數(shù)學(xué)試驗--matlab-Koch雪花

1、數(shù)學(xué)實驗報告3分形實例電氣二班陸展輝201430222325(51)問題描述1.對一個等邊三角形，每條邊按照Koch曲線的方式進行迭代，產(chǎn)生的分形圖稱為Koch雪花。編制程序繪制出它的圖形，并計算Koch雪花的面積，以及它的分形維數(shù)。2、對一條橫向線段，先將其等分成4段，然后再將第二段向上移，將第三段向下移，再將第四段的相鄰端點連接起來，迭代一次后變成圖3-21.繼續(xù)迭代得到的分形圖，稱為Minkowski香腸。編制程序繪制出它的圖形，并計算它的分形維數(shù)。圖3-21Minkowski香腸一次迭代問題分析與實驗過程實驗過程:1.仿照Koch曲線代碼對三角形的每條邊進行Koch曲線化,函數(shù)的輸入?yún)?/p>

2、數(shù)有三角形的邊長R和迭代次數(shù)k,輸由Koch雪花圖形以及雪花所圍面積S.(1)代碼如下：functionxuehua(k)%k為迭代次數(shù)forj=0:2%依次對3條邊進行Koch曲線運算ifj=0;P=0,0；10,0；elseifj=1;p=5,-5*sqrt(3);0,0;elsej=2;p=10,0;5,-5*sqrt(3);endn=1;%存放線段的數(shù)量，初始值為1A=cos(pi/3),-sin(pi/3);sin(pi/3),cos(pi/3);%1于計算新的結(jié)點fors=1:kj=0;%j為行數(shù)fori=1:nq1=p(i,:);%M前線段的起點坐標(biāo)q2=p(i+1,:);%B前

3、線段的終點坐標(biāo)d=(q2-q1)/3;j=j+1;r(j,:)=q1;%起點存入rj=j+1;r(j,:)=q1+d;%ff1點存入rj=j+1;r(j,:)=q1+d+d*A;%ff2點存入rj=j+1;r(j,:)=q1+2*d;涮3點存入rendn=4*n;於部線段迭代一次后，線段數(shù)量乘4clearp%青空p,注意：最后一個終點q2不在r中p=r;q2;獷條邊的全部結(jié)點clearrendplot(p(:,1),p(:,2)%連接各個結(jié)點holdon;axisequalend不同k對應(yīng)不同的圖像如下:k=1k=2k=3(2)Koch雪花面積推導(dǎo)如下所示:.32rk=0時S=43r273r2

4、k=1時S=4+12k=2時由2S=4+、.3212,+3227_3222-324r32k=3時S=r+12r+27r+243r,32.323*32(n4)4r23,32()r2r2r2r2*4(n4)4*(-n)2r2*4(n1)*(-)2k=n時S=4+12+43+431每一次迭加，所產(chǎn)生的新三角形的邊長變?yōu)樯弦淮蔚?,數(shù)量為上一次的4倍.、3232/12/12/12rVr(二)Cj)(n4)(6)S=4+4*(3*3+12*3+3*4(*3n_1c占202%3*4/)*(J)2=4+4-=13曲線總面積無窮大。(3)綜上所述可得Koch雪花的分形維數(shù)為：根據(jù)迭代的規(guī)律得到：相似形個數(shù)：m

5、=6邊長放大倍數(shù)：c=3,d=lnm+lnc=ln6+ln3=16312、繪制Minkowski香腸(D編輯實現(xiàn)題目迭代的函數(shù)在Matlab中，編制一個函數(shù)來繪制Minkowski香腸的圖形。具體代碼如下:functionMinkowski(k)p=0,0;10,0;%n=1;%A=0,1;-1,0;%fors=1:k%j=0;fori=1:n;q1=p(i,：);%q2=p(i+1,：);%d=(q2-q1)/4;j=j+1;r(j,：)=q1;%j=j+1;r(j,:)=q1+d;%j=j+1;r(j,:)=q1+d+d*A;%j=j+1;r(j,:)=q1+2*d+d*A;%j=j+1;

6、r(j,:)=q1+2*d+d*A;%j=j+1;r(j,:)=q1+3*d+d*A;%j=j+1;r(j,:)=q1+3*d;%end%顯示迭代k次后的Minkowski曲線圖存放結(jié)點坐標(biāo)，每行一個點，初始值為兩結(jié)點的坐存放線段的數(shù)量，初始值為1用于計算新的結(jié)點實現(xiàn)迭代過程，計算所有的結(jié)點的坐標(biāo)原終點作為下條線段的起點,目前線段的起點坐標(biāo)目前線段的終點坐標(biāo)原起點存入r新1點存入r新2點存入r新3點存入r新4點存入r新5點存入r新6點存入r在迭代下條線段時存入rn=n*7;%clearp%p=r;q2;%endplot(p(:,1),p(:,2)axisequal%全部線段迭代一次后，線段數(shù)量

7、乘7清空p,注意：最后一個終點q2不在r中重新裝載本次迭代后的全部結(jié)點%顯示各結(jié)點的連線圖各坐標(biāo)軸同比列將這個文件保存，文件名記為Minkowski.m.(2)繪制Minkowski香腸的圖形代碼：frat(3)運行結(jié)果如下圖所示：代碼：frat(5)運行結(jié)果如下圖所示:810計算Minkowski香腸的維數(shù)根據(jù)迭代規(guī)律得到：形似形個數(shù)m=7邊長放大倍數(shù)c=4,故維數(shù)d=1.4037.因此Minkowski香腸的維數(shù)介于1與2之間。具體計算如下：d=lnm/lnc=ln7/ln4=1.4037u=0,l;fork=1:4m=u/4;uu=m,1/4+m*(i),m+1/4+i/4,1/2+i/

8、4+m*(-i),1/2,1/2+m*(-i),m+1/2-i/4,m*(i)+3/4-i/4,m+3/4;subplot(2,2,k);plot(uu)u=uu;end040.20-0.2-040051結(jié)果合理性分析通過模仿學(xué)習(xí)書本上的例題，用程序繪制出了Koch雪花和Minkowski香腸的圖形，并且和網(wǎng)上標(biāo)準(zhǔn)結(jié)果對照一致，此外計算出了兩圖形的維數(shù)，都符合實際情形；故可認為所得圖形和維數(shù)計算結(jié)果很具有合理性。實驗總結(jié)與實驗感悟?qū)嶒灴偨Y(jié)通過這次實驗再次拓展了迭代法，而且還學(xué)習(xí)了迭代法應(yīng)用于分形實例，對解決分形圖形問題提供了強大的軟件支持，Matla及其代碼給分形圖形的繪制創(chuàng)造了很便捷的操作平臺，并且易于操作