2013年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題及詳細(xì)解答(含一試二試)

1、2013年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題、選擇題(本題滿(mǎn)分第一試42分，每小題7分)1.計(jì)算4.3272 ,41 24應(yīng)()(A) 221 (B) 1(C)展 (D) 22.滿(mǎn)足等式m2 m 22 m1的所有實(shí)數(shù)m的和為(A) 3(B) 4(C) 5(D) 63.已知AB是圓O的直徑,C為圓。上一點(diǎn)， CAB15°, ACB的平分線交圓 。于點(diǎn)D,若CD 百，則AB=(A) 2(B)褥 (C) 2&(D) 324.不定萬(wàn)程3x 7xy 2x5y 170的全部正整數(shù)角(x,y)的組數(shù)為(A) 1(B) 2(C) 3(D) 45矩形ABCD的邊長(zhǎng) AD=3AF分別與DE, DB交于點(diǎn)，

2、AB=2 ,E為AB的中點(diǎn),M, N,則 MN=()F在線段BC上，且BF: FC=1: 2,(A)迤(B)嫗14© 91(D)11v528286.設(shè)n為正整數(shù)，若不超過(guò) 所有“好數(shù)”之和為(A) 33(B) 34n的正整數(shù)中質(zhì)數(shù)的個(gè)數(shù)等于合個(gè)數(shù)，則稱(chēng) n為 )(C) 2013(D) 2014“好數(shù)”，那么,二、填空題(本題滿(mǎn)分 28分，每小題7分)1 .已知實(shí)數(shù) x, y,z滿(mǎn)足 x y 4, z 1 xy 2y 9,則 x 2y 3z 3 一2 .將一個(gè)正萬(wàn)體的表面都染成紅色，再切割成n (n 2)個(gè)相同的小正萬(wàn)體，若只有一面是紅色的小正方體數(shù)目與任何面都不是紅色的小正方體的數(shù)目

3、相同，則n=3 .在 VABC 中，A 60°, C 75°, AB 10 , D, E, F 分別在 AB , BC , CA 上，貝U VDEF 的周長(zhǎng)最小值為4 .如果實(shí)數(shù)x, y, z滿(mǎn)足x2 y2 z2xy yz zx 8,用A表示x y,|y z，z x 的最大值，則A的最大值為第二試（A）2一、（本題滿(mǎn)分20分）已知實(shí)數(shù)a,b,c,d滿(mǎn)足2a2 3c2 2b2 3d2 ad bc 6,求a2 b2 c2 d2 的值。二、（本題滿(mǎn)分25分）已知點(diǎn)C在以AB為直徑的圓。上，過(guò)點(diǎn)B、C作圓O的切線，交一，.9PB ,于點(diǎn)P,連AC ,若OP -AC ,求的值。2 A

4、C、（本題滿(mǎn)分25分）已知t是一元二次方程x2 x 10的一個(gè)根，若正整數(shù)a,b,m使得等式at m bt m31m成立，求ab的值。（本題滿(mǎn)分20分）已知t第二試（B）1 ,若正整數(shù)a,b,m使得等式 at m bt m 17m成立，求ab的值。二、（本題滿(mǎn)分25分）在 ABC中，AB>AC , O、AB-AC=2OI 。求證：（1） OI / BC;I分別是 ABC的外心和內(nèi)心，且滿(mǎn)足AOCS AOB2SAOI °三、（本題滿(mǎn)分25分）若正數(shù)a, b, c滿(mǎn)足,222b c a2bc22,2cab2ca22a b2ab3,b2求代數(shù)式2c2bc22c a2cab22. 22

5、a b c2ab的值。2013年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題解析說(shuō)明：第一試，選擇題和填空題只設(shè) 7分和0分兩檔；第二試各題，請(qǐng)按照本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 規(guī)定的評(píng)分檔次給分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步驟正確，在評(píng) 卷時(shí)請(qǐng)參照本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)劃分的檔次，給予相應(yīng)的分?jǐn)?shù)第一試一、選擇題(本題滿(mǎn)分 42分，每小題7分)1 .計(jì)算 “3 2 41 24/2 B B)(A)展 1 (B) 1 (C) 22(D) 2m2 m 22.滿(mǎn)足等式2 m1的所有實(shí)數(shù)m的和為(A)(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6當(dāng)2-加=1即陽(yáng)=1時(shí)，滿(mǎn)足所給等式工當(dāng)2加=7即m=3時(shí)，(2 =滿(mǎn)足所給等式事當(dāng)2一

6、加,土1即泄注1且陽(yáng)丈3時(shí)，由已知等式可得：腳,一曜一2 = 0且2-冽學(xué)0,解得陽(yáng)二 -1.因此,滿(mǎn)足等式Q 布尸7=1的所書(shū)實(shí)數(shù)所的和為1 + 3 +(1) = 3.3.已知AB是圓。的直徑，C為圓。上一點(diǎn)，CAB 15°, ACB的平分線交圓 。于點(diǎn)D,若 CD 73 ,則 AB= (A)(A) 2(B)亞 (C) 272(D) 3連接。C,作QM1CD 丁點(diǎn)M,則可得NOCMh 450 15° = 30，所以CM= - OC,所以 dE = 2OC = 224.不定萬(wàn)程3x 7xy 2x5y 17 0的全部正整數(shù)解(x,y)的組數(shù)為(B)(A) 1(B) 2(C)

7、3(D) 4由31+7盯-2工_57_1 了 = 0得y=士上夢(mèng)二.又馬y為正整數(shù)，所以1之1，¥之1，從而 7工一5可得一39+2工十17之715*所以3/+54£22,所以只可能工=1第# = 2當(dāng)常=1時(shí)，可再y = 8：當(dāng)工=2時(shí)*可得，=1 +因此.不定方程3d+ 7劃-2工-5»-17 = 0的全部正整數(shù)解(HJ)有兩組：1I，8)和(2, 1),5矩形ABCD的邊長(zhǎng) AD=3 , AB=2 , E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)在線段 BC上，且BF : FC=1 : 2, AF分別與DE, DB交于點(diǎn) M, N,則MN= (C)(A)迤(B)迤©逋(D)

8、泉71428281答】g .人-g , FNBNBF 1br“1JV 1方易知所以= = =所以硒=不乂 N = ：HF.ANNDAD 334延氏OE,CB交丁點(diǎn)G,則MMDsAFMG,所以當(dāng)普工2，所以月時(shí)=：產(chǎn)W =彳人尸rAf FG 44,因此 A/7V = AF-月M-FN =&F ：j4FAF = 從F =2+ B廣二，742 S 2o2b6.設(shè)n為正整數(shù)，若不超過(guò) n的正整數(shù)中質(zhì)數(shù)的個(gè)數(shù)等于合個(gè)數(shù)，則稱(chēng) n為“好數(shù)”，那么, 所有“好數(shù)”之和為(B)(A) 33(B) 34(C) 2013(D) 2014內(nèi)為】既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)，所以“好虹一定是奇數(shù)，設(shè)不超過(guò)燈的正整數(shù)中

9、質(zhì)數(shù)的個(gè)數(shù)為4,合數(shù)的個(gè)數(shù)為"，當(dāng)"S15時(shí)，列表如FC只考慮融為奇敷的情況；.一一n13579111315023445660012456B顯然.It 9- lb 13是好數(shù).因?yàn)? 當(dāng)用之16時(shí)，在/ = 15的基礎(chǔ)匕 每增加兩個(gè)數(shù)，其中必有一個(gè)為偶數(shù).當(dāng)然是合數(shù).也就是說(shuō)，埔加的合敕的個(gè)數(shù)不會(huì)少于增加的質(zhì)數(shù)的個(gè)數(shù)t所以一定書(shū)r”,-小三2,故當(dāng)收之】6時(shí)，用不可能是“好數(shù)”.因此，所有"好數(shù)”之和為1+9+11 + 13=34.二、填空題(本題滿(mǎn)分 28分，每小題7分)1 .已知實(shí)數(shù) x, y, z滿(mǎn)足 x y 4, z 1 xy 2y 9,則 x 2y 3z

10、 4由i + y= 4 得r=4 - y,代入 | / + I仁孫+ 2y 9 得| 工+1= 6y_ 9 = -(y-3)2，所以 w = -1,y = 3 . jr= 1 > AKffU x + 2j + 3z = 4 .2 .將一個(gè)正方體的表面都染成紅色，再切割成n3(n 2)個(gè)相同的小正方體，若只有一面是紅色的小正方體數(shù)目與任何面都不是紅色的小正方體的數(shù)目相同，則n= 8只有一個(gè)面染紅色的小正方體的總數(shù)為尸個(gè)，任何面均不是紅色的小正方體的總數(shù)為5-2-個(gè)，由題意知65 = 2產(chǎn)=5 = 2)3,解得k = s3 .在 VABC 中， A 60o, C 75o, AB 10 , D

11、, E, F 分別在 AB , BC , CA 上，則 VDEF的周長(zhǎng)最小值為 _5、.6_作點(diǎn)E關(guān)于月B, /C的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)尸，。，連接HE, AP. AQ，DP, 町戶(hù)Q,則/戶(hù)/。=【20工 且乂F = AQ=AE、作MH工BC于前H.那么，£»£產(chǎn)的周氏i = l>e+dfef = pd+df-f>pq=ap = ae>45ah ,HUXH = 10cosZ/? = 10cos450 = 5>/2 ,所以八,謂且僅當(dāng)點(diǎn)£與點(diǎn)F,正合,且尸,。，尸,Q四點(diǎn)共線時(shí)取得等號(hào).4 .如果實(shí)數(shù)x, y, z滿(mǎn)足x2 y2 z2xy yz

12、 zx 8,用A表示x y,|y z, z x 的 最大值，則A的最大值為由已知鄴式得（耳_,y +（產(chǎn)/1+Q_#y =16.不妨設(shè)工一y|,則平時(shí)取律A2 (x-y)2 =(y-z) + (-x)2 玉2(沙一胃)工十 (工一幻'二"16 (工一y)。= 2(16 K),4詬4屈所以H的最大值為畔，當(dāng)I工用=-，|7一工用工劉二 JJ第二試（A）、（本題滿(mǎn)分220分）已知實(shí)數(shù)a, b, c, d滿(mǎn)足2a3c22b23d22ad bc 6,求d2的值。解：設(shè)m a2b2, n c2 d2,貝U 2m 3n 2a22b23 c23d212.因?yàn)?m 3n222m 3n24mn

13、 24mn ,即 12224mn ,所以mn 6又因?yàn)閙nb2d2b2acbdad2bcad2bc可得mn6.即符合條件的實(shí)數(shù)a, b,c,da ,2, b 1,c ,d 32、3八一就是一組。二、（本題滿(mǎn)分25分）已知點(diǎn)C在以AB為直徑的圓。上，過(guò)點(diǎn)B、C作圓。的切線，交9PB于點(diǎn)P,連AC ,若OP 9 AC ,求的值。2AC解：連OC,因?yàn)镻C, PB為圓。的切線，所以/ POC=/POB又因?yàn)?OA=OC所以/ OCA=/ OAC又因?yàn)? COBW OCA廿 OAC 所以 2 / POB=2/ OAC 所以/ POB=Z OAC 所以 OP/ AC=又/ POB=/ OAC 所以 VB

14、AC : VPOB ,所以ACOB一 9又 OP -AC , 2AB=2r , OB=r （r為圓O的半徑）ABoOP，代入可求得OP=3r,AC= 2 r.在RtVPOB中，由勾股定理可求得 PB JOP2 OB2 2 J2r。所以 PB2J13,2 oAC 2 r I30的一個(gè)根，若正整數(shù)a,b,m使得、（本題滿(mǎn)分25分）已知t是一元二次方程x2 x 1等式at m bt m31m成立，求ab的值。解：因?yàn)閠是一元二次方程x2 x 10的一個(gè)根，顯然t是無(wú)理數(shù)，且t2 1 t。等式 at m bt m31m 即 abt2 m a b t m2即 ab 1 t2ma b t m 31m,即

15、m a b ab t2ab m 31m0.因?yàn)閍,b,m是正整數(shù)，t是無(wú)理數(shù)，所以m a bab 0,a b 31 m,于是可得2ab m2 31m 0,ab 31m m .因此，a,b是關(guān)于x的一元二次方程 x22m 31 x 31m m0的兩個(gè)整數(shù)根，該方程的判別式22m 314 31m m31 m 31 5m 0.又因?yàn)閍,b是正整數(shù)，所以a b31 m 0,從而可得0315又因?yàn)榕袆e式 是一個(gè)完全平方數(shù)，驗(yàn)證可知，只有 m 6符合要求。把m 6代入可得ab 31m m2 150.第二試（B）（本題滿(mǎn)分20分）已知t J2 1 ,若正整數(shù)a,b,m使得等式 at m bt m 17m成立

16、，求ab的值。解：因?yàn)閠 22 1 ,所以t2 3 2亞.等式 at m btm 17m 即 abt2m a b tm2 17m,即 ab 3 2>/2m a b 1 m2 17m ,整理得 m a b2ab 2 3abm a bm217m0于是可得a b 2 17 m2ab 17m m .因此，a,b是關(guān)于x的一元二次方程x2一， _2 一2(m 17)x 17m m 0的兩個(gè)整數(shù)根,224 m 174 17m m4 17 m 17 2m0.0 ,從而可得0 mm 8符合要求，172又因?yàn)閍,b,m是正整數(shù)，所以a b 2 17 m又因?yàn)榕袆e式是一個(gè)完全平方數(shù)，驗(yàn)證可知，只有2把m 8

17、代入得ab 17m m 72。二、（本題滿(mǎn)分 25分）在 ABC中，AB>AC , O、I 分別是 ABC的外心和內(nèi)心，且滿(mǎn)足 AB-AC=2OI。求證：（1） OI / BC;（2）S AOC S AOB 2s AOI。證明（1）作 OM LBC于 M IN LBC于 No設(shè) BC=a , AC=b , AB=C。易求得 cm= a, cn= - a b c ,所以 mn=cm-cn= _ c b =oi , 222又MN恰好是兩條平行線 OM , IN之間的垂線段， 所以O(shè)I也是兩條平行線 OM , IN之間的垂線段，由 則所以O(shè)I / MN(1)知 OMNI所以O(shè)I / BQ是矩形

18、，連接BICI,設(shè)OM=IN= r (即為ABC的內(nèi)切圓半徑）SVAOCSV AIBSVBOISVCOISVAICSV,r OI1b1-c2SV22AIBAOI .25分）若正數(shù)a,b,c滿(mǎn)足2Svaoi2SVAOISVCOISVAICSVAOBSVAOI2SVAOISV AOI1-OI2SVBOI1-OI21r AC21 AB r2三、（本題滿(mǎn)分.222b c a2bc22. 2cab2cab22ab3,b2求代數(shù)式2c2bc22c a2cab22, 22a b c2ab的值。解：由于a,b,c具有輪換對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)c.(1)0,c0,從而得:b22 c2bc2bc1,22. 2cab2ca

19、b22ca1,222aba2ab2ab1,b2 c2 所以b一-b2b22bc2ca2ab3 ,與已知條件矛盾。b,0b a ,從而可得:b2 c22bc2bc1,22,2cab2ca2cab21,2ab2ab1,2.22aba2ab22a b c12ab1,222 222,2 2所以bcacab2bc2ca2ab3 ,與已知條件矛盾。綜合(1) (2)可知：一定有cab.于是可得,222b c a2bc2 c 1-22a b2ca1,2,22a b c2ab所以b22bc22, 22, 22c a b a b c , 1.2ca2ab怎樣才能學(xué)好數(shù)學(xué)一、把握好課堂的每一分鐘如今的小學(xué)數(shù)學(xué)教師

20、，都比較重視課堂教學(xué)的效益，所以，老師最期盼的事情就是：學(xué)生能夠?qū)Ｐ穆?tīng)講，眼睛時(shí)刻盯在老師身上， 或者盯在黑板上。這里為什么要強(qiáng)調(diào) "丁” ？因?yàn)椤岸ⅰ?與“看”的意思有很大不同?？?，是指使視線接觸人或物。盯，在百度百科中的解釋是：注 視，集中視力看著，不放松。由此可見(jiàn)，“看”只是指學(xué)生的眼睛接觸到了人和物，究竟有沒(méi)用用心地看，則說(shuō)不準(zhǔn)。而“盯”的意思是指學(xué)生用心的看，并且在看的過(guò)程中持續(xù)地思 考。作為小學(xué)數(shù)學(xué)老師，我們往往都會(huì)有這樣的感覺(jué)：在上課時(shí)，全班有99%學(xué)生的學(xué)生都是看老師、看黑板，但是，他們的學(xué)習(xí)效果卻會(huì)相差很大，其原因?qū)嶋H上就是“盯”與“看” 的區(qū)別。有的學(xué)生只是看老師講，但沒(méi)有用心地看，不動(dòng)腦筋，那樣的聽(tīng)課效果肯定很差。而有的學(xué)生是用心地看老師講解，并且在看的過(guò)程中還用心思考，所以成績(jī)就好。因此，我覺(jué)得，只要學(xué)生能夠把握好課堂的每一分鐘，把老師講解的知識(shí)點(diǎn)都能吸收和消化，那么，他的成績(jī)一定會(huì)很好。相反，如果課堂上不用心聽(tīng)講，指望課后再去彌補(bǔ)