2020屆高考數學(理)一輪必刷題專題45立體幾何中的向量方法(解析版)

1、考點45立體幾何中的向量方法1.（遼寧省沈陽市2019屆高三教學質量監(jiān)測三數學理）如圖，四棱錐 P ABCD中，底面 ABCD是邊長為2的正方形，側面 PAB,底面ABCD , E為PC上的點，且BE_L平面APC（1）求證：平面PAD_L平面PBC ；（2）當三棱錐P - ABC體積最大時，求二面角 B-AC-P的余弦值.【答案】（1）見證明；（2）昱.3【解析】（1）證明：.側面 PAB_L底面ABCD,側面PAB。底面ABCD = AB ,四邊形ABCD為正方形,BC_LAB, /）面 ABCD, BC 1 面 PAB,又 AP u 面 PAB ,AP .L BC ,BE _L平面 AP

2、C , AP u 面 PAC , AP _LBE ,BCQBE=B, BC,BEU 平面 PBC,AP _L面 PBC ,APu面 PAD,，平面PAD _L平面PBC .（2）VP SBC VC -PB1 11= _M_XPAX PBMBC =_MPAM PB, 3 23求三棱錐P - ABC體積的最大值，只需求 PAPB的最大值.令 PA=x, PB = y ,由(1)知，PA_l PB ,而VP於BC1=.xy3d 22<1 XJ.32當且僅當 x = y=J2,即PA = PB=J2時，一 一，2V P _BC的最大值為3如圖所示，分別取線段 AB , CD中點O , F ,連接

3、OP , OF ,以點O為坐標原點，以 OP , OB和OF分別作為x軸，y軸和z軸，建立空間直角坐標系 O - xyz.由已知 A(0, -1,0), C(0,1,2),P(1,0,0),所以 AP =(1,1,0), AC =(0,2,2),令I =(x, y, z)為面PAC的一個法向量，則有x y = 02y 2z =0. n=(1,-1,1)易知m =(1,0,0)為面ABC的一個法向量,面角b-ac-P的平面角為e , e為銳角貝U cos 二2.(湖南省長沙市第一中學 2019屆高三下學期高考模擬卷一數學理)如圖所示，圓 O的直徑AB =6, C 為PAX PC.(1)證明：AP

4、，平面PBC圓周上一點，BC = 3,平面PAC垂直圓。所在平面，直線 PC與圓。所在平面所成角為 60°,(2)求二面角P-AB - C的余弦值【答案】(1)見解析.(2).【解析】(1)由已知可知 AC_LBC,又平面PAC_L平面圓O,平面PACR平面圓O = AC , BC，平面 PAC，二 BC _LPA,又 PA_LPC, PCr)BC=C, PC 匚平面 PBC , D 平面 PBC ,PA_L 平面 PBC .(2)法一：過P作PH _L AC于H ,由于平面PAC _L平面L。，則PH _L平面L O ,則ZPCH為直線PC與圓。所在平面所成角，所以 PCH =60

5、，過 H 作 HF _L AB 于 F ，連結 PF，則 PF _L AB ,故/PFH為二面角P- AB- C的平面角.由已知 /ACP=/ABC =60> /CAP=/CAB=30",在 RtMPC 中，PH = AP sin30、AC cos30* sin30=343- = -,22 4.2一AP2 9.39.3由 AP = AH AC 得 AH =，在 RtiAFH 中，FH = AH sin 30 =，AC 489_, PH 42,3. 31故 tan/pFH =- =-o ,故 cos/PFH =±,HF9 3378即二面角P-AB- C的余弦值為避177

6、法二：過P作PH _L AC于H ,則PH _L平面L O ,過H作HF /CB交AB于F ,以H為原點，HA、HF、HP分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系 則 H (0,0,0) , A 英3,0,0 , B 1 -33 ,3,0 , P0,0, 9 j,I 4 J I 4 J I 4 J.一 T 9 973 - 9 ” L從而 AP=,0, - , AB =( 473,3,0),I 44J ')設平面PAB的法向量n=(x, y,z),網心¥x+4z=0得 IzxAB n = a3x 3y=0 y =在L L令 x =1,從而 n =(i,J3,問,而平面ABC的法

7、向量為 信=(0,0,1),即二面角P- AB- C的余弦值為. 213.(四川省綿陽市2019屆高三下學期第三次診斷性考試數學理)如圖，在四錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，且 PA = AD=2, /PAD =/BAD =120©, E, F 分別為 PD , BD 的中點，且 EF =.2BC(1)求證：平面 PAD_L平面ABCD;(2)求銳二面角 E AC D的余弦值.【答案】(1)見解析；(2)叵5【解析】(1)過P作POLAD,垂足為 O,連結AO, BO,由/ PAD=120 ,得/ PAO=60 ,在 RtAPAO 中,PO=PAsin/ PAO=2sin60=

8、-3,. / BAO=120 , . BAO=60 , AO=AO ,PAOA BAO ,BO=PO=8, E, F分別是PA, BD的中點,EF=,2EF >APBD的中位線,. PB=2EF=2銳二面角E-AC-D的余弦值為由.54.（四川省宜賓市2019屆高三第三次診斷性考試數學理）如圖，在四棱錐S-/IFCD中，=再0/那心4。_L平面若HS,二面角再D-S為EO'E為ED中點. . PB2=PO2+BO2,POXBO, . ADA BO=O , . . PO,平面 ABCD ,又PO?平面PAD, .平面PAD，平面ABCD .(2)以。為原點，OB為x軸，OD為y軸，

9、OP為z軸，建立空間直角坐標系，A (0, 1, 0), P (0, 0,志),B ( 73, 0, 0), D (0, 3, 0),.e(。, 3,烏,f (立 3,0), ae*=(0-史),AF =("，0), 2 2222 222口/口十._ 一 八、，日 T易得平面 ABCD的一個法向量 m= (0, 0, 1),11: 3n AE y z = 02 2設平面ACE的法向量n= (x, y, z),則，3 1n AF = x y = 022I取 x=1,得 n=(1, -73, 1),H 4B C(1)求證：CEL%；設銳二面角的平面角的大小為0,則cos 0 =|cos

10、m, n >|二(2)求A日與平面所成角的余弦值.【答案】(1)證明見解析；(2) gt4【解析】(1)證明：作SA中點F,連接EF E為SD中點一 1.:T Iv. II,卜門1，也.得平行四邊形.匚; |AD 1 平面/IH5.乙”1E為二面角的平面角"三一建、二后一口.£工.M5(2)作AB中點O,由(1)知工且也5OJ_AB三三SO .1, 平面月£?8如圖建立空間直角坐標系X設附二工,則 S（0. o, c（l, L 0）, 0（-1. 2, S門' （乙 1.叮；：.：J: v<i設平面SCD的法向量7 = O，yZ ,得令r =工

11、，則7 = （1,工。，二J一 一 nAH 2"人；i .，門 . 一 ” 回.7】"】：%4、用 AB與平面5。所成角的余弦值為 三一.45 .（安徽省黃山市2019屆高三畢業(yè)班第三次質量檢測數學理）如圖，在以A, B,C, D, E,F為頂點的五面體中，面ABEF為正方形,AF =2j3FD , /AFD =90：且二面角 D AF E 與二面角 C BE F 都是30”(1)證明：AF _L平面 EFDC ;（2）求直線BF與平面BCE所成角的正弦值【答案】（1）證明見解析；-2(2)4【解析】(1) ,面ABEF為正方形牙_L FE又 ZAFD =90，汗 _l D

12、F，而 DF c FE = F ,DF 仁面 EFDC , EF u 面 EFDC, AF，面 EFDC(2) : AF u ABEF，則由(1)知面 EFDC _L 平面 A FFE,過 D 作 DG _L EF ,垂足為 G，二 DG _L平面ABF；urn以G為坐標原點，GF的方向為x軸正方向,GD為單位長度，建立如圖所示的空間直角坐標系由(1)知 /DFE 為二面角 D AF -E 的平面角，故 ZDFE =30 ,又 AF =2j3FD，則 DF = 2 ,GF =a/3, |AF =4后二 B(-373,473,0 ), E(373,0,0), F(x/3,0,0 ).由已知，AB

13、/EF ,二AB平面EFDC ,又平面ABCD平面EFDC = DC ,故 AB/CD , CD/EF .由 BE/AF ,可得 BE _L平面 EFDC ,C /CEF 為二面角 C BE -F 的平面角，NCEF =30，.二 C (-273,0,1 ).- EC=(60,1 ), E B= (0,4 73,0 ), BF =(4m,-4 石,0 ).設n =(x, y, z )是平面BCE的法向量，則EC = 0.3x，即 I f二二043y二可取 n =(1,0, -73 )則 sin 8 = cos < BF, n > =BF SBF一， m 、，2二直線BF與平面BCE

14、所成角的正弦值為 246 .（湖南省師范大學附屬中學 2019屆高三考前演練（五）數學（理）在五邊形 AEBCD中，BC _L CD , CD/AB, AB=2CD=2BC, AE _L BE , AE = BE （如圖）.將 AABE 沿 AB 折起，使平面 ABE，平 面ABCD ,線段AB的中點為0（如圖）.（1）求證：平面 ABE，平面D0E；（2）求平面EAB與平面ECD所成的銳二面角的大小【答案】（1）見解析（2） 45?！窘馕觥浚?）由題意AB=2CD, 0是線段AB的中點，則OB = CD.又CD/AB,則四邊形OBCD為平行四邊形，又 BC _LCD ,則AB_L 0D ,因

15、 AE = BE , OB =0A ,則 E0± AB .EO Pl DO = O ,則 AB，平面 EOD.又AB 1平面ABE ,故平面 ABE，平面 EOD.（2）由（1）易知OB, OD, OE兩兩垂直，以 O為坐標原點，以 OB, OD , OE所在直線分別為 X, y, Z軸 建立如圖所示的空間直角坐標系 O -xyz ,EAB為等腰直角三角形，且 AB=2CD=2BC ,則 OA =OB =OD =OE ,取 CD = BC =1,，DE =(0, 1,1)，二1,得平面ECD的一個法向量 n = （0,1,1），則 O (0, 0, 0), A (-1, 0, 0),

16、 B (1, 0, 0), C (1,1, 0), D (0, 1, 0),E (0, 0, 1),則 CD =( 1, 0,0)設平面ECD的法向量為n =（x, y,n CD=0j -x = 0, _ zn DE =0, l-y +z = 0,因OD,平面ABE.則平面ABE的一個法向量為 OD = （0,1,0）,設平面ECD與平面ABE所成的銳二面角為 0,則cosu=cos(oD, n、=|0 0 1 10 1 |1.112 12因為 6 e(0,900),所以 4 =450,故平面ECD與平面ABE所成的鏡二面角為 45°.7.(河北省保定市2019年高三第二次模擬考試理

17、) 如圖，已知四棱錐中，四邊形ABCD為矩形，AB = 2j2,BC=SC = SD=2, BC _LSD.【答案】(1)見證明;2 1313(1)求證：SC _L平面SAD;1=()設AE = EB ,求平面SEC與平面SBC所成的二面角的正弦值【解析】(1)證明：BC _LSD , BC _LCD則 BC _L平面 SDC,又 BC/AD則AD _L平面SDC, sc U平面SDCSC _AD又在 ASDC 中，SC=SD=2, DC=AB =2 應，故 SC2+SD2=DC 2則 scisD ,又 sdAad =D所以SC _L平面SAD(2)解：作SO,CD于O,因為BC_L平面SDC

18、, 所以平面ABCD _l平面SDC,故SO_L平面ABCD 以點。為原點，建立坐標系如圖.基則 S(0,0,應),C(0 ,五,0), A(2, -&,0),B(2, 72,0)“i T 1 T設 E(2,y,0),因為 AE = EB 2所以 y 十五=-(V2-y),A y即 E(2, -,0)233一 一4.21SC=(0, 2- J2),CE =(2,-二一,0),CB=(2,0,0) 3設平面SEC的法向量為n=(x,y,z),平面SBC的法向量為m=(a,b,c)/n=02y -、,乎0.二 4 444/2, 令 z=3,貝 U y =3 , X=2y/3CE n=0 2

19、x-4y=03.in=(2,23,3)m=(0,i,i) ur r cos <m,n>=SC m=0 CBm=0=Wb-、. 2c-02a = 0，令 b = 1,則 c=1, a = 0ur r mgn ur r = |m|n|3 .1318 8g.213所以所求二面角的正弦值為2-13138.(陜西省西安市2019屆高三第三次質量檢測理)如圖，在三柱ABC -A1B1C1中，AB_L平面BB1C1C ,E是 CG 的中點，BC=1, BB1=2, /BCC1=60°.（1）證明：BE _LAE ；（2）若AB =夜，求二面角ABiEA的余弦值.【答案】（1）證明見解析

20、；（2） 叵.3【解析】解：（1）證明：連接BC1, BE ,因為在/?（'（；中，BC =1 , CCi =BB =2 , /BCC1 =60° .所以 BC _L BC1 .1所以BECC1 =12，因為 B1E = Jec2 + BC2 -2 父 EC1義 B1c1cos120 二 舊.所以 BE _LBE ,又 AB _L平面 BB1C1C，且 BE u 平面 BB1C1C ,所以 BE .LAB , ABCBE = B,所以BE，平面ABE,因為AE=平面ABE,所以 RE _LAE .（2）以B為原點建立如圖所示空間直角坐標系，,Ai（-iJ3,V2）,則 a（o

21、,o,a/2）, Bi（-1,73,0）,所以 B1 = -,-,0ab1 =（-1,73, -72）, Ae = i-,-V2 ,I22 J222；r、一. 一.，一 T .設平面ABiE的法向量為n=（x,y,z ）,設平面ABE的法向量為m = （a,b,c）,則事n AAB1 n = 0.3x - y =0x3y . 2z-0取 n=（i,V3,T2）,皿 BiE m -0 則 1 .AiE m =0 3aSa -y =0-,3b-2.2c-0取 m=（1,j3,0）所以 cos n,m =mpfnl| 2MA/6_63即二面角A Bi E A的平面角的余弦值為 9.（河南省重點高中2

22、019屆高三4月聯合質量檢測數學理）在四棱錐 “日中，底面-虹口為平行四邊形，平 面PHD1平面ABCD, APAD是邊長為4的等邊三角形，打。月，營是血的中點.（1）求證：hepd；匹若直線疑與平面所成角的正弦值為4 ,求平面與平面前所成的銳二面角的余弦值 出【答案】（1）見證明；（2）6【解析】（1）因為是等邊三角形，E是，山的中點，所以 又平面PAD L平面/WCD ,平面PAD門平面ABCD二八口 , PE c平面PAD所以PE 1平面ZIBCD.所以PE工吟 PE 1EE又因為 HU1PH, PBrPE = P所以BC_L平面PEE.所以BCVBE.又因為BC/AD ,所以/ID_L

23、BE.又,4門門睦二£且力Q, PE匚平面所以RE_L平面內D.所以 由（1）得BE _L平面小D.所以就是直線小8與平面為1D所成角.、運展1 sinBAE - cosz.BAE =-因為直線71日與平面加。所成角的正弦值為 4 ,即4 ,所以4.AE 21所以, 一小廠小廠4,解得加=2 .則用"（加 TE2 = A1g由（1）得以，e巴二兩兩垂直，所以以e為原點，e/i,eb,。士所在的直線分別為安, y, e軸,建立如圖所示的空間直角坐標系，則點P（0,02日），W.O0）,/-2,。月）氏。，八位口），a-4,人話嘰所以曲=S - ?病,無=-詆令平面PT'

24、;的法向量為m = 3y0 ,則fP_R-m 0, 2/15y - 2串罡=0,匯=仇由PC rn = 0,得-袤+乙回-入出 = 0,解得U =/F，令” =1,可得平面PBC的一個法向量為而=1。工;易知平面辦力的一個法向量為7 =（o,o）,八,m-ni （0,1協0,1,0） 水設平面P/1D與平面PRC所成的銳二面角的大小為。，則 問間 優(yōu)乂1 6 .擊所以平面P/W與平面演匚所成的銳二面角的余弦值為 £.10.(天津市北辰區(qū)2019屆高考模擬考試數學理)如圖，在四棱柱八*3%即小中，側棱八1"，底面ZIHCZ ,AR 1吟叢區(qū)=1, AC = AA1=2八口 =

25、 8 = ®且點時和n分別為比心和的中點(I)求證：MN|平面百ECD；(II)求二面角01一'10一'的正弦值；1(III )設E為棱/氏上的點，若直線NE和平面/1HC 口所成角的正弦值為3,求力避的長。18713【答案】見解析(II)65(iii)4jE=S-2【解析】(I)以力為原點，建立如下圖所示的空間直角坐標系：則月(0,0,0),鞏以。),汽2a0), 0(1,-2,0)人吟叼。,10 CQ,。© %(L-2Z ? ? ?平面力Hm的法向量磯二GW),公麗,面.即(II)設面的法向量防二(勿，且口出=(-13叫*=(2L-幻.( jt + 3y

26、 = 0' 2x-y-2z = (令y 則工=6, "5.前二g2設面從阻的法向量"二(如為4，且疝=(2A0),力瓦二(0JZ2/=0n+ % = 0,令的=，則*1 = 0, V1 =2aA = (0,-24)m - n -4 + 513|m|n| i/65 x 65a sin < m.n >=1&/H65/- ct7s < m,n >= =-=|co5 < N EtAA 1 >NE-AA|N同Ji + (a + 2)z + ix218/13即二面角"if 一八的正弦值是65(III)設即-幻，則近= (L1

27、+ 2J)又面/IH。的法向量力公=10他幻二2 + 9 + 2)工=9,解得：盤=$-2或3=-小一？(舍).困3 2,2),即且/="-211.(東北三省三校(遼寧省實驗中學、東北師大附中、哈師大附中)2019屆高三第三次模擬考試數學理)如圖四棱錐-百月。°中，P/，底面4月CD,必是邊長為2的等邊三角形，且叢E = Bt? =蠡，P4 = 2,點時 是棱PA上的動點.(I)求證：平面產力0'平面PRD；(n)當線段最小時，求直線ME與平面PW所成角的正弦值【答案】證明見解析；(n) 10.【解析】(I)證明：: P厘底面EC°,舊口二底面八EC。,.

28、PA 1 HD取/IC的中點0,連接OBfOD是等邊三角形，AB = BC,.ACLOB 4Cl。,，點。月內共線，從而得ACLBD,又P百門瓶二/，1 平面!)AC,.&Du 平面 PBD,平面PAC，平面PR，(n)解：取CP中點E,連接0E,則口 E/P八,E。-L 底面 ABCD.0二。,。£兩兩垂直,以“為原點如圖建立空間直角坐標系 ",則則-L0) ,01,。,。)必。淄產(TO0 ,-,設平面PBD的法向量為=(加), 爐.即=峭+l)y = 0" = 0由門的二7十八陵=0 ,得& =勿，令” =1,得屋。,1).設施M取0工收1)

29、,則則二曲+而二(1-冽1卻)，出而I = '(1 - 2A)2 + I2 + (2A)2 =-1p + | )二當"一4時，網有最小值，且“叫伽。，此時-Q'%).設直線MB與平面PR。所成角為，1 +-2回101HMiT回，直線ME與平面PR口所成角的正弦值為"w".12.（安徽省蚌埠市2019屆高三年級第三次教學質量檢查考試數學理）如圖，在以 P為頂點，母線長為、田的圓錐中，底面圓門的直徑乩月長為2,是圓門所在平面內一點，且小匚是圓。的切線，連接月C交圓0于點D,連（1）求證：平面p百匚,平面p用% 若E是也的中點，連接 吃 嗎 當二面角日-

30、PO-B的大小為121r時，求平面JW；與平面即E所成銳面角的余弦值.叵【答案】（1）詳見解析；（2） 13【解析】 解：（1）加，是圓"的直徑，/c與圓。切于點4/cl/RPOCAB=O TIC_L 平面囪日.71cl 呀用PA = PB = AB又.在 APM 中，2? PAL PRPArAC = A PH 1平面P4C,從而平面PC，平面P8C.。打即。為二面角拄-PU-D的平面角,如圖建立空間直角坐標系，易知Ofi = 1,D則以仇-LO）,以0,L。），苜,叩咽，T 2*2利,由（1）知信二所二O.-Ll）為平面巴10的一個法向量, 設平面?？贓的法向量為7 =圖1圖285

31、肛門）2, E,PAEX.門0J：門.n門"0 =。? ? ? ?fJS11x y -I- -z = 0322-J3y + y/3z 0卡工-y = 0事1 n122 ，即 故平面ODE的一個法向量為n=（4331）,m - ny/26|rn| - n1313.（北京市房山區(qū)2019年高考第一次模擬測試數學理）如圖 1,在矩形ABCD中，AB = 4, AD = F,。分別為DC, AE, BC的中點.以AE為折痕把AADE折起，使點D到達點P的位置，且平面 平面ABCE （如圖2）.（I ）求證：BC，平面POF;（n ）求直線PA與平面PBC所成角的正弦值；PMBB（出）在線段

32、PE上是否存在點 M,使得AM /平面PBC?若存在，求 腱 的值；若不存在，說明理由2尿【答案】（I）見解析；（n）11 ；（出）見解析【解析】（I ）在矩形 ABCD 中，AB =4, AD = 2, E 是 CD 中點，所以 DA = DE ,即 PA=PE,又F為AE的中點，所以 PF± AE,又平面 PAEL平面 ABCE ,平面 PAEH平面 ABCE = AE ,PF?平面PAE,所以PFL平面ABCE , BC?平面ABCE ,所以PFXBC,由F, O分別為AE, BC的中點，易知FO / AB ,所以OFBC,所以BC,平面POF,（n ）過點O做平面ABCE的垂

33、線OZ,以。為原點，分別以 OF, OB, OZ為x, y, z軸建立坐標系 O- xyz,則加=（一 L-曲=- 1,必£否=52。）,設平面pbc的法向量為n = （% y,力（l/P . 7 = 0 f3x - y 十 yf2z - 0-由匕鼠得！ 2尸=。，令z=3得-圖。，3）,一 一 n-AP 、泛+ 3痣入之cas<n. AP> =-=-=同|叫 27n112422 所以直線PA與平面PBC所成角的正弦值 11 .（出）在線段PE上不存在點 M,使得AM /平面PBC.證明如下：PM .a點M在線段PE上，設依則P宓="E, 1EO，“，AM =

34、AP + PM =AP + APE = （-1-At-1-九業(yè) 1 -用） ,若AM /平面PBC,貝M前由瘋。=0得（-l-Z-l-Z/1-4）.（-用口3）= 0 解得入=2?0, 1所以在線段PE上不存在點 M,使得AM /平面PBC.14 .（湖南省長沙市第一中學2018屆高三下學期高考模擬卷三數學理）如圖，菱形百。的對角線"匚與f用交ZF = CF = S,于點0,封=6,點百，F分別在4口，CD±4 EF交ED于點H.將川?F沿府折到M EF的位置，.0rI)H（I）證明：平面DEF _L平面再HG）；（n）求直線匚d與平面同6。所成角的正弦值.【答案】（I ）

35、見解析.（12x/38 n)【解析】5AECF = -(D 4,AE CF.川廣CD,.叼%.四邊形/BCD為菱形,. ACLBD . EF1BD - EF LDH"匚=6,.八。二3；再E0H = - 00=10B = 4AD，, ,.所二D力:上 . |。砰=3+|D"|Dj_m又.UHCEFM, .DH1 平面八BCDH匚平面D EF平面DEF 1平面4月CO（n）建立如圖坐標系則氏&。內），匚（1,工0）,以口川八（I“）? ?二(%3,0) AD = - 1,3,3) ?設平面ABD的法向量幾二（芯，*）,4x + 3y = 0-x + 3y + 3 =

36、0F x = 3，y =- 4,取(“5設直線。爐與平面ABD所成角為9,CDn |-3 + 12 + l5| 12 甚CDn S# 廖9S5 加日=15.（安徽省蕪湖市2019屆高三5月模擬考試數學理）如圖，已知圓柱啊,底面半徑為1,高為2, ARCD是圓柱的一個軸截面，動點 即從點日出發(fā)沿著圓柱的側面到達點 D,其路徑最短時在側面留下的曲線記為: 將軸截面月月G）繞著軸“內，逆時針旋轉a （0曰五）角到/自位置，邊/加與曲線相交于點P.7Tl9 =（1）當 2時，求證：直線"""平面/尸/旺9 =（2）當 匕時，求二面角。2的余弦值.213【答案】（1）證明見

37、解析；（2）13 .【解析】河0 二一（1）方法一：當 2時，建立如圖所示的空間直角坐標系,則有出0. L口），W（M，P（ LOJ）,"一"，為"1,0曲口式LO ?=腦=0,2,0）,仆=（-LL1）.設平面RHP的法向量為R二（七廠/），則i_k + y + z = 0,可取了=1,得元= （L（U）, DiElT0-2） %即加.所以直線01務,平面八PR.方法二：在正方形中，,，）用必£ ,.""明 ,AB1002 ，AB1A1B1 ABl叫門41HL °） 平面又與與仁平面2£氏所以 AfflFM,又。

38、P。必，ABnOP = O 嗎 UFu 平面ME所以直線以1外 1平面APR.冗J =（2）當一匕時，以月8所在直線為y軸，過點。與4月垂直的直線為丁軸，門內所在的直線為工軸建立如圖空間直角坐標系，可得勺? 2號J,所以? 2+切，設平面用研的法向量為皿=卜必/），則, =。1 - -x-j +十 1）十-z1 0q -2 121 W，可取“上，得m =乙0司又平面的一個法向量為幾二(1,0,0),則2再再邊長為所以二面角的余弦值為13 .16.(山東省泰安市2019屆高三第二輪復習質量檢測數學理)如圖，正方形“e CE 1 DE,CE -AB面即，2.【答案】(1)證明見解析；(2) 5 .

39、【解析】(1)證明：平面八BCD，平面CDE,平面力aCOD平面匚DE = CD1 平面 5E ,又月。匚平面。DE,.又.YEIDE, HnDF=f), &D, DE 匚平面百隧，CE L 平面 /W”,又HE匚平面4力E二三.二？(2)解：如圖，以D為坐標原點，建立空間直角坐標系 口 一 呼則或口,o,6,見/弭o）, “（uo）1歷EC aE 0 tiBa I在直角AGJF中，2 DC = a易得14 4 J,由（1）知山為平面且DE的一個法向量,面=9M0：|,設,1二茁V7）是平面BDE的一個法向量n .叩=0則n 庇=0令 r = 1,則 y =_ 1, z = <3

40、13q » T7十一口 有廣e 門僅 442J5 cos 飆- 小 =-向陽x|5亥ABCD的底面是菱形,，二面角八-DE-舊的余弦值是5 .17.（廣西桂林市、崇左市 2019屆高三下學期二模聯考數學理）已知四棱錐7T"口。二一3, S月,底面4Hm , £是上的任意一點.（1）求證：平面W L平面；（2）設,軌二胃舊=2,是否存在點丑使平面"ED與平面所成的銳二面角的大小為30° ?如果存在，求出點E的位置，如果不存在，請說明理由.【答案】（1）見解析；（2）見解析.【解析】(1)證明：，平面 RH仃)，匚平面S4 J_ 月。四邊形HHC。

41、是菱形，.小匚門/16 =八，.RDJ.平面5RC.日Du平面ERD, .平面EED_L平面.MC. 設力匚與地的交點為°,以。仃、所在直線分別為工、>軸, 以過。垂直平面力的直線為/軸建立空間直角坐標系(如圖)，則蟲-1,0,0),鹿 1,0,0), S(-vu),見口色郎0)設股/則宛=(m+ V)tz-2)EC = 1-Xfo 幻設雷二力比，j >1 1 x ：+ 12 z -一】十1“一小卜：正；+ 11,設平面加月的法向量n =(工14口),fn IDE n-DE = 0 冷. U KP = 0 .求得輸=QMJ -外為平面AQE的一個法向量.同理可得平面

42、63;百。的一個法向量為 后=(',包-1，。).平面日即與平面5/W所成的銳二面角的大小為30m n K-LO） （2A1-Z）| 平.-. 同，m|24 + ci-a）2 ：解得：i = i.E為宛的中點.18 .（山東省青島市2019屆高考模擬檢測數學理）如圖，在圓柱皿中，點內、。?分別為上、下底面的圓心，平面是軸截面，點H在上底面圓周上（異于N、F）,點G為下底面圓弧ME的中點，點H與點6在平面MMFE 的同側，圓柱 印的底面半徑為1,高為2.（1）若平面1平面NHG，證明：NG LFH.屏（2）若直線N”與平面NFG所成線面角厘的正弦值等于6 ,證明：平面與平面MNFE所成銳

43、二面角的平JT面角大于.【答案】（1）見證明；（2）見證明【解析】（1）由題知：面.口1面NHG,面面.MHG=NH,因為NH1FH, FHu平面卅，所以FH 1平面可& , NG仁平面NHG所以（2）以點出為坐標原點,分別以©聲,°狎，為七人工軸建立空間直角坐標系 吁叮，所以砥0.-10,虱1,孫，F（UZ,設則興+ M=1,而= （rn浦+ 1"設平面N”的法向量ni =卬力否），科 死=。（工1，避1） （1,-2）二。因為曷心二° ,所以i （打必由）電孫二。，比1 +打-2/ =。所以（2當=。，即法向量自二（24/）.元sina =2

44、mX Jm* + (n + I)2設面NHG的法向量丐士（勺，力乃）,低標二0n2 JVH = 0（工別/力（14, -2）-0 廣（萬先巴），三號口上。 ，所以 I12 2）,因為CGSti =:-因為面的法向量自二 O ,所以 卜川闖JT所以面NHG與面MMFE所成銳二面角的平面角大于3.因此W川司19 .（四川省攀枝花市 2019屆高三下學期第三次統考數學理）已知三棱錐P-ABC （如圖一）的平面展尹圖（如圖二）中，四邊形 ABCD為邊長等于2J2的正方形，&ABE和ABCF均為正三角形，在三棱錐P-ABC 中:圖二圖一(I )證明：平面PAC _L平面ABC ；PM 1(n )

45、若點m為棱pa上一點且 =,求二面角 P - BC - M的余弦值.MA 2【答案】(I )證明見解析；(n)述.3【解析】解：(I )設AC的中點為O ,連接BO , PO .由題意，得 pa=pb=pc=272, PO=2, AO = BO=CO=2.在 APAC 中，PA=PC , O為 AC 的中點，.PO_LAC,在 &POB 中，PO = 2, OB = 2, PB=2>/2， PO2+OB2=PB2, - PO _LOB.,zACAOB=O, AC, OB 匚平面 ABC,二 PO_L 平面 ABC, P PO仁平面PAC，二平面PAC _L平面ABC .B(n )

46、由 PO_L 平面 ABC, OB_LAC, .PO_LOB, PO _L OC ,于是以OC, OB, OP所在直線分別為X軸，y軸，z軸建立如圖示空間直角坐標系,則 O(0,0,0 ), C (2,0,0 ), B (0,2,0 ), A(-2,0,0 ), P(0,0,2 ),2M -,0,3-j,竊=(2,-2,0), 3褪=(2,0,-2 ),胡=3,0,設平面MBC的法向量為m = (x1,y1,Z1 ),m bC =oxi - yi = °則由j 信：.令 X=1,得 y1=1, z<i=2,即 m = (1,1,2).m MC =o2x1-乙二o設平面PBC的法

47、向量為n = (x2,y2,z2 ),由得nBC=0x2.y2=0* 弁 o ： 0 ,令 x=1 ,得 y =1, z=1,即 n = (1,1,1 卜cos n mmpn>/182 2 一.由圖可知，二面角 P - BC - M的余弦值為320.(福建省泉州市2019屆高三第二次(5月)質檢數學理)四棱錐 P-ABCD中,PDABCD ,AB_LAD, AD/BC, AB=1, AD=2BC=V2，PD = 6 .(1)求證：平面PBD _L平面PAC ；(2) M為棱PB上異于B的點，且 AM _L MC ,求直線AM與平面MCD所成角的正弦值.【答案】(1)見解析(2)翌羽13【

48、解析】(1)證明：在RABC與RtL ABD中，因為 型 =Y2 , 幽二互,AB 2 AD 2一,BC AB0_ _ _ _所以 =,/ABC =/DAB =90°，即 MBC ADAB ,所以 /ABD =/BCA.AB AD因為 NABD +/CBD =90°，所以/BCA+/CBD =90°，所以 AC! BD .因為PD _L平面ABCD, AC仁平面ABCD ,所以PD _L AC,又 BD c PD = D ,所以 AC _L平面 PBD ,又AC二平面PAC ,所以平面PBD .L平面PAC .(2)過A作AE/DP,因為PD_L平面ABCD,所以

49、AE_L平面ABCD ,即AE, AB,AD兩兩相垂直,以A為原點，AB, AD,AE所在的直線為x, y, z軸，建立空間直角坐標系，因為 AB =1 , AD=2BC=72，pd=T3,所以 A 0,0,0 , B 1,0,0 , C 1,一,0 , D 0,72,0 , P(0,V2, J3), I 2 JAB =(1,0,0 ), BP=(1,，2, J3 ), CB=；0,學,0 ,因為設 BM =，uBP,九10,1.則 AM = AB+，.BP=(1 %J2%J3，j,AM 1 MC ,所以 AM CM =0，即(1 一1一 一1斛信6九2 -2九=0 ,九=0或九二一.因為九三

50、(0,1，所以九二一.33777t 2近娓口”2& M、所以 AM = , ，即 M , .1333,© 33 j設n =儀0,丫0,4 )為平面MCD的一個法向量，則n DM =0n DC =02X03223-y0Z0 - 0332 nX。 y。= 02所以取n=盤石五i I2)設直線AM與平面MCD所成角為6 ,sin：所以直線AM與平面MCD所成角的正弦值 2回1321.（福建省龍巖市2019屆高三5月月考數學理）如圖，在三棱錐D-ABC中，AABC為等邊三角形,/DAC =/DAB, ABCD面積是AABC面積的兩倍，點 M在側棱AD上.DB（1）若BM ±

51、AD，證明：平面 ACD 1平面BCM ;. _. . 9k _. .一_.一 （2）若二面角D -BC - A的大小為2-,且M為AD的中點，求直線 BM與平面ACD所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2） 3113(1)證明：因為 AC =AB,/DAC =/DAB ,所以 MCDMBD ,所以DC =DB .取 BC 中點 O,連結 DO,AO ,所以 DOBC, AO ± BC ,因為AO DO =O ,所以BC,平面AOD ,所以BCXAD ,又因為 BM ±AD , BCCBM =B,所以AD，平面BCM ,所以平面 ACD，平面BCM .（2）由（1）

52、知，/DOA是二面角D-BC-A的平面角,過D作DG_LAO交AO延長線于G,因為BCL平面AOD, DG U平面AOD ,所以 BC _L DG ,因為AOcBC =O ,所以DG，平面ABC .Z軸的正方向建立空間直角坐標系,如圖，以。為原點，以OA，OB, GD的方向為x軸，y軸,設 AB=2a (a >0 ),則 AO=*a,又因為 SBCDD =2SABCD ,所以 DO =2OA =2V3a,在 RtDGO 中，/DOG =-, 3所以DG =3a , OG =擷，所以所以D(-x/3a,0,3a),C(0,-a,0 JB(0,a,0 ),A(場0,0 ),DA =(2>/3a,0, -3a ), DC =(£a, a, 3a ),= (x,y,z)是平面DCA的