北師大版小學(xué)六年級數(shù)學(xué)下冊全冊奧數(shù)知識點(diǎn)講解試題附答案(全套共14套)【2020年】

1、小學(xué)六年級下冊數(shù)學(xué)奧數(shù)知識點(diǎn)講解第1課列方程解應(yīng)用題試題附答案習(xí)題一L某工廠三個車間共有180人，第二年間人數(shù)是第一車間人數(shù)的3倍還多1 人，第三車間人數(shù)是第一車間人數(shù)的一半少L人.三個車間各有多少人？2-甲、乙兩個容器共有溶液2600克.從甲容器中取出）,從乙容 器中取出，兩個容器共剩溶液2。00克，求兩個容器原來各有溶液多少克？3- 25支鉆筆分給甲、乙,丙三人.乙分到的比甲的一半多3支，丙分到的 比乙的一半多3支.問,甲、乙、丙三人各分到幾支鉛筆？工甲.乙共有圖書63冊，乙.丙共有圖書苻冊.三人中圖書最多的人的 書數(shù)是圖書最少的人的書數(shù)的2倍.問甲.乙，丙三人各有圖書多少冊？5.體育用品

2、商店購進(jìn)5。個足球，如個籃球，共30。0元.零售時(shí)足球加價(jià) 9%,籃球加價(jià)11%,全部賣出后獲利潤2兆元.問二每個足球、籃球進(jìn)價(jià)各多 少元76.王虎用1元錢買了油菜籽、西紅柿杼和蘿卜籽共100包.油菜籽3分錢一 包,西紅柿籽4分錢一包，蘿卜籽1分錢7包，問王虎買進(jìn)油菜籽、西紅柿籽和 蘿卜籽各多少包？習(xí)題一解答1,解=設(shè)第一車間有戈人，則第二車間有©3宜十/ 人 第三車間有 白人x+ 3 煞+ 1 +1w -1 = 130.2汽三403M+1=3X40 十 1 = 121,管，第一車間有40人，第二車間有12L人，第三車間有19人.2.解：設(shè)甲容器原有溶液x克，乙容器原有溶液(2600

3、-x)克.xX (1-1) +(2600-x) X (1-1) =2000x = 16002600-x = 2600-1600 = 1000.答，甲容器原有溶液1600克，乙容器原有溶液1300克.3.提示：設(shè)甲有x支，乙分到的比甲的一半多3支，則乙有 (9+ 3)支.丙分到的比乙的一半多3支，則丙有心(1 + 3) + 3支. 乙乙 乙解：設(shè)甲有鉛筆N支，則乙有鉛筆(1+?)支，內(nèi)有鉛筆擊裊+ 3)+3支.x + !北+ 3+5（次+ 3） +3 = 2522 23 151x + = 254 2x= 101 1-x + 3 = -X0 + 3 = 82 21 C1x+3）+3=7. 乙 乙答

4、：甲、乙、內(nèi)各分得鉛第1U支、8支、7支.4 .提示：這道題要先推理后列方程.關(guān)鍵是分析出甲、乙、丙三人中誰 最多、誰最少.依題意；甲+乙二63,乙+丙二77,兩式相減得丙-甲二題目中 還給出圖書最多的人的書數(shù)是圖書最少的人的書數(shù)的2倍，也即它們的 和是圖書最少的人的3倍，又3T77,所以不可能是乙和丙兩人,由丙大于于 甲，知丙不是最少,若丙最多，甲最少,設(shè)丙有圖書k冊，則由條件有；x = 28.求出乙為49本，這樣顯然丙不是最多，也不是最少.因此，乙最大，甲最睇設(shè)用有圖書其冊，則乙有圖書2x冊k+2K= 63x=212x=4277-42=35.答：甲有圖書21冊，乙有圖書42冊，丙有圖書35

5、冊.5 .解：設(shè)每個足球進(jìn)價(jià)x元，每個籃球進(jìn)價(jià)y元.倒乂 十 40y = 3000（1）9% 50 + 11% y 40 = 298 （2）由得 5x+4y=300 （3）由（2）得 45x+44y=2980 （4）用C4）-X9得8y=280/. y=35.把y=35代入（3）得5x+4X 35=300x=32.答：每個足球進(jìn)價(jià)32元，每個籃球進(jìn)價(jià)35元.6 .解：設(shè)買回油菜籽x包，西紅柿籽飽，則蘿卜籽為C100-x）包.3x + 4y+yX (100/-y)依題意，逆值一定是整數(shù)，那么竦?也一定是整數(shù)，所以y必須是20的倍 數(shù).當(dāng)尸20時(shí)，x=3? 100-x-y=77.當(dāng)y>40時(shí)

6、，父是負(fù)數(shù)，不合題意.所以只能有一組解.魯 王虎買油菜將3包，西紅才褥加包，蘿卜籽仃包.小學(xué)六年級下冊數(shù)學(xué)奧數(shù)知識點(diǎn)講解第2課關(guān)于取整計(jì)算試題附答案例1判斷正誤：若2日3 (i)=1.則&二8解：不正確.假設(shè) U) = 0, 則；xl =K.原式為；2 +3(X)=1, 5 J =lr例2求11993中可被2或3或5整除的整數(shù)的個數(shù).ei + r 3x 1.Bx2、3x10例3 求+ J + +的值.例4求滿足方程3十 =19的工的值.例5問下面一列數(shù)中共出現(xiàn)了多少個互不相同的數(shù)?例6設(shè)和1001 12一心其中M n均是自然數(shù),則門最大取多少?答案例1判斷正誤：若2K+3 3 =1.則

7、=0.解：不正確.假設(shè)« = 0,則，同=x.原式為：2 （x） +3 （x） =1, 5 k =1,=矛盾.例2求11993中可被2或3或5整除的整數(shù)的人數(shù).分析我們知道，自然數(shù)中不超過n的口的倍數(shù)的個數(shù)是（-）.所以1 n1993中能被2、3、5整除的數(shù)分別有（挈）=996 （個），（注）乙31993= 664 （個），詈）=398 （個）.但若把這三個數(shù)相加，作為答案就 多了，因?yàn)橛行?shù)被重復(fù)計(jì)算了,例如6及其倍數(shù)，既是2的倍數(shù)，又是3的倍 數(shù)，被計(jì)算了兩次.同理，重復(fù)計(jì)算兩次的數(shù)還有10及它的倍數(shù)和15及它的倍數(shù)，一共有萼十辱十等=66父個）要從和中減去.進(jìn)一步 6 1U1

8、j還要考慮30及它的倍數(shù)，它們既是2、3與5的公倍數(shù)，也是6、10與15的公倍 數(shù).開始計(jì)算了三次，后來又減去了三次，所以要補(bǔ)上.解：合題意的數(shù)有:1993, 1993. 1993, 1993, 1993, 1993, t 1993,亍乜/川k - 丁H 丁HF】乜丁 = 2058-663 + 66 = 1461 （個）,mic +3義1r3x2、,3X10,必上例3求不】+（F- +的值.分析加法運(yùn)算中常用高斯求和法簡算.求H的基本方法是根據(jù)定義" W+&.要善于觀察特殊值.解，答+ （'干）是整數(shù)，斗，十弋產(chǎn)=地是整數(shù)，3x1 3x103x1 3xl0n 3x1

9、3xl（i而亓+FT=丁川+（中+ 寸'書+空是整數(shù)，又因0< (等> <1, 0< 答 <1,3x10TT <2,在0至2之間的整數(shù)只有1.(當(dāng)113x1 F同理誓()1111r 3x10.+ .11+節(jié) =1I =3-1 = 2.)=2, 3'5、,3x6、中 + E =2.3x21, 3x10+1寸 +(TT=2例4求滿足方程(x) + 2x)=19的x的值.分析 解這道題的關(guān)鍵是由"(x) +&求2x的整數(shù)部分和小數(shù)部分.解：因?yàn)镵二氏+ &,則2K=2氏+2僅.(2k) = 2W+2W1=2x+ 2

10、71;.g0<x<l, .*.0<2x<2.現(xiàn)在時(shí)僅分段來討論：當(dāng)o< W< J時(shí),0<2 £ <1,這時(shí)(2x)=2【X, 10原方程化為：3 (x) =19, x=,此時(shí)無解.當(dāng)時(shí)，l<2(x)<2,這時(shí)(2x) =2 (x) +1,原方程化為：3Ex+1=19,/. 3x = 18,x=6.故滿足原方程的K為大于或等于6J且小于7的數(shù)，即若 乙乙說明：此題運(yùn)用了適當(dāng)分類討論的數(shù)學(xué)思想.例5問下面一列數(shù)中共出現(xiàn)了多少個互不相同的數(shù)?I2 221993?，1993 分析首先要考慮由己知條件我們能推出什么？222可推知這一列

11、數(shù)的笫一項(xiàng)諒)=0,第二項(xiàng)()=0, 19932一共有1993個數(shù)，最后一項(xiàng)(彳醞)=1993.可推知這一列數(shù)不等于同一個數(shù)，但也不是互不相同.I2 221993，可推知這一列數(shù)是逐漸增大的，即礪K.<該】©考慮利用公式(a+b) 2二I + 2ab + b:分析項(xiàng)的變化.©考慮利用公式1 + b）三£+2ab + b吩析項(xiàng)的變化.（k + M k2 2k+ 1因與子=1+ 言，根據(jù)性質(zhì)4,Otr 4- 1若蕓1則這列數(shù)的相鄰兩項(xiàng)有關(guān)系，k2 < k2 | 2k +111993<1993 + 1993，若黑41,則這列數(shù)的相鄰兩項(xiàng)有關(guān)系，lr2l

12、r2 9lr-I- 1（短）+1（短十溫'即相鄰兩項(xiàng)或相等或是相鄰自然數(shù)。關(guān)鍵在確定k.解：數(shù)列的第k項(xiàng)是焉y, k=h 2、1993.21r + 1由 得2k+ 61993,也就是k>996.這說明當(dāng)k996時(shí)，裝1QQ721QQ72由分析知從（備）至最后一項(xiàng)既）互不相同，共有1993-997 + 1二997 （個）.而當(dāng)k4996時(shí)，前996項(xiàng)的相鄰兩項(xiàng)相等或差1.因知第一項(xiàng)=0,又第996項(xiàng)（）=497,所以共有4%+ 1 =498個不同的 數(shù).綜上所述，這一列數(shù)共有997十498二1495個不同的數(shù).例6設(shè)E100I =12-M,其中脹：n均是自然數(shù).則n最大取多少？解：

13、V 12=22X3,而人中因數(shù)2有竽+ 察+翳）=97個，A中因數(shù)3有與+ （翳）+ （舞）+ （竽）=48個.A二248K2T 34& k=2（12）48，k=124S* M,其中122M./. n>大取48.習(xí)題二1.在110000這一萬個自然數(shù)中，有多少個數(shù)能移被5或7整除?2.已知：3=（199 x 1W +19" 2、,-'-+97199x96.卡 c 門F）求；3.求滿足方程必+ 2s 口g的工的值.4. k是自然數(shù)，且1001 * 1002 ， - * 1985 * 198611R年級奧數(shù)下冊：第二講是整數(shù)，k的最大值是多少1關(guān)于取整計(jì)算習(xí)題解答習(xí)

14、題二解答L解:在這一萬個自然數(shù)申，能被5或7整除的數(shù)有10000丁+【1000C1 , 710000, 1 內(nèi)人 萬一= 3143 個.2 .鵬/筍+箸是整數(shù).199 乂 1 19” 95+-，9797=1四（整數(shù)）. 199x197159 X：199 y 9697、,199x1)+ 十-一-一773797199 Ml97199 x 96 + 199*9697""是整數(shù).又199197( 199x1. j 199乂 961/. 0< + < 29797可得與/ +笥戶岑;+笠駕= 198同理(199x2199x959797= 198,= 198.199 乂 4%

15、( 199 乂 49)97 十一97/. 3=198X48=9504.3 .解：二 X (x) +&, 2x=2x+2 (x,/.(2x) =2 xl + (2x)J若0<x<5，則。<2x<L原方程化為3 (x) =18, (x) =6,64x <.若:<幺)<1,貝Ul(2 漢)<2原方程化為3 (x) +1-18,顯然此時(shí)無解.，適合方程的x為乙4 .解:由已知條件推知,k的最大值=1001 T002 1985 1986中因子11的個數(shù)，也就是11的幕次數(shù).11001 1002 1985 - 1986=19861十1000!而198

16、6!中因子11的毒次數(shù)為，+ (等)+(旱)=180 + 16+1 = 197,1000!中因子11的昂次數(shù)為,100011十罌= 90+8= 98.k的最大值為197-98=99.小學(xué)六年級下冊數(shù)學(xué)奧數(shù)知識點(diǎn)講解第3課最短路線問題試題附答案例1如下圖，偵察員騎與從口也出發(fā)，古匕地取情報(bào).在去B地之前需要先 飲一次馬，如果途中沒有重要障礙物，那么偵察員選擇怎樣的路線最節(jié)省時(shí) 間，請你在圖中標(biāo)出來.例2如圖一只壁虎要從一面墻壁a上網(wǎng)點(diǎn)，爬到鄰近的另一面墻壁口上的B點(diǎn) 捕蛾，它可以沿許多路徑到達(dá)，但哪一條是最近的路線呢*例3長方體研卬一5 口中，AB=4, 2 £3 , AD=1,有一只

17、小蟲 從頂點(diǎn)D出發(fā)，沿長方體表面爬到B點(diǎn)，問這只小蟲怎樣爬距離最短？（見圖 ）例4景泰藍(lán)廠的工人師傅要給一個圓柱型的制品成金線，如下左圖，如果 將金線的起點(diǎn)固定在A點(diǎn)，繞一周之后終點(diǎn)為B點(diǎn)，問沿什么線路嵌金線才能使 金線的用量最少1J'例5有一圓錐如下圖，A、B在同一母線上，B為A0的中點(diǎn)，試求以A為起 點(diǎn)，以B為終點(diǎn)且繞圓錐惻面一周的最短路線.例6如下圖，在圓柱形的桶外，有一只螞蟻要從桶外的A點(diǎn)爬到桶內(nèi)的B點(diǎn) 去尋找食物，己知A點(diǎn)沿母線到桶口C點(diǎn)的距離是12里米，B點(diǎn)沿母線到桶口 D 點(diǎn)的距離是8厘米，而C D兩點(diǎn)之間的（桶口）弧長是15厘米.如果螞蟻爬行 的是最短路線，應(yīng)該怎么走？

18、路程總長是多少？例8在河中有M B兩島（如下圖），六年級一班組織一次劃船比賽，規(guī)則 要求船從A島出發(fā)，必須先劃到甲岸，又到乙岸，再到B島，最后回到A島，試 間應(yīng)選擇怎樣的路線才能使路程最短？答案例1如下圖,偵察員騎馬從神出發(fā).去B地取情報(bào).在去B地之前需要先 飲一次馬，如果途中沒有重要障礙物,那么偵察員選擇怎樣的路線最節(jié)省時(shí) 間.請你在圖中標(biāo)出來.解:要選擇最節(jié)省時(shí)間的路線就是要選擇最短踣線.作點(diǎn)兒關(guān)于河岸的對禰點(diǎn)M、即作AA,垂直于河岸，與河岸交于點(diǎn)C, 且使AC二C,連接A，B交河岸于一，點(diǎn)P,這時(shí)P點(diǎn)就是飲馬的最好位置，連樓 PM此時(shí)PA+PB就是偵察員應(yīng)選擇的最短躇線.證明：設(shè)河岸上還

19、有異于F點(diǎn)的另一點(diǎn)PJ 連接P'A, P'B, PA，.VP y A+P 7 B = P z+P 7 B>Ay B=PK，+FB=PA+PB，而這里不等式 P 'A，+F，B>A，B成立的理由是連接兩點(diǎn)的折線段大于直線段，所以PA+FE是最 短路線.此伊愉J用對稱性把折線APB乃成了易求的另一條最短路線即直線段rB, 所以這種方法也叫做化直法.其他還有旋轉(zhuǎn)怯.翻折怯等.看下面例題.例2如圖一只壁虎要從一面墻壁q上A點(diǎn)，爬到鄰近的另一面墻壁吐的瞋 捕蛾，它可以沿許多路徑到達(dá)，但哪一條是最近的路線昵9解；我們假想把含B點(diǎn)的堵口順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90'（如下頁右圖

20、），使它和含A 點(diǎn)的墻故I底向一年面上，此時(shí)。強(qiáng)過果的質(zhì)置記為B點(diǎn)的位置記為， 則機(jī)1之間最通路線應(yīng)該是線段出、設(shè)這條線段與墻棱線交于一點(diǎn)P,那 么口折線4PE就是從A點(diǎn)沿著兩扇墻面走到B點(diǎn)的最短路線.證明：在墻棱上任取異于P點(diǎn)的P'點(diǎn)，若沿折線AP'B走，也就是沿在墻 轉(zhuǎn)90“后的路線AP, 走都比直線段APB，長，所以折線APB是壁虎捕蛾的最 短路線.由此例可以推廣到一般性的結(jié)論；想求相鄰兩個平面上的兩點(diǎn)之間的最通 路線時(shí)，可以把不同平面轉(zhuǎn)成同一平面，此時(shí)，把處在同一平面上的兩點(diǎn)連起 來，所得到的線段還原到原始的兩相鄰平面上，這條線段所構(gòu)成的折線，就是 所求的最短路線.例3

21、 長方體ABCDA，B，C，D，中，AB=4, A，A二2，AD=1,有一只小蟲 從頂點(diǎn)D，出發(fā)，沿長方體表面爬到B點(diǎn)，問這只小蟲怎樣爬距離最短？（見圖 Q）解；因?yàn)樾∠x是在長方體的表面上爬行的，所以必需把含DB兩點(diǎn)的兩 個相鄰的面“展開”在同一平面上，在這個“展開”后的平面上D ' B間的最 短路線就是連結(jié)這兩點(diǎn)的直線段，這樣，從D，點(diǎn)出發(fā)，到B點(diǎn)共有六條路線供 選擇.從D，點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過上底面然后進(jìn)入前側(cè)面到達(dá)B點(diǎn)，將這兩個面攤開在 一個平面上（上頁圖（2）,這時(shí)在這個平面上DJ B間的最短路線距離就 是連接D、B兩點(diǎn)的直線段，它是直角三角形AB"的斜邊，根據(jù)勾股定理，D&

22、#39; B2=D，A4止（1+2）2+ 425,'.D ' B=5.容易知道，從“出發(fā)經(jīng)過后他面再進(jìn)入下底面到達(dá)B點(diǎn)的最短距離也是5.從D,點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過左側(cè)面，然后進(jìn)入前例I面到達(dá)瓦點(diǎn).將這兩人面攤開 在同一平面上，同理求得在這個平面上“、B兩點(diǎn)間的最短路線（上頁圖 ），有：D' B2斗（1+4）2=29.容易知道，從D出發(fā)經(jīng)過后側(cè)面再進(jìn)入右側(cè)面到達(dá)B點(diǎn)的最短距離的平 方也是29.從D點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過左側(cè)面，然后進(jìn)入下底面到達(dá)B點(diǎn)，將這兩個平面攤 開在同一平面上，同理可求得在這個平面上D，、B兩點(diǎn)間的最短路線（見 圖），D' D 2 A 4D,B2=（2+4）4P

23、=37.容易知道，從D，出發(fā)經(jīng)過上側(cè)面再進(jìn)入右側(cè)面到達(dá)B點(diǎn)的最短距離的平 方也是37.比較六條路線，顯然情形、中的路線最短，所以小蟲從V點(diǎn)出發(fā)， 經(jīng)過上底面然后進(jìn)入前側(cè)面到達(dá)B點(diǎn)（上頁圖（2）,或者經(jīng)過后側(cè)面然后進(jìn) 入下底而到送B點(diǎn)的造蛙是最短路線 它的長度是£個單位長度.利用例2、例3中求相鄰兩個平面上兩點(diǎn)間最通距離的旋轉(zhuǎn)、翻折的方法， 可以解決一些類似的問題，例即求六棱柱兩個不衽鄰的側(cè)面上睛叫兩點(diǎn)之間的 最短路線問題下左圖），同樣可以把A、B兩點(diǎn)所在平面及與這兩個平面都相 鄰的平面展開成同一個平面（下右圖），連接A、E，版線段AP1P2B, Pl、P2是殯 段AB與兩條側(cè)棱線的交

24、點(diǎn)，則折線AP1P2B就是AB間的最短路線.S柱表面的最短路線是一條曲線，“展開”后也是直線3這條曲線稱為螺 旋線.因?yàn)樗哂凶疃痰男再|(zhì)，所以在生產(chǎn)和生活中有著很廣泛的應(yīng)用.如， 螺釘上的螺紋，螺旋輸粉機(jī)的螺旋道，旋風(fēng)除塵器的導(dǎo)灰槽，棺腔里的螺紋等 都是螺旋線，看下面例題.例4景泰藍(lán)廠的工人師傅要給一個圓柱型的制品嵌金線，如下左圖，如果 將金線的起點(diǎn)固定在A點(diǎn)，繞一周之后終點(diǎn)為B點(diǎn)，問沿什么線路嵌金線才能使 金線的用量最少？解；將上左圖中圓柱面沿母線卷剪開，展開成平面圖形如上頁右圖（把圖 中的長方形卷成上頁左圖中的圓柱面時(shí)，丁分別與機(jī)B重合），連接 ABJ再胞上貝右圖還原成上貝左圖的形狀，則A

25、B，在圓柱面上形成的曲線就 是連接AB且繞一周的最短線路.圓錐表面的最短路線也是一條曲線，展開后也是直線.請看下面例題.例5有一圓錐如下圖，A、B在同一母線上，B為80的中點(diǎn)，試求以A為起 點(diǎn)，以B為終點(diǎn)且澆圓椎側(cè)面一周的最短路線.解，將圓錐面沿母線A0剪開，展開如下圖（把右圖中的扇形卷成上圖中的 圓錐面時(shí)，A- B，分別與A、B重合），在扇形中連AB，則將扇形還原成圓 錐之后，AB'所成的曲線為所求.例6如下圖3在圓柱形的桶外，有一只螞蟻要從桶外的A點(diǎn)爬到桶內(nèi)的B點(diǎn) 去尋找食物，己知&點(diǎn)沿母線到桶口C點(diǎn)的距離是12厘米，B點(diǎn)沿母線到桶口 D 點(diǎn)的距離是8厘米，而C、D兩點(diǎn)之間

26、的（桶口）弧長是15厘米.如果螞蟻爬行 的是最短路線，應(yīng)該怎么走？路程總長是多少？分析 我們首先想到格桶的圓柱面展開成矩形平面圖（下圖），由于B點(diǎn)在 里面，不便于作圖，設(shè)想將BD延長到F,使DF二BD,即以直線CD為對稱軸，作 出點(diǎn)B的對稱點(diǎn)F,用F代替B,即可找出最短路線了.解；將圓柱面展成平面圖形（上圖），延長BD到F,使DF二BD,即作點(diǎn)B關(guān) 干直線CD的對稱點(diǎn)F,連結(jié)好，交桶口沿線CD于0.因?yàn)橥翱谘鼐€CD是B、F的對稱軸，所以0B = 0F,而A、F之間的最短線路 是直線段AF,又如二A0 + 0F,那么A、B之間的最短距離就是A0 + 0B,故螞蟻應(yīng) 該在桶外爬到0點(diǎn)后，轉(zhuǎn)向桶內(nèi)B

27、點(diǎn)照去.廷長AC到E,使CE=DF,易知aAEF是直角三角形，AF是斜邊，EF=CD,根據(jù) 勾股定理，相三（AC+CE）斗E產(chǎn)=（12 + 8» + 152=625=252,解得AF=25.即螞蟻爬行的最短路程是25厘米.例8在河中有A、B兩島（如下圖），六年級一班組織一次劃船比賽，規(guī)則 要求船從A島出發(fā)，必須先劃到甲岸，又到乙岸，再到B島，最后回到A島，試 問應(yīng)選擇怎樣的路線才能使路程最短？解：如上圖，分別作A、B關(guān)于甲岸線、乙岸線的對稱點(diǎn)和B"連結(jié) AJ 分別交甲岸線、乙岸線于E、F兩點(diǎn)，則AfEfFfBA是最短路線, 即最短路程為：AE+EF + FB + BA.證明

28、：由對稱性可知路線AfEFB的長度恰等于線段A，B，的長度.而 從內(nèi)島到甲岸，又到乙岸，再到B島的任意的另一條路線，利用時(shí)稱方法都可以 化成一條連接A < B，之間的折線，它們的長度都大于線段A，B，例如上 圖中用“”表示的路線A-E）一F ' 一B的長度等于折線AE / F，B的長度，它大于A，B '的右度，所以A-E*iF*3*'A是最匆路線.習(xí)題三1 .如下圖，EF為一河流的河岸線，假設(shè)成一條直線，A、B是河中兩個小 島，有一只船經(jīng)常從A島把水產(chǎn)運(yùn)回岸上，再把食品等物運(yùn)回B島，再由B島將 水產(chǎn)運(yùn)上岸上，最后由岸上將食品等物運(yùn)回A島，問轉(zhuǎn)運(yùn)碼頭應(yīng)設(shè)在何處，才

29、能使運(yùn)輸船的航程最矩.-B2 .少先隊(duì)一小隊(duì)組織一次有趣的賽跑比賽，規(guī)則是從A點(diǎn)出發(fā)（見下 圖），跑到墻邊，用手觸摸墻壁，然后跑到B點(diǎn),接著，離B點(diǎn)再次跑到墻邊手 觸摸墻壁后，跑到C點(diǎn).問選擇怎樣的路線最節(jié)省時(shí)間，請你在圖中標(biāo)出來.A-B3.如下圖，在河彎處M點(diǎn)有個觀測站，觀測員要從M點(diǎn)出，先到AB岸，再 到CD岸，然后返回M點(diǎn)，問船應(yīng)該走什么路線最短？4 .如下圖，M B兩個村子之間隔了兩條河，兩條河的寬度相同，為了使 兩個村子之間的行程最知，在這兩條河上架橋的時(shí)候,應(yīng)該把精架在哪里？（兩座橋分別垂直于兩條河的河岸.）5 .如下圖，在河的兩岸共有三個小鎮(zhèn)h B、C.問應(yīng)在河的什么位置架兩 座

30、橋，使兩岸人們來往路程最短？（兩座橋都垂直于河岸.）匚6,如下圖是T丘臺球桌子，桌子上球R與球B之間有其它球阻隔.現(xiàn)在要 擊碎，經(jīng)桌邊CD、CF兩次反射再碰到B球，請你畫出AI來行走的最短路線.CL7 .如下圖，M氏C三點(diǎn)分別是正方體三條棱的中點(diǎn)，一只小蟲沿著正方 體的表面從點(diǎn)碘到點(diǎn)C,圖中所示路線是否為小蟲爬行的最短第線？8 .如下圖，鼠E為長方體同一棱上的兩個頂點(diǎn)，且AE二孔底面為邊長是2 的正方形，氏C、D分別到底面距離為工工6,連接AB. BC, CD, DE,則折線 ABCDE為以A為起點(diǎn)，況為終點(diǎn)斃犢柱側(cè)面一周最短的路線，請說明理由.9 . 00的半徑為W厘米，扇版AA，是。的四分

31、之一（下左圖），把扇形 0AV卷成圓錐面（下右圖）？取母線0A甲點(diǎn)B及AB中點(diǎn)M.從N拉一繩子圍 繞圓錐面轉(zhuǎn)到下底面A點(diǎn)（下右圖,試求此繩的最短長度.六年級奧數(shù)下冊：第三講 最短路線問題習(xí)題解答習(xí)題三解答1 .作點(diǎn)A關(guān)于EF的對稱點(diǎn)卜點(diǎn)，連結(jié)卜點(diǎn), B點(diǎn)交EF于P點(diǎn)，則P點(diǎn)即為 所求，它就是轉(zhuǎn)運(yùn)科頭應(yīng)設(shè)的位置.2 .解法1：分別作h C關(guān)于墻線的對稱點(diǎn)A ' , C J ,分別連結(jié)卜、B和 CL B,它們分別交墻線于E、F兩點(diǎn)，則A-E-B-F-C即最短路線.解法2；作B關(guān)于墻線的對稱點(diǎn)B，,連結(jié)M B C、U ,它們交于墻線 處也既、F點(diǎn)，最短路函司薛是L3 .分別作M點(diǎn)關(guān)于孫CD的

32、時(shí)稱點(diǎn)Ml、M2,連簞M1M2分別交AB、CD于N1、 N2兩點(diǎn),連結(jié)帆、MN2,則1即+即改+由1蹴是最短路程.Ml4 .過M B分別向兩條河作垂線，并截取AA，二BB，等于河寬，連結(jié)A < B,分別交兩相鄰河岸于C、D兩點(diǎn)，分別過C、D兩點(diǎn)向兩條河的另一岸作垂 線，分別交另一岸于& F兩點(diǎn)，CE. DF即架橋位置.B5 .過A作河岸線垂線，并在其上截取AA'等于河寬，連結(jié)A，B和A'C,分 別交河岸于反兩點(diǎn)，過碟F分別作河岸垂線交另一岸于M N兩點(diǎn)，見歸此FN 即為架橋位置.6 .分別作M B關(guān)于CD. CF的對稱點(diǎn)A<,連結(jié)卜B J 交CD. CF于P

33、、Q兩點(diǎn)，則APfPQfQB就是沖所走的最短路線.7 .共有三種路線可供選擇.第一，如圖甲，把前面和右側(cè)面展開在平面 上，連結(jié)AC.若設(shè)正方體邊長為2,由勾股定理可求得（2+1）2=10； 第二，魅至左面至上面到C,易知其最短距離的平方也為10;第三，如圖乙，把 前面和上面展開在平面上，連結(jié)AC, （B在線段AC上）,同理求得AC、2? + 2-8,所以第三種路線，即題中所示路線，是沿正方體表面從A到C的最短路 線.B C甲乙3.因?yàn)閷⒗庵膫?cè)面展開之后為一正方形，如下圖，ABCDE恰好為正方形 的對角線,因此折線ABCDE是繞惻面一周的最短路線.9.將圓鏈面沿母線0A翦開，把圓錐面攤成平面（

34、如下見圖）則卜M為 繩的最短距離，根據(jù)勾股定理,MA' 2=0I: + 0A?三（4 + 2）上 +那=1。（平方厘米），MA，=10 1厘米）即繩的最短距離為10厘米,0 B吊A小學(xué)六年級下冊數(shù)學(xué)奧數(shù)知識點(diǎn)講解第4課奇妙的方格表試題附答案第四講奇妙的方格表方格表是人們最熟悉最簡單的圖形之一.但這個簡單的圖形卻可以說是一 個廣闊的數(shù)學(xué)天地,其中包含著許許多多奇妙的數(shù)學(xué)問題.許多問題看起來非 常簡單非常有趣,但卻要用到許多教學(xué)方法，蘊(yùn)含著許多深刻的道理.這些方 法和道理在我們以后的學(xué)習(xí)中將經(jīng)常用到.一.計(jì)數(shù)問題例1下圖中共有多少個矩形?例2在上頁的方格表中，共有幾個艮丁形（含有3個小方格

35、 的拐.也可以是“口口”或或?例3在4 X 4的方格表中，至少放上幾個ff日口 “后，才能使 這一表中不能再放下一個"|廣了（不許重疊）斤如果是5 X 6或gxg的 方格表，結(jié)果如何？例3在4X4的方格表中，至少放上幾個“日二!”后，才能使 這一表中不能再放下一個“日二”了（不許重疊）？如果是5 X 6或8X8的 方格麥，結(jié)果如何？二、染色方法染色方法實(shí)際上是一種分類方法，不過對有些問題來說，通過染色能使問 題比較直觀，解決起來更方便.例4如圖是半張象棋盤，一只馬能否從A處出發(fā)，跳遍半張象棋盤而使每 個格點(diǎn)只經(jīng)過一次？例5正方體形的房子共分27個小房間，每相鄰兩個房間都有門相通（上、

36、 下兩間也有門相通）.每個房間里都有一塊奶酪，右下角的房間有一門通向外 面.一只耗子從最中間的房間出發(fā).想走遍各個房間，且每個房間只經(jīng)過一 次，最后從右下角出來，這樣是可否能？如果可能，該怎么走？三，抽屜原理例6能否在8X8的方格表的每個方格中寫上限1、2中的一個數(shù)，使每 行、每列以及兩條對角線上各數(shù)之和都互不相等？例7在5X5的方格表中，任意挖去一個方格后，是否總能用8個“ 住”形完全差?。咳绻荒?，請說明道理.XbaaycJ；：e四.分類, 試裝，遞推.尋求規(guī)律例8在4乂4的方格表中任意挖去一格，是否總能用5個以正'用蓋住1對干8 X 8或16 X 1。的方格表，結(jié)論如何3例9在一

37、個6X 6的方格表中任選5個方格徐黑，然后再逐步招凡是與兩 個或兩個以上黑格相鄰的方格徐黑，不斷按這個法則做下去，證明.無論怎樣 選擇最初的5個方格，都不可能按這樣的法則將所有方格全部除黑.答案第四講奇妙的方格表方格表是人們最熟悉最簡單的圖形之一,但這個簡單的圖形卻可以說是一 個廣闊的數(shù)學(xué)天地，其中包含著許許多多奇妙的數(shù)學(xué)問題.許多問題看起來非 常簡單非常有趣，但卻要用到許多教學(xué)方法，藁含著許多深刻的道理.這些方 法和道理在我們以后的學(xué)習(xí)中將經(jīng)常用到，一.計(jì)數(shù)問題例1下圖中共有多少個矩形，分析如果直接數(shù)，假容易遺漏或者重復(fù).為了避免遺漏或重復(fù)，可以將 圖形中的各種矩形按形狀大小分類，分別計(jì)數(shù)后

38、再相加.在分類計(jì)數(shù)中如果能 發(fā)現(xiàn)規(guī)律，那就更簡單了.解法L在己知的方格表中，共有5X3二15個，“ ”共有4X 3二12個，“口口”共有3X3 = 9個，如此進(jìn)行下去，把各類矩形的個數(shù)相 加，可得矩形總數(shù)為90個.解法2：將各類矩形列出表來（如下頁圖），分析各類矩形個數(shù)的算式, 很容易發(fā)現(xiàn)規(guī)律，于是可得矩形總個數(shù)為：（1+2+3+4+5）X（3+2+1） =90 個.4X33X3m Il 4X23X2田旺4X13X1用苴5X3 5X2 E 5X例2在上頁的方格表禮共有幾個“土”形（含有3個小方格的拐,也可以是或"g或“izq”）?例3在4X4的方格表中，至少放上幾個“日口”后，才能使

39、 這一表中不能再放下一個“日口”了（不許重疊）？如果是6 * 6或8乂8的 方格表，結(jié)果如何？解：如圖，在4X4的方格表中放下3個L形，即不能再放下一個L形了.如果只放了兩個L形，那么可以證明總還能再放下一個L形.因?yàn)槊總€ “田”字形內(nèi)至少蓋住兩格后才不再能放下L形，而4X4的方格表中共有4個不 相重疊的“田”字形，至少應(yīng)蓋住2義4空格后，才不再能放一個L形，如果只 放了兩個L形，僅僅蓋住6格，所以總還能再放一個L形.從以上兩步，可以看出4 *4的方格表中至少放上3個L形后，才能使這一表 中不再能放下一個L形.例3在4X4的方格表中，至少放上幾個“斗f后,才能使這一表中不能再放下一個"

40、;日二”了（不許重疊）？如果是6 * 6或gxg的 方格表，結(jié)果如何？解：如圖，在4X4的方格表中放下3個L形，即不能再放下一個L形了.如果只放了兩個L形，那么可以證明總還能再放下一個L形.因?yàn)槊總€ “田”字形內(nèi)至少蓋住兩格后才不再能放下L形，而4xq的方格表中共有4個不 相重疊的“田"字形，至少應(yīng)蓋住2 乂 4二8格后，才不再能放一個L形，如果只 放了兩個L形，僅僅蓋住6格，所以總還能再放一個L形.從以上兩步，可以看出4乂4的方格表中至少放上3個L形后，才能使這一表 中不再能放下一個L形.在6X6的方格表中有9個不相重疊的“田”字形，每個“出”字形至少蓋 住兩格，才不再能放下一個L

41、形，這樣至少應(yīng)蓋住18格，也就是至少要放上6個 L形.如右圖，己放了6個L形，確實(shí)己不能再放下一個L形了，因此6個是最少 的數(shù)目.卜11JL卜-F1L用同樣的方法可以得到在8X8的方格表中至少放上11個L形后，就不再能 放下一個L形了.二、染色方法染色方法實(shí)際上是一種分類方法，不過對有些問題來說，通過染色能使問 題比較直觀，解決起來更方便.例4如圖是半張象棋盤，一只馬能否從樹出發(fā)，跳遍半張象懼盤而使每 個格點(diǎn)只經(jīng)過一次？解：把半張象懼盤的格點(diǎn)（共45個）相間地涂上黑、白兩色（黑色用 “乂 ”表示，如圖共有22個黑點(diǎn)，23個白點(diǎn).按照馬走步的規(guī)則，每步走 “日”字的對角線，不論馬在何處也不論往哪

42、個方向跳，起點(diǎn)和終點(diǎn)的顏色總 是不同的.由于故h是黑格點(diǎn)，如果馬從故h出發(fā)跳遍每個格點(diǎn)且每個格點(diǎn)只經(jīng) 過一次，那么需經(jīng)過21個黑點(diǎn)，23個白點(diǎn)，黑、白格點(diǎn)數(shù)相差2,故這樣的走 法是不可能的.例5正方體形的房子共分27個小房間，每相鄰兩個房間都有門相通（上、 下兩間也有門相通）.每個房間里都有一塊奶酪，右下角的房間有一門通向外 面.一只耗子從最中間的房間出發(fā)，想走遍各個房間，且每個房間只經(jīng)過一 次，最后從右下角出來，這樣是可否能1如果可能，該怎么走？解：將27個小正方體相間染成黑、白兩色（婦圖），共13個房黑間，14個 白房間，中間房間是黑色.如果從中間房間出發(fā)，每個房間經(jīng)過一次，共需經(jīng) 過12

43、個黑房間（除中間房間外）、14個白房間.但是與黑房間相鄰的都是白房 間，與白房間相鄰的都是黑房間，路線只能是：黑一白一黑一白這是不可能 實(shí)現(xiàn)的.如果改從任一個（不是右下角的）白房間出發(fā)，就能達(dá)到目的.請自己設(shè) 計(jì)路緣三、抽JB原理例6能否在8X8的方格表的每個方格中寫上。、1、2中的一個數(shù)，使每 行、每列以及兩條對角線上各數(shù)之和都互不相等？解：8行、8列及兩條對角線共有IX個和數(shù)，將這18個和數(shù)作為“蘋果 8個數(shù)（每個數(shù)是0、1、2幣的一個）的和最小是0,最大是16,共有17種不同 的和，將這17個不同的和作為“抽屜力.根據(jù)抽屜原理，必有一個“抽屜”中 存在2個或2個以上的“蘋果”，這就是說，

44、在L8個和數(shù)中至少有2個相等，不 可能都互不相等.例7在5X5的方格表中，任意挖去一個方格后，是否總能用8個“ %”形完全蕓住?如果不能，請說明道理.解法1,如右圖，將5X5的方格表挖去一格（用影）后，剩下的24格不可能用8個“ + ”先完全蓋住.因?yàn)槿玺耆w住，為了蓋住a格， 需要用一個L形蓋住a、d、e或a、b、。三格，由于兩邊對稱，不妨設(shè)蓋住a、 b、c三格，這樣，x格就不可能被任何一個L形蓋?。ǚ駝t就重疊了），所以這 24格不可能被完全蓋住.解法2：如圖，標(biāo)上"X ”的格共有9個，如果挖去的一格不是標(biāo)上“X ”的格，那么剩下的24格不可能被X個L形蓋住.這是因?yàn)槿我鈨蓚€“X

45、 ” 格不可能被同一個L形蓋住，這9個“X 格若都能被蓋住，至少需要9個L形， 因此不能用8個L形蓋住剩下的2 4格.說明；解法1雖然很簡單，但要想到這種解法，需要做多次試驗(yàn)（當(dāng)挖去 的一格在某些位置時(shí)，題目的要求是可以成立的）.解法2實(shí)際上用了抽屜原 理，“乂”格看作“蘋果 g個L形看成“抽展”.用抽展原理的關(guān)鍵是要設(shè) 計(jì)好“抽屜”和“革果四.分類.試驗(yàn).遞推.尋求規(guī)律例8在4X4的方格表中任意挖士一格，是否總能用5個"Fhr形姜住?對干8 X 3或16 X 16的方格表，結(jié)論如何？分析對于4X4的方格表，由挖去一格的位置不同，可分三種情況討論.這種分類討論的方法，對于4義4的方格

46、表來說，由于試驗(yàn)次數(shù)較少，還比較容 易得到結(jié)論.但對于8X8的方格表9需要分1謝情況，分別去試驗(yàn)；對于16X 16的方格表，則需要分36種情況.對于每種情況，由于表格較大，試驗(yàn)起來也 很整瑣.如果運(yùn)用數(shù)學(xué)上稱為“遞推的方法，問題就簡單得多了，不僅能輕 易地解決8X& 16X16的方格表的問題，還能解決32X32、64X 64、等方 格表中的類似問題.解法1,對于4X4的方格表，由挖去一格的不同位置，可分三種情況，每 種情況都能運(yùn)用5個L形蓋住，因此在4X4的方格表中任意挖去一格，總能用5 個L形蓋?。ㄈ缦聢D）.對于8X8及16X16的方格表，由于分類情況較多,這里從略.解法2：先考慮2

47、X2的方格表，任意挖去一格，剩下3格總是恰好能用1個L 形蓋住.對于4X4的方格表，挖去的一格總在某個角上的2X2小方格表內(nèi)，不妨設(shè) 在左上來，那么左上角的2X2小方楮表中剩下3和能用1個L形蓋住.在右上、 右下.左下的3個2X2方格表中，先各挖去靠中間的一格（如圖），乘”下的各 能用1個L形蓋住，而挖去的3格也恰能用1個L形蓋住.對于8X8的方格表，挖去的一格總在某個角上的4X4方格表內(nèi)，不妨設(shè)在 左上角，那么左上角剩下的部分總能用5個L形蓋住.在右上、右下、左下的3 個4乂4方格表中，先各挖去靠中央的一格（如右到），由上述結(jié)論，各4乂4方 格表中剩下部分總能分別用5個L形蓋住.而挖去的3格

48、也恰能用1個L形蓋住， 所以，XX g方格表中任意挖去一格，總能用21個二形完全蓋住.同樣，對于16XL6的方格表，任意挖去一格后，總可以用況個L形完全蓋 住.例9在一個6X6的方格表中，任選5個方格徐黑，然后再逐步將凡是與兩 個或兩個以上黑格相鄰的方格涂黑，不斷按這個法則做下去，證明：無論怎樣 選擇最初的5個方格，都不可能按這樣的法則將所有方格全部涂黑.0分析先試驗(yàn)一下，在上圖的方格表中選5格涂黑，然后按給定法則涂黑另 一些格，直到上圖,已無法再將其余的方格涂黑,如果改變最初5格的位 置，雖然最后涂黑的部分會不同，但都不能將所有方格全部涂黑.為了證明這 一結(jié)論，如果將最初5格的不同位置一一列

49、舉出來，再逐個證明，當(dāng)然也是可 以的（這種方法叫枚舉法），不過過于繁瑣.因此，應(yīng)該在試驗(yàn)中尋求規(guī)律， 不被表面現(xiàn)象迷惑.證明，考慮涂黑過程中黑色區(qū)域的周界總長度.設(shè)小方格的邊長為1,則 開始有5個黑格，黑色區(qū)域總長度不大于20.按照題設(shè)的涂黑法則，每格在涂 黑前后，黑色區(qū)域的周界不會變長（此方格至少有兩邊是原來黑色區(qū)域的周 泉當(dāng)此格涂黑宕，這就邊己不再是邊泉而另而邊可能成為邊界）.如果能 格所有方格都涂黑，那么黑色邊界的總長度應(yīng)為24,由以上分析，這是不可靛 的，因此，無論怎樣選擇最初的5個方格，都不可能按照題設(shè)的法則將全部方 格涂黑小學(xué)六年級下冊數(shù)學(xué)奧數(shù)知識點(diǎn)講解第5課巧求面積試題附答案習(xí)題

50、五L直角三角形ABC中，AD=DB=4.5E米，=涯木，求四邊形DBCE的面積.（下圖）2 .下圖中的三角形被分成了甲（陰影部分）、乙兩部分，圖中的數(shù)字是 相應(yīng)線段的長度，求兩部分的面積之比.3 .如上右圖，在ZkABC中，AD=1AB, BE = EF = FC, CG = |gA,求 陰影都分面積占三角形ABC面積的幾分之幾？4 .如圖，BD=|bC,三角形ABC的面積是48平方厘米，AC = 16厘米,AE二11厘米，三角形DAE的面積是多少？5 .己知：AE=?AC, CD = yBC, BF=?AB,求三角形DEF的面積與三 546角形ABC的面積之比.（下圖）6 .如下圖所示己知A

51、BCD是長方形票"言弓,求三角形會E與 三角形DEF的面積之比.7 .如下圖所示，把/XABC的BA邊延長1倍到D點(diǎn).AC邊延長3倍到F點(diǎn)，CB邊 延長2倍到E點(diǎn)，連接DE、EF、FD,得到DEF.已知三角形DEF的面積為54平方 厘米，求AAEC的面積.2_8 .如上右圖所示，已知久如二1, A£ = ED, ED二三BC,求陰影的面 積.9 .在/XABC中，CD. AE, BF分別為K、AC. AB長 的:求%MM與為加之比，10 一把邊長為40厘米的正方形ABCD沿對角線AC截成兩個三角形，在兩個三 角形內(nèi)按圖示剪下兩個內(nèi)接正方形鼠，N.這兩個正方形中面積較大的是哪

52、一 個？它比較小的正方舷面現(xiàn)大安少平方厘米？六年級奧數(shù)下冊：第五講 巧求面積習(xí)題解答習(xí)題五解答1解，在AADE與AABC中，因?yàn)锳D = BD,所以AD = ：AB,又因?yàn)?乙AE = ；AC,所以“般=gx觸c =：久即所以S四邊形DBCE = 3s3.1 1 G1因?yàn)?杷c=X（45X2）X（3- -） =y （平方厘米），所以 應(yīng)山比、+苧中平方厘米）.答:四邊形DBCE的面積為33平方厘米.32 .解：因?yàn)锳E = 1, CE=2, fUAC = l + 2 = 3 = -CE. 乙因?yàn)镃D= 1, DB二3,所以BC二 1+3二生4CD.L3所以有 S&用 C =X4XS&a

53、mp;cde = 6S&cde = 5S 甲. 乙所以S乙二SAABC-S甲二6s甲-S甲二5s甲.所以S甲：S乙二S甲；5s甲二1 : 5.答：甲乙兩部分的面積之比為1 ： 5.3,解；利用正文中的結(jié)論容易求得；_2 4、_xS42G =4 X y X S樹=7sCABC， _£ 2_S&BDE = ' X 耳 乂此C，ACFG-=彳義耳S&ABC = $AABC ,>121所以Sajjjd +S&BDE+S&CFG = C -+ S AABC5=一«- 9 "AABC所以S快彭=0-§）SAABC

54、答：陰影部分的面積占三角形ABC面積的孑 4解 S&ade = *aadc =£x Q痂= -X |x48=22 （平方厘米）.lb 3答；AADE的面積為22平方厘米.5 解：S6AEPS&CDE5=X64=-X515XS16 ABC1_5s砥 c廠 3、，1 “ rc = - x-xq c*Q&BFD _ 4 E Q（1ABC _ 所以SADEF =6卯 C -$3歷-3插血-$ACDE=（1.122）s1658, 4ABe一兩船C所以SAdef : SAzbc=61 : 120.答：ZDEF與ABC的面積之比為61 ： 120.6幅因?yàn)槠币怀?1123K

55、Zcf = -cd=-ab, fd=-ab, ab=-fd,又Nbae=Nedf njn乙= 90° ,133所以有SZXABEtgX - x S6EDF = jSdEDFABE : Saedf=3 ： 4.答：三角形ABE與三角形EDF的面積之比為3： 4.7 .解：SAADF=4 X 1 X SAABC=4SAABC,SABED=2X2 x SAABC=4SAABC,Saecf=3 X 3 x s abc=9Sa ABC.Saecf=3X 3X Sa ABC = 9s ABC.所以 SADEF 二 SAADF+SAEBD+SECF+Sa®=4SAABC4-4SAABC+9SAABC+SAABC=18SAABC所以S.=SADEP = X54 = 3 （平方厘米）. Io答：三角形ABC的面積為3平方厘米.8 .解：連DF.因