中學(xué)數(shù)學(xué)實驗教學(xué)模式的認(rèn)識實踐與思考_(3)

1、.word格式.中學(xué)數(shù)學(xué)實驗教學(xué)模式的認(rèn)識、實踐與思考江蘇省贛榆縣羅陽中學(xué)邵長亮【摘 要】 本文首先依據(jù)有關(guān)文獻(xiàn)界定了數(shù)學(xué)實驗的概念和數(shù)學(xué)實驗教學(xué)的內(nèi)涵，結(jié)合具體實例指出了中學(xué)數(shù)學(xué)實 驗教學(xué)的六個環(huán)節(jié)：情境創(chuàng)設(shè)、確定主題和研究步驟、探索性試驗、發(fā)現(xiàn)規(guī)律并提出猜想、猜想的論證與數(shù)學(xué)化、分享與 交流，分析了各個環(huán)節(jié)在整個實驗教學(xué)中的作用、主要目的和基本特征。在此基礎(chǔ)上，以勾股定理的探索為例系統(tǒng)地實踐 了中學(xué)數(shù)學(xué)實驗教學(xué)，最后提出了在中學(xué)開展數(shù)學(xué)實驗教學(xué)存在的困惑和思考?！娟P(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)實驗數(shù)學(xué)實驗教學(xué)1引言長期以來的傳統(tǒng)數(shù)學(xué)觀念認(rèn)為：數(shù)學(xué)是一種具有嚴(yán)謹(jǐn)系統(tǒng)的演繹科學(xué)，數(shù)學(xué)活動是高度抽象的思維活動，即

2、使需要實驗，也只不過是紙上談兵式的所謂的“思想實驗”（歐拉稱之為“準(zhǔn)實驗”）。但著名的數(shù)學(xué)教育學(xué)家 G 波利亞指出：創(chuàng)造過程中的數(shù)學(xué)，看起來卻像是一門試驗性的歸納科學(xué)。” 1 1977年阿沛爾和黑肯成功地利用計算機(jī)解決了 “四色問題” ，對數(shù)學(xué)領(lǐng)域產(chǎn)生了巨大影響；20世紀(jì)70年代末，我國著名數(shù)學(xué)家吳文俊先生從中國傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)機(jī)械化思想出發(fā)，創(chuàng)立了幾何定理機(jī)器證明的“吳方法”，實現(xiàn)了利用計算機(jī)進(jìn)行推理證明的突破。2正是由于這一成果的出現(xiàn)，使得數(shù)學(xué)實驗從大學(xué)和科研機(jī)構(gòu)的“深閨”走了出來，走進(jìn)了中學(xué)數(shù)學(xué)的課堂，并逐漸引起重視。2數(shù)學(xué)實驗概念的界定和數(shù)學(xué)實驗教學(xué)模式的內(nèi)涵2.1 數(shù)學(xué)實驗概念的界定根據(jù)物

3、理實驗、化學(xué)實驗等科學(xué)實驗的定義，并結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)科的特點，我們采用曹一鳴先生對數(shù)學(xué)實驗的概念界定：為獲得某種數(shù)學(xué)理論，檢驗?zāi)撤N數(shù)學(xué)思想，解決某類數(shù)學(xué)問題，實驗者運用一定的物質(zhì)手段，在數(shù)學(xué)思維活動的積極參與下，在特定的實驗環(huán)境中所進(jìn)行的探索、研究活動。3過去在數(shù)學(xué)教學(xué)中所運用的測量、手工制作、實物或教具演示等形式屬于數(shù)學(xué)實驗的初級形式，其主要目的在于幫助學(xué)生理解和把握數(shù)學(xué)概念、定理，如利用直尺和三角尺畫平行線探索直線平行的條件（如下圖）。而現(xiàn)代數(shù)學(xué)實驗則以計算機(jī)軟件為應(yīng)用平臺，充分運用現(xiàn)代信息技術(shù)，模擬實驗環(huán)境，引導(dǎo)學(xué)生通過操作、實踐、試 驗來探索數(shù)學(xué)問題的解決，以培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的能力及創(chuàng)新精神

4、為主要目的。2.2 數(shù)學(xué)實驗教學(xué)模式的內(nèi)涵數(shù)學(xué)實驗教學(xué)模式，通常由教師或?qū)W生自己提出明確的教學(xué)情境，教師根據(jù)數(shù)學(xué)思想的發(fā)展脈絡(luò)，依靠一定的實驗工具讓學(xué)生進(jìn)行發(fā)現(xiàn)、探究，進(jìn)而獲得相關(guān)的過程體驗、情感體驗，開發(fā)學(xué)生的潛能。數(shù)學(xué)實驗教學(xué)模式強(qiáng)調(diào)學(xué)生的實踐與活動，有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，也符合數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，能夠從根本上解決知識經(jīng)濟(jì)時代對人才的需求與數(shù)學(xué)教育中忽視創(chuàng)造性能力培養(yǎng)之間的矛盾，與當(dāng)前社會對數(shù)學(xué)教育的要求相一致。3數(shù)學(xué)實驗教學(xué)模式的主要環(huán)節(jié)及各環(huán)節(jié)的主要目的和基本特征數(shù)學(xué)實驗教學(xué)模式主要包括以下六個環(huán)節(jié)：情境創(chuàng)設(shè)、確定主題和研究步驟、探索性試驗、發(fā)現(xiàn)規(guī)律并提出猜想、猜 想的論證與數(shù)學(xué)

5、化、交流與分享。筆者結(jié)合一則高中解析幾何教學(xué)案例軌跡對上述六個環(huán)節(jié)加以分析說明，案例使用 的軟件平臺是幾何畫板。3.1 情境創(chuàng)設(shè)從實際問題或數(shù)學(xué)問題出發(fā)進(jìn)行情境創(chuàng)設(shè)是實驗教學(xué)的前提和條件,主要目的是為學(xué)生創(chuàng)設(shè)思維場景,激發(fā)學(xué)習(xí)興趣。這一環(huán)節(jié)以使學(xué)生已有數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)與新學(xué)習(xí)內(nèi)容發(fā)生沖突、產(chǎn)生心理上的學(xué)習(xí)需要為基本特征。4軌跡案例采用了利用數(shù)學(xué)問題創(chuàng)設(shè)情境的方法，教師一開始就提出了問題（1）:過定點與定圓相切的動圓的圓心軌跡是什么？3.2 確定主題和研究步驟這一階段是情境創(chuàng)設(shè)階段的延伸和擴(kuò)展， 目的在于明確研究的方向并制定相應(yīng)的實施步驟，以使學(xué)生明晰研究目的要求為基本特征。學(xué)生經(jīng)過簡單討論后認(rèn)為：

6、 定點位置可能位于圓內(nèi)、圓上，也可能位于圓外；相切可以是內(nèi)切，也可以是外切，從而確定應(yīng)對定點位置、相切類型進(jìn)行分類組合討論。（由于軟件平臺無法對圖像進(jìn)行分割處理，故將3.3、3.4、3.5三部分的案例集中于 3.5后）3.3 探索性試驗探索性試驗是數(shù)學(xué)實驗教學(xué)模式的主題和核心，以使學(xué)生主動參與相應(yīng)實驗，獲得與所研究問題相關(guān)的數(shù)據(jù)并清晰描述為主要目的和基本特征。3.4 發(fā)現(xiàn)規(guī)律并提出猜想這一環(huán)節(jié)是數(shù)學(xué)實驗教學(xué)的高潮，是實驗?zāi)芊癯晒Φ年P(guān)鍵所在，主要目的是使學(xué)生通過數(shù)學(xué)實驗的操作、觀察、分析,獲得新的信息。它以充分體現(xiàn)學(xué)生的合情推理能力為基本特征。53.5 猜想的論證與數(shù)學(xué)化猜想的論證與數(shù)學(xué)化是得到

7、正確結(jié)論、完成數(shù)學(xué)實驗的關(guān)鍵步驟，目的在于讓學(xué)生在教師必要的指導(dǎo)下嚴(yán)格論證猜想征。（案例部分）或舉反例否定猜想，從而得到可信的數(shù)學(xué)結(jié)論。這一階段以學(xué)生能夠表現(xiàn)求是的學(xué)習(xí)態(tài)度和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评砟芰橹饕貙W(xué)生自己操作點 B在圓A內(nèi)部、外部、圓上，進(jìn)行實驗、觀察。（圖 1）專業(yè).專注觀察結(jié)論1:從數(shù)據(jù)和紅色的軌跡看出，點在圓內(nèi)部時是橢圓。（圖 2）（圖初（圖力八觀察結(jié)論2:從數(shù)據(jù)和演示的軌跡看，當(dāng)動圓 P過點B與圓A內(nèi)切時，是雙曲線的右支，當(dāng)動圓 P過點B與圓A外切 時，是雙曲線的左支。這是很美妙和對稱結(jié)論。（圖3,圖4）結(jié)論3:當(dāng)點在圓上時，動圓圓心軌跡是兩條射線。（圖略）教師接著提出問題（2）:

8、同時與兩定圓相切的動圓圓心軌跡是什么？此問題的實驗多樣性比問題（1）更加復(fù)雜，即兩定圓的位置以及相切的類型更多。由于學(xué)生對問題（1）得實驗探討取得初步成功，這個問題極大刺激學(xué)生探討結(jié)論的好奇心，以及觀察數(shù)學(xué)實驗的注意力。學(xué)生進(jìn)入另一個數(shù)學(xué)實驗：修6）J（圖7）結(jié)論4:兩圓外離時，動圓同時外切或同時內(nèi)切的圓心軌跡是條雙曲線；（圖 8,圖9） 一個內(nèi)切，另一個外切時,動圓圓心軌跡也是一條雙曲線，但是兩條雙曲線不同（圖 6,圖7）學(xué)生繼續(xù)進(jìn)行實驗，觀察由外離（圖9）外切 相交 內(nèi)含 同心圓軌跡的變化情況（圖10）教師不作任何解釋，學(xué)生自行操作課件做實驗:問題3:同時與一定圓和一定直線相切的動圓圓心軌

9、跡是什么?（圖 14）京2002年國際數(shù)學(xué)家大 圖)：會要選定這個圖形作為 中的三個正方形為什么條邊為自身的邊呢？研究主題是直角三角形 的思想采取“害 或"補(bǔ)”三邊所構(gòu)成的三個正方形的面積關(guān)系，進(jìn)而探索直角三角形三邊的關(guān)系，當(dāng)以“面積出入想補(bǔ)”6（圖 13）在學(xué)生實驗觀察的基礎(chǔ)上，教師要求：對于第一個實驗，從橢圓與雙曲線以及射線的定義，將軌跡形成的原理寫出來；對于第二個實驗，根據(jù)定義說明為什么是雙曲線；對于第三個實驗，寫出看到的一種情形的軌跡的形成原因。3.6交流與分享交流與分享是數(shù)學(xué)實驗過程中不可缺少的環(huán)節(jié)，主要目的是讓學(xué)生進(jìn)行包括師生交流、同學(xué)交流、人機(jī)交流等多種形式的思想、方法

10、、過程交流和成果展示，以學(xué)生的思維得到碰撞、認(rèn)知和情感得到提升為主要特征。實驗結(jié)束后，教師要 求學(xué)生將實驗結(jié)果的理論推理過程形成實驗報告，以文本方式或以電子郵件等方式上交。需要強(qiáng)調(diào)的是：上述六個環(huán)節(jié)并不是各自獨立的，它們是一個有機(jī)整體的不同組成部分，分別有著不同的功能和重要性，是斷不能將它們截然分開的。4數(shù)學(xué)實驗教學(xué)模式的實踐探索筆者以楊裕前、董林偉主編的義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)教材八年級數(shù)學(xué)(江蘇科學(xué)技術(shù)出版社出版)第二章第一節(jié)勾股定理為例，選用有張景中院士主持開發(fā)的Z+Z智能教育平臺為軟件平臺，對中學(xué)數(shù)學(xué)實驗教學(xué)模式進(jìn)行了實踐。本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)為：1.經(jīng)歷用數(shù)格子的辦法探索發(fā)現(xiàn)勾股定理的過程，進(jìn)一

11、步發(fā)展學(xué)生的合情推理意識和主動探究的習(xí)慣，進(jìn)一步體會數(shù)學(xué)與現(xiàn)實生活的緊密聯(lián)系.2.探索并理解直角三角形的三邊之間的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的說理和簡單推理的意識及能力教學(xué)重點和難點是勾股定理的實驗發(fā)現(xiàn)。(1)情境創(chuàng)設(shè)多媒體展示北京 ICM2002 (北會)相關(guān)資料和希臘畢達(dá)哥拉斯誕辰紀(jì)念郵票(如右引導(dǎo)學(xué)生思考：為什么我國主辦的國際數(shù)學(xué)家大 會徽呢？這個圖形是不是有什么特別之處呢？郵票 以黑白方塊表現(xiàn)呢？它又為什么以直角三角形的三(2)確定研究主題和步驟由創(chuàng)設(shè)的情境確定 的方法，利用Z+Z智能教育平臺的網(wǎng)格整點功能和數(shù)據(jù)統(tǒng)計功能進(jìn)行研究。(3)探索性試驗 筆者給出了如下圖所示的基本框架，其中直角

12、三角形的三個頂點可以在網(wǎng)格整點上變動，但始終保持為直角三角形。學(xué)生在基本框架的基礎(chǔ)上采用“害、"補(bǔ)”不同的方法進(jìn)行試驗，軟件的數(shù)據(jù)統(tǒng)計功自動將三個正方形的面積記錄到統(tǒng)計表格中。''I川再落疆舊墻湍品器圜需需黑器圜網(wǎng)等回隊二 .g;B-Hr器g:arMB-hsra:s:o-£BSSGa'd.理;田富府口 Mrl："» D mW J目工4%口八卜，*»， 正一什，匕*雨天探索勾股定理I I I I L 口 I Q。心11班Mb機(jī)商 W，m，jhiRT«J" few. 'XfiKU at1常jm/.

13、AMH Mfr E ml 4*AM4 西時潮量二厘其4立.do.IX |.MM. 1 -fiij.ESI上工怦 回I*Ft » JI 1t ME 宜i.l,u 彩m arin-i. M u甚E*值“1口 .<Gh七.-iKF筆者作為一個合作者、咨詢者，積極參與到學(xué)生的實驗中去，學(xué)生在“害與“補(bǔ)”兩種方法上都取得了突破(由于軟件將網(wǎng)格整點作為背景顯示，無法作為圖片拷貝，故上圖所采用的是屏幕截圖，以下的圖形中，將直接使用軟件前 景的拷貝圖片，而省略了其中其余部分，包括網(wǎng)格整點)(4)發(fā)現(xiàn)規(guī)律并提出猜想通過實驗觀察和數(shù)據(jù)統(tǒng)計，學(xué)生很快發(fā)現(xiàn)三個正方形面積之間的關(guān)系，聯(lián)想到正方形的面積計

14、算公式，猜想：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。(5)猜想的論證和數(shù)學(xué)化鼓勵學(xué)生使用多種方法嚴(yán)格地證明勾股定理，同時強(qiáng)調(diào)嚴(yán)格論證對于數(shù)學(xué)命題成立的重要性。(6)交流與分享利用校園網(wǎng)的BBS平臺交流自己的思想方法、探索過程、實驗成果和心得體會，并上交實驗報告或小論文。筆者作為交流對象之一為學(xué)生提供合作和咨詢，引導(dǎo)學(xué)生充分發(fā)揮創(chuàng)造力，繼續(xù)深入挖掘勾股定理的內(nèi)涵。經(jīng)過本次實驗，學(xué)生對勾股定理的理解掌握超出了其他未進(jìn)行實驗的學(xué)生，同時學(xué)生也加深了對“面積出入相補(bǔ)”這 一思想方法的理解， 這使得他們在隨后進(jìn)行的單元過關(guān)測試中取得了優(yōu)異成績。但是，這次實驗也對學(xué)生產(chǎn)生了一些負(fù)向遷移，這一點將在 5

15、.5中詳細(xì)說明。5在中學(xué)開展數(shù)學(xué)實驗教學(xué)的困惑與思考5.1 如何處理數(shù)學(xué)實驗用時較多與中學(xué)數(shù)學(xué)課時偏少之間的矛盾？中學(xué)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容多、學(xué)時相對較少，為完成教學(xué)計劃以及應(yīng)付備受社會關(guān)注的中考、高考，時間就顯得異常寶貴。數(shù)學(xué)實驗不僅在于對知識本身的探求， 還在于知識的應(yīng)用，因此歷時較長。一方面數(shù)學(xué)實驗需要教師事先開發(fā)出適合學(xué)生 進(jìn)行實驗操作的半成品課件，另一方面也需要對學(xué)生進(jìn)行一些方法和操作上的指導(dǎo)，這就與現(xiàn)在的中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)產(chǎn)生了十分明顯的矛盾，這個矛盾在應(yīng)如何解決呢？5.2 哪些內(nèi)容適宜開展數(shù)學(xué)實驗教學(xué)？中學(xué)的數(shù)學(xué)知識是歷史上經(jīng)歷了數(shù)百年乃至上千年探索結(jié)果的匯編，顯然不可能逐一讓學(xué)生去體驗、探索

16、、發(fā)現(xiàn)。那 么，應(yīng)當(dāng)依據(jù)什么標(biāo)準(zhǔn)篩選開展實驗教學(xué)的內(nèi)容呢？有調(diào)查顯示代數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、平面幾何、立體幾何、解析幾何是 進(jìn)行數(shù)學(xué)實驗最多的內(nèi)容，它們占中學(xué)數(shù)學(xué)實驗的 67.57%,同時70%右進(jìn)行數(shù)學(xué)實驗的教師將數(shù)學(xué)實驗用來“激發(fā)興趣”和“客體感知”，而對“概念形成”、“結(jié)論推理”和“復(fù)習(xí)鞏固”進(jìn)行實驗的則微乎其微。但事實上，中學(xué)生對數(shù)學(xué)知識 的理解很大的障礙在恰恰在于上述三個方面。因此，我們應(yīng)當(dāng)依據(jù)什么標(biāo)準(zhǔn)選擇進(jìn)行數(shù)學(xué)實驗的內(nèi)容仍是我們面臨的難題。5.3 選擇軟件平臺依據(jù)什么標(biāo)準(zhǔn)?現(xiàn)今適宜用作中學(xué)數(shù)學(xué)實驗教學(xué)軟件平臺的專門軟件很多，主要的有以下幾種：國內(nèi)中學(xué)教師較早接觸和使用的是幾何畫板，它

17、幾乎涵蓋了整個中學(xué)數(shù)學(xué)課程的全部內(nèi)容，操作也較為簡單，本文的軌跡案例就是由這個軟件進(jìn)行實驗的；由中國科學(xué)院張景中院士主持開發(fā)的Z+Z智能教育平臺融合了幾何畫板的優(yōu)勢，所不同的是它“是為中國基礎(chǔ)教育改革量身定做的"（張景中語），其中“超級”的含義是軟件所提供的各種功能可以像在超級市場購物一樣進(jìn)行隨意的組合，加之其所具有的自動化推理功能使得它的應(yīng)用前景非常廣闊，如上述勾股定理案例就是利用這個軟件 進(jìn)行試驗的；由美國 Wolfram研究所開發(fā)的Mathematica »雖然初衷是為大學(xué)和科研機(jī)構(gòu)服務(wù)，但它良好的表現(xiàn)使得 它的在中學(xué)數(shù)學(xué)實驗中的應(yīng)用前景也比較樂觀。筆者對比三個軟件后

18、認(rèn)為：在平面幾何、解析幾何、立體幾何等方面，Z+Z智能教育平臺和幾何畫板以其應(yīng)用方便、表現(xiàn)形式多樣而具有明顯優(yōu)勢；而Mathematica »在處理函數(shù)等代數(shù)問題方面則技高一籌，如：利用下面的命令組就可以方便地生成如圖所示的正弦函數(shù)的圖像，而這比用Z+Z智能教育平臺或幾何畫板生成同樣圖像的操作簡單得多。a=PlotSinx,x,0,2Pi,AspectRatio->Automatic,AxesLabel->"x","y", Ticks->Pi/2,Pi,(3Pi)/2,2Pi,-1,1,PlotPoints->500,

19、DisplayFunction->Identity;b1=GraphicsDashing0.02,LinePi/2,0,Pi/2,1;b2=GraphicsDashing0.02,Line0,1,Pi/2,1;c1=GraphicsDashing0.02,Line3Pi/2,0, 3Pi/2,-1;c2=GraphicsDashing0.02,Line0,-1,3Pi/2,-1;d=GraphicsText"0",-0.2,-0.2;e1=GraphicsRGBColor1,1,1,Disk0,0,0.05;f1=GraphicsCircle0,0,0.06;e2=G

20、raphicsRGBColor1,1,1,Disk2Pi,0,0.05;f2=GraphicsCircle2Pi,0,0.06;Showa,b1,b2,c1,c2,d,e1,f1,e2,f2,DisplayFunction->$DisplayFunction;此外，還有諸如不依賴于計算機(jī)設(shè)備單獨使用、內(nèi)置了計算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)和 幾何畫板全部內(nèi)容的TI圖形計算器（美國德州儀器公司開發(fā)） 等，這些軟件或設(shè)備各有特色和長處，我們在開展實驗教學(xué)時應(yīng)當(dāng)依據(jù)什么標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行軟件平臺的選擇呢？5.4 怎樣解決學(xué)生信息技術(shù)操作水平低下與需要對實驗軟件平臺進(jìn)行熟練操作之間的矛盾？目前由于對學(xué)生的考核評價體制沒有發(fā)生根本性的變化，對學(xué)生的信息技術(shù)教育流于形式，學(xué)生實際的操作水平低下，而進(jìn)行數(shù)學(xué)實驗卻需要對實驗軟件平臺進(jìn)行較熟練的操作，甚至具有一定的編程基礎(chǔ)，這就形成了較為尖銳的矛盾，而且這個矛盾直接影響了數(shù)學(xué)實驗教學(xué)的展開，如何解決這個問題是當(dāng)務(wù)之急！5.5 如何應(yīng)對數(shù)