【KS5U解析】浙江省溫州市2019-2020學(xué)年高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（A） Word版含解析

1、2020年1月溫州市高一期末教學(xué)質(zhì)量統(tǒng)檢測數(shù)學(xué)試題卷（a）本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，共4頁，滿分150分. 考試時(shí)間120分鐘. 考生注意：1. 考生答題前，務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用黑色字跡的簽字填寫在答題卷上. 2. 選擇題的答案須用2b鉛筆將答題卷上對(duì)應(yīng)題目的答案涂黑，如要改動(dòng)，須將原填涂處用橡皮擦凈.3. 非選擇題的答案須用黑色字跡的簽字筆或鋼筆寫在答題卷上相應(yīng)區(qū)域內(nèi)，答案寫在本試題卷上無效.選擇題部分一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分. 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的. 1.已知集合，集合滿足，則可以是（ ）a. b. c. d. 【答案】

2、b【解析】【分析】由集合,則.求得,即可判斷選項(xiàng).【詳解】因?yàn)榧?集合滿足則因?yàn)樗越Y(jié)合選項(xiàng)可知,b選項(xiàng)符合要求故選:b【點(diǎn)睛】本題考查了集合與集合關(guān)系的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.2.已知sin ，則cos ()的值為()a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】由誘導(dǎo)公式化簡已知式子可求cosa，再運(yùn)用誘導(dǎo)公式對(duì)所求化簡求值【詳解】因?yàn)閟incos ，所以cos()cos 故選d【點(diǎn)睛】本題主要考查了運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡求值，屬于基礎(chǔ)題3.已知角的始邊在軸的非負(fù)半軸上，頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，且終邊過點(diǎn)，則值為（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】根據(jù)角的終邊經(jīng)過的點(diǎn),結(jié)合三角函數(shù)的

3、定義,即可求得的值.【詳解】由三角函數(shù)定義可知, 終邊過點(diǎn)則故選:c【點(diǎn)睛】本題考查了終邊上的點(diǎn)及三角函數(shù)的定義,屬于基礎(chǔ)題.4.若向量，且，則值為（ ）a. b. 0c. 1d. 0或1【答案】d【解析】【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算,結(jié)合垂直時(shí)向量的坐標(biāo)關(guān)系,即可求得的值.【詳解】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算,可知因?yàn)?由向量垂直的坐標(biāo)關(guān)系可得,即解方程可得或故選:d【點(diǎn)睛】本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算,垂直時(shí)的坐標(biāo)運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.5.設(shè)實(shí)數(shù)滿足，則（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】根據(jù)不等式,舉出符合要求值,代入檢驗(yàn)即可判斷是否成立.或根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì),判斷是否成

4、立.【詳解】實(shí)數(shù)滿足對(duì)于a,當(dāng)時(shí),此時(shí),所以a錯(cuò)誤;對(duì)于b,當(dāng)時(shí), ,此時(shí),所以b錯(cuò)誤;對(duì)于c,當(dāng)時(shí), ,由冪函數(shù)的圖像與性質(zhì)可知,此時(shí),即所以c正確;對(duì)于d,當(dāng)時(shí), ,由指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)可知, ,即,所以d錯(cuò)誤.綜上可知,c為正確選項(xiàng)故選:c【點(diǎn)睛】本題考查了不等式大小比較,特殊值法的應(yīng)用,指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.6.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的解析式可能是（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)圖像可判斷出函數(shù)為奇函數(shù),排除bc.由特殊值,代入可排除a,即可得解.【詳解】由函數(shù)圖像可知,函數(shù)為奇函數(shù),對(duì)于b,為偶函數(shù),所以b錯(cuò)誤.對(duì)于

5、c,為偶函數(shù),所以c錯(cuò)誤.當(dāng)時(shí)對(duì)于a,則,所以a錯(cuò)誤.綜上可知,d為正確選項(xiàng)故選:d【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)圖像選擇解析式,依據(jù)奇偶性及特殊值法,即可判斷,屬于基礎(chǔ)題.7.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度后得到的圖象，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）a. 是的一個(gè)周期b. 的圖象關(guān)于直線對(duì)稱c. 是奇函數(shù)d. 在上單調(diào)遞減【答案】d【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象平移變換,求得的解析式.結(jié)合余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì),即可判斷各選項(xiàng).【詳解】將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度后得到則對(duì)于a,的最小正周期為,則是的一個(gè)周期,所以a正確;對(duì)于b,當(dāng)時(shí),代入可得,即的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,所以b正確.對(duì)于c,因?yàn)?則,由

6、正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知為奇函數(shù),所以c正確;對(duì)于d, 的單調(diào)遞減區(qū)間滿足解得,當(dāng)取正數(shù)時(shí),在上不能遞減綜上可知,d為錯(cuò)誤選項(xiàng)故選:d【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)圖象平移變換,余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)綜合應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.8.已知函數(shù)，若對(duì)任意的，都有成立，則實(shí)數(shù)的值為（ ）a. b. c. d. 1【答案】a【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)解析式,判斷函數(shù)為偶函數(shù).根據(jù)偶函數(shù)的圖像與性質(zhì),結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)解二次不等式,即可求得的值.【詳解】函數(shù)所以當(dāng)時(shí),則所以同理當(dāng)時(shí), 則,則即綜上可知,函數(shù)為偶函數(shù).當(dāng)時(shí),此時(shí)單調(diào)遞增所以由偶函數(shù)對(duì)稱性可知當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減若對(duì)任意的,都有成立,則需兩邊同時(shí)平方,移項(xiàng)化簡可

7、得由二次函數(shù)性質(zhì),可得 化簡可得由平方數(shù)性質(zhì)可知所以只能是解得故選:a【點(diǎn)睛】本題考查了分段函數(shù)奇偶性的判斷方法,根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)解不等式,二次函數(shù)恒成立問題的綜合應(yīng)用,屬于中檔題.9.已知函數(shù)，是任意給定的兩個(gè)不等的實(shí)數(shù). 則下列函數(shù)中一定有兩個(gè)零點(diǎn)的是（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)解析式中,是任意給定的兩個(gè)不等的實(shí)數(shù),利用特殊值代入檢驗(yàn)即可判斷錯(cuò)誤選項(xiàng),排除即可得解.【詳解】函數(shù),是任意給定的兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)對(duì)于a,當(dāng)時(shí),.若則此時(shí)函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn),所以a錯(cuò)誤;對(duì)于b, 當(dāng)時(shí),.若則此時(shí)函數(shù)沒有零點(diǎn),所以b錯(cuò)誤;對(duì)于d,當(dāng)時(shí),.若且 則此時(shí)函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn),所

8、以d錯(cuò)誤;由以上可知,排除abd選項(xiàng),則c為正確選項(xiàng)故選:c【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)及簡單應(yīng)用,特殊值法的應(yīng)用,屬于中檔題.10.已知平面向量，滿足且，若對(duì)每一個(gè)確定的向量，記的最小值為，則當(dāng)變化時(shí)，的最大值為（ ）a. b. c. d. 1【答案】b【解析】【分析】根據(jù)題意,建立平面直角坐標(biāo)系.令.為中點(diǎn).由即可求得點(diǎn)的軌跡方程.將變形,結(jié)合及平面向量基本定理可知三點(diǎn)共線.由圓切線的性質(zhì)可知的最小值即為到直線的距離最小值,且當(dāng)與圓相切時(shí),有最大值.利用圓的切線性質(zhì)及點(diǎn)到直線距離公式即可求得直線方程,進(jìn)而求得原點(diǎn)到直線的距離,即為的最大值.【詳解】根據(jù)題意,設(shè),則由代入可得即點(diǎn)的軌跡方

9、程為又因?yàn)?變形可得,即,且所以由平面向量基本定理可知三點(diǎn)共線,如下圖所示:所以的最小值即為到直線的距離最小值根據(jù)圓的切線性質(zhì)可知,當(dāng)與圓相切時(shí),有最大值設(shè)切線的方程為,化簡可得由切線性質(zhì)及點(diǎn)到直線距離公式可得,化簡可得 即 所以切線方程為或所以當(dāng)變化時(shí), 到直線的最大值為 即的最大值為故選:b【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的坐標(biāo)應(yīng)用,平面向量基本定理的應(yīng)用, 圓的軌跡方程問題,圓的切線性質(zhì)及點(diǎn)到直線距離公式的應(yīng)用,綜合性強(qiáng),屬于難題.非選擇題部分二、填空題：本大題共7小題，多空題每題6分，單空題每題4分，共36分. 11.如果一扇形的圓心角為，半徑等于，則該扇形的弧長為_，面積為_.【答案】 (

10、1). (2). 【解析】【分析】將圓心角化為弧度,由圓心角與弧長和扇形面積的關(guān)系即可得解.【詳解】圓心角為,即等于 由弧長公式可得 由扇形面積公式可得故答案為: ; 【點(diǎn)睛】本題考查了角度與弧度的轉(zhuǎn)化,圓心角與弧長、扇形面積的關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.12.已知，則_，_ （用表示）.【答案】 (1). 15 (2). 【解析】【分析】由指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的轉(zhuǎn)化,結(jié)合指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)和對(duì)數(shù)換底公式,化簡即可得解.【詳解】根據(jù)對(duì)數(shù)與指數(shù)的互換, 可化為由指數(shù)的運(yùn)算,可知?jiǎng)t,所以所以因?yàn)?則由換底公式可知故答案為: ;【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的轉(zhuǎn)化,指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)和對(duì)數(shù)換底公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.

11、13.已知，且，則_，_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式,化簡三角函數(shù)式即可求得的值.根據(jù)正弦和角公式,結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系式和角的范圍,求得,進(jìn)而求得的值.【詳解】由誘導(dǎo)公式,所以即所以由,利用正弦和角公式展開可得即,兩邊同時(shí)平可得則與異號(hào),且由,所以,且由,可知由同角三角函數(shù)關(guān)系式代入可得化簡可得,即解得（舍）所以所以故答案為: ;【點(diǎn)睛】本題考查了誘導(dǎo)公式化簡三角函數(shù)式求值,正弦和角公式及同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用,注意化簡過程中角的范圍和三角函數(shù)的符號(hào),屬于中檔題.14.已知定義在上的奇函數(shù)滿足對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有成立，則_，_.【答案】 (1). (2). 27

12、【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì),結(jié)合賦值法,即可代入求解.【詳解】因?yàn)槎x在上的奇函數(shù),所以滿足令代入可得因?yàn)樗源肟傻脛t所以由奇函數(shù)性質(zhì)可知令,代入可得令代入可得令,代入可得即故答案為: ;【點(diǎn)睛】本題考查了奇函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用,賦值法在求三角函數(shù)值中的應(yīng)用,屬于中檔題.15.某城市的電視發(fā)射搭建在市郊的一座小山上. 如圖所示，小山高為30米，在地平面上有一點(diǎn)，測得兩點(diǎn)間距離為50米，從點(diǎn)觀測電視發(fā)射塔的視角（）為，則這座電視發(fā)射塔的高度為_米. 【答案】250【解析】【分析】根據(jù)題意,抽象出幾何關(guān)系.根據(jù)三角函數(shù)定義及誘導(dǎo)公式,可求得.結(jié)合正弦定理,即可求得電視發(fā)射塔的高度.【詳解】根據(jù)題意

13、,畫出幾何圖形如下圖所示:由題意可知, 設(shè) 則.由誘導(dǎo)公式可知,所以則在中,由正弦定理可得 代入可得,解得即電視發(fā)射塔的高度為米故答案為: 【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用,由題意轉(zhuǎn)化為幾何關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵,屬于中檔題.16.已知平面向，滿足，且，與夾角余弦值的最小值等于_.【答案】【解析】【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積運(yùn)算律化簡,結(jié)合題中所給模長用表示出,即可用表示出與夾角的余弦值;利用換元法令,由平面向量數(shù)量積定義及三角函數(shù)的值域,求得的范圍.代入中求得m的取值范圍.再根據(jù)平面向量數(shù)量積定義,用m表示出與夾角余弦值,即可由m的取值范圍結(jié)合表達(dá)式的性質(zhì)得解.【詳解】平面向,滿

14、足,則因?yàn)檎归_化簡可得,因?yàn)?代入化簡可得設(shè)與的夾角為則由上式可得而代入上式化簡可得令,設(shè)與的夾角為,則由平面向量數(shù)量積定義可得,而所以由余弦函數(shù)的值域可得,即將不等式化簡可得,解不等式可得 綜上可得,即而由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算可知,設(shè)與夾角為,則 當(dāng)分母越大時(shí),值越小;當(dāng)?shù)闹翟叫r(shí),分母的值越大所以當(dāng)時(shí), 的值最小代入可得所以與夾角余弦值的最小值等于故答案為: 【點(diǎn)睛】本題考查平面向量數(shù)量積的綜合應(yīng)用,根據(jù)向量的模求得向量夾角的表示形式,三角函數(shù)值域的有界性,由函數(shù)解析式及性質(zhì)求最值,綜合性強(qiáng),屬于難題.17.已知函數(shù)，其所有的零點(diǎn)依次記為，則_.【答案】16【解析】【分析】由零點(diǎn)定義,可得

15、關(guān)于的方程.去絕對(duì)值分類討論化簡.將對(duì)數(shù)式化為指數(shù)式,再去絕對(duì)值可得四個(gè)方程.結(jié)合韋達(dá)定理,求得各自方程兩根的乘積,即可得所有根的積.【詳解】函數(shù)的零點(diǎn)即所以去絕對(duì)值可得或即或去絕對(duì)值可得或,或當(dāng),兩邊同時(shí)乘以,化簡可得,設(shè)方程的根為.由韋達(dá)定理可得 當(dāng),兩邊同時(shí)乘以,化簡可得,設(shè)方程的根為.由韋達(dá)定理可得 當(dāng),兩邊同時(shí)乘以,化簡可得,設(shè)方程的根為.由韋達(dá)定理可得 當(dāng),兩邊同時(shí)乘以,化簡可得,設(shè)方程的根為.由韋達(dá)定理可得 綜上可得所有零點(diǎn)的乘積為故答案為: 【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)零點(diǎn)的定義,含絕對(duì)值方程的解法,分類討論思想的應(yīng)用,由韋達(dá)定理研究方程根的關(guān)系,屬于難題.三、解答題：本大題共5小題

16、，共74分. 解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟. 18.已知函數(shù)的部分圖像如圖所示. （1）求函數(shù)的解析式，并求的對(duì)稱中心；（2）當(dāng)時(shí)，求的值域.【答案】（1），對(duì)稱中心為：（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖像求得,由最高點(diǎn)和零點(diǎn)的距離求得周期,將最高點(diǎn)代入,結(jié)合的取值范圍即可求得,則得函數(shù)解析式.由正弦函數(shù)的性質(zhì),即可求得其對(duì)稱中心.（2）根據(jù)自變量的范圍,結(jié)合正弦函數(shù)的圖像與性質(zhì),即可求得的值域.【詳解】（1）由函數(shù)圖像可知,則由圖像可知,函數(shù)的經(jīng)過點(diǎn),令,得所以函數(shù)的圖像的對(duì)稱中心為（2）由（1）可知,由正弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)可知當(dāng),即時(shí),的最大值為2當(dāng),即時(shí),的最小值為的值域?yàn)?/p>

17、【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)部分圖像求三角函數(shù)的解析式,正弦函數(shù)圖像與性質(zhì)的綜合應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.19.已知，集合. （1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì),解得集合a;代入,解指數(shù)不等式,求得集合b,即可由集合并集的運(yùn)算求得.（2）根據(jù)集合關(guān)系式,可知,即集合b為集合a的子集.討論集合b為空集和非空集兩種情況,即可求得的取值范圍.【詳解】（1）,當(dāng)時(shí),由并集運(yùn)算可得. 即（2）,所以,當(dāng)時(shí),此時(shí),成立時(shí),此時(shí)解得. 綜上可得.【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)不等式與對(duì)數(shù)不等式的解法,集合并集運(yùn)算,由集合的包含關(guān)系求參數(shù)的取值范圍,屬于基礎(chǔ)題.

18、20.已知向量，設(shè)函數(shù). （1）解不等式；（2）是否存在實(shí)數(shù)，使函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，若存在，求出的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）（2）存在，【解析】【分析】（1）由平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及模的求法,結(jié)合輔助角公式化簡三角函數(shù)式.代入不等式中,結(jié)合正弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)即可求解.（2）根據(jù)正弦函數(shù)的圖像與性質(zhì),可求得其單調(diào)遞增區(qū)間. 數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增,即可確定的取值范圍.【詳解】（1）根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及模的求法,結(jié)合輔助角公式化簡可得由題得由正弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)可得不等式的解集是. （2）存在.由,解得的遞增區(qū)間是,由題知只有當(dāng)時(shí),在遞增,且滿足條件所以當(dāng)時(shí),在遞增,.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算,利用輔助角公式對(duì)三角函數(shù)式化簡,正弦函數(shù)圖像與性質(zhì)的綜合應(yīng)用,屬于中檔題.21.中，為的中點(diǎn)，為外心，點(diǎn)滿足. （1）證明：；（2）若，設(shè)與相交于點(diǎn)，關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且，求的取值范圍.【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)平面向量的加法與減法運(yùn)算,化簡即可求解.（2）根據(jù)題意,可得.而為的中點(diǎn),與重合,為的重心,建立平面直角坐標(biāo)系, 設(shè),寫出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),表示出與,即可根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義用三角函數(shù)式表示出來.利用輔助角公式,即