小學(xué)數(shù)學(xué)六年級有關(guān)疑難問題解讀

1、小學(xué)數(shù)學(xué)六年級有關(guān)疑難問題解讀天河區(qū)教研室 周峰1 . 自然數(shù)在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的定義與在小學(xué)數(shù)學(xué)課本中的說明有什么不同？【自然數(shù)】 “數(shù)”（shù）起源于數(shù)（sh），一個、一個地數(shù)東西。由此而產(chǎn)生的用來表示物體個數(shù)的數(shù)一，二，三，就叫自然數(shù)。零表示沒有東西可數(shù)，零也是一個自然數(shù)?！耙弧笔亲匀粩?shù)的單位。任何一個自然數(shù)都是由若干個“1”組成的?！咀匀粩?shù)的產(chǎn)生】 自然數(shù)概念的產(chǎn)生，經(jīng)過了漫長的歲月。首先，產(chǎn)生的是“有”、“無”的概念。原始人在打獵、捕魚或采集果實時，對于獵物或果實的有、無是最為關(guān)心的。然后，“有”的概念進一步分化為“多”和“少”。為了比較多少而使用一一對應(yīng)的方法時，必然會遇到“

2、同樣多”的物體集合（即等價集合）。等價集合被歸入一類，并且從中選出一個大家熟悉的集合來表示這類集合的共同性質(zhì)。其實質(zhì)就是用具體的集合形象地表示數(shù)目的多少。例如，用一個人的耳朵的集合作為一類等價集合的代表。逐漸地，這類等價集合被稱為“耳”。最后，脫離具體的事物集合，用專門術(shù)語表示一類等價集合的共同性質(zhì)。于是，“耳”就演化為“二”。自然數(shù)“二”的概念就這樣產(chǎn)生了。（圖11）有、無多、少用具體集合來表示一類等價集合的共同性質(zhì)（如“耳”）脫離具體集合，出現(xiàn)專門名詞（如“二”）圖11表示自然數(shù)的名詞，許多都是從常見的實物演變而來的。如藏文“二”有“翼”的意思，梵文的“五”與波斯語的“手”相近。南美洲有些

3、地方干脆把“五”叫做“手”，“六”叫做“手一”，“七”叫做“手二”等等。這些事實都說明自然數(shù)的概念來源于實踐。【弗萊格羅素的自然數(shù)定義】 1884年，德國數(shù)學(xué)家、邏輯學(xué)家弗萊格（F.L.G.Frege 18481925）在他的著作算術(shù)基礎(chǔ)中，最先給出了自然數(shù)的定義。但這個成果當(dāng)時少為人知。直至1902年，英國數(shù)學(xué)家、邏輯學(xué)家和哲學(xué)家羅素（B.A.W.Russell 18721970）重新給出這個定義。在他們作出的被后人稱之為“弗萊格羅素的自然數(shù)定義”中，將每一個自然數(shù)定義為“可以建立一一對應(yīng)的所有的有限集組成的集。” 能和有限集A建立一一對應(yīng)的（即和A等價的）所有集組成的集稱為“集A的基數(shù)”。

4、記為。即=BBA其中，表示集的等價關(guān)系。為了使自然數(shù)的這個定義通俗易懂，有些用于教師教育的小學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論教科書將每一個自然數(shù)定義為“可以建立一一對應(yīng)的一類有限集的共同性質(zhì)”。以往的人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教科書在教學(xué)“5的認識”時，首先引導(dǎo)小學(xué)生觀察畫面上的五位解放軍、五匹馬、五支槍，以及五根小棒、五粒算珠、五顆五角星等不同的物體集合。然后，引導(dǎo)小學(xué)生尋求這些物體集合的共同點：“它們都是五個”?！拔濉本褪沁@些物體集合的共同性質(zhì)。從而初步形成自然數(shù)“五”的概念?？梢?，小學(xué)生對自然數(shù)的基數(shù)意義的 認識，和弗萊格-羅素的自然數(shù)定義實質(zhì)上是一致的。【皮亞諾公理】 為了建立自然數(shù)的公理化體系，意大利數(shù)學(xué)家和邏輯

5、學(xué)家G.皮亞諾（G .Peano 18581932）在1891年給出了關(guān)于自然數(shù)的五條公理：0是一個自然數(shù)。0不是任何其它自然數(shù)的繼數(shù)。每一個自然數(shù)a都有一個繼數(shù)。如果自然數(shù)a與b的繼數(shù)相等，則a、b也相等。（數(shù)學(xué)歸納法公理）如果一個由自然數(shù)組成的集合S包含0，并且當(dāng)S包含某一個自然數(shù)a時，它一定也含有a的繼數(shù)，那么S就包含全體自然數(shù)。皮亞諾的這一公理系統(tǒng)被稱之為“皮亞諾公理”，它標志著數(shù)學(xué)分析算術(shù)化運動的終結(jié)。參考書1中國大百科全書 數(shù)學(xué)中國大百科全書出版社1988年11月第1版，P220；321322；461；510。2中學(xué)數(shù)學(xué)教師手冊上海教育出版社1986年5月第1版，P1331。3邏輯

6、與小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)金成梁著，北京師范大學(xué)出版社2001年9月第1版，P1920。2 . 自然數(shù)的“基數(shù)意義”和“序數(shù)意義”有什么不同？【基數(shù)】 當(dāng)自然數(shù)0，1，2，用來表示有限集合中元素的個數(shù)時，這樣的數(shù)叫做“基數(shù)”。如“這幢住宅樓是5層樓”這里的“5”就是基數(shù)。【序數(shù)】 當(dāng)自然數(shù)被用來表示事物的排列次序時，這樣的數(shù)就叫做“序數(shù)”。如“我住在這幢住宅樓的5樓”，這里的“5”就是序數(shù)，表示“第5”的意思。上體育課時排成一列橫隊“報數(shù)”，排頭從“1”開始，報到排尾是“35”，那么這個“35”既表示這一隊學(xué)生共有35人，也表示排尾的學(xué)生是第35個。在一個句子里出現(xiàn)的自然數(shù)究竟是基數(shù)、還是序數(shù)，要根據(jù)語言

7、環(huán)境（即上下文）來判定。3. 自然數(shù)、正整數(shù)和整數(shù)之間的區(qū)別和聯(lián)系是什么？【正整數(shù)】 一個、一個地數(shù)東西而產(chǎn)生的、用來表示物體個數(shù)的數(shù)1，2，3，也叫正整數(shù)。當(dāng)我們數(shù)每一棵蘋果樹上有多少個蘋果時，可能遇到一個蘋果也沒有的情形。要數(shù)的東西一個也沒有，就用“0”表示。0與正整數(shù)統(tǒng)稱自然數(shù)?！矩撜麛?shù)】 為了表示現(xiàn)實世界中具有相反意義的量，人們引用了正數(shù)與負數(shù)。如“盈利5元”用“+5元”表示，“虧損5元”就用“5元”表示。這種在一個數(shù)前添加的表示它的“正”、“負”的符號叫做“性質(zhì)符號”。添加了性質(zhì)符號“+”或“”的數(shù)分別稱為“正數(shù)”與“負數(shù)”?！?”既不是正數(shù)，也不是負數(shù)。正數(shù)中的正號可以省略不寫。添

8、加了負號“”的正整數(shù)叫做負整數(shù)?！菊麛?shù)】 正整數(shù)、零與負整數(shù)統(tǒng)稱“整數(shù)”。（如圖1-2）自然數(shù)負整數(shù) 正整數(shù) 正整數(shù)，3，2，1，0，+1，+2，+3， 整數(shù) 零自然數(shù) 負整數(shù)整數(shù)圖12【皮亞諾的整數(shù)系】 皮亞諾在構(gòu)造了自然數(shù)系的公理后，又構(gòu)造了整數(shù)系。首先，用自然數(shù)偶（m，n）表示整數(shù)：用（m+n，m）表示正整數(shù)n；用(m，m)表示數(shù)0；用（m，m+n）表示負整數(shù)n。第二步，定義數(shù)偶的加法、乘法與大小關(guān)系：（m,n）+(k,l)=(m+k,n+l);(m,n) · (k,l)=(mk+nl,ml+nk);(m,n)(k,l)當(dāng)且僅當(dāng)m+ln+k.可以證明：經(jīng)過這樣定義的整數(shù)集滿足加

9、法與乘法的結(jié)合律、交換律和乘法對加法的分配律。它包含有數(shù)0，對任何整數(shù)n，有0+n=n還包含了單位元素1，對任何整數(shù)n，有1·n=n對于任何整數(shù)m、n，方程m+x=n總有唯一解。并且整數(shù)集關(guān)于“”構(gòu)成一個有序集。參考書中學(xué)數(shù)學(xué)教師手冊上海教育出版社1986年5月第1版，P1309。4 . 為什么以前規(guī)定“零不是自然數(shù)”，現(xiàn)在又規(guī)定“零是自然數(shù)”？1891年，意大利數(shù)學(xué)家G·皮亞諾在建立自然數(shù)的公理化體系時，給出的第一個公理就是“0是一個自然數(shù)”?？梢?，在歐美各國的學(xué)術(shù)界，這樣的觀點處于主導(dǎo)地位。1949年中華人民共和國成立后，歐美的一些主要國家聯(lián)合起來，對我國實行經(jīng)濟封鎖。

10、導(dǎo)致我國與原蘇聯(lián)訂立“中蘇友好互助同盟條約”，并且提出“向蘇聯(lián)學(xué)習(xí)”的口號。許多學(xué)科的教學(xué)大綱和教科書都是參照蘇聯(lián)的版本編譯的。M·K格列本卡著高等學(xué)校教學(xué)用書。算術(shù)P6中明確指出：數(shù)（sh）樹上的蘋果時，可能某一棵樹上一只蘋果也沒有。這時我們就說這棵樹上的蘋果數(shù)目為零。零就是沒有東西可數(shù)。零作為一個數(shù)，不屬于自然數(shù)。于是，“零不是自然數(shù)”的判斷在中小學(xué)數(shù)學(xué)課程中廣為傳播。20世紀80年代以來，為了實行對外開放，便于國際交流，在科技與教育上和國際接軌，在1993年頒布的中華人民共和國國家標準（GB3100-3102-93）量和單位（11-29）第311頁，規(guī)定：自然數(shù)包括零。隨后，在

11、進行中小學(xué)數(shù)學(xué)教材的修訂時，根據(jù)上述國家標準進行了修改。數(shù)物體時如果一個物體也沒有，就用0表示。0也是自然數(shù)。1994年11月國家技術(shù)監(jiān)督局發(fā)布的中華人民共和國國家標準，物理科學(xué)和技術(shù)中使用的數(shù)學(xué)符號中，將自然數(shù)集記為N=0，1，2，3，。而將原自然數(shù)集稱為非零自然數(shù)集N+（或N*）=1，2，3，自然數(shù)集擴充后，自然數(shù)的基數(shù)理論以及其他一些與自然數(shù)有關(guān)的理論問題隨之發(fā)生變化，如自然數(shù)加法與乘法的定義中要去掉原有的“非空”二字，對于與自然數(shù)有關(guān)的命題的論證，應(yīng)隨自然數(shù)擴充后作相應(yīng)調(diào)整。如數(shù)學(xué)歸納法證明的步驟應(yīng)是：1°驗證n=0時，命題成立；2°假設(shè)n=k1時命題成立，證明n=

12、k時命題仍然成立。從而與G·皮亞諾1891年給出的關(guān)于自然數(shù)的公理一致。科學(xué)概念的定義，它的內(nèi)涵與外延的明確界定，本來就是一種人為的規(guī)定。它可以隨著科學(xué)、技術(shù)的發(fā)展而由權(quán)威科學(xué)家的群體重新定義。不久前，天文學(xué)家對“行星”的重新定義使得冥王星不再是我們這個太陽系的九大行星之一。【自然數(shù)的分類】 規(guī)定“0是自然數(shù)”后，自然數(shù)按約數(shù)個數(shù)的分類也將發(fā)生變化（如圖13）：0，1質(zhì)數(shù)（有且只有2個約數(shù)）自然數(shù)合數(shù)約數(shù)合數(shù)（有3個或3個以上的約數(shù)）1（只有1個約數(shù)）自然數(shù)0（0以外的任何數(shù)都是它的約數(shù)）圖1-3 參考書高等學(xué)校教學(xué)用書算術(shù)，M·K·格列來卡著，商務(wù)印書館，195

13、7年4月5日版5. “自然數(shù)集”、“自然數(shù)列”和“擴大的自然數(shù)列”有哪些區(qū)別和聯(lián)系？自然數(shù)列有哪些基本性質(zhì)？【自然數(shù)集】 所有的自然數(shù)組成的集合叫做“自然數(shù)集”?！炯细拍睢颗c【非集合概念】“自然數(shù)”和“自然數(shù)集”是兩個不同的概念。我們可以說“3是自然數(shù)”，但不能說“3是自然數(shù)集”。因為“自然數(shù)集”是一個集合概念，即從整體上反映一個集合體的概念?！白匀粩?shù)”則是非集合概念。作為練習(xí)，試區(qū)分下面的概念中，哪些是集合概念，哪些是非集合概念：（1）到A、B兩點距離相等的點；（2）到A、B兩點距離相等的點的軌跡；（3）中國數(shù)學(xué)家；（4）中國數(shù)學(xué)協(xié)會。【自然數(shù)列】 將所有的自然數(shù)按照從小到大的順序排成一列

14、，0，1，2，3，這樣的一列數(shù)叫做自然數(shù)列。“自然數(shù)列”和“自然數(shù)集”都必須包括所有的自然數(shù)，但它們的區(qū)別就在于自然數(shù)集不講究所含元素的順序，而自然數(shù)列中所有的自然數(shù)都必須按照從小到大的順序排列。只要有一處違反了這樣的順序，如0，2，1，3，它就不是自然數(shù)列。當(dāng)然，少了一個自然數(shù)的數(shù)集或數(shù)列也不再是自然數(shù)集或自然數(shù)列?！咀匀粩?shù)列的性質(zhì)】 自然數(shù)列有以下性質(zhì)：（1）有始。自然數(shù)列是從0開始的。0不是任何其它自然數(shù)的繼數(shù)；（2）有序。每一個自然數(shù)都有且只有一個繼數(shù)；除了0，每個自然數(shù)都有且只有一個先行的數(shù)；（3）無限。自然數(shù)列是一個無限數(shù)列。沒有最后的（或者說最大的）自然數(shù)?！緮U大的自然數(shù)列】 這

15、是一個應(yīng)該消亡的數(shù)學(xué)名詞。當(dāng)我們認為“0不是自然數(shù)”時，把1，2，3，叫做“自然數(shù)列”。而將0，1，2，3，稱為“擴大的自然數(shù)列”?，F(xiàn)在，國家標準重新規(guī)定“0是自然數(shù)”，因此，后者順理成章地應(yīng)該稱之為“自然數(shù)列”?！皵U大的自然數(shù)列”作為一個數(shù)學(xué)名詞已經(jīng)不再需要。6 . “計數(shù)”、“記數(shù)”、“數(shù)數(shù)”、“寫數(shù)”、“讀數(shù)”各指什么？什么是計數(shù)的基本原理？為什么我們的計數(shù)制和記數(shù)制都是十進制？【計數(shù)（count）】【數(shù)數(shù)】 “計數(shù)”就是“數(shù)數(shù)”。指的是把一些事物與非負自然數(shù)列里的數(shù)1，2，3，建立一一對應(yīng)的過程。【計數(shù)原理（counting principle）】 計數(shù)的基本原理如下：只要不遺漏、不重

16、復(fù)，計數(shù)的結(jié)果與計數(shù)的順序無關(guān)?！臼M制計數(shù)法】 計數(shù)時，可以一個，一個地數(shù)，也可以幾個、幾個地數(shù)。如二個、二個地數(shù)；五個、五個地數(shù)；十個、十個地數(shù)等。二、五、十等都是計數(shù)單位。用一（個）、十、百、千、萬、等作為計數(shù)單位的計數(shù)方法叫做十進制計數(shù)法。這時，每十個較低的計數(shù)單位等于一個較高的單位。實際運用十進制計數(shù)法時，要從盡可能大的計數(shù)單位數(shù)起。如數(shù)一盤草莓，先十個、十個地數(shù)，剩下不足十個時，再一個、一個地數(shù)。最后弄清這盤草莓的個數(shù)是幾個十、幾個一。（這里的“幾”應(yīng)該是不大于9的自然數(shù)。）運用十進制計數(shù)法，我們就可以弄清一個自然數(shù)N是由幾個一、幾個十、幾個百、幾個千、組成的。這里的“幾”都是不大

17、于9的自然數(shù)。用符號表示就是，其中，09，0，9?！居洈?shù)】【寫數(shù)】 “記數(shù)”就是“寫數(shù)”。指的是如何用數(shù)字符號將一個數(shù)N（或者計數(shù)的結(jié)果）記錄下來?！臼M制記數(shù)法】 當(dāng)我們用十進制計數(shù)法弄清了一個數(shù)的組成后，就可以按照十進位記數(shù)制用數(shù)字符號0，1，2，9把這個數(shù)記錄下來。由于自然數(shù)有無限多個，要對每一個自然數(shù)都給一個獨立的名稱和記號是不可能的。現(xiàn)在國際上通用的記數(shù)方法是用0，1，2，9分別表示自然數(shù)列里的前十個數(shù)。其它自然數(shù)則用這些數(shù)字按“位值原則”表示出來。即每個數(shù)字占有一個位置，叫做“數(shù)位”。每個數(shù)位表示一種計數(shù)單位。同一個（0以外的）數(shù)字在所記的數(shù)里位置不同，所表示的數(shù)值也不同。在所記的

18、數(shù)里，從右向左，第一位是個位，第二位是十位，第三位是百位，。個位的計數(shù)單位是一，十位的計數(shù)單位是十，百位的計數(shù)單位是百，。如果一個數(shù)是由八個百、三個十和五個一組成的。就把它寫作835。一般地，如果一個自然數(shù)，其中，09，0，9。則此自然數(shù)就寫作。因為每兩個相鄰數(shù)位的計數(shù)單位的進率都是十，所以這種記數(shù)的方法叫做十進制記數(shù)法。7 . “數(shù)”和“數(shù)字”的區(qū)別和聯(lián)系是什么？【數(shù)字（numerals）】用來記數(shù)的符號叫做“數(shù)字”。數(shù)和數(shù)字是兩個不同的概念。數(shù)或為單數(shù)、或為雙數(shù)，或為質(zhì)數(shù)、或為合數(shù)。數(shù)字或為羅馬數(shù)字、或為阿拉伯?dāng)?shù)字，或為手寫的數(shù)字、或為印刷的數(shù)字。事實上，數(shù)字并不是數(shù)，而是表示數(shù)的記號。數(shù)

19、是數(shù)字所表達的內(nèi)容而不是數(shù)字本身。中國是世界上的文明古國之一。用文字記數(shù)在我國已有悠久的歷史。早在三千多年前的商代的甲骨文里，就已經(jīng)記有數(shù)字。其中記載的最大的數(shù)是“三萬”，最小的數(shù)是“一”。一、十、百、千、萬各有專名。特別是當(dāng)時已經(jīng)采用了十進制的記數(shù)方法，這和現(xiàn)在世界通用的“十進制記數(shù)法”是一致的。8. 說“43”是數(shù)而不是數(shù)字對嗎？表示數(shù)的符號叫做數(shù)字。因為“43”是一個數(shù)學(xué)符號，在十進制記數(shù)法中，用來表示由四個十與三個一組成的自然數(shù)，所以它是一個數(shù)字。是由數(shù)字“4”與“3”排成一列組成的“復(fù)合數(shù)字”。此外，在許多上下文中，43也確實可以表示一個數(shù)，由四個十與三個一組成的數(shù)。另一方面，在一定

20、的語言環(huán)境中出現(xiàn)的數(shù)字“43”，也可以用來表示一個k進制的自然數(shù)，即四個k與三個一組成的數(shù)。在這里，因為出現(xiàn)了數(shù)字“4”，所以k5?？傊?3”既是一個數(shù)，也是一個數(shù)字。當(dāng)它在一個語句中出現(xiàn)時，究竟何所指，要看特定的語言環(huán)境。9 . “數(shù)的組成”、“數(shù)的名稱”和“數(shù)的讀寫”有什么聯(lián)系？ 【數(shù)的組成】 我們在引導(dǎo)學(xué)生認識某個范圍內(nèi)的自然數(shù)時，首先要認識這些數(shù)的組成。如認識一個千以內(nèi)的數(shù)，要弄清它是由幾個百、幾個十與幾個一組成的?？梢韵扔糜嫈?shù)單位“百”一百、一百地數(shù)。剩下的不足一百個時，再用計數(shù)單位“十”十個、十個地數(shù)。最后，如果剩下的不足十個，再一個、一個地數(shù)。即用十進制計數(shù)法弄清數(shù)的組成?！?/p>

21、數(shù)的名稱】 每一個自然數(shù)的名稱都是根據(jù)它的組成規(guī)定的。為此，制定了根據(jù)自然數(shù)的組成來為它命名的規(guī)則。同時，也制定了按十進制位值原則用數(shù)字符號0，1，2，9來表示一個自然數(shù)的規(guī)則（“寫數(shù)規(guī)則”），也就是“十進制記數(shù)法”。數(shù)的名稱數(shù)的符號讀寫十進制計數(shù)法數(shù)數(shù)的組成命名規(guī)則寫數(shù)規(guī)則（十進制記數(shù)法）所謂“讀”，就是根據(jù)一個數(shù)的符號，說出它的名稱；所謂“寫”，就是根據(jù)一個數(shù)的名稱寫出表示這個數(shù)的數(shù)字符號?！白匀粩?shù)的讀寫”就是一個數(shù)用自然語言和用符號語言的兩種表述之間的相互改寫。如圖（14）所示： 圖14總之，數(shù)的組成是用十進制計數(shù)法計數(shù)的結(jié)果，數(shù)的組成是給這個數(shù)命名的依據(jù)，也是用數(shù)字符號表示這個數(shù)的依據(jù)

22、。因而也是數(shù)的讀寫的基礎(chǔ)?？梢姡瑪?shù)的組成是認數(shù)教學(xué)的核心問題。10. “十進制”和“二進制”的相同點和不同點有哪些？【進位制】 如果在所用的一系列計數(shù)單位中，每十個某單位都組成一個和它相鄰的較高的單位，即所謂“滿十進一”，那么這種計數(shù)制就是“十進制”。如果是“滿二進一”，就是“二進制”，十進制和二進制都是“進位制”。十和二分別是這兩種進位制的基數(shù)。進位制的基數(shù)可以是大于1的任何自然數(shù)。運用十進制計數(shù)法，我們可以將任何一個自然數(shù)N表為其中，0a09；0a1，an9。運用二進制計數(shù)法，可將自然數(shù)表為其中，a0=1，0a1，an1?？梢?，十進制和二進制都可以將一個自然數(shù)分解為不同底數(shù)的冪的和。在十進

23、制記數(shù)法中，我們用十種不同的數(shù)字0，1，2，9按照位值計數(shù)法來表示不同的自然數(shù)。在二進制記數(shù)法中，只用兩個不同的數(shù)字0，1就能表示任何自然數(shù)。表示自然數(shù)列中前幾個數(shù)的二進制數(shù)字與十進制數(shù)字的對應(yīng)關(guān)系如下表：十進制數(shù)0123456789二進制數(shù)01101110010111011110001001因此，作為記數(shù)法，他們運用的不同數(shù)字的個數(shù)不同；表示同一個自然數(shù)時，所需數(shù)位的個數(shù)也不同。11 . “精確數(shù)”和“近似數(shù)”、“相對誤差”和“絕對誤差”以及“有效數(shù)字”和“可靠數(shù)字”有什么區(qū)別？什么是科學(xué)記數(shù)法？【準確數(shù)與近似數(shù)】 在計數(shù)和計算過程中，有時能得到與實際完全相符的數(shù)，這些數(shù)叫準確數(shù)，如某校的數(shù)

24、學(xué)教師有15人、6×1.2=7.2等等，但在生產(chǎn)、生活和計算中得到的某些數(shù)，往往只是接近于準確數(shù)，這種數(shù)叫近似數(shù)。如“某市人口有75萬，”75萬就是一個近似數(shù)。因為在統(tǒng)計一個城市的人口時，由于居民的遷入和遷出，出生和死亡，人口的數(shù)目隨時都在變化，很難得出準確的人口數(shù)。在計算圓周長的公式里，圓周率可以用3.14代入計算，3.14也是的近似數(shù)?？梢?，準確數(shù)與近似數(shù)主要區(qū)別在于是否與實際情況完全相符?！静蛔憬浦蹬c過剩近似值】 小于準確數(shù)的近似值，叫不足近似值；大于準確數(shù)的近似值，叫過剩近似值。例如，3.14、3.142分別是圓周率的不足近似值和過剩近似值?！菊`差、絕對誤差和相對誤差】 準

25、確數(shù)A與它的近似值a之差A(yù)a叫做這個近似數(shù)的誤差，誤差的絕對值叫絕對誤差。近似數(shù)的絕對誤差除以準確數(shù)的絕對值所得的商叫做這個近似數(shù)的相對誤差。實際計算時，由于準確數(shù)往往不得而知，所以只能用近似數(shù)的絕對值代替準確數(shù)的絕對值來 計算相對誤差。例如，甲、乙兩人量邊長為1米的正方形的對角線的長度。甲量得的結(jié)果是1.41米，乙量得的結(jié)果是1.42米。則兩人的測量結(jié)果的絕對誤差分別是：（米）；（米）相對誤差分別是：%和%絕對誤差一般用來比較同一個數(shù)量的兩個不同近似數(shù)的精確度，而相對誤差則往往用來比較兩個不同數(shù)量的近似數(shù)的精確度?！居行?shù)字與可靠數(shù)字】 一個近似數(shù)，如果絕對誤差不超過它末位的半個單位，則從左

26、端開頭的第一個非零數(shù)字起到末位數(shù)字止，所有的數(shù)字都叫這個近似數(shù)的有效數(shù)字。例如，取3.14，因為0.01÷2，所以圓周率的近似值3.14有三個有效數(shù)字；如果取3.1416，則0.0001÷2，所以近似值3.1416有5個有效數(shù)字。一個近似數(shù)，如果絕對誤差不超過它末位的一個單位，則從左端開頭的第一個非零數(shù)字起到末位數(shù)字止，所有數(shù)字都叫這個近似數(shù)的可靠數(shù)字。1、用四舍五入法截得的近似數(shù)，從它的左面第一個不是零的數(shù)字起到末位數(shù)字止，所有的數(shù)字都是有效數(shù)字。也都是可靠數(shù)字。2、用進一法或去尾法截得的近似數(shù)，從它的左面第一個不是零的數(shù)字起到末位止，所有的數(shù)字都是可靠數(shù)字。在這些可靠數(shù)

27、字中，除末位外，都是有效數(shù)字。【科學(xué)計數(shù)法】 當(dāng)近似數(shù)是整十、整百、整千、的數(shù)時，如果不加說明，我們就無法確定它們的有效數(shù)字和可靠數(shù)字。例如，近似數(shù)5700，如無說明，我們就不能確定它是用什么方法截取到那個數(shù)位得到的，它可能是精確數(shù)5698用四舍五入法截取到百位得到的，也可能是5698截取到十位得到的，如果是前一種情況，那么它有兩個有效數(shù)字（5、7），如果是后一種情況，那么它有三個有效數(shù)字（5、7、0），如果它是某個精確數(shù)用四舍五入法保留到個位得來的。那么它就有四個有效數(shù)字（5、7、0、0）。為了解決上述矛盾，我們規(guī)定：當(dāng)一個近似數(shù)a是整十、整百、整千、的數(shù)時，就把他寫成的形式，其中是由近似數(shù)

28、a的有效數(shù)字組成的數(shù)，且滿足110，k是正整數(shù)。例如用四舍五入法把799.7分別截取到個位、十位、百位的近似數(shù)分別是：精確到個位：799.78.00×102，有3個有效數(shù)字；精確到十位：799.78.0×102，有2個有效數(shù)字；精確到百位：799.78×102，有1個有效數(shù)字。又如，近似數(shù)3.6×106有兩個有效數(shù)字，9.81×105有三個有效數(shù)字。事實上，任何一個近似數(shù)都可以寫成的形式，其中是由近似數(shù)a的有效數(shù)字組成的數(shù)，且滿足110，k是整數(shù)，這種記數(shù)法叫做科學(xué)記數(shù)法。參考書1 小學(xué)數(shù)學(xué)教材教法第一冊人民教育出版社1994年12月第一版，P

29、201、2272 中國中學(xué)教學(xué)百科全書（數(shù)學(xué)卷），沈陽出版社，曹才翰主編P1412 . 截取近似數(shù)時，“去尾法”、“進一法”與“四舍五入法”的主要區(qū)別是什么？為什么常用“四舍五入法”？【四舍五入法】 在截取近似數(shù)時，通常規(guī)定：·如果去掉的尾數(shù)中，最高位數(shù)是5或比5大，那么就在留下的數(shù)的最低位加一；·如果去掉的尾數(shù)中，最高位數(shù)小于5（即是4或比4?。?，那么留下的數(shù)不變。像這樣的截取近似數(shù)的方法，叫做四舍五入法。如圓周率，用四舍五入法截取兩位小數(shù)的近似值時，得；截取四位小數(shù)的近似值時，得?！救ノ卜ā?如果為截取近似數(shù)而去掉尾數(shù)時，不論去掉的尾數(shù)的最高位數(shù)是否小于5，留下的數(shù)都不

30、變，那么這樣的截取近似數(shù)的方法叫做去尾法。【進一法】 截取近似數(shù)時，如果不論去掉的尾數(shù)的最高位數(shù)是否小于5，留下的數(shù)的最低位都加一，那么這樣的截取近似數(shù)的方法叫做進一法。在截取近似數(shù)的具體問題中，一般用四舍五入法。但有時要根據(jù)具體問題的不同情況運用去尾法或進一法。例如，做一套服裝要用4m布，50m布能做多少套服裝。50÷4=12.5 12（套）。在這里，因為服裝的套數(shù)只能是自然數(shù)，所以商12.5必須用去尾法截取成自然數(shù)12。在這個問題中，用整數(shù)范圍內(nèi)的有余數(shù)除法50÷4=122更為合適。答案則是“能做12套，還余布料2m”。又如，3840kg的糧食用每袋可裝100kg的口袋

31、來裝，需要用多少口袋？3840÷100=38.439（個），盡管最后只剩下了40kg糧食，還得用一個口袋來裝。截取近似數(shù)的以上三種方法的主要區(qū)別在于所得近似數(shù)的誤差不同，列表說明如下：截取的方法所得近似數(shù)原精確數(shù)的范圍近似數(shù)和原數(shù)的絕對誤差不超過四舍五入法3.143.13503.14490.005去 尾 法3.143.14003.14990.01進 一 法3.143.13013.13990.01可見，用四舍五入法截取近似數(shù)時，誤差不超過保留部分的末位的半個單位；而用去尾法或進一法截取近似數(shù)時，誤差不超過保留部分的末位的一個單位。13 . 在截取一個數(shù)的近似數(shù)時，為什么不宜連續(xù)兩次運用

32、“四舍五入法”？例如，要把724600四舍五入到萬位，下面的兩種做法得數(shù)為什么不同？方法一 724600720000方法二 724600725000730000方法一符合“四舍五入法”的操作規(guī)范的要求，所得近似數(shù)的誤差不會超過保留部分的末位的半個單位。方法二連續(xù)兩次運用了“四舍五入”，不符合操作規(guī)范，所得近似數(shù)的誤差已超過保留的末位的半個單位。事實上，730000并不是724600的四舍五入到萬位的近似數(shù)，而是725000的四舍五入到萬位的近似數(shù)。因此，在實際操作中，不允許像上面那樣對于一個數(shù)連續(xù)兩次運用四舍五入法。14 . “小數(shù)”概念如何定義和分類？【小數(shù)】【十進分數(shù)】 把單位“1”平均分

33、成10份、100份、1000份、，這樣的1份或幾份，可以用分母是10、100、1000、的分數(shù)來表示。如、。這種分母是10的正整數(shù)次冪的分數(shù)叫做十進分數(shù)。這些分數(shù)的單位分別是、，每兩個相鄰的單位間的進率都是10。從到整數(shù)個位的計數(shù)單位1，進率也是10。所以這些分數(shù)可以仿照整數(shù)的寫法，寫在整數(shù)個位的右面，并用小圓點“·”隔開，寫成0.1、0.07、0.329、。用這種形式寫出的用來表示十分之幾、百分之幾、千分之幾、的數(shù)叫做小數(shù)?！拘?shù)點】 在小數(shù)中，用來將個位與十分位隔開的小圓點叫做小數(shù)點。小數(shù)點左邊的部分稱為這個小數(shù)的整數(shù)部分；小數(shù)點右邊的部分稱為小數(shù)的小數(shù)部分。小數(shù)的整數(shù)部分可以是

34、0，也可以不是0?！炯冃?shù)與帶小數(shù)】 根據(jù)一個小數(shù)的整數(shù)部分是不是0可以把小數(shù)分為純小數(shù)和帶小數(shù)。如果小數(shù)的整數(shù)部分是0，那么這個小數(shù)就稱為純小數(shù)。如果小數(shù)的整數(shù)部分不是0，那么這個小數(shù)就稱為帶小數(shù)。如0.1、0.07、0.329等都是純小婁；1.5、3.14、12.06等都是帶小數(shù)?！居邢扌?shù)與無限小數(shù)】 小數(shù)還可以根據(jù)它的小數(shù)部分的位數(shù)是不是有限分為有限小數(shù)和無限小數(shù)。小數(shù)部分的位數(shù)是有限的這樣的小數(shù)叫做有限小數(shù)。小數(shù)部分的位數(shù)是無限的小數(shù)叫做無限小數(shù)。由十進分數(shù)改寫成的小數(shù)都是有限小數(shù)。 以及圓周率等則是無限小數(shù)。【無限循環(huán)小數(shù)和無限不循環(huán)小數(shù)】 一個無限小數(shù)，如果從小數(shù)部分的某一位起，

35、有一個或幾個數(shù)字依次不斷地重復(fù)出現(xiàn)，這樣的小數(shù)叫做無限循環(huán)小數(shù)。（簡稱循環(huán)小數(shù)）如果在無限小數(shù)的小數(shù)部分中，沒有依次不斷重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)字，那么這樣的小數(shù)就叫無限不循環(huán)小數(shù)。如3.33和0.2727都是循環(huán)小數(shù)。圓周率3.14159265就是一個無限不循環(huán)小數(shù)。【循環(huán)節(jié)】 在循環(huán)小數(shù)的小數(shù)部分中，依次不斷地重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)字叫做這個循環(huán)小數(shù)的循環(huán)節(jié)。如3.33的循環(huán)節(jié)是“3”，0.2727的循環(huán)節(jié)是“27”。為了簡便，寫循環(huán)小數(shù)時，小數(shù)的循環(huán)部分只寫出第一個循環(huán)節(jié)，并在這個循環(huán)節(jié)的首位和末位數(shù)字上各記一個小圓點。如循環(huán)小數(shù)3.33寫作，0.2727寫作，6.2416416寫作.【純循環(huán)小數(shù)和混循環(huán)小數(shù)

36、】 如果循環(huán)小數(shù)的循環(huán)節(jié)是從小數(shù)部分的第一位開始的，那么這種循環(huán)小數(shù)就叫純循環(huán)小數(shù)。如果循環(huán)小數(shù)的循環(huán)節(jié)不是從小數(shù)部分的第一位開始的，就叫混循環(huán)小數(shù)。如和都是純循環(huán)小數(shù)。則是混循環(huán)小數(shù)?！拘?shù)的分類】 按照小數(shù)部分的位數(shù)是有限還是無限，可以把小數(shù)分為有限小數(shù)和無限小數(shù)。按照無限小數(shù)的小數(shù)部分是否有一個或幾個數(shù)字依次不斷地重復(fù)出現(xiàn)，可以把無限小數(shù)分為（無限）循環(huán)小數(shù)和無限不循環(huán)小數(shù)。按照循環(huán)小數(shù)的循環(huán)節(jié)是否從小數(shù)部分的第一位開始，又可以把循環(huán)小數(shù)分為純循環(huán)小數(shù)和混循環(huán)小數(shù)。如下表所示。小數(shù)有限小數(shù) 純循環(huán)小數(shù)（無限）循環(huán)小數(shù)無限小數(shù) 混循環(huán)小數(shù) 無限不循環(huán)小數(shù)其中，有限小數(shù)就是十進分數(shù)以及分母不

37、含2、5以外的質(zhì)因數(shù)的最簡分數(shù)改寫成的小數(shù)；循環(huán)小數(shù)是分母含有2、5以外的質(zhì)因數(shù)的最簡分數(shù)改寫成的小數(shù)。無限不循環(huán)小數(shù)就是無理數(shù)。以上是根據(jù)小數(shù)的小數(shù)部分的不同特點所作的分類。此外，根據(jù)一個小數(shù)的整數(shù)部分是不是0，還可以把小數(shù)分為純小數(shù)與帶小數(shù)。純小數(shù)小數(shù)帶小數(shù)正的純小數(shù)大于0而小于1，正的帶小數(shù)大于1。15 . 整數(shù)、小數(shù)的計數(shù)單位有哪些？其中有沒有最小的和最大的？為什么“整數(shù)的數(shù)位順序表”與“小數(shù)的小數(shù)部分的數(shù)位順序表”可以統(tǒng)一起來？在十進制中，整數(shù)的數(shù)位有個位、十位、百位、千位、萬位、，它們的計數(shù)單位分別是一、十、百、千、萬、。10個一是十，10個十是百，10個百是千，10個千是萬，。最

38、小的計數(shù)單位是一，沒有最大的計數(shù)單位。越是向左，數(shù)位越高，計數(shù)單位越大。每個數(shù)位上的10個單位，就是相鄰高位上的一個單位。在十進制小數(shù)中，小數(shù)點右邊的數(shù)位依次是十分位、百分位、千分位，它們的計數(shù)單位分別是十分之一、百分之一、千分之一，。其中，最大的計數(shù)單位是十分之一，沒有最小的計數(shù)單位。它們也是十進制的，即10個百分之一是1個十分之一，10個千分之一是1個百分之一，。也是“滿十進一”。因為10個十分之一是一，所以小數(shù)點右邊的十分位的計數(shù)單位與小數(shù)點左邊的個位的計數(shù)單位之間也是“滿十進一”的關(guān)系。因此，整數(shù)的數(shù)位順序表和小數(shù)的小數(shù)部分的數(shù)位順序表可以統(tǒng)一起來，如下表所示：數(shù)位順序表整 數(shù) 部 分

39、小數(shù)點小 數(shù) 部 分數(shù)位千萬位百萬位十萬位萬位千位百位十位個位·十分位百分位千分位萬分位計數(shù)單位千萬百萬十萬萬千百十一（個）十分之一百分之一千分之一萬分之一數(shù)級萬 級個 級16. “一位數(shù)”、“兩位數(shù)”、“三位數(shù)”、與“一位小數(shù)”、“兩位小數(shù)”、“三位小數(shù)”、各是怎樣定義的？為什么0不是一位數(shù)？為什么最小的一位數(shù)是1而不是0？【一位數(shù)、兩位數(shù)、三位數(shù)、】 在非零自然數(shù)N*中，能用一個數(shù)字表示的叫一位數(shù)，能用兩個數(shù)字表示的叫二位數(shù)，能用三個數(shù)字表示的叫三位數(shù)，以下類推。因此，在十進位記數(shù)制中，一位數(shù)是指1，2，3，9；兩位數(shù)是指10，11，12，99；三位數(shù)是指100，101，102，

40、999。以下類推。以上是針對十進位記數(shù)制來說的。對于k進位記數(shù)制來說（k10），上述解釋一位數(shù)、兩位數(shù)、三位數(shù)、的語句雖然仍然適用，但含意已有所變化。【一位小數(shù)、兩位小數(shù)、三位小數(shù)、】 小數(shù)部分只有一個數(shù)字的小數(shù)叫一位小數(shù)，小數(shù)部分有兩個數(shù)字的小數(shù)叫兩位小數(shù)，小數(shù)部分有三個數(shù)字的小數(shù)叫三位小數(shù)，以下類推。在十進制小數(shù)中，一位小數(shù)的末位是十分位，兩位小數(shù)的末位是百分位，三位小數(shù)的末位是千分位，。在k進位記數(shù)制中，上述解釋一位小數(shù)、兩位小數(shù)、三位小數(shù)、的語句仍然適用，但含意已有所變化?！?不是一位數(shù)】 為什么0不是一位數(shù)？為什么最小的一位數(shù)是1，而不是0？【有效數(shù)字】 實際上，一位數(shù)、兩位數(shù)等自然

41、數(shù)都可以用更多的數(shù)字來表示。如兩位數(shù)48可以表示為048；一位數(shù)6可以表示為006。為了分化出一位數(shù)、兩位數(shù)等概念，我們約定：在一個自然數(shù)中，從計數(shù)單位最大的、不是零的數(shù)字起到個位止的數(shù)字是這個自然數(shù)的有效數(shù)字。有效數(shù)字有幾個，這個自然數(shù)就稱之為幾位數(shù)。數(shù)0也可以用000來表示。事實上，不論用多少個0來表示都行，但其中沒有0以外的數(shù)字。所以表示0的數(shù)碼中沒有一個有效數(shù)字。因此，0不是一位數(shù)。當(dāng)然也不是兩位數(shù)、三位數(shù)。不把0看作一位數(shù)，也是為了使一些數(shù)學(xué)規(guī)律得以成立。如關(guān)于常用對數(shù)的首數(shù)就有一個這樣的定理：“常用對數(shù)的首數(shù)等于真數(shù)的整數(shù)位數(shù)減一?！彼詌g50的首數(shù)是1；lg5的首數(shù)是0；lg0

42、.5的首數(shù)是1。如果把0看作一位數(shù)，那么lg0.5的首數(shù)豈不也是0嗎？由于0不是一位數(shù)，一位數(shù)只有1，2，3，9共九個，所以，最大的一位數(shù)是9；最小的一位數(shù)是1，而不是0。在二進制中，一位數(shù)只有一個，那就是1。參考書1高等學(xué)校教學(xué)用書算術(shù)， MK格列本卡著，商務(wù)印書館1957年4月5版，P7。17 . 怎樣認識“小數(shù)”與“分數(shù)”的關(guān)系？ 小學(xué)生最初認識的“小數(shù)”僅僅是有限小數(shù)。有限小數(shù)相當(dāng)于十進分數(shù)，即分母中不含2、5以外的質(zhì)因數(shù)的最簡分數(shù)。這時，可以說“小數(shù)”是“分數(shù)”的種概念，“分數(shù)”是“小數(shù)”的屬概念?！胺謹?shù)”與“小數(shù)”是屬種關(guān)系。當(dāng)人們試圖用分子除以分母的方法將分母中含有2、5以外的質(zhì)

43、因數(shù)的最簡分數(shù)化為小數(shù)時，發(fā)現(xiàn)余數(shù)會出現(xiàn)相同的，致使商中有一個或幾個數(shù)字依次不斷地重復(fù)出現(xiàn)。這時，商的小數(shù)部分的位數(shù)是無限的。于是導(dǎo)致“小數(shù)”概念從“有限小數(shù)”發(fā)展為包括“有限小數(shù)”和“無限小數(shù)”。而分數(shù)化小數(shù)時，要末化為有限小數(shù)，要末化為（無限）循環(huán)小數(shù)。而無限不循環(huán)小數(shù)則不可能由分數(shù)轉(zhuǎn)化而來，它們是分數(shù)以外的另一類數(shù)?！緹o理數(shù)與有理數(shù)】 無限不循環(huán)小數(shù)被數(shù)學(xué)家稱之為“無理數(shù)”。而整數(shù)與分數(shù)則統(tǒng)稱為“有理數(shù)”；有理數(shù)與無理又統(tǒng)稱為“實數(shù)”。這些數(shù)的關(guān)系如下表所示。分數(shù)有理數(shù)實數(shù)整數(shù)有限小數(shù) 小數(shù) （無限）循環(huán)小數(shù) 無限小數(shù) 無限不循環(huán)小數(shù) 無理數(shù)對于發(fā)展以后的“小數(shù)”概念，其中包括的有限小數(shù)

44、與（無限）循環(huán)小數(shù)相當(dāng)于“分數(shù)”。此外，還有一種無限不循環(huán)小數(shù)。因此，我們可以說“分數(shù)”是“小數(shù)”的種概念，“小數(shù)”是“分數(shù)”的屬概念?！靶?shù)”與“分數(shù)”是屬種關(guān)系。和前面的結(jié)論正好相反。但實際上兩者并不矛盾。因為前面的結(jié)論中所說的“小數(shù)”僅僅指有限小數(shù)；后面的結(jié)論中所說的“小數(shù)”則包括了有限小數(shù)與無限小數(shù)?！胺謹?shù)”與“有限小數(shù)”的屬種關(guān)系以及“小數(shù)”與“分數(shù)”的屬種關(guān)系都可以從上面的表中清楚地看出。18 . 分數(shù)在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中和在小學(xué)數(shù)學(xué)中的定義有什么不同？古埃及人在公元前17世紀就已經(jīng)使用分數(shù)。我國成書于1世紀的九章算術(shù)中已載有分數(shù)的各種運算。分數(shù)的使用源于除法運算的需要。設(shè)p、q都是整數(shù)，

45、。則方程未必有整數(shù)解，為了使這個方程總是有解，有必要將整數(shù)集擴大成有理數(shù)集?！痉謹?shù)在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的定義】 我們在整數(shù)的有序?qū)Γǎǎ┑募仙隙x如下等價關(guān)系：設(shè)0。如果，則稱關(guān)于這個等價關(guān)系的等價類稱為有理數(shù)。（）所在的有理數(shù)記為。令整數(shù)p對應(yīng)于（p，1）所在的等價類，即對應(yīng)于，就能把整數(shù)集嵌入到有理數(shù)集中。習(xí)慣上仍記為p。在有理數(shù)集中，整數(shù)以外的數(shù)稱為分數(shù)。自然數(shù)、整數(shù)、分數(shù)與有理數(shù)的關(guān)系如下表所示： 正整數(shù) 自然數(shù) 零 整數(shù) 負整數(shù) 有理數(shù) 分數(shù)【分數(shù)在小學(xué)數(shù)學(xué)中的定義】 把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)叫做分數(shù)。分數(shù)的一般形式是。這里的p、q都是整數(shù)，并且。當(dāng)p、q都是

46、正整數(shù)時，分數(shù)不僅可以看作把單位“1”平均分成q份，表示這樣的p份的數(shù)。也可以看成把p個單位平均分成q份表示這樣的一份的數(shù)。整數(shù)與分數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)。任何整數(shù)p都可以表示為的形式。對于有理數(shù)來說，如果，=0；如果，則當(dāng)pq0時，稱為正有理數(shù)；當(dāng)pq0時，稱為負有理數(shù)。所以對于有理數(shù)，可以作出以下兩種分類：有理數(shù)有理數(shù)零負有理數(shù)負整數(shù)負分數(shù) 正整數(shù) 正整數(shù) 整數(shù) 零 正有理數(shù) 負整數(shù) 正分數(shù) 正分數(shù) 分數(shù) 負分數(shù) 【兩者的比較】 “分數(shù)”在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的定義和在小學(xué)數(shù)學(xué)中的定義基本上是一致的。在小學(xué)數(shù)學(xué)中給出的“分數(shù)”的定義實質(zhì)上是正有理數(shù)的定義，其中，2。整數(shù)p可以表示為，不能說明“整數(shù)也是分數(shù)”

47、。僅僅表示“整數(shù)是有理數(shù)”。因為并不是分數(shù)所特有的表示形式，而是有理數(shù)所特有的表示形式。參考書:中國大百科全書 數(shù)學(xué) P374,603。19. “因為，所以3也是分數(shù)”對嗎？整數(shù)是不是分數(shù)？整數(shù)和分數(shù)是什么關(guān)系？因為一個數(shù)可以表示為（q0）的形式，就說這個數(shù)是分數(shù)，理由是不充分的。因為，其中p、q都是整數(shù)，并且q0，并不是分數(shù)所特有的表示形式，而是有理數(shù)特有的表示形式。整數(shù)可以表為這樣的形式，只能說明整數(shù)是有理數(shù)。因此，根據(jù)只能得出“整數(shù)3是有理數(shù)”。不能得出“3是分數(shù)”的結(jié)論。有理數(shù)【整數(shù)是不是分數(shù)？】 有理數(shù)當(dāng)時是整數(shù)，當(dāng) p時才是分數(shù)。（圖1 ）整數(shù)分數(shù) 整數(shù) 有理數(shù)圖1-5 分數(shù)【整數(shù)

48、和分數(shù)是什么關(guān)系？】 可見，整數(shù)不是分數(shù)。由于“整數(shù)”與“分數(shù)”的外延是互相排斥的。并且它們的并集就是鄰近的屬概念“有理數(shù)”的外延。所以“整數(shù)”與“分數(shù)”這兩個概念間的關(guān)系是矛盾關(guān)系。如圖1-5所示。參考書：邏輯與小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué) P32。20 . 說“自然數(shù)1不同于單位1”對嗎？任何一個物體都可以作為自然數(shù)“1”的現(xiàn)實原型。哪些物體還可以作為分數(shù)定義中的單位“1”的現(xiàn)實原型？【自然數(shù)的純邏輯定義】 “1”是非零自然數(shù)中最小的一個，是自然數(shù)的最基本的單位。任何一個非零自然數(shù)都是由若干個“1”組合而成的。德國數(shù)學(xué)家弗雷格（F.L.G. Fregep.220 18481925）首創(chuàng)由邏輯出發(fā)來定義自然

49、數(shù)時，首先把空集定義為不與本身等同的事物組成的集：因為任何事物都等同于本身，所以，不與本身等同的事物是不存在的?？占褪怯蛇@類不存在的事物組成的集合。自然數(shù)0被定義為空集的基數(shù)，即與空集等價的一切集合組成的集：所以，0是一個數(shù)。0是以0為元素的集合。自然數(shù)1被定義為與0等價的一切集合組成的集：然后，在此基礎(chǔ)上進一步定義自然數(shù)2，以及其它自然數(shù)：【自然數(shù)作為有限集的共同性質(zhì)的抽象】 小學(xué)數(shù)學(xué)教科書根據(jù)小學(xué)生的心理特點，把每一個自然數(shù)作為可以建立一一對應(yīng)的有限集合的共同性質(zhì)從中抽象概括出來。如自然數(shù)“5”就是從畫面上的五位解放軍、五匹戰(zhàn)馬、五支沖鋒槍，以及五根小棒、五粒算珠、五顆五角星等事物集合中

50、，作為它們的共同點“都是5個”而抽象概括出來的。每一個自然數(shù)都可以作為對一類可以建立一一對應(yīng)的有限集進行同一性抽象的結(jié)果。每一個這樣的有限集，都是這個自然數(shù)的現(xiàn)實原型?！菊f“自然數(shù)1不同于單位1”對嗎？】 作為自然數(shù)“1”的現(xiàn)實原型，可以是一個蘋果，也可以是一堆蘋果。這個蘋果或這堆蘋果都可以平均分為若干份，而用分數(shù)表示其中的一份或幾份。它們也是分數(shù)定義中所說的平均分的對象，也是“單位1”的現(xiàn)實原型。分數(shù)定義中所說的“單位1”，實質(zhì)上就是“自然數(shù)1”。說“自然數(shù)1不同于單位1”是不對的。不過“自然數(shù)1”和分數(shù)定義中的“單位1”的現(xiàn)實原型仍然有一些不容忽視的差異。任何一個物體都可以作為“自然數(shù)1”

51、的現(xiàn)實原型。但作為分數(shù)定義中的“單位1”的現(xiàn)實原型，應(yīng)該受到更多的條件限制。如一塊蛋糕可以平均分給兩位小朋友，每人分得這塊蛋糕的二分之一。但一只小白兔無法平均分給兩位小朋友。類此，一輛汽車也不能平均分為兩份，但一輛汽車的價格可以由兩人平均分攤。把一個班的學(xué)生平均分為幾個小組受到全班人數(shù)的制約，平均分成的份數(shù)只能是全班人數(shù)的約數(shù)。但現(xiàn)實原型的差異不能作為“自然數(shù)1”不同于“單位1”的理由。當(dāng)我們把“單位1”平均分為兩份，而用表示每一份后，自然有+=1我們能說：這個等式中的“1”是“單位1”、但不是“自然數(shù)1”嗎？參考書：中國大百科全書 數(shù)學(xué) P22021 . 說“分數(shù)可以分為真分數(shù)、假分數(shù)與帶分

52、數(shù)”對嗎？分數(shù)可以按照不同的標準來分類。如按照分子與分母有沒有1以外的公約數(shù)，可以把分數(shù)分為可約分數(shù)和最簡分數(shù)。分子與分母有1以外的公約數(shù)的分數(shù)叫做可約分數(shù)；分子與分母沒有1以外的公約數(shù)的分數(shù)叫做最簡分數(shù)（又稱既約分數(shù)）。還可以按照分子是否小于分母分為真分數(shù)和假分數(shù)。分子小于分母的分數(shù)叫真分數(shù)；分子不小于分母（即分子大于或等于分母）的分數(shù)叫做假分數(shù)。根據(jù)分子與分母有沒有1以外的公約數(shù)根據(jù)分子是否小于分母 可約分數(shù) 真分數(shù) 分數(shù) 分數(shù) 最簡分數(shù) 假分數(shù) 在分數(shù)的后一種分類中，分類的結(jié)果應(yīng)該是兩個子項真分數(shù)與假分數(shù)。它們的外延的和（即外延的并集）等同于分數(shù)的處延。因此，不應(yīng)該再有其它的子項。因此，說“分數(shù)可以分為真分數(shù)、假分數(shù)與帶分數(shù)”是不對的。此外，根據(jù)定義，“帶分數(shù)”是“一個整數(shù)和一個真分數(shù)合成的數(shù)”。實際上是一個整數(shù)與一個真分數(shù)的和，而不是一個分數(shù)。怎能成為分數(shù)分類的一個子項呢？22 . 說“假分數(shù)的分子大于分母”錯在哪里？根據(jù)小學(xué)數(shù)學(xué)對假分數(shù)所下的定義，分子等于或大于分母的分數(shù)叫做假分數(shù)?？梢?，假分數(shù)有兩類：分子大于分母的假分數(shù)和分子等于分母的假分數(shù)。如果一個分數(shù)是假分數(shù)，那么它的分子大于分母或者分子等于分母。這時，我們可以根據(jù)一個“分數(shù)