黃武雄數(shù)學(xué)生涯

1、黃武雄 （臺大數(shù)學(xué)系退休教授）一、1966年秋，我赴Rice大學(xué)讀研究所，隔年考過Ph.D qualify exam。本擬轉(zhuǎn)校至Berkeley跟隨陳省身先生，但系裡希望我不要轉(zhuǎn)校，仍維持Rice研究生的身份，Rice願意給我fellowship，讓我赴Berkeley與陳作論文。1968年夏，我離開Rice去Berkeley。Berkeley正處於反戰(zhàn)運(yùn)動的高峰期。早在Rice讀書時(shí)，我已經(jīng)開始懷疑資本主義與自由民主之間是否可以劃上等號，Rice位在德州Houston城，當(dāng)時(shí)美國南方還很保守，種族歧視的問題極其嚴(yán)重。我在Rice的圖書館大量閱讀世界各國近代史的書籍，對於當(dāng)時(shí)美國假藉自由民主之

2、名，在第三世界國家扶持獨(dú)裁政權(quán)，捕殺異議人士深為不平。來到Berkeley，自然十分同情學(xué)生的反越戰(zhàn)運(yùn)動，也認(rèn)同黑人民權(quán)的抗?fàn)?。在Berkeley兩年，我通過觀察，閱讀及部份參與，重新思考了人道、民主、階級與自由這一連串概念較深一層的意義。雖然關(guān)心反戰(zhàn)與民權(quán)運(yùn)動，我還是用五成以上的時(shí)間在做數(shù)學(xué)論文。1969年春，我把 Chern-do Carmo-Kobayashi 在球面 SN 中的結(jié)果，延伸到複數(shù)射影空間 CPN 。Chern-do Carmo-Kobayashi所考慮的是球面中最小曲面的剛性(rigidity)問題。把它延伸到複數(shù)射影空間，情況便沒有那麼簡潔。我用複數(shù)正交標(biāo)架法，一併考慮

3、了實(shí)超曲面，複子流形及全實(shí)(totally real)子流形等三種情況，得到了最小曲面的剛性。實(shí)超曲面的情況，當(dāng)時(shí)亦由Blain Lawson證明出來。Lawson把我們兩人分別獨(dú)力證明這件事，寫在他寄到Journal of Differential Geometry發(fā)表的文章中。陳省身先生看到了Lawson Preprint中的這段聲明，打電話找我，要與我商量學(xué)位論文的事。那時(shí)我不想急著畢業(yè)。我喜歡Berkeley的氣氛，多在Berkeley當(dāng)一年學(xué)生，我就可以多在Berkeley學(xué)一點(diǎn)東西。Berkeley的數(shù)學(xué)研究及反戰(zhàn)運(yùn)動同時(shí)都深深吸引著我。複子流形及全實(shí)子流形的情況，後來也分別由其他

4、數(shù)學(xué)家完成並加以發(fā)表。記得到1976年Ogiue 才發(fā)表了全實(shí)子流形的結(jié)果。我年輕時(shí)，對發(fā)表論文這類事情的態(tài)度很散漫，認(rèn)為只要做出來就好，誰發(fā)表都一樣。何況當(dāng)時(shí)所做的，也只是小結(jié)果。Spivak對”publish or perish?”所作的諷刺，我當(dāng)時(shí)也深有同感。這種態(tài)度維持到我四十歲之後，自己才做了調(diào)整。但早年自己的心境，迄今仍很清楚，當(dāng)時(shí)除了求得自己溫飽之外，較關(guān)心的還是人道與社會正義，其他對我來說便都是奢求，這樣的心境對三年代與六年代成長的知識份子來說，不致太難了解?？墒鞘置黠@，對從事數(shù)學(xué)的專業(yè)研究而言，卻是不利的。由於陳省身先生出面，向Rice大學(xué)說明我想在Berkeley多待一年

5、的意願，我得以延長在Berkeley做研究的期限。1969年冬，Blain Lawson找上我，說他有一個猜測: 是否三度球面 S3中的最小曲面，會把球面分割成體積相等的兩半? 如果這等積(equi-volume)猜測正確，那將是一個漂亮的結(jié)果。Lawson問我有無興趣與他一起工作。於是我開始動手:不久我想出了一個挖地道的方法，Lawson認(rèn)為答案已經(jīng)在望，並說做出來時(shí)由我自己發(fā)表。我認(rèn)真的計(jì)算，用的是陳省身先生於四年代證明Gauss-Bonnet定理時(shí)所發(fā)展的獨(dú)特手法。以陳省身這項(xiàng)著名的手法為基礎(chǔ)，我打造了contour technique。計(jì)算的結(jié)果，只得到等積問題的部分笞案。但相應(yīng)也引出

6、積分幾何中Santalo導(dǎo)過的所有公式，並予以推廣。Steiner公式也因而可以普遍化?？墒沁@些都不是漂亮的結(jié)果。後來我只發(fā)表了其中一小部份。有趣的是，到了1988年，等積問題的猜測被Karcher-Pinkall-Sterling (JDG)的反例推翻了。二、1970年，也是我在Berkeley的第二年春天，陳省身先生問起我: 不是該準(zhǔn)備畢業(yè)了?為什麼都沒找他幫忙找教職的事？他說那年因越戰(zhàn)，學(xué)術(shù)預(yù)算大幅縮減，大家很競爭，幾個大校都已額滿。怎麼辦？當(dāng)時(shí)已是三月多了。我寫信給在Wayne State University任教的朋友劉豐哲。劉豐哲在臺大高我兩班，我們一向都關(guān)心臺灣政治，反對獨(dú)裁，常

7、書信往還，相交甚篤。劉不久打電話來問我是不是真的要去Wayne，我不假思索便說:是。幾天後Blain Lawson說他幫我在Rutgers University找到了一個很好的職位。我說我已答應(yīng)去Wayne。他極力反對，因Rutgers遠(yuǎn)比Wayne好，去Wayne沒有好的幾何學(xué)家可以一起研究。他拿起電話便要替我辭掉Wayne的教職。我說我既然答應(yīng)了，便不再更改。事隔多年回想起來，會覺得自己堅(jiān)持得毫無道理，可是年輕時(shí)就是那付脾性。1970年五月我赴密西根，至Wayne教夏季班。在Wayne兩年，我花了一些時(shí)間把Morse的方法用在固定點(diǎn)的存在定理，其中一個結(jié)果證明了：對於緊緻流形上的週期函數(shù)，

8、它的固定點(diǎn)集的Euler數(shù)與函數(shù)的Lefschetz數(shù)相等。後來Blain Lawson寫信告訴我說，有關(guān)固定點(diǎn)集的結(jié)果可以用Atiyah-Singer index定理推導(dǎo)出來。這篇論文後來發(fā)表在Transactions(AMS 1974)，算是我第一篇發(fā)表的論文，幾年後Kobayashi也把這結(jié)果收集在他編寫的Transformation Groups一書中。反而我的學(xué)位論文一直未加整理，沒送出去發(fā)表。三、1972年夏，我辭去Wayne State University的教職，回臺大與中央研究院工作。那時(shí)臺灣還是特務(wù)橫行的時(shí)代，常有政治迫害之事，校園裡也總有學(xué)生被抓。出入境管制非常嚴(yán)格。臺灣

9、與國際的數(shù)學(xué)研究圈幾乎隔絕。我們時(shí)常謔稱臺灣在戒嚴(yán)之下早成了文化沙漠。這時(shí)期我關(guān)心的事，主要是社會與教育。幾年之間，我的數(shù)學(xué)研究工作，幾乎中斷。七年代臺灣的社會正由農(nóng)業(yè)轉(zhuǎn)向工業(yè)。政府的政策是犧牲農(nóng)業(yè)，扶植工業(yè)。農(nóng)村雖未崩潰，但農(nóng)業(yè)經(jīng)營卻經(jīng)常是赤字。人口大量湧向都市。1972年回臺之後，我在中央研究院數(shù)學(xué)所代理所長，輿論批評象牙塔的學(xué)術(shù)工作者不食人間煙火。我覺得中研院與臺大的統(tǒng)計(jì)專業(yè)，可以做些實(shí)際應(yīng)用的事。農(nóng)業(yè)經(jīng)濟(jì)調(diào)查是個切入點(diǎn)，於是申請了農(nóng)業(yè)經(jīng)濟(jì)的統(tǒng)計(jì)調(diào)查計(jì)劃。當(dāng)時(shí)孫自健、唐文標(biāo)與楊維哲都參與了計(jì)劃。我自己則深入農(nóng)村發(fā)掘問題，以建立問卷，並著手組織學(xué)生當(dāng)調(diào)查員，作全省抽樣調(diào)查。研究計(jì)畫的部分結(jié)

10、果於兩年後整理成報(bào)告，其中我定義了農(nóng)地經(jīng)營的自然收益為農(nóng)地在(儘量)排除人為差異的因素之後，因經(jīng)營農(nóng)作物而得的純利潤。報(bào)告證明土地等則越高，自然收益越小指出田賦制度極不合理，且水田經(jīng)營呈現(xiàn)赤字。臺灣農(nóng)村雖因子弟流入都市，以工資寄回原農(nóng)家，維持農(nóng)村生計(jì)，農(nóng)村不破產(chǎn)，但農(nóng)業(yè)經(jīng)營本身則已經(jīng)破產(chǎn)。當(dāng)時(shí)蒐集的資料頗為珍貴，惜無經(jīng)費(fèi)細(xì)加整理，只好保存在臺大數(shù)學(xué)系內(nèi)。我總想多年之後，有機(jī)會再做一次調(diào)查。兩相比較，可以更細(xì)緻的了解臺灣農(nóng)村的變遷，就像費(fèi)孝通寫重訪江村一樣。可惜後來那些資料在1983年我出國訪問時(shí)，因系裡清理舊物而丟棄佚失。另一個我關(guān)注的對象是數(shù)學(xué)教育的改革。我回臺之前，項(xiàng)武義先生已在臺灣推動高

11、中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教材，極力批判當(dāng)時(shí)正流行於各地的新數(shù)學(xué)。1973年我接下了實(shí)驗(yàn)教材三、四等兩冊的編寫工作，並於翌年夏天赴彰化高中實(shí)地試教，同時(shí)巡迴五、六十個中學(xué)，每月又出版數(shù)學(xué)教室雜誌，公開討論數(shù)學(xué)教學(xué)，在各地捲起了數(shù)學(xué)教育改革的風(fēng)潮。從1972年到1978年間，我數(shù)學(xué)研究的工作，乏善可陳，只寫了幾篇小論文，刊登在中研院的Bulletin。到1977年左右，臺灣民主運(yùn)動逐漸匯集起力量，黨外勢力慢慢在崛起。我一方面與黨外人士時(shí)常往來，另一方面則檢視自己荒廢多年的數(shù)學(xué)研究工作。Blain Lawson還時(shí)常把他的論文寄來給我，我清楚明白自己已經(jīng)脫離研究的第一線，遠(yuǎn)遠(yuǎn)的掉隊(duì)落伍了。雖然要應(yīng)付當(dāng)時(shí)臺灣學(xué)術(shù)界

12、對教授專業(yè)研究所作的要求，仍綽綽有餘，但心底終覺慚愧。1978年秋，我回Berkeley訪問，想做流形上eigenvalue的問題，苦無結(jié)果。隨後轉(zhuǎn)而研究球面上的Bernstein問題，這是陳省身提出的猜想。猜想的內(nèi)容是:一個安裝 (embedded) 在 SN+1 中的球面 SN 如果是最小曲面，那麼它一定是赤道球。我廢寢忘食的做了幾個月，以為證明了這個猜想。項(xiàng)武義問我怎麼做的，我說用第二變分式，他說那很可能就走對了路子。翌春，陳省身約丘成桐與彭家貴來他研究室，聽我把細(xì)節(jié)講一遍。我用的估計(jì)很複雜，在複雜的計(jì)算式中，丘成桐問了一個一針見血的問題:embedding的條件是不是完全用上了？此前我

13、以為自己已經(jīng)巧妙的用上了embedding的條件，因?yàn)槲业淖龇ㄊ前裮inimal cone smooth out成一勻滑的流形，而在上面作估計(jì)?？墒俏疑钜粚酉耄X得我的做法好像有些不對勁。我花了整整一個下午把證明講完。丘成桐臨走還告訴我有希望。不過我相信他已經(jīng)看到了關(guān)鍵，不想澆我冷水。其後幾天，彭家貴幫我重新校對我的論文手稿。最後我們各自都找到了漏洞的位置。我努力想挽救，但終究失敗。幾天之間，我很沮喪。有個午后，我躺在Oakland一個小公園的草地上，整個下午兩眼瞪著天空，內(nèi)心異常懊惱。但隨後深自反省，終於相信自己並未抓到真正的節(jié)骨眼。幾個月不分晝夜的苦幹，一夕之間，付諸流水，看來白費(fèi)心力，其

14、實(shí)是非常珍貴的經(jīng)驗(yàn)。這次的投入與挫折，深化了我對數(shù)學(xué)研究的認(rèn)識，也讓我明白自己的缺點(diǎn):我不能徒有想像，紮實(shí)的苦功還是要做好。我在 hard analysis方面的背景訓(xùn)練太弱了。四、1978年，我結(jié)束Berkeley一年的訪問。這一年沒做出什麼好的研究結(jié)果，但慢慢又與國際數(shù)學(xué)研究的潮流接了軌。Meeks、鄭紹遠(yuǎn)、Richard Schoen開始活躍於幾何學(xué)界。丘成桐的工作則已趨成熟。在Berkeley訪問期間，我開始接觸他們的工作，漸漸被他們的路線吸引。幾何學(xué)從六O年代最小曲面的深化研究為起點(diǎn)，到了七年代與微分方程深度結(jié)合，使幾何學(xué)從Bourbarki結(jié)構(gòu)主義影響下的空中樓閣進(jìn)入現(xiàn)象界，卻不流

15、於細(xì)枝末節(jié)。相反的，這條脈絡(luò)緊緊扣住幾何本質(zhì)的探討。現(xiàn)代黎曼幾何的核心概念是探討彎曲空間的內(nèi)涵。例如熱傳導(dǎo)與Brownian運(yùn)動在彎曲空間的行為何如？古典複變中的 Liouville定理在彎曲空間對嗎？在彎曲空間的無限遠(yuǎn)處給定邊界值，那麼偏微分方程中的 Dirichlet問題是否有解？這三者其實(shí)是同一個問題：在負(fù)曲率空間，熱傳導(dǎo)或布朗運(yùn)動速度快，無窮遠(yuǎn)處的訊息可到達(dá)有限處，故Dirichlet問題有解。相應(yīng)的，Liouville定理在負(fù)曲率空間就不成立，因?yàn)榇藭r(shí)Dirichlet的解便是一個佈滿全域但非常數(shù)的函數(shù)。反過來，Liouville在正曲率空間是對的，Dirichlet問題無解，因?yàn)椴?/p>

16、朗運(yùn)動速度太慢。數(shù)學(xué)研究猶如藝術(shù)創(chuàng)作，數(shù)學(xué)的品味(taste)顯然各有不同。品味對數(shù)學(xué)研究的選擇是重要的，秦九韶說萬物莫不有數(shù)，天地之間數(shù)學(xué)確實(shí)無所不在，什麼東西都可以研究。數(shù)學(xué)家要選擇研究什麼？這就反映了數(shù)學(xué)家的品味。早在1968年我還是Rice的研究生時(shí)，Rice數(shù)學(xué)系在topology方面的研究陣容很強(qiáng)，幾位頂尖人物都在Rice。但那裡的研究路線不吸引我，我覺得那是空中樓閣。在文明的各分支中，數(shù)學(xué)最為抽象。離開抽象就沒有數(shù)學(xué)。但數(shù)學(xué)應(yīng)游走於實(shí)際現(xiàn)象與抽象結(jié)構(gòu)之間。我認(rèn)為先觀察而後結(jié)構(gòu)，有人則只喜抽象結(jié)構(gòu)。這是我喜歡Archimedes與Euclid，但不認(rèn)同柏拉圖的緣因，後者對我來說終究

17、是空中樓閣。這項(xiàng)體認(rèn)也是1968年我離開Rice去Berkeley學(xué)最小曲面時(shí)的心理背景。微分方程規(guī)範(fàn)了自然界的幾何形體，研究這種形體的幾何會比研究空泛定義下的幾何更為詭譎生動，結(jié)構(gòu)也更豐富多變。抽象與現(xiàn)象相互為用，其間存在著有趣的辯證關(guān)係。早在1972年我初回臺大時(shí)，曾與張秋俊合開一門結(jié)合微分幾何與微分方程的討論班，當(dāng)時(shí)叫做DEG seminar(Differential Equations and Geometry)。討論班便是在上述的體認(rèn)下進(jìn)行的。那時(shí)我很想做彎曲空間上的Laplace值譜問題。熟讀M.Berger由Springer-Verlag出版的講義。值譜問題很吸引人，Kac在他的

18、著名論文Can one hear drums?中，提出這樣的問題:聽鼓聲能否知道鼓的形狀?用幾何的語言說:從黎曼流形上的Lapalcian的值譜，能夠決定流形的幾何到什麼程度？但今日回想起來，自己當(dāng)時(shí)還是能力不足，也未十分努力，終究沒有弄出像樣的東西。DEG Seminar開了一年多便告中停止。到了1978重訪Berkeley，知道丘成桐、鄭紹遠(yuǎn)、Schoen等人的工作，覺得開了眼界。五、1979年底,臺灣發(fā)生美麗島事件。幾位過從甚密的朋友都被逮捕，一關(guān)就五年八年。從1972年，初回臺灣，我便在邊緣地帶支持民主運(yùn)動。紀(jì)萬生、王拓、陳菊、蘇慶黎都變成好友。1978年重訪Berkeley時(shí)，一方面

19、努力做數(shù)學(xué)，另一方面仍關(guān)心臺灣政治情勢，例如協(xié)助林孝信成立臺灣民主運(yùn)動海外支援會，也寫了支援會宣言。這份宣言後來流入臺灣。美麗島事件中被抓去的王拓與陳菊，都被問及那份宣言與我的關(guān)係。美麗島事件發(fā)生,全島風(fēng)聲鶴唳?？磁笥褌儽蛔?我深為難過。唐文標(biāo)因?yàn)樵邳h外雜誌上匿名寫了許多文章，也擔(dān)心被抓。我對唐說：我們不會有事，除非抓500人才會抓到你，抓1000人才會抓到我。究竟我未有第一線的參與，只做邊緣性的支援，不覺得會被注意。做為知識份子。我不以為自己可以不問世事，閉門專作研究。專業(yè)工作表現(xiàn)與社會責(zé)任對我來說,是一體兩面。Alan Porter評論Henri Bresson的結(jié)語說:他必須先是世界公民

20、，然後他才是傑出的藝術(shù)家。Bresson的作品蘊(yùn)含他對人深沉的悲憫，道白他對人類困境似遠(yuǎn)還近的關(guān)懷，猶如他取鏡的手法。藝術(shù)家如此，何獨(dú)數(shù)學(xué)家例外?Pablo Casals講自由是一切創(chuàng)造的根本。他低沉雋永的琴韻觸動了二十世紀(jì)無數(shù)人底層的心弦。人失去自由,便沒有藝術(shù)創(chuàng)造，沒有科學(xué)創(chuàng)造。從事數(shù)學(xué)研究的專業(yè)者，如何能無視於獨(dú)裁者對自由人權(quán)的蹂躪？這是我年輕時(shí)代所面臨的兩難。清華大學(xué)社研所吳介民說，這種兩難是那個時(shí)代第三世界知識份子的宿命。做好數(shù)學(xué)專業(yè)一定要投入全付心力。我不以關(guān)心社會做為自己未全力做好數(shù)學(xué)的藉口。事實(shí)上，我尤其敬仰那些為數(shù)極少，能做好頂尖的專業(yè)工作，又深度關(guān)切世事的人，如Palo C

21、asals，Pablo Neruda，Noam Chomsky，Alexandre Grothendieck，Edward Said。寫這段話只為了忠實(shí)表白自己及我同時(shí)代一些人內(nèi)心長年的矛盾，不意也證明了自己數(shù)學(xué)才能的限制。六、1980年陳金次從Stanford讀完書來臺大。他在Stanford跟Robert Finn學(xué)毛細(xì)曲面，並帶回來一些有趣的問題:裝在一個凸容器的毛細(xì)曲面，是否也是凸?fàn)?？我猜想這種毛細(xì)曲面若有凹處，那麼矛盾會出現(xiàn)在由凹變凸的銜接點(diǎn)。為了理解銜接點(diǎn)附近的曲面形狀，我試圖用圓柱面去切觸毛細(xì)曲面，並實(shí)際動手勞作。用塑膠奶瓶與玩具黏土捏出模型。不久我想起Alexandrov在他著

22、名的對稱話方法中曾發(fā)展出橢圓微分方程的高階接觸比較定理。利用圓柱面來與毛細(xì)曲面作二階切觸比較，我證明了當(dāng)毛細(xì)曲面在邊界與容器相切時(shí)，則曲面確成凸?fàn)?。約一年後，F(xiàn)inn則證明在邊界相切的條件是必要的。如果不相切便可造出反例。我把這結(jié)果寄到Inventiones of mathematicae(vol.67,1982)刊登。由於問題是陳金次告訴我的，而且我在思考這個問題也常與他討論,所以就與他聯(lián)名發(fā)表。我們當(dāng)初考慮的是無重力狀態(tài)下的毛細(xì)現(xiàn)象。在有重力時(shí),類似的結(jié)果由Nicholas Korevaar獨(dú)力完成。利用二階接觸比較的技巧，我隨後又對毛細(xì)曲面最低點(diǎn)的位置作了定量的估計(jì)，並說明這估計(jì)是sha

23、rp。陳金次也利用它得到其他的結(jié)果。Robert Finn後來告訴我說,此前他用過二階切觸比較，作過一些東西。順利解決這問題，對研究方向有直接影響，我開始漸漸熟悉一般非線性橢圓微分方程的技巧,研究興趣也擴(kuò)及分析方面的問題。美麗島後幾年，民主運(yùn)動陷入低潮。政治迫害的大案，神人共憤。林宅血案後，陳文成也被謀害。陳文成於1971年自臺大數(shù)學(xué)系畢業(yè)。遇害前已在Carnegie大學(xué)任教。1981年暑假回臺，被警備總部約談後一去不回。幾天後陳屍臺大校園。約談之前兩天還拜訪母系，與我聊天，誠摯熱情，令人難忘。案發(fā)隔天，我去他父母家祭拜，看他父母痛不欲生，又看四周特務(wù)戒備森嚴(yán)。天地不仁，草木何存？他的慘遇讓我

24、萬分悲憤,也沮喪一段時(shí)日。1979到1983年間，臺灣政情苦悶低迷，我只有專心於數(shù)學(xué)。1984年夏，我赴Standford訪問一年，並兼任常微分方程的課。我與Finn,Gilbarg,White及Tam時(shí)常討論數(shù)學(xué)。自覺學(xué)問有若干進(jìn)步。也是這段時(shí)間，我閒來對王安石與對李義山的詩，下了一些功夫。覺得近人重蘇薄王，不過是偏見，純因?yàn)檎我庾R保守。王詩誰似浮雲(yún)知進(jìn)退，才成霖雨便歸山瀟灑自如。我喜歡李義山，則因其詩迴疊詭綺，又溶其社會批判於情詩，竟了無痕跡。這段時(shí)日感慨時(shí)局，亦念舊友身繫囹圄，偶而寫點(diǎn)散文排遣情懷。在中國時(shí)報(bào)寫糟蹋一文，便是這種心情的羽化。七、時(shí)序進(jìn)入政治解嚴(yán)前夕，自由民主的呼聲開始此

25、起彼落，我逐步涉入校園民主運(yùn)動。同時(shí)保留三成的時(shí)間做數(shù)學(xué)研究。1987年我寫了一篇長文，主張橢圓微分方程解的凸性，與零階 (例如Dirichlet)邊界條件或一階(例如Neumann或capillary)邊界條件的關(guān)聯(lián)是間接的，甚至與其定義域呈凸?fàn)畹募僭O(shè)，都只是間接關(guān)聯(lián)。真正決定解是否為凸性的，應(yīng)為二階邊界條件。如此主張的基礎(chǔ)是我探討了下列的問題:什麼時(shí)候一般二階對稱張量(如解曲面Hessian的固有值，或其第二基本式皆為考慮二階對稱張量的原始雛型)，會滿足Maximum Principle? 這估計(jì)相當(dāng)繁複，但我還是弄出來了。可是結(jié)果顯示我所期望的自然規(guī)律並不完整。論文也未發(fā)表，直到2001

26、年，我才把它放入Minimum Principle,Convexity and Curvature Distributionmp一文中。當(dāng)時(shí)的研究結(jié)果不完整的理由，是我的企圖太大。我想找一方法，包容所有Convexity問題的結(jié)果?？上聦?shí)未如人願，但它對我後來持續(xù)十年的研究(也是斷斷續(xù)續(xù))，卻開了頭。這段日子最讓我愉快的，是我與王藹農(nóng)合開的幾何seminar，後來呂輝雄加入，便與清大合辦。黃振芳亦經(jīng)常來參加。這個seminar對我來說是早年與張秋俊合開的DEG Seminar的延續(xù)。1979到1982年間我也與劉豐哲，陳金次弄過seminar，側(cè)重義大利學(xué)派de Giorgi， Bombie

27、ri用BV-function處理最小曲面的技巧。我與王藹農(nóng)合開的seminar，對微分幾何當(dāng)時(shí)最新的主流問題，廣泛討論。王藹農(nóng)生性淡泊，又涉獵甚廣，我從他那裡學(xué)了很多東西。他讀過很多重要的論文。Seminar的議題毋需事先安排，每次上課時(shí)，當(dāng)場問誰要講，由於大家熱烈參與，經(jīng)常有人志願要講。有人講，大家就聽。沒有人講就叫王藹農(nóng)講。王藹農(nóng)一言不發(fā)走回office，在資料櫃抽出一篇他有興趣的論文，便上臺講述。通常都講得條理清楚，興味盎然。這綿延近十年的幾何seminar臺大清大做微分幾何的研究生應(yīng)也記憶深刻。我尤喜歡討論的氣氛。課上大小問題，大家都隨時(shí)發(fā)問，或上臺補(bǔ)充，彼此絲毫不以為意。我覺得一般數(shù)

28、學(xué)的seminar都太正式，大家不敢問笨問題。偶有人在臺下發(fā)問，也是一問一答便幾乎停止對話。我認(rèn)為數(shù)學(xué)研究者反應(yīng)再快，也無法對別人的工作，一一熟悉到當(dāng)場就了然於胸。若沒有經(jīng)營一種完全開放無忌的輕鬆氣氛，討論常常是單向說明，演講聽完後仍不易深入其中內(nèi)容。學(xué)習(xí)與研究的效果便大打折扣，在一般數(shù)學(xué)seminar中，我相信在座聽眾一知半解的佔(zhàn)大多數(shù)。因此上seminar便成了負(fù)擔(dān)，而非愉悅。我們這個幾何seminar的課中，由於大家敢問敢說敢發(fā)表意見，有時(shí)幾個人一起到黑板上畫東畫西，使大家都能凝聚起精神討論，細(xì)節(jié)也都弄得很通徹。人為什麼要投入一生心力於學(xué)術(shù)研究？從年輕時(shí)代我就時(shí)常想這問題。無疑的自我表現(xiàn)

29、以求肯定是個驅(qū)力，但難道要了解世界的好奇心不是更原始的動機(jī)麼？把學(xué)術(shù)研究變成純粹人比人的場所，而忘了自身好奇的本性，把人追求知識的熱情愉悅轉(zhuǎn)化成純粹的競爭，難道無損於人類文明的價(jià)值？我贊同今日的學(xué)術(shù)研究者應(yīng)承受競爭的壓力，因?yàn)閷W(xué)術(shù)研究只是文明分工之中備受禮遇的一個部門，必須承擔(dān)社會責(zé)任。但研究者自己做出結(jié)果的喜悅，感悟別人美麗心血結(jié)晶時(shí)的讚歎，日夜與同仁切磋討論時(shí)一點(diǎn)一滴的收穫，這種種不同形式的互動，帶來的自我肯定，應(yīng)凌駕於評比競爭的外在表現(xiàn)。臺大幾何seminar也孕育出一些研究成果，參加者有些不錯的工作，直接或間接啟發(fā)於seminar，也陸續(xù)發(fā)表於幾個重要的國際雜誌。在seminar後期我

30、曾想將那些論文彙編成一本集子，寫一些當(dāng)時(shí)的故事。後來因同事中有異議，覺得多此一舉，便不了了之。但那seminar確實(shí)給過我多年愉快的時(shí)光。Seminar用我名義開課，上課鐘點(diǎn)費(fèi)則匯集成幾何基金，贊助相關(guān)研究。課中討論熱烈，時(shí)常延長至天黑，大家一起無分師生翻過臺大北側(cè)圍牆，到對面巷內(nèi)一家老麵店吃麵聊天。那家老麵店是違章建築，大家常在巷邊搭桌用膳。因?yàn)橐罓?，久而久之大家都叫那家麵店做爬牆麵?？上п醽硪驯徊鸪０?、1987年國民黨政府宣佈解除政治戒嚴(yán)，但臺灣並不因此順利成為民主社會。正好相反，抗拒改革的保守勢力依然強(qiáng)大無比。但要求民主自由的共識已逐漸形成。改革與保守兩股勢力的衝突，在解嚴(yán)之後開始搬

31、上檯面，街頭運(yùn)動不斷發(fā)生。臺大校園少數(shù)學(xué)生走在改革浪頭，興起校園言論自由運(yùn)動。一些系所的教員也被浪潮帶動，支持校園民主。李文忠退學(xué)事件把我捲入漩渦，我無法坐視學(xué)生的無助，坐視年輕人的民主理想一再被強(qiáng)大的政治勢力假藉校規(guī)摧殘無餘。同時(shí)校園外的社會運(yùn)動如農(nóng)民運(yùn)動、環(huán)保運(yùn)動、教育改革運(yùn)動正開始抬頭。我除了維持教課及參加幾何seminar之外，研究數(shù)學(xué)的時(shí)間因積極參與校內(nèi)外社會民主化的運(yùn)動，而所剩無幾。這幾年街頭運(yùn)動，如果是事先知道的，我?guī)缀鯚o役不與，從反核禁食靜坐，反暴警事件，到新聞自由，三月學(xué)運(yùn)我都在場，有時(shí)也在鎮(zhèn)暴警察環(huán)伺下夜宿街頭。有一次一位上大一微積分課的學(xué)生在下課後追上我說:老師,為什麼政

32、府老是聽不進(jìn)去大家在講什麼,你這麼老了,還要這樣夜宿街頭。她話未已,已紅了眼眶,年輕人流露摯誠，我頗受感動，想起1969年我在Berkeley，反戰(zhàn)運(yùn)動正達(dá)高潮，當(dāng)時(shí)越南人民死傷無計(jì)，美國士兵亦已死五萬人傷三十萬，我數(shù)度參加學(xué)生示威，吃催淚彈。有次名歌手John Baez來學(xué)校演唱，夜很冷，大家裹著被子去聽歌，她與另一名女歌手對唱，我記得有一段歌詞是:妹妹與我不斷向爹娘訴說:事情不是這樣，不是這樣，當(dāng)她們反覆唱到但他們不聽，不聽，不聽. 之時(shí)，全場聽眾不覺一起附和的唱著:他們不聽，不聽，不聽，歌聲沉痛，震人心弦。年輕時(shí)我讀聞一多的傳記，他寫過一些新詩，有一首自比小孩，降生到世間，看到這世界如此

33、荒繆，他連說:這不是我的中華，不對，不對。聞一多當(dāng)時(shí)是西南聯(lián)大的教授，後來被蔣介石派人暗殺，1990年左右，有次與陳省身先生閒聊，我忽然想到聞一多，陳先生與聞一多同時(shí)在西南聯(lián)大任教，我問起陳先生是否認(rèn)識聞一多，他說認(rèn)識。稍停之後，反問我一句為什麼提起聞一多?我回答:沒什麼。事實(shí)上，我心裡想問的是專業(yè)責(zé)任與社會關(guān)懷的衝突。陳先生在數(shù)學(xué)專業(yè)上成就頂尖，聞一多則是為社會關(guān)懷付出了生命。我終止追問，因知這兩者冰炭不容，走哪條路，到底是個人選擇。我生在二二八悲劇與白色恐怖的年代，成長環(huán)境又讓我對人世較為早熟，冰與火在我心中兩相拉扯，或許真是宿命。但我絕非理想主義者，我心中沒有理想國。善之於我，尤為陌生，

34、我從不追求善，我要的只是自由，我認(rèn)為每個人都有他獨(dú)特的生命，但生命獨(dú)特的基礎(chǔ)是自由:生存的自由、求真的自由、美的自由，與人互動的自由。我只是不願看到人的自由不斷被集體意識，被強(qiáng)權(quán)暴力所摧殘。但我又無能為力，而且沒有勇氣，沒有足夠的熱情，跳到火中去燃燒自己。我有的只是冷靜的頭腦，分析自己，分辨是非，比較知道這個世界的真實(shí)長相。我追求的不是善，頂多是真。我參與社會的動力來自求真。我認(rèn)為善(包含愛)是個人的，善與愛不能公眾化，一但公眾化，善與愛就要變成偽善，變成教條，甚至?xí)催^來吃人。世間多少悲劇都來自公眾化的善與愛。我會走上街頭，只因抗議獨(dú)裁者為什麼無知到要踐踏這個世界最可貴的真實(shí)，就像John

35、Baez的歌中所唱，像聞一多的新詩所云。八O年代，我在臺大上課時(shí)注意到一位旁聽的學(xué)生。一連多年不論我開什麼課，他都坐在臺下，從不發(fā)問，從不參加討論。幾次我在課後與他談，他告訴我他對數(shù)學(xué)很有興趣。我便試圖了解他的程度，建議他如何選課，如何讀書，如何讓自己進(jìn)步。有個夜晚，我在研究室裡工作，隱約覺得門外走廊時(shí)而有人來回徘徊，後來才看到是他。邀他進(jìn)來聊談，他欲言又止，並語意不清。斷斷續(xù)續(xù)的，他談到政治迫害，談到學(xué)者被監(jiān)聽之事，也談到有些事他身不由己。最後神情沉重，語帶感情對我說:老師，你要多注意，多保重。從此便消失無蹤。其實(shí)我老早便猜想他是職業(yè)學(xué)生，被派來監(jiān)視我的言行，但我並不因此而對他特別存有戒心。

36、相反的，我看他本性忠厚，對他的態(tài)度與對其他的學(xué)生無分軒輊。我關(guān)心他的課業(yè)，他的心情。我總覺人的本性可善可惡，環(huán)境如果壓抑人的自由，使人不能獨(dú)立思考，不能有所選擇，那麼人會墮落，世界會變得非?？膳?。可是反過來，人有生存的自由，有思考的自由，有嘗試錯誤的自由，有了解世界的自由，一點(diǎn)點(diǎn)關(guān)切或許可以啟動他心靈深處的美。這位學(xué)生的出現(xiàn)讓我更篤定這樣的信念。1990年我把橢圓微分方程解曲面各類曲率的上調(diào)和性(superharmonicity)，做更細(xì)緻的探討，例如把一個裝著液體的封閉凸容器，拿到太空中，問這時(shí)液面會呈現(xiàn)什麼形狀?又例如 Max Shiffman早在1956年(Ann. of Math.)討

37、論過夾在兩平板間的管狀(annulus-like) 最小曲面，若其邊界為兩個凸閉曲線，則可證知:任一平行於兩平板的平面，截在曲面上的截痕，亦必為凸閉曲線。最小曲面是內(nèi)外兩側(cè)壓力相等的肥皂液面所呈現(xiàn)的形狀。我考慮內(nèi)外壓力不一的情況，證明液面內(nèi)壓力小於外壓力時(shí)，Shiffman定理仍對。王藹農(nóng)則證明內(nèi)壓力較小時(shí)，有反例。我把上調(diào)和性的研究結(jié)果發(fā)表在Pacific J. of Math.(1992)。這段期間我又估算常均曲率曲面延展範(fàn)圍的大小，並成功的應(yīng)用到Phragmen-Lindelof問題上，這篇論文在1992年Stanford與Berkeley兩校數(shù)學(xué)系為Robert Finn合辦的退休研討

38、會上發(fā)表，並刊登在Advances in Geometric Analysis and continuum mechanics (International Press，Cambridge)一書中。這幾年象牙塔外的世界，示威遊行連連不斷。五二農(nóng)運(yùn)、反核四、反對體罰、反軍人干政、反刑法一百條，校園內(nèi)外風(fēng)風(fēng)雨雨對我的數(shù)學(xué)工作都有影響。1992年我與一些學(xué)運(yùn)的學(xué)生籌劃用影像分析當(dāng)前社會結(jié)構(gòu)，使大家看到臺灣社會各種問題癥結(jié)。不久我們成立里巷工作室。我與學(xué)生拿起攝影機(jī)到全島各地，紀(jì)錄教育現(xiàn)象，剪接毛片，製作笑罷童年這部評論性的影片，並深入各地巡迴放映，現(xiàn)場討論教育問題。早在1973年回國不久，我便因編寫

39、高中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教材赴中學(xué)試教。我看到臺灣數(shù)學(xué)教育所以扭曲變形，問題不止出在數(shù)學(xué)教育本身，而出在政治出在社會。人的獨(dú)立思考，人的自由創(chuàng)造原本是教育的首要任務(wù)，可是在獨(dú)裁政治的現(xiàn)實(shí)中，這些都變成空談，甚至都不斷遭到壓制。很明顯，臺灣幾十年來的教育是為了人力規(guī)劃而非為了人才培育，是為了政權(quán)安定，而非為了使每個人謀求最好的內(nèi)在發(fā)展。教育的面目扭曲變形，是臺灣政治社會造成的必然結(jié)果。1993年秋末我開始四處鼓吹，尋求各方支持，共同發(fā)動大規(guī)模遊行要求全面改造臺灣教育。1994年四月十日終於集結(jié)兩三萬人走上街頭，展現(xiàn)民間要求臺灣教育進(jìn)行全面改造的強(qiáng)烈意志。這便是所謂四一教改運(yùn)動。臺灣的教育改革從此蔚為風(fēng)潮。九

40、、1994年10月我罹患末期肝癌，並已擴(kuò)散到肺部，亦達(dá)十多個腫瘤。幾家醫(yī)院的診斷都預(yù)言生命期只剩下三到六個月。肝癌發(fā)病當(dāng)天，我在清大演講最近研究結(jié)果：常切曲率的曲面若有凹陷，則所佔(zhàn)範(fàn)圍必然廣大。演講結(jié)束便因胸腰疼痛而病倒在呂輝雄的研究室。我自己很喜歡這個大凹陷的結(jié)果，它解釋了許多相關(guān)的問題，同時(shí)也透露出凸性問題的本質(zhì)。多年前我曾一度猜想凹陷部份至少涵蓋穩(wěn)定面域（domain of stability），但不難在管狀常均曲率的曲面上找到反例（比如用一般Delaunay surface）。1994年夏，林俊吉服完兵役回來，向我說他的新結(jié)果：讓皂泡面上的某塊面域變形，其他部分不動，均曲率會隨皂泡體積

41、增加而減少或增加。當(dāng)面域很小，均曲率應(yīng)增加。但當(dāng)面域擴(kuò)大到一個臨界面域時(shí)，則均曲率減小。對於這臨界面域他證明可用Jacobi Operator的第一固有值是否為零，來作為判準(zhǔn)。我隨後細(xì)想，這臨界面域與Giusti在非參數(shù)曲面上考慮過的極面域(extremal domain)，有密切關(guān)聯(lián)。它恰好是Giusti所定義的極面域在一般曲面上的推廣。於是我在一般曲面域上用林俊吉的判準(zhǔn)，定義了極面域。我觀察到:極面域比穩(wěn)定面域範(fàn)圍稍小，但已相當(dāng)廣大，例如任何非參數(shù)常均曲率的曲面域，都還比極面域小。然後我證明了常均曲率曲面上的凹陷部份，至少要涵蓋極面域。橢圓微分方程慣常使用的maximum principl

42、e,comparison principle與continuity method，對於這些問題都使不上力。我採取變分法，估計(jì)第二變分式，才完成這項(xiàng)結(jié)果。我自評這個工作不論從問題的意義或從方法的開創(chuàng)性來說，都是我十多年來做得最好的研究。1994年10月病發(fā)之後，我想應(yīng)該把它寫成論文發(fā)表。等到在病床來整理論文時(shí)，發(fā)現(xiàn)在清華大學(xué)演講當(dāng)天我的估計(jì)有個漏洞。我又花了將近一個星期重作估計(jì)，終於把那個漏洞補(bǔ)好。當(dāng)時(shí)我在加州就醫(yī)，完成這項(xiàng)工作對一個面對死亡的癌癥病人來說，意義深長，旁人恐怕不易體會。我當(dāng)時(shí)以為大凹陷的結(jié)果將是自己一生最後的工作，對於Archive of Rational Mechanics a

43、nd Analysis這個刊物一直維持old fashion的taste，素來我情有所鍾。這時(shí)我便把林俊吉所做的判準(zhǔn)(即論文中的Theorem 1)放在一起，寄到Archive。因?yàn)椴≈凶鍪虏环e極，連校對都拖了一年，論文遲至1998年才發(fā)表。關(guān)於我後來如何死裡逃生，茍延至今日，許多人都深為好奇。為什麼奇蹟會發(fā)生在我身上？我其實(shí)一無所知。我的數(shù)學(xué)訓(xùn)練讓我不輕易對因果下結(jié)論。這段抗癌經(jīng)歷我也許該另文說明。1994年生病前後，我整理並出版了三本非數(shù)學(xué)專業(yè)的書：童年與解放、臺灣教育的重建與黑眼珠的困惑。這些書多少紀(jì)錄了近一二十年我在數(shù)學(xué)之外所思考過的一些事。十、1995年夏天，我開始寫另一篇有關(guān)經(jīng)濟(jì)哲

44、學(xué)的論文。寫這篇論文耗掉我病中整整兩年的時(shí)間。早在1987年我在Science雜誌上讀到一篇通俗文章，標(biāo)題是”Democracy is mathematically unsound”。此後便對Arrow的詭論發(fā)生懷疑。Kenneth Arrow在1960年曾以簡潔的數(shù)學(xué)推論，證明了：理性的公共選擇不可能。(後被引申為直接民主經(jīng)數(shù)學(xué)證明為不可能。)這個詭論對現(xiàn)代政治經(jīng)濟(jì)學(xué)影響深遠(yuǎn)。Arrow本人後來也因此得到諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎。幾十年來更衍生出無數(shù)相關(guān)的研究。到1999年A. Sen還因這一方面的研究得另一個諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎。1987年我剖析Arrow推論，質(zhì)疑其理性原則。在臺大經(jīng)濟(jì)研究所做了一個演講

45、。那時(shí)我的觀點(diǎn)尚未十分成熟。1995年我拿出當(dāng)年的講稿，想把它寫成論文，不久便越陷越深。原因是我讀了Arrow學(xué)派其他研究者如Chichilnisky, Baigent等人的論文。其中Chichilnisky因處理連續(xù)選項(xiàng)集(continuum alternative set)的問題，與幾何關(guān)聯(lián)較厚，尤其引發(fā)我的興趣。Arrow處理的是較簡單的離散狀況(discrete case)。他的理論常被質(zhì)疑的是：他所提的獨(dú)立原則(independence of irrelevant alternatives)能否看成一個理性原則？Chichilnisky則對連續(xù)狀況(continuum case)，改

46、提連續(xù)性(continuity)作為理性原則，她證明了：不存在公共選擇(continuous social choice)滿足連續(xù)性、一致贊同(unanimity)與匿名性(anonymity)等理性原則。連續(xù)性作為理性原則當(dāng)然無可厚非，如果她的說法正確，那麼理性公共選擇確實(shí)成為邏輯上的不可能。我仔細(xì)分析，發(fā)現(xiàn)她用的topology出了問題。1997年我完成Singularity in Social Choice Theory - Democracy is not mathematically unsound，論文長達(dá)80頁。我再到臺大經(jīng)濟(jì)所演講。我的論點(diǎn)是：主張理性公共選擇不可能的諸多理論所

47、建立的數(shù)學(xué)模型，都先天排除了特異現(xiàn)象(singularity)。經(jīng)濟(jì)學(xué)家對公共選擇中的特異現(xiàn)象，視而不見。我把這特異現(xiàn)象用數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)主義的觀點(diǎn)，加以明白界定。在自然科學(xué)家的研究中，特異現(xiàn)象的處理，是大自然對研究者的挑戰(zhàn)，也是許多研究因而蓬勃發(fā)展的生機(jī)。何以經(jīng)濟(jì)學(xué)家面對公共選擇時(shí)，所建立的模型可以避開特異現(xiàn)象。我的結(jié)論是：公共選擇的結(jié)果，無可避免的會出現(xiàn)特異現(xiàn)象，既然所建立的模型把特異現(xiàn)象摒除在外，無怪乎他們可以證明出理性的公共選擇不可能。我把這篇論文的一部份，改寫成一篇較短的文章，標(biāo)題為”Is the proximity preservation rational in social choic

48、e theory?” ，僅20頁，將刊登在現(xiàn)今這領(lǐng)域最重要的雜誌Social Choice and Welfare(April,2004)。文章接受之前，曾歷經(jīng)幾年與經(jīng)濟(jì)學(xué)家之間的辛苦論辯，最後他們才了解了我的論點(diǎn)。至於論文的其他部分，我還須花功夫去說服經(jīng)濟(jì)學(xué)家，這將更費(fèi)周章。原因之一，是我用了太多數(shù)學(xué)。但要闡明singularity的概念，又要分析經(jīng)濟(jì)學(xué)家已建立的模型，只能借助更細(xì)緻的數(shù)學(xué)。無論如何我認(rèn)為經(jīng)濟(jì)學(xué)家應(yīng)該有singularity的概念，也應(yīng)該正視它。另一方面，那篇大凹陷的論文在Archive發(fā)表前後，Robert Finn寫信給我，說這觀點(diǎn)很可能是整個凸性問題的關(guān)鍵線索(clue

49、)。事實(shí)上這項(xiàng)工作也與Hopf猜想有密切的關(guān)聯(lián)。五年代Hopf提出的猜想是說：R3中任何封閉皂泡皆為球狀。這裡所考慮的皂泡可以有自我交穿(self-intersection)的現(xiàn)象。1984年Henri Wenti製作了許多環(huán)面皂泡的反例。在Wenti的工作出現(xiàn)之前，許多幾何學(xué)家都曾對Hopf猜想感到興趣，除了少數(shù)人像項(xiàng)武義，余文卿站在反方，作出一些啟示性的反面工作之外，有許多幾何學(xué)家都試圖證明Hopf猜想是對的。大家支持Hopf猜想的信念，來自於封閉皂泡不應(yīng)有凹陷部分，一旦知道它沒有凹陷，馬上可以引用Cohn-Vossen的定理，得證Hopf猜想。1982年左右當(dāng)我發(fā)展出二階切觸的方法以排除

50、凹陷部分時(shí)，我也曾試圖用這個方法去證明Hopf猜想，結(jié)果當(dāng)然失敗。Wenti的反例說明了封閉皂泡沒有凹陷的信念是錯誤的。我後來的研究則進(jìn)一步澄清這件事：皂泡不是不能有凹陷，而是如果有凹陷，那麼凹陷區(qū)域必然廣大。這樣就更清楚的勾勒出Hopf猜想背後的幾何直覺，也清楚的刻劃出皂泡的大域性質(zhì)。這個結(jié)果同時(shí)說明了橢圓偏微分方程中凸性問題的本質(zhì)：當(dāng)解曲面的範(fàn)圍不夠大時(shí)，凹陷便無法在內(nèi)部產(chǎn)生，因此解曲面是凸的我自己的工作只及於Laplace方程與常曲率方程。如果這件事能涵蓋更多的非線性橢圓偏微分方程時(shí)，那麼我們便找到了凸性問題的關(guān)鍵。2000年我在中央研究院演講時(shí)曾提出這觀點(diǎn)，並把大凹陷的方法再做延伸，證明凸區(qū)域也必包含極面域，因此得以刻劃皂面上凹凸交界線的形狀。2001年夏，我將這些結(jié)果做了全面性的分析，寫成Minimum Principle, Convexity and Curvature Distribution on Elliptic Solution Surfaces一文。這篇長文可說是我近年研究結(jié)果的總結(jié)，同時(shí)也澈底弄清楚1982年我與陳金次合作的問題，所蘊(yùn)涵的深層意義。由於當(dāng)時(shí)的結(jié)果發(fā)表在Inventiones，二十年後我也試著寄到同一個雜誌，看看會不會刊登。十一、臺灣在政治解嚴(yán)，國會改造及總統(tǒng)直選的改革逐步實(shí)現(xiàn)之後，所謂國家