) 3.因?yàn)?f'(k)=-(4k-2)(k+1) 2所以f(k)在區(qū)間-上單調(diào)遞增，-上單調(diào)遞減，因此當(dāng)k= 一時(shí),|PA| |PQ|取得最大值一.解法二：如圖,連接 BP,|AP| |PQ|=|AP| |PB| cos ZBPQ=( -)=-.易知 P(x,x2)-,貝U =2x+1+2x 2=2x2+2x+ -,=- +- =x2+x+-+x4-x2+=x4x2+x+.|AP|PQ|=-x4+-x2+x+ -.設(shè) f(x)=-x 4+-x2+x+-,貝Uf'(x)=-4x 3+3x+1=-(x-1)(2x+1) 2,f(x)在-上為增函數(shù)，在-

34、上為減函數(shù)，：f(xmax=f(1)=一.故 |AP| |PQ| 的最大值為-.方法總結(jié)在解析幾何中，遇到求兩線段長度之積的最值或取值范圍時(shí)，一般用以下方法進(jìn)行轉(zhuǎn)化.1 .直接法：求出各點(diǎn)坐標(biāo)，用兩點(diǎn)間的距離公式，轉(zhuǎn)化為某個參變量（如直線斜率、截距，點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)等）的函數(shù),再求函數(shù)的最值或值域.2 .向量法：三點(diǎn)共線時(shí)，轉(zhuǎn)化為兩向量的數(shù)量積，再轉(zhuǎn)化為動點(diǎn)的橫（或縱坐標(biāo)）的函數(shù)，最后求函數(shù)的最值或值 域.3 .參數(shù)法：把直線方程化為參數(shù)方程，與曲線方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理轉(zhuǎn)化為直線的斜率（或直線的截距）的函數(shù)， 最后求函數(shù)的最值或值域.11 .（2016課標(biāo)全國I ,20,1汾）在直角坐標(biāo)系xOy

35、中，直線l:y=t（t祀）交y軸于點(diǎn)M,交拋物線C:y2=2px（p>0） 于點(diǎn)P,M關(guān)于點(diǎn)P的對稱點(diǎn)為N,連接ON并延長交C于點(diǎn)H.求;除H以外，直線MH與C是否有其他公共點(diǎn)？說明理由 解析 (1)由已知得M(0,t),P 一 .又N為M關(guān)于點(diǎn)P的對稱點(diǎn)，故N ,ON的方程為y=-x,代入y2=2px整理得px2-2t2x=0,解彳# xi=0,x2=.因此H 一.所以N為OH的中點(diǎn)，即=2.直線MH與C除H以外沒有其他公共點(diǎn).理由如下：直線MH的方程為y-t=x,即x=(y-t).代入y2=2px得y2-4ty+4t 2=0,解彳導(dǎo)yi=y2=2t,即直線MH與C只有一個公共點(diǎn)，所以

36、除H以外直線MH與C 沒有其他公共點(diǎn).方法總結(jié)將直線與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)問題歸結(jié)為求由直線方程與拋物線方程組成的方程組的解的問題.評析本題考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，考查了運(yùn)算求解能力.得到交點(diǎn)的坐標(biāo)是求解的關(guān)鍵.12 .(2016浙yX,19,15分)如圖，設(shè)拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,拋物線上的點(diǎn) A到y(tǒng)軸的距離等于|AF|-1.求p的值；(2)若直線AF交拋物線于另一點(diǎn) B,過B與x軸平行的直線和過 F與AB垂直的直線交于點(diǎn) N,AN與x軸交 于點(diǎn)M.求M的橫坐標(biāo)的取值范圍.解析(1)由題意可得，拋物線上點(diǎn)A到焦點(diǎn)F的距離等于點(diǎn)A到直線x=-1的距離，由拋物線的定義得-

37、=1,即 p=2.(2)由(1)得,拋物線方程為y2=4x,F(1,0),可設(shè)A(t2,2t),t加卜± 1.因?yàn)锳F不垂直于y軸，可設(shè)直線AF:x=sy+1(s)，由消去x得y2-4sy-4=0, 故 y1y2=-4,所以,B -又直線AB的斜率為一, -故直線FN的斜率為.從而得直線FN:y= （x-1）,直線BN:y=-.所以N .設(shè)M（m,0）,由A,M,N三點(diǎn)共線得于是m=.所以m<0或m>2.經(jīng)檢驗(yàn),m<0或m>2滿足題意.綜上，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)的取值范圍是（。,0） U （2,+ 8）.思路分析 （1）利用拋物線的定義來解題；（2）由（1）知拋物線的

38、方程，可設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)及直線AF的方程，與拋物線 方程聯(lián)立可得B點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得直線FN的方程與直線BN的方程，聯(lián)立可得N點(diǎn)坐標(biāo)，最后利用A,M,N三點(diǎn) 共線可得kAN=kAM,最終求出結(jié)果.評析本題主要考查拋物線的幾何性質(zhì)、直線與拋物線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，同時(shí)考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力.【三年模擬】一、填空題（每小題5分洪20分）1 .（2018江蘇海安高三階段測試）拋物線丫2=*的準(zhǔn)線的方程為 .答案 x=-2 .（2019屆江蘇木瀆中學(xué)階段測試）已知拋物線y2=2px（p>0）上一點(diǎn)M到焦點(diǎn)F的距離等于2p,則直線MF 的斜率為.答案 土3 .(2017江蘇泰州姜堰模擬，

39、7)拋物線y2=4x上任一點(diǎn)到定直線l:x=-1的距離與它到定點(diǎn) F的距離相等，則點(diǎn) F的坐標(biāo)為.答案(1,0)4 .(2019屆江蘇如皋中學(xué)模擬)已知拋物線x2=4y的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,P為拋物線上一點(diǎn)，過P作PAJ于點(diǎn)A,當(dāng)/AFO=3CT (O為坐標(biāo)原點(diǎn))時(shí),尸|=.答案 -二、解答題(共50分)5.(2019屆江蘇宿豫中學(xué)月考)如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，點(diǎn)A(8,-4),P(2,t)(t<0)在拋物線y2=2px(p>0) 上.(1)求p,t的值；(2)過點(diǎn)P作PM垂直于x軸,M為垂足，直線AM與拋物線的另一交點(diǎn)為B,點(diǎn)C在直線AM上.若PA,PB,PC的斜率分別

40、為k1,k2,k3,且k1+k2=2k3,求點(diǎn)C的坐標(biāo).解析(1)將點(diǎn) A(8,-4)代入 y2=2px(p>0),得 p=1,將點(diǎn) P(2,t)代入 y2=2x,得 t= + 2,因?yàn)閠<0,所以t=-2.依題意得M的坐標(biāo)為(2,0), 則直線AM的方程為y=-x+-, - 聯(lián)立可得B -,易求得 ki=-,k2=-2,由 ki+k2=2k3 得 k3=-,從而直線PC的方程為y=-x+-, -聯(lián)立可得C - - .6.(2017江蘇蘇州暑假測試)已知拋物線C的方程為y2=2px(p>0),點(diǎn)R(1,2)在拋物線C上.(1)求拋物線C的方程；過點(diǎn)Q(1,1)作直線交拋物線C

41、于不同于R的兩點(diǎn)A,B,若直線AR,BR分別交直線l:y=2x+2于M,N兩點(diǎn),求|MN|最小時(shí)直線AB的方程.解析(1);,點(diǎn)R(1,2)在拋物線C上，：2p=4,p=2, .拋物纜的方程為y2=4x.(2)顯然直線AB的斜率存在且不為 0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),直線AB的方程為 x=m(y-1)+1(m 3).由消去x,整理得y2-4my+4(m-1)=0.設(shè)直線AR的方程為 y=k1(x-1)+2,由得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)xM =-又 k1=，:M=-.-=4同理，點(diǎn)N的橫坐標(biāo)xN=1., |y-y1|=一|XM-XN|= =2 - =8 一=2 . -令 m-1=t,t 4,則

42、 m=t+1,|MN|=2 一 =2 一 一-|MN|=2 -> ,當(dāng)t=-2,即m=-1時(shí),|MN|的最小值為 一,此時(shí)直線AB的方程為x+y-2=0.7.(2019屆江蘇常州一中月考)如圖，已知定點(diǎn)R(0,-3),動點(diǎn)P,Q分別在x軸和y軸上移動，延長PQ至點(diǎn)M,使=-，且 =0.(1)求動點(diǎn)M的軌跡Ci;圓C2:x2+(y-1)2=1,過點(diǎn)(0,1)的直線l交Ci于A,D兩點(diǎn)(從左到右，交C2于B,C兩點(diǎn)(從左到右，求證：為定值.解析(1)解法一：設(shè) M(x,y),P(x 1,0),Q(0,y 2),則由 =0,=- 及 R(0,-3)得化簡得x2=4y.所以動點(diǎn)M的軌跡C1是頂點(diǎn)在原點(diǎn)，開口向上的拋物線解法二:設(shè)M(x,y).由=一得 P - ,Q 一.所以 由 =0 得-,一 =0,即-x2-3y=0,化簡得 x2=4y.所以動點(diǎn)M的軌跡Ci是頂點(diǎn)在原點(diǎn)，開口向上的拋物線.(2)由題意得 =AB CD,圓C2的圓心即為拋物線 Ci的焦點(diǎn)F.設(shè) A(x i,yi),D(x 2,y2),貝UAB=FA-FB=y i+1-1=y i,同理CD=y2.易知直線l與x軸不垂直，設(shè)直線l的方程為x=k(y-i), -由得 y=-k2(y-i)2,即 k2y2-(2k2+4)y+k 2=0.所以 =AB CD=y iy2=i.8.(20i8江蘇蘇北四市期末