數(shù)模論文——關(guān)于美國大學(xué)招生的數(shù)學(xué)模型

1、比賽題目申請美國大學(xué)的流程通常是，學(xué)生首先準(zhǔn)備必要的考試和一些證明，然后將考試成績和這些證明寄給自己想去的大學(xué)，一般學(xué)生可根據(jù)自己的情況選擇申請多所學(xué)校。每所大學(xué)計劃招生人數(shù)有限，所以只會錄取申請的一部分學(xué)生，以及考慮是否給予已錄取學(xué)生獎學(xué)金，但是收到多個學(xué)校錄取通知書的學(xué)生只能選擇一個學(xué)校。要求為美國大學(xué)建立一個數(shù)學(xué)模型，通過此模型來保證盡量滿足招生計劃并使學(xué)生質(zhì)量最大。 關(guān)于美國大學(xué)招生的數(shù)學(xué)模型摘要本文根據(jù)學(xué)生申請美國大學(xué)的流程和大學(xué)最終錄取的過程，聯(lián)系實際情況與數(shù)據(jù)，找出影響學(xué)校預(yù)招生數(shù)量的關(guān)鍵因素獎學(xué)金總額，通過對影響招生質(zhì)量與數(shù)量的分析，選取優(yōu)化模型。通過模型建立求解后，對結(jié)果與開

2、始時作出的初步分析進(jìn)行檢驗，進(jìn)一步保證結(jié)果的準(zhǔn)確性。對影響結(jié)果準(zhǔn)確性的學(xué)生選擇學(xué)校的概率，提出了模糊算法的概念，對模型提出改進(jìn)。最后通過求出發(fā)放通知書的數(shù)量與預(yù)錄取學(xué)生數(shù)量的比值，使模型更具推廣型與普遍意義。關(guān)鍵詞：優(yōu)化模型 模糊算法 比例系數(shù)一 問題重述 申請美國大學(xué)的流程通常是，學(xué)生首先準(zhǔn)備必要的考試和一些證明，然后將考試成績和這些證明寄給自己想去的大學(xué)，一般學(xué)生可根據(jù)自己的情況選擇申請多所學(xué)校。每所大學(xué)計劃招生人數(shù)有限，所以只會錄取申請的一部分學(xué)生，以及考慮是否給予已錄取學(xué)生獎學(xué)金，但是收到多個學(xué)校錄取通知書的學(xué)生只能選擇一個學(xué)校。要求為美國大學(xué)建立一個數(shù)學(xué)模型，通過此模型來保證盡量滿足

3、招生計劃并使學(xué)生質(zhì)量最大。二 對象分析及模型假設(shè)背景 : 為了使模型更接近于現(xiàn)實 , 在進(jìn)行建模之前 , 對美國大學(xué)實際招生情況進(jìn)行了大量的調(diào)查，信息搜集 , 分析工作 , 從而得出了模型的主要模擬對象美國大學(xué)招收留學(xué)生情況的主要特點：1 美國大學(xué)錄取留學(xué)生的數(shù)量主要以其確定的獎學(xué)金總額確定，其他條件如申請人數(shù)、專業(yè)變動、經(jīng)濟(jì)環(huán)境等均有一定量影響；2 接到錄取通知書的學(xué)生有一定比例因為拒簽，不能去學(xué)校報到。根據(jù)題設(shè)條件和調(diào)查所得對象的主要特點，做出如下假設(shè)：1 學(xué)校錄取學(xué)生時根據(jù)學(xué)生遞交的材料，計算學(xué)生的綜合成績，根據(jù)綜合成績排名，依次發(fā)放通知書。2 學(xué)校每年的獎學(xué)金總金額和發(fā)放比例固定，按照

4、比例和學(xué)生綜合成績排名，依次發(fā)放獎學(xué)金。3 學(xué)校錄取留學(xué)生數(shù)量由獎學(xué)金總金額確定，不會因為其他因改變。三 符號說明 A表示學(xué)校錄取留學(xué)生的數(shù)量； B表示學(xué)校最終決定發(fā)放的錄取通知書數(shù)量； C表示學(xué)校獎學(xué)金總額； D表示向?qū)W校提交申請的總?cè)藬?shù)； E表示學(xué)生的質(zhì)量； m表示學(xué)校向被錄取的留學(xué)生發(fā)放的獎學(xué)金金額； a表示學(xué)生對學(xué)校的錄取通知書的接受率； b表示學(xué)生被拒簽的概率； c表示學(xué)校發(fā)放獎學(xué)金的比例； P表示發(fā)放錄取通知書的數(shù)量與欲錄取人數(shù)的比值；四 建立模型 本題目的問題實際上是利用建立優(yōu)化模型的數(shù)學(xué)方法解決實際問題：考慮影響美國大學(xué)最終錄取結(jié)果的因素（是否滿足招生計劃，招收學(xué)生的質(zhì)量），當(dāng)

5、學(xué)校發(fā)出多封錄取通知書后，可最大限度的滿足招生計劃，但不能保證學(xué)生質(zhì)量。若學(xué)校僅按照招生計劃嚴(yán)格發(fā)放錄取通知書，則可最大限度保證學(xué)生質(zhì)量，但由于存在無效錄取通知書的各種因素：1學(xué)生收到多封通知書，選擇其他學(xué)校 2學(xué)生選擇本學(xué)校，但被申請簽證被拒簽。所以，在學(xué)生質(zhì)量和招生計劃的約束下，通過建立優(yōu)化模型的數(shù)學(xué)方法，尋求美國大學(xué)最終錄取結(jié)果的最優(yōu)化方案。 建立模型如下: Max f(X)； X; S.t. 由題意已知：當(dāng)獎學(xué)金經(jīng)費確定為C的學(xué)校向每個被錄取學(xué)生發(fā)放獎學(xué)金的數(shù)額為m發(fā)放比例為c時，則理論上該學(xué)校最大也是最理想的錄取人數(shù)為；設(shè)學(xué)生接收到學(xué)校發(fā)來的錄取通知書后，由學(xué)校的因素決定其愿意去該所

6、學(xué)校的概率為a而且；接到錄取通知書以后在申請簽證的過程中，拒簽率為d；B表示學(xué)校實際學(xué)生發(fā)出的錄取通知書數(shù)量；D表示已向該所學(xué)校遞交申請書的學(xué)生的總?cè)藬?shù)；所有的學(xué)校所有的學(xué)校都必須先交申請書，再決定是否發(fā)放錄取通知書，則由以上可以確定B的范圍：。由已知，知道B為學(xué)校最終發(fā)放錄取通知書的數(shù)量，而在整個學(xué)生錄取過程中，導(dǎo)致某些收到錄取通知書后又沒向?qū)W校報到的因素有以下兩個：1、 學(xué)生收到多封錄取通知書故沒去報到（學(xué)校的水平影響結(jié)果）。2、 由于簽證因素導(dǎo)致收到了錄取通知書卻沒能報到?？紤]到這兩個因素影響所以實際的錄取人數(shù)應(yīng)該表示為Ba(1b)。而最佳的錄取通知書發(fā)放方案就是要求：Ba(1b)，且在

7、數(shù)值上盡量的靠近?？紤]B和a間的關(guān)系：當(dāng)a增大時，發(fā)出錄取通知書會錄取的比例提高，那么B取值應(yīng)該趨向于；當(dāng)a減少時，隨著錄取通知書會錄取的比例的減少，B的取值應(yīng)該趨向于D，以保證滿足學(xué)校的生源。根據(jù)此可得 B=（D）a+D （1） (2)因此由（2）式可得到 代入（1）式得到： B=(-D)+D=>BD= cmB(1-b)(B-D)=C(-D)=>cmB(B-D-bB+bD)=C(-D)cmB(B-D-bB+bD)=C(-D)=>=-CD即：-=0解得： （*）五 模型實現(xiàn)通過搜集數(shù)據(jù)及Matlab軟件對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析 得出以下數(shù)據(jù)（均為綜合美國大部分高校數(shù)據(jù)所得平均值）：A表

8、示學(xué)校錄取留學(xué)生的數(shù)量=1302； B表示學(xué)校最終決定發(fā)放的錄取通知書數(shù)量； C表示學(xué)校獎學(xué)金總額=2,100,263； D表示向?qū)W校提交申請的總?cè)藬?shù)=2039； E表示學(xué)生的質(zhì)量； m表示學(xué)校向被錄取的留學(xué)生發(fā)放的獎學(xué)金金額； a表示學(xué)生對學(xué)校的錄取通知書的接受率=0.73； b表示學(xué)生被拒簽的概率=0.021； c表示學(xué)校發(fā)放獎學(xué)金的比例=0.8127；由matlab計算（*）式得出B=1647.24591 近似得出B=1647六 結(jié)果分析與檢驗判斷B的合理性：將B所得結(jié)果代入 得出結(jié)果滿足不等式，故B合理?？紤]到各大學(xué)招生情況不同，及學(xué)校實力不同，取學(xué)校發(fā)放的錄取通知書和預(yù)計錄取人數(shù)的比

9、例P=1.26。根據(jù)學(xué)校綜合實力的不同，各學(xué)?？稍诖藬?shù)據(jù)進(jìn)行適度浮動。七 模型評價及改進(jìn) 本模型是在學(xué)校獎學(xué)金經(jīng)費C確定且直接決定其錄留學(xué)生數(shù)量，又以學(xué)校的知名度決定其愿意去該所學(xué)校的概率為a 和接到錄取通知書以后申請簽證的過程中的拒絕率為決策變量的情況下做出的分析，故而建立的最優(yōu)化模型。而學(xué)生對學(xué)校的選擇概率是根據(jù)個人喜好而定，是模糊的概念，所以模型存在一定缺陷，若能加入模糊算法，則模型準(zhǔn)確性將有所提高。不過就問題中的條件以及要求而言，本模型實用性以及適用性廣泛，提出比例系數(shù)的概念，使其使用于大部分學(xué)校。模型大部分?jǐn)?shù)據(jù)通過實際調(diào)查得來的，計算過程中完全依賴現(xiàn)實中的數(shù)據(jù)，而且對于類似的優(yōu)化問題

10、也可以同樣以數(shù)據(jù)代入而及其方便的獲得相應(yīng)的決策，具有普遍性。八 參考文獻(xiàn)1現(xiàn)代數(shù)學(xué)建模方法 王庚 王敏生 科學(xué)出版社2數(shù)學(xué)建模 浙江大學(xué)出版社 楊啟帆 方道元3數(shù)學(xué)模型（第三版） 高等教育出版社 姜啟源4最優(yōu)化方法及其應(yīng)用 高等教育出版社 郭科 陳聆 魏友華5獎學(xué)金申請 EIC啟德教育附錄附錄一：分析數(shù)據(jù)的運算function r=myobj1996b(x)r= sum(x);約束條件m文件：function C,Ceq= mycon1996b(x)global m ef %全局變量n= length(x);tmpX = x(1);if n>=2, for i=2:n, tmpX=tmp

11、X*(x(i)+m);%x1*(x2+m)*(x3+m)*.*(xn+m) endendC=mn -tmpX*ef ;%只有一個約束，決策變量約束用fmincon的參數(shù)lb,ub來處理Ceq=;主程序：solv1996b_2init1996bNmin = fix(log(ef)/log(m/Vmax)+1Nmax = fix( log(ef)/ log(m/VminM) )+1opti_s = 1e6;for n=Nmin:Nmax,%窮舉所有模型 lb=; ub=; lb(1)= VminM; ub(1)= Vmax; if n>=2, for j=2:n, lb(j) = VminM

12、- m; ub(j) = Vmax-m; end end lb ub x,fval,exitflag=fmincon('myobj1996b',VminM*ones(1,n),. lb,ub,'mycon1996b') if fval < opti_s, opti_n = n; opti_s = fval; opti_x = x; endendopti_nopti_sopti_xm附錄二美國各大名校招生人數(shù)（2010年秋季入學(xué)）：密歇根大學(xué)：約6000人加州大學(xué)洛杉磯分校：約4400人加州大學(xué)伯克利分校：約4200人北卡大學(xué)教堂山分校：約3900人弗吉尼亞大學(xué)：約3300人康奈爾大學(xué)：3150人；南加州大學(xué)：約2800人賓夕法利亞大學(xué)：約2400人西北大學(xué)：2025人圣母大學(xué)：約2000人哈佛大學(xué)：約1700人杜克大學(xué)：1700人斯坦福大學(xué)：1675人范德比爾特大學(xué)：約1570人華盛頓圣路易斯大學(xué)：約1500人喬治城大學(xué)：約1560人塔夫斯大學(xué)：約1300人布