材料-管理數(shù)學02-03-函數(shù)曲線

1、第三節(jié) 函數(shù)性質(zhì)與曲線上一節(jié)我們研究了曲線的變化率問題，這一節(jié)我們來了解函數(shù)曲線各種性質(zhì)以及如何來描繪曲線。首先要討論的是函數(shù)的連續(xù)性，依據(jù)函數(shù)是否具有連續(xù)性，可以將函數(shù)分為2種，離散函數(shù)和連續(xù)函數(shù)。一、 函數(shù)的連續(xù)性想給函數(shù)連續(xù)性下一個定義的話，必須了解幾個基本概念。1、 極限最早定義：如果代表某變量的一串數(shù)值無限的趨向于某一固定值時，它可以任意小，那么這個固定值就叫做這一串數(shù)值的極限 轉引自：極限概念的形成， 。（1821年由法國數(shù)學家柯西（Cauchy，17891857），在分析教程給出）但是這個定義無法說明什么是無限趨向于？什么是任意??？標準定義是由德國數(shù)學家魏爾斯特拉斯(Weiers

2、trass，18151897)提出的：設函數(shù)f(x),|x|大于某一正數(shù)時有定義，若存在常數(shù)A，對于任意>0，總存在正整數(shù)X，使得當x>X時，|f(x)-A|<成立，那么稱A是函數(shù)f(x)在無窮大處的極限。設函數(shù)f(x)在x0處的某一去心鄰域內(nèi)有定義，若存在常數(shù)A，對于任意>0，總存在正數(shù)（德爾塔小寫），使得當|x-xo|<時，|f(x)-A|<成立，那么稱A是函數(shù)f(x)在x0處的極限 轉引自：百度百科-極限， ，這種表示極限的方式也被叫做-法。具體的幾何含義就是：當x在x0的去心鄰域時，函數(shù)y=f(x)完全落在以y=A為中心線，寬為2的帶形區(qū)域內(nèi)，而不管

3、有多小。極限定義：2、 極限的計算：計算limxcf(x)一般步驟：1、 將x無限趨近于但是不等于c，簡化f(x)。2、 計算標準部st(f(x)。如果極限limxcf(x)存在，必然等于st(f(x)。例：3、 極限運算法則：4、 未定式計算：如果當x->x0(或者x->)時，兩個函數(shù)f（x）與g（x）都趨于零或者趨于無窮大，那么極限lim f(x)/g(x) (x->x0或者x->)可能也存在，也可能不存在，通常把這種極限稱為未定式或者未定型，分別用0/0和/來表示。對于這類極限，不能直接用商的極限等于極限的商來求，通常用洛必達法則求解。0/0型：如果 1. 當xa

4、時，函數(shù)f(x)與F(x)都趨于零； 2. 在點a的某去心鄰域內(nèi)，f(x)和F(x)都存在，且F(x)0 3. limxaf'(x)F'(x)存在（或為無窮大）， 那么limxaf(x)F(x)=limxaf'(x)F'(x)/ 型：如果 1. 當xa時，函數(shù)f(x)與F(x)都趨于； 2. 在點a的某去心鄰域內(nèi)，f(x)和F(x)都存在，且F(x)0 3. limxaf'(x)F'(x)存在（或為無窮大），那么limxaf(x)F(x)=limxaf'(x)F'(x)5、 函數(shù)連續(xù)性通過對極限的定義和計算，我們可以得出連續(xù)的定義

5、：連續(xù)的幾何示意圖：連續(xù)的定理：如果f在一個區(qū)間內(nèi)各點都連續(xù)，則稱f在該區(qū)間連續(xù)。6、 連續(xù)與可導的關系一般人會直覺上認為連續(xù)的函數(shù)必然是近乎可導的。即使不可導，所謂不可導的點也必然只占整體的一小部分。早期的許多數(shù)學家，包括高斯，都曾經(jīng)假定連續(xù)函數(shù)不可導的部分是有限或可數(shù)的。這可能是因為直觀上想象一個連續(xù)但在不可數(shù)個點上不可導的函數(shù)是很困難的事。但是魏爾斯特拉斯在一次學說報告中提出一個處處連續(xù)而處處不可導的實值函數(shù)，即魏爾斯特拉斯函數(shù)(Weierstrass function)，是一種無法用筆畫出任何一部分的函數(shù)，因為每一點的導數(shù)都不存在，畫的人無法知道每一點該朝哪個方向畫。魏爾斯特拉斯函數(shù)的

6、每一點的斜率也是不存在的。因此在今后的定義中，都強調(diào)連續(xù)且可導。二、 函數(shù)單調(diào)性設函數(shù)f(x)在某區(qū)間D上游定義，對于任意x1，x2D，且x1<x2。1） 若f(x1)<f(x2)，則稱函數(shù)f(x)在D上單調(diào)增加。2） 若f(x1)>f(x2)，則稱函數(shù)f(x)在D上單調(diào)減少。函數(shù)單調(diào)性判別定理設函數(shù)y=f(x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導。1） 如果在(a,b)內(nèi)恒有f(x)>0，則f(x)在a,b上單調(diào)增加。2） 如果在(a,b)內(nèi)恒有f(x)<0，則f(x)在a,b上單調(diào)減少。該定理的證明方法需要使用拉格朗日中值定理，關于該定理，請同學自己去查找和學習

7、。例：確定函數(shù)fx=2x3-9x2+12x-3的單調(diào)區(qū)間解：f'x=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2) 令f'x=0，得x1=1和x2=2，以x1，x2為分點，將函數(shù)的定義域（-,+）將分為三個子區(qū)間：(-,1),(1,2),(2,+)。然后分別討論f'x和fx的增減性，其結果列表：區(qū)間(-,1)(1,2)(2,+)f'x+-+fx三、 有界性設函數(shù)f(x)在集合D上有定義，如果存在常數(shù)M，使得對任意的xD，恒有1） f(x)<M (M>0)，則稱函數(shù)f(x)在D上有界，否則稱f(x)在D上無界。2） f(x)<M ，則稱f(x)在D

8、上有上界。3） fx>-M ，則稱f(x)在D上有下界。可以很容易發(fā)現(xiàn)，函數(shù)的界限同極限和函數(shù)的最值有關。1、 最值設函數(shù)f某區(qū)間內(nèi)連續(xù)，我們經(jīng)常會發(fā)現(xiàn)存在一個點c，對于所有的函數(shù)值，f(c)的值最大（最?。覀兎Q之為最大值（最小值）。具體定義為：函數(shù)的最大值和最小值只能在一些確定的點，我們將這些點叫做關鍵點（critical points）關鍵點存在著下列的規(guī)律，我們稱之為關鍵點定理（critical point theorem）：很顯然，當函數(shù)是連續(xù)并單調(diào)的，我們根據(jù)關鍵點定理可以很容易的找到最大（小）值，但是如果函數(shù)連續(xù)而不單調(diào)就稍微麻煩一些，我們將使f(x)=0的點，叫做函數(shù)f

9、(x)的駐點，我們發(fā)現(xiàn)使駐點不一定都是最值點，但是最值點只能在駐點、導數(shù)不存在的點或者區(qū)間端點。對于那些并非最大（?。┲担窃卩徲蚍秶鷥?nèi)最大（?。┑闹担覀兎Q為極值。2、 極值：設函數(shù)f(x)在點x0的某鄰域內(nèi)有定義，如果對該領域內(nèi)的任意點x(x=x0)，均有f(x)<f(x0)，則稱f(x0)是f(x)的極大值，稱x0是f(x)的極大值點。（極小值也可以類似定義）3、 極值第一判別法設函數(shù)f(x)在點x0的某一空心領域內(nèi)可導，且在點x0連續(xù)。1） 如果在點x0的左鄰域內(nèi)有f(x)>0，在點x0的的右領域內(nèi)有f(x)<0，則x0是f(x)的極大值點；2） 如果在點x0的左鄰

10、域內(nèi)有f(x)<0，在點x0的的右領域內(nèi)有f(x)>0，則x0是f(x)的極小值點；3） 如果在點x0的空心鄰域內(nèi)f(x)恒為正或恒為負，則x0不是f(x)的極值點。例：求函數(shù)fx=(x-1)2(x+1)3 的極值第1步：求導數(shù)fx=x+12(5x-1)(x-1)第2步：令fx=0，得駐點 x1=-1，x2=1/5，x3=1；第3步：列表討論X(-,1)-1(-1,1/5)1/5(1/5,1)1(1,+)f(x)+0+0-0+f(x)非極值極大值極小值4、 極值點第二判別法設x0是函數(shù)f(x)的駐點，且有二階導數(shù)f(x0)0，則：1） 當f(x0)>0時，x0是f(x)的極小

11、值點；2） 當f(x0)<0時，x0是f(x)的極大值點例：求函數(shù)fx=x3-3x 的極值解題過程略請同學們考慮最值和極值的關系？最值和有界的關系四、 函數(shù)凸凹性在下圖中，我們可以看到2個函數(shù)都是單調(diào)上升的，但是上升的方式存在不同：設函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導，如果曲線y=f(x)上任意一點處的切線都在曲線上方，則稱該曲線為向上凸的（下凹cancave downward、凸?。?，反之則稱為下凸的（上凹cancave upward、凹?。?。凸凹性判別定理設函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)二階可導，則有：1） 若在(a,b)內(nèi)有f''x>0，則曲線y=f(x)在(

12、a,b)內(nèi)向下凸（用符號表示）；2） 若在(a,b)內(nèi)有f''x<0，則曲線y=f(x)在(a,b)內(nèi)向上凸（用符號表示）；例：求函數(shù)fx=2x3-3x2+12x+14 的上凸區(qū)間和下凸區(qū)間。連續(xù)曲線上凸弧和下凸弧的分界點，稱為該曲線的拐點。例：求函數(shù)fx=35x53-32x23+1 的上凸區(qū)間和下凸區(qū)間及拐點。五、 曲線的漸近線如果曲線y=f(x)上移動點沿曲線無限遠離原點時，無限接近某直線，則稱此直線為曲線y=f(x)的漸近線。漸近線可以分為水平漸近線、垂直漸近線和斜漸近線：1） 如果limx+f(x)=c 或 limx-f(x)=c ，則稱直線y=C 為曲線y=f(x)的水平漸近線。2） 如果