泛函分析復(fù)習(xí)題

1、泛函分析期末復(fù)習(xí)題(2005-2006年度)(1)所有nxn矩陣可以構(gòu)成一個(gè)線性空間。試問(wèn)這個(gè)線性空間中的零元素是什么？-1-L-(2)什么是線性空間的子空間？子空間是否一定包含零元素？為什么？2,設(shè)E為一線性空間，L是E中的一個(gè)子集，若對(duì)任意的k,y£L,以及變數(shù)入和p均有Ax+uy£L,則L稱為線性空間E的一個(gè)子空間.子空間心室包含零元素，因?yàn)楫?dāng)人和口均為0時(shí)，Ax+py=U£L,則L必定含零元素口(3)什么是線性流形？3、設(shè)L是線性空間E的子空間，xoGEXL,則集合Xo+L=xo+1.DEL稱為E中一個(gè)線性流形°(4)什么是線性空間中的凸集？4、

2、設(shè)M是線性空間E中一個(gè)集合，如果對(duì)任何x,yWM,以及A-p=bA>0,p>0的人和|J,都有入x+pyeM,則稱M為E中的凸集(5)如果一個(gè)度量能夠成為一個(gè)線性空間上定義的距離，那么這個(gè)度量必須滿足什么條件？試給出幾個(gè)在n維歐幾里德空間上常用的距離定義5、設(shè)x.y是線性空間E中的兩個(gè)元素，d(x,y)為其之間的距離，它必須滿足以下條件,11)非負(fù)性：d(K,y)>Ot且d(x,y)=0<>x=y(2) 對(duì)稱性：d(x>y尸d(y,x)(3) 三角不等式:y)Wd(*Tz)-Fd(y,z)foreretyy,z£En維歐幾里德空間常用距離定義：設(shè)入

3、=僅溝，鼻1，y=yiyi-.ynT»n山區(qū)嚴(yán)Mk,y)=?|xt-yt|n&(K，y)=(yIA；-yt1產(chǎn)ik(K,y)=max|JC.|(6)距離空間(X,d)上的收斂是如何定義的？6、距離空間(x,d)中的點(diǎn)列4收斂到刈是指<1(又2No)90(n68),這時(shí)記作血甘】=八,JT或簡(jiǎn)單地記作/分刈(7)線性空間上定義的范數(shù)必須滿足哪些條件？7、設(shè)|岡|是線性空間E中的任何一個(gè)元素x的范數(shù)，其須滿足以下條件,(1)網(wǎng)>0,且阿=0iffx=0(2)|Ax|=A|x|,A為常數(shù)|x+y|x|+|ylNfbrevCTyx,yGE(8)什么是巴拿赫空間？賦范空間中

4、的基本列一定收斂嗎？8、設(shè)E為線性賦范空間，xj2=1是其中的一個(gè)無(wú)窮列，如果對(duì)于任何E>0,總存在自然數(shù)N,使得當(dāng)m>N時(shí)，均有1Km,則稱序列是E中的基本列口若E的基本列的收斂元仍屬于E,則稱E為完備的線性賦范空間，即為Banwch空間線性賦范空間中的基本列不一定收斂。(9)有限維的線性賦范空間都是巴拿赫空間嗎？9、有限維的線性賦范空間必然完備，所以它必定是Banadi空間.10、如果內(nèi)積空間能在由內(nèi)積誘導(dǎo)的賦范空間完備，則此內(nèi)積空間稱為Hilbert空間;(10) 什么是希爾伯特空間？(11) L2(a,b)空間是如何構(gòu)成的？在怎樣的內(nèi)積定義下其可以成為一個(gè)希爾伯特空間？11

5、. L26.b)為定義在b)上平方可積函數(shù)空間，即設(shè)血3b),Jj/G/lt/r當(dāng)£?b)中內(nèi)積的定義為(1；g)=£7而出(其中你)，g三I?6)時(shí)其為Hilbert空間*(12) 什么是算子？為什么要求算子T的定義域D(T)是一個(gè)子空間?12.算子表示一種作用，一種映射.設(shè)X和Y是給定的兩個(gè)線性喊范空間，集合DuX,若對(duì)D中的每一個(gè)x,均有Y中的一個(gè)確定的變量y與其對(duì)應(yīng)，則說(shuō)這種對(duì)應(yīng)關(guān)系確定了一個(gè)算子T,記為y=T(x>y為X的像，K為y的原像口(13) 算子的范數(shù)是如何定義的？從直觀角度談?wù)剬?duì)算子范數(shù)定義的理解。13、算子的范數(shù)：設(shè)T為有界線性算子，則對(duì)一切x&

6、#163;D(T),使不等式|T刈yWMIMx的正數(shù)M的下確界稱為T的范數(shù)，|T|fup|Tx|/|M|,|刈工0,直觀的理解就是|x|的最大放大率口(14) 線性算子的零空間一定是值域空間中的子空間嗎？14、根據(jù)線性算子零空間的定義；對(duì)線性算子T：E9E必有TOR,則稱集合x£E|Tx=O為T的零空間，它是E的線性子空間.并不一定是值域E的子空間匚(15) 什么是有界算子？舉一個(gè)無(wú)界算子的例子。15、如果存在一正常數(shù)M,使得對(duì)每一個(gè)x£D(T),都有|Tx|yWM|x限，則稱T為有界算子,無(wú)界算子£設(shè)算子八C10,1定義為：(Tx)(t)(t),則T是線性算子，

7、若視C10,1為C0-1的子空間，則是無(wú)界的§(16) 算子的強(qiáng)收斂是如何定義的？16、設(shè)m=L(X，Y),TEL(X,Y),如果對(duì)任何今x£X,均有|Jx.Tx|今昭今8),則幾弱收斂于T,(17) 設(shè)X為一個(gè)線性賦范空間，而Y為一個(gè)Banach空間。那么從X到y(tǒng)的線性算子所構(gòu)成的空間l(x,y)是否構(gòu)成一個(gè)Banach空間？一X.(18) 什么是壓縮映像原理？它在力學(xué)中有什么重要應(yīng)用？*18.壓縮映像原理又叫BANACH不動(dòng)點(diǎn)定理，其具體內(nèi)容如下：設(shè)X為BANACH空間，F(xiàn)為XTX的算子，且D(F)nR(F)士中，如果滿足稱x”為F的不動(dòng)點(diǎn)，設(shè)集合QU5F),如果存在常

8、數(shù)昨，1)使得對(duì)任何X,xGQ,有|F(k)-F(疥|Wq|x-x|，稱F為Q上的壓縮算子，q為壓縮系.壓縮映像原理：設(shè)算子F映BANACH空間X的閉子集Q為其自身且F為壓縮算子，壓縮系為q,則算子F在Q內(nèi)存在唯一的不動(dòng)點(diǎn)x，若取為Q內(nèi)的任意點(diǎn)，作序列口=0,L2貝IJ0)£Q.而且有估計(jì)|凡十*|這冢1-埔巴/河(3|簡(jiǎn)單地說(shuō)即噴范空間的完備子集上壓縮映射存在唯一的不動(dòng)點(diǎn)，且該不動(dòng)點(diǎn)可由該完備子集上的任一點(diǎn)作為初始值用迭代法得到口(19) 什么是泛函？什么是泛函的范數(shù)？19、設(shè)X是實(shí)數(shù)域上的線性賦范空間，D是X的線性子空間，fD9R.如果f滿足;對(duì)任何口,0GR.k,y£

9、D,f(ax-py)=af(x)-pRy),則f是D上的一個(gè)線性泛函，或者說(shuō)由X-R的算子為泛函，泛函f的范數(shù)定義如下：呼|班咖國(guó)|=1戶supflfi&MDC網(wǎng)4OEp|fWKI|x|Wi),并且有IfW壓倒x(20)什么是線性賦泛空間X的共軻空間？線性賦泛空間X的共軻空間是否總是完備的？20、定義在整個(gè)線性賦范空間X上的所有有界線拄泛函的全體構(gòu)成的空間L(X,R)稱為空間X的共輾空間，又叫對(duì)偶空間，其是完備的#(21) 什么是弱收斂？弱收斂與強(qiáng)收斂之間是什么關(guān)系？21、弱收斂；X為線性賦范空間，xjuX,xoEX,如果對(duì)任何一個(gè)均有l(wèi)im/壬fg,)則稱弱收斂于弱收斂不一定強(qiáng)收斂，

10、強(qiáng)收斂一定弱收斂.n>»(22) 什么是的Gateaux微分？22、泛函的GATEAUR微分之設(shè)X為線性賦范空間，右三X,f(x)的與及其領(lǐng)域內(nèi)有定義，如果對(duì)任竟h£X,極限:lim/(/+""一/)存在,則稱fiW在刈處對(duì)方向h存在r>0fGATEAUR導(dǎo)致，記為o又稱為泛函式乂)在兩處對(duì)于方向b的一階變分口(23) 什么是泛函的(一階)變分？它是如何定義的？23、5/(/稱為泛函f(x)在均處對(duì)于方向h的一階變分二令磯)=/值十#工則/(0)=lim幟、二'(?=8/(天8/1)»(24) 形如J(x(t)=fg(t,x

11、(t),x'(t)dt的泛函，其對(duì)應(yīng)的Euler-Lagrange.d,八24、gx-g=0dt*方程是什么？(25) 什么是結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能密度？什么是余能密度？二者關(guān)系如何？試11f25、應(yīng)變能密度；用(£：)二j仃,依出)4ehD系如下圖所示：CT圖說(shuō)明。應(yīng)變余能密度；Wc=J其關(guān)026.有限元方法的分片插值函數(shù):的本.質(zhì)是；有限元=瑞茲法十具有局部耍支集(26) 有限元方法的本質(zhì)是什么？瑞茲+具有局部緊支集的分片插值函數(shù)(27) 什么是最小勢(shì)能原理？最小勢(shì)能原理中的基本未知函數(shù)是什么？對(duì)這些基本未知函數(shù)有什么要求？推導(dǎo)弁證明使得勢(shì)能泛函取最小值的位移函數(shù)對(duì)應(yīng)結(jié)構(gòu)真實(shí)的位移

12、場(chǎng)。27、巾(刈二j嚴(yán)(%)”一工仙郎1尸必杰，金二J,其中疝心)為系統(tǒng)的總勢(shì)能，為應(yīng)變能，后兩項(xiàng)為外力勢(shì)能,£為體積力分量，八為給定Sb邊界卜的疆力最勢(shì)曲原理：在所有湎足立界條4版】，門和必要的迷咦性條件的位移場(chǎng)中，系統(tǒng)的總勢(shì)能最小，即時(shí)所有可能的位移，真實(shí)位移使得系統(tǒng)勢(shì)能乃5)最小。其基本的未知函數(shù)是位移場(chǎng)嶼，其應(yīng)該滿足，(1)單值、連續(xù)，滿足適當(dāng)?shù)目晌⑿?，?yīng)該滿足小位移應(yīng)變關(guān)系，J+%J,必須滿足本質(zhì)邊界條件，邊界位移連續(xù)條件，即:ui=凡onSi(o推導(dǎo)與證明過(guò)程如下：把口取一階變分：6rl=/用(%)M加w旬%耳,"S.dV-f.Su.dV-£RSiis

13、-Ssydv=5癢必，耳%（1/2演6+1/2%皿其中SjJi''=1用產(chǎn)到+1/24/0嗅J/5"二Jj3例）L,(%加/獷=£(q&的必=J句號(hào)M"+(由于在s上以二鞏為己知，則Jcy.n.Su.ds=0所以6n=j5：門;到郎-0/"的SjpQuds由bn=0得=0?？?。on即極值點(diǎn)滿足應(yīng)力平衡條件，則其是真實(shí)的位移，下面證明此極小值是n的最小值,設(shè)正確解是叫其它滿足位移邊界條件的容許位移是則u/f,M即則Eij=£ij+5E中由此得到:n=n+3n3：口其中&n=o,。:n=j嚴(yán)(限)”2o,所以口>

14、;n,則極小值即是最小值口證明完畢口(28) 什么是最小余能原理？最小余能原理中的基本未知函數(shù)是什么？對(duì)這些基本未知函數(shù)有什么要求？推導(dǎo)弁證明使得余能泛函取最小值的位移函數(shù)對(duì)應(yīng)結(jié)構(gòu)真實(shí)的應(yīng)力場(chǎng)。28.系統(tǒng)的總余能叱依必-(1與巧叢，其中第一項(xiàng)為系統(tǒng)的應(yīng)變余能.第二項(xiàng)與給定位移有關(guān);最小余能原理即對(duì)滿足%.+/=0inn和/on反的應(yīng)力場(chǎng)(滿足適當(dāng)?shù)墓饣?)，真實(shí)的位移場(chǎng)使系統(tǒng)的總余能最小.其基本未知函數(shù)是應(yīng)力場(chǎng)cr$,對(duì)其要求為%.+£=0MQ%二A工證明如下工對(duì)口<(7)取一階變分;汨匕(cr)=不'伍'SodV-J%(5仃。%ds,其中IFF呵.啊W=Jj

15、/2(4j+肛咨嚴(yán)="憶雙雙，由高斯定理可知工£.(%設(shè)7“3/二J'&T%去在邊界面S#上.54亍P是已知的,所以5%二5耳=0，則.(/的。j"=1見頊勺叢同理，由于/.+/=0,其中/1是給定的，所以在。內(nèi)，8%=00由以上推導(dǎo)可得:貳K（7）=（；（-w,）3crn：ds由極值條件小工（tr）=0.得珥二以，在工上廿這就說(shuō)明了n/b）取得極值時(shí)的%既滿足外力已知的邊界條件，也滿足位移已知的邊界條件，所以是正確解，是真實(shí)的位移場(chǎng)，下面證明該位移場(chǎng)對(duì)應(yīng)的極小值是最小值；=L的式%+山/獷_14（,+電）勺心設(shè)外力已知邊界條件下的應(yīng)力分量為<

16、;7：.S：=51+&Tnjcr）=口;（。）二口（6+阻（。）+5凡。），其中川n<b）=j町（6%）4*皂。.所以rub）wn；（t7）,所以這個(gè)極小值是最小值,證明完畢，（29）什么是Hellinger-Reissner混合變分原理？推導(dǎo)弁證明使得余能泛函取最小值的位移函數(shù)和應(yīng)力函數(shù)對(duì)應(yīng)結(jié)構(gòu)真實(shí)的位移場(chǎng)和應(yīng)力場(chǎng)。29、HuUingcLReissnur混合變分原理：以位移和應(yīng)力作為獨(dú)立變分的函數(shù)，真實(shí)的位移場(chǎng)和應(yīng)力場(chǎng)使系統(tǒng)的總勢(shì)或總余能最小：證明:構(gòu)造余能泛函：J產(chǎn)珥/.<*+（g（/4+，）#+上爾/%-R）屐變分得;再=6（鳥/一%）應(yīng)/+工（1+工）散步+,（耳+*軻啰+£雜（%一月赭q（/-珥）函內(nèi)心依(T,-的對(duì)稱性，得06cr=1/2(7.+fZ.Jjcr.o則Vy3J”V（%/-%，