高一數(shù)學(xué)預(yù)科班講義

1、高一數(shù)學(xué)預(yù)科第1講：集合及其運算一、集合的含義與表示：1 .集合的表示方法：2 .關(guān)于集合的元素的特征：(1)確定性:設(shè) A是一個給定的集合，x 是某一個具體對象，則或者是A的元 素，或者不是A的元素，兩種情況必 有一種且只有一種成立。(2)互異性:一個給定集合中的元素，指 屬于這個集合的互不相同的個體(對 象)，因此，同一集合中不應(yīng)重復(fù)出 現(xiàn)同一元素。(3)無序性:一般不考慮元素之間的順序， 但在表示數(shù)列之類的特殊集合時， 通 常按照習(xí)慣的由小到大的數(shù)軸順序 書寫。3 .集合元素與集合的關(guān)系用“屬于”和“不屬于”表示；(1)如果a是集合A的元素，就說a屬于A,記作a G A(2)如果a不是集

2、合A的元素，就說a不屬于A,記作a A (“G”的開口方向，不能把aGA顛倒過來寫.)4 .常用數(shù)集的記法：(1)非負(fù)整數(shù)集 (自然數(shù)集)：全體非負(fù)整數(shù)的集合.記作N, N 0,1,2,(2)正整數(shù)集：非負(fù)整數(shù)集內(nèi)排除 0的集.記作N*或NtN* 1,2,3,(3)整數(shù)集：全體整數(shù)的集合.記作Z ,Z0, 1, 2,(4)有理數(shù)集：全體有理數(shù)的集合.記作Q, Q整數(shù)與分?jǐn)?shù)(5)實數(shù)集:全體實數(shù)的集合.記作RR 數(shù)軸上所有點所對應(yīng)的數(shù)5 .兩個集合相等：如果兩個集合所含的元 素完全相同，則稱這兩個集合相等。6 .有限集合、無限集合、空集的定義例題1.下列各組對象不能組成集合的是()A.大于6的所

3、有整數(shù)B.高中數(shù)學(xué)的所有難題C.被3除余2的所有整數(shù)D.函數(shù)y=。圖象上所有的點 x練習(xí)：下列條件能形成集合的是()A.充分小的負(fù)數(shù)全體B. 愛好足球的人 C.中國的富翁D.某公司的全體員工例題2、用符號或填空：(1) -3 N ;(2) Q ;(3)1 Q ;(4) 0？；3(5) v3 Q;(6)- R;2 1 N+；(8) Ro練習(xí)：下列結(jié)論中，不正確的是()A.若 aG N,則-a N B.若 aG Z,則 a2 G Z C.若 a G Q,則 | a | e QD.若 aGR,貝iJ3/a R例題3：用列舉法表示下列集合：x|x是15的正約數(shù)(x,y)|x 1,2, y 1,2(x,

4、 y)|x y 2,x 2y 4x|x ( 1)n,n N (x, y)|3x 2y 16,x N, y N例題4:用描述法表示下列集合：1,4,7,10,13; 2, 4, 6, 8, 101,-1,1,-1 闊課堂練習(xí)：1 .下列說法正確的是()B. (0,2)中有兩個元素C. x Q|6 N 是有限集 xD. x Q|且x2 x 2 0是空集2 .將集合x| 3 x 3且x N用列舉法表示正確的是()A.3, 2, 1,0,1,2,3B. 2, 1,0,1,2C. 0,1,2,3D. 1,2,33 .給出下列4個關(guān)系式：3 R,0.3 Q,0N ,00其中正確的個數(shù)是()4 .下列元素與

5、集合的關(guān)系中正確的是()A. 1 N x R|x> V32C.|-3| N*給出下列四個命題：(1)很小的實數(shù)可以構(gòu)成集合；(2) 集合y|y=x 2-1與集合(3)1,這些數(shù)字組成的(x,y)|y=x2-1是同一個集合；A. 1,2 , 2,1是兩個集合集合有5個元素;(4)集合( x, y)| xy < 0, x, y R是指 第二象限或第四象限內(nèi)的點的集合.以上命題中，正確命題的個數(shù)是()6 .下列集合中表示同一集合的是()=(3,2),N=(2,3)=3,2,N=(2,3)二(x,y)|x+y=1,N=y|x+y=1 =1,2,N=2,17 .已知x N,則方程x2 x 2

6、 0的解集 為()A.x|x=-2B. x|x=1 或x=-2 C. x|x=1D.8 .已知集合 M=mN|8-mN,則集合 M 中元素個數(shù)是()9 .方程組x y 2的解集用列舉法表x y 5示為.10 .已知集合A=0,1,x2 x則x在實數(shù)范圍內(nèi)不能取哪些值.11 .用符號"”或“"填空：0 N,芯 N, 716 N.12 .用列舉法表示 A=y|y=x 2+1,-2 < x <2,x Z為.13 .用描述法表示集合“方程x2-2x+3=0 的解集”為.14 .集合x|x>3與集合t|t>3 是否 表示同一集合15 .已知集合 P=x|2&l

7、t;x<a,x N,已知 集合P中恰有3個元素，則整數(shù)a=.二、集合間的基本關(guān)系1：觀察下面幾個例子，你能發(fā)現(xiàn)兩個 集合間有什么關(guān)系嗎(1) A 1,2,3, B 1,2,3,4,5;(2)設(shè)A為某中學(xué)高一(3)班男生 的全體組成的集合，B為這個班學(xué)生的 全體組成的集合；C x|x是兩條邊相等的三角形, D x|x是能忙裔0 ;(3)(4) E 2,4,6, F 6,4,2一般地，對于兩個集合 A, B,如果集 合A中任意一個元素都是集合 B中的 元素，我們就說這兩個集合有包含關(guān) 系，稱集合 A為B的子集.記作: A B (或B A)讀作：A包含于B(或 B包含A).如果兩個集合所含的元

8、素完 全相同，那么我們稱這兩個集合相等.2.真子集：如果集合A iB,但存在元 素x G B,且x?A,我們稱集合 A是集 合B的真子集，記作A B (或B A) 3.空集：我們把不含任何元素的集合 叫做空集，記為，并規(guī)定空集是任何 集合的子集4.含有n個元素的集合A的子集個數(shù) 為2n,真子集的個數(shù)為2n-1,非空真 子集的個數(shù)為2n-2課堂練習(xí)：1 .用適當(dāng)?shù)姆柼羁眨?1)a a,b,c(2)0R|x2+1=0 (4)0,10 x|x2,1 x|x x eN2 -_=x(6)-3x+2=02 .寫出集合A=1,2,3,4的所有子集3 .判斷下列兩個集合的關(guān)系(1) A=1,2,4 B=x|

9、x 是 8 的約數(shù)(2) A=x|x=3k,k GN , B=x|x=6z,ze N(3) A=x|x是4和10的公倍數(shù)，x& N+, B=x|x=20m, m G N+4 .已知集合 A= 2, 8, a , B= 2,a2-3a+4 ，又A B,求出a之值5 .已知集合 A= x|-3 < x< 4 B=x|2m-1 <x< m+1,當(dāng) B A時，求出m之取值范圍三、集合的基本運算1并集：已知集合 A=1,2,3 , B=2,4,6,C=1,2,3,4,5,6一般地，由所有屬于集合 A或?qū)儆诩螦的元素組成的集合，稱為集合A與B的并集，記作AU B (讀作:

10、A 并 B),即 AU B=x|x GA,或 x GB討論：An B與A、Ek Bn A的關(guān)系A(chǔ)n a= An ?=An b b nA"a n b = aAn B= B用Venn圖表示：說明：定義中要注意” 兩個條件。討論：AU B與集合A、 系例 1 :設(shè) A=3,5,6,8 , B=4,5,7,8,求 AU B, AA B例2.已知A=x|x是等腰三角形, B=x|x是直角三角形,求AU B, AAB*1 S-TJ- EI-二0!:=ll-!:.:= 電=;>'!麗:三立A U A = , A U 二 ,A UB B U AAU B= A, A U B=B 例 1.

11、設(shè) A=4,5,6,8 ,B=3,5,7,8,求AU B例2:設(shè)集合 A=x|-1<x<2,集合B=x|1<x<3,求 AU B2 .交集：已知集合 A=2,4,6,8,10,集合B=3,5,8,12,集合 C=8,集合 AB C之間有什么關(guān)系 一般地，由屬于集合 A且屬于集合B 的所有元素組成的集合，稱為 A與B的交集，記作An B (讀彳“ A交B”)即 AA B=x|x GA,且 x G B3 .補集在研究問題時，我們經(jīng)常需要確 定研究對象的范圍，一般地，如果一 個集合含有我們研究問題中涉及的所 有元素，那么就稱這個集合為全集， 通常記作U,對于一個集合A,由至集

12、 U中不屬于A的所有元素組成的集合稱 為集合A相對于集合U的補集，簡稱 為集合A的補集，記作記作：CUA,讀 作：” A在U中的補集”，即 Cu A x|x U ,且x A用Venn圖表示：(陰影部分即為A在全集 U中的補集)討論：集合A與Cu A之間有什么關(guān)系一借 助Venn圖分析練習(xí)： U=2,3,4, A=4,3 , B氣,則Cu A =, Cu B =;(2) 設(shè) U=x|x<8，且 xGN, A= x|(x-2)(x-4)(x-5)= 0,則 CuA用Venn圖表示：(陰影部分即為A與B的交集)常見的五種交集的情況：,(3) 設(shè)U= 三角形, A= 銳角三角6、設(shè)集合A= x|

13、x是參加自由泳的運集合及其運算鞏固練習(xí)題動員, B= x|x是參加蛙泳的運動一、選擇題：（以下每小題均有A,B,C,D四個選項，其中只有一個選項正確）1.下列選項中元素的全體可以組成集員,對于“既參加自由泳又參加蛙泳的運動員”用集合運算表示為 （）AB合的是（）UBA.學(xué)?；@球水平較高的學(xué)生B.校園中長的高大的樹木年所有的歐盟國家D.中國經(jīng)濟發(fā)達(dá)的城市x y 22.方程組 x y 0的解構(gòu)成的集合是（ ）A. （1,1）B .1,1C. （1, 1）D. 13 .已知集合A=a, b, c,下列可以作為集合A的子集的是（）A. aB. a, cC. a , e D.a , b, c, d4 .

14、下列圖形中，表示M N的是（）7 .集合A=x|x 2k,k Z ,B=Xx 2k 1,k Z ,C=xx 4k 1,k Z 又 a A,b B,則有( )A. (a+b)A B. (a+b) BC.(a+b) C D. (a+b) A、B、C任一個8 .集合 A=1, 2, x,集合 B=2, 4, 5,若 A B=1 , 2, 3, 4, 5,則 x=( )A. 1 B. 3C. 4 D. 5A. 8B. 73,4,5 6C. 6D. 510.全集 U = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7,8 , A= 3 ,4,5 , B= 1 ,3,6 ,那么集合2,7, 8是()A

15、. A B B.A BC.Cu A CuBD.CuA CuB11 .設(shè)集合 M m Z| 3 m 2, N n Z | 1 W n W 3,則M I N()A. 01B .101C. 0 1,2D. 101,212 .如果集合 A=x| ax2 + 2x+1=0中只有一個元素，則a的值是()A. 0B .0 或 1C. 1D.不能確定二、填空題(把答案填在題中橫線上)13 .用描述法表示被3除余1的集合.14 .用適當(dāng)?shù)姆柼羁眨?1 ) xx2 1 0；(2) 1 , 2, 3N;(3 ) 1xx2 x；(4) 0xx2 2x.15 .含有三個實數(shù)的集合既可表示成a,b,1,又可表示成a2,

16、 a b,0, a2003, 2004a b .16 .已知集合U x| 3 x 3,M x| 1 x 1,CuN x|0 x 2 那么集合M (CuN) ,M N .三、解答題(解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17 .設(shè)全集Uxx是小于9的正整數(shù)，A 1,2,3 , B，求 AA B, AU B, CuA, CuB .18 .設(shè)全集U xx 4，集合A x 2 x 3 ,B x，求 CuA, A B ,A B,Cu(A B),(CuA) (CuB)2x 10 . 八19 .不等式組2x 1 0的解集為A,3x 6 0U=FR試求A及CuA20 .已知 U= x G N| x <

17、 10, A=x|x1.函數(shù)的定義實數(shù)x的集合叫做半開半閉區(qū)間，分是小于10的正奇數(shù), B=x|x是小于11的質(zhì)數(shù),求CA, CuB .21 .已知集合a xx2 4 0,集合B x ax 2 0,若 B A ,求實數(shù) a的取值集合.22 .已知集合 A x|x2 3x 2 0,_，2_2一B x| x 2(a 1)x (a 5) 0,(1)若A B 2,求實數(shù)a的值；(2)若A B A,求實數(shù)a的取值范圍；23 . 設(shè)全集 U 為 R ,一2一一一2A x x px 12 0 , B x x 5x,若(CuA) B 2 , A (Cu B) 4 ,求A B o24 .已知方程x2 ax b

18、0 .(1)若方程的解集只有一個元素，求實數(shù)a, b滿足的關(guān)系式；(2)若方程的解集有兩個元素分別為1, 3,求實數(shù)a, b的值高一數(shù)學(xué)預(yù)科第2講：函數(shù)及其表7K一、函數(shù)的概念設(shè)A, B是非空的數(shù)集，如果按 某個確定的對應(yīng)關(guān)系 f ,使對于集 合A中的任意一個數(shù)x ,在集合B中 都有唯一確定的數(shù) f(x)和它對應(yīng)， 那么就稱f： A- B為從集合A到集 合B的一個函數(shù)，記作y= f(x) , x G A。其中x叫自變量，x的取值范圍A 叫做函數(shù)y=f(x)的定義域；與x的 值相對應(yīng)的y的值叫做函數(shù)值，函數(shù) q 0值的集合 f(x) | x G A,叫做函數(shù)y = f (x)的值域。函數(shù)符號y=

19、f(x)表示“ y是x的函 數(shù)”，有時簡記作函數(shù)f(x) 02.研究函數(shù)時常會用到區(qū)間的概念設(shè)a, b是兩個實數(shù)，而且a<b,我們規(guī) 士(1)滿足不等式a&x&b的實數(shù)x的 集合叫做閉區(qū)間，表示為a,b(2)滿足不等式a<x<b的實數(shù)x的集/ 合叫做開區(qū)間，表示為(a,b)(3)滿足不等式a< x<b或a<x< b的別表示為a,b ) ,(a,b實數(shù)集R可以用區(qū)間表示為(-OO, +OO), “OO”讀作無窮大，我們可以把滿足x> a, x>a,x < b,x<b的實數(shù)x的集合分別表示為a,+ x) , (a,+

20、 x) ,(- x,b, (-00, b),例題1.已知函數(shù)f (x) = Jx + 3+-x +2(1)求函數(shù)的定義域2求 f(-3),f(2)3(3)當(dāng) a>0 時，求 f(a),f(a-1) 的值練習(xí)1：求下列函數(shù)的定義域, 、1(1 ) f(x)=4x+7f (x) =、. x +3 + . 1 - x - 1f(x) = -6x2 - 3x + 2/八-4 - x(4) f(x)=x - 1(2)(3)(5)(6)f (x) = '，x2 f (x) = x2 - 6x +73 .相等函數(shù)由函數(shù)的定義可以知道，一個函數(shù)值域，由于值域是由對應(yīng)關(guān)系和定義 域確定的，所以，如

21、果兩個函數(shù)的定 義域相同，對應(yīng)法則相同，那么我們 就稱這兩個函數(shù)相等 例題2.下列函數(shù)中哪個與y=x相等 2(例題3.畫出函數(shù)y = x的圖象例題4.某公共汽車的票價按如下規(guī)則制定： 5公里以內(nèi)(含5公里)，票價2元； ) y = (Tx )( 2 ) y = &2(3)y = Vx2(4) y =x練習(xí)：下列哪一組中的函數(shù)f(x)和g(x)相等(1) f(x) =x-1 , g(x) = -1(2)xf(x) =x2, g(x) = (Tx)( 3 )f (x) =x2, g(x)=歹4 . 函數(shù)的三種表示方法： 、的構(gòu)成要素為：定義域，對應(yīng)關(guān)系和(2) 5公里以上，每增加 5公里，

22、票價增加1元(不足5公里的按5公里計算)如果某條線路的總里程為 20公里，請根據(jù)題意，寫出票價與里程之間的函數(shù)解析式，并畫出函數(shù)的圖象在集合B中都有唯一確定的元素y與 之對應(yīng)，那么就稱對應(yīng) f:A - B為集合A到集合B的一個映射，在我們的 生活中，有很多映射的例子，例如:我們把像例題3和例題4這樣的函數(shù)設(shè)集合A=x|x是某場電影票上的號碼,集合B=x|x是某電影院的座位稱為分段函數(shù)號，對應(yīng)關(guān)系f:電影票的號碼對應(yīng)于練習(xí)1:畫出下列函數(shù)的圖象電影院的座位號，那么f: f:A - B是?0,(x<0) F(x) = ?1,(x>0)一個映射例題5.以下給出的對應(yīng)是不是集合A G(n)

23、 =3n+1,n?1,2,3練習(xí)?x2+1,x?12:設(shè)函數(shù)f(x)= 12,則?-,x >1 ?x,f(f(3)=1,x >0、?3. 設(shè) f(x)= i0,x = 0,?-1,x <0g(x)=?1x為有理數(shù)?0, x為無理數(shù)則f(g(p )的值為5.映射的定義到B的映射(1)集合A=P|P是數(shù)軸上的點,集 合B=FR對應(yīng)關(guān)系f:數(shù)軸上的點與它 所代表的實數(shù)對應(yīng)(2)集合A=x|x是華兵實驗中學(xué)的 班級,集合B=x|x是華兵中學(xué) 的學(xué)生,對應(yīng)關(guān)系f:每一個班 級都對應(yīng)班里的學(xué)生。一般地，設(shè)A, B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應(yīng)關(guān)系f,使對于集合A中的任意一個元6

24、.函數(shù)解析式的求法1 .待定系數(shù)法2 .解方程組法3.配湊法對于二次函數(shù)f(x)=x 2,我們可以這樣4.換元法例題1:已知f(x)是一次函數(shù)，且f(f(x)= 4x+3，則f(x)的解析式為練習(xí)1:已知f(x)是二次函數(shù)，且f(x+1)+ f(x-1)= 2x2-4x+4 ,則f(x)= 例題2:定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+1)= 2f(x),若當(dāng) 0<x< 1,f(x)= x(1- x),則當(dāng)-1 0 x< 0 時，f(x)=1練習(xí) 2:已知 f(x)+2f( -)= 3x ,求 f(x)的 x解析式練習(xí)3:已知二次函數(shù)f(x)滿足f(x+1)- f(x)= 2x

25、 ,且 f(0)= 1 ,(1)求f(x)的解析式(2)求f(x)在區(qū)間-1,1上的值域描述：在區(qū)間(0, +°°)上，任取x1,x2, 得到 f(x 1)=x 12, f(x 2)=x 22,當(dāng) x1<x2 時有 f(x 1) <f(x 2),這時我們就說函數(shù) f(x)=x 2在(0, +°0)上是 增函數(shù) 一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I 如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的 任意兩個自變量的值x1,x 2,當(dāng)x1<x2 時都有f(x 1) <f(x 2),那么我們就說函 數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的 任意

26、兩個自變量的值x1,x 2,當(dāng)x1<x2時都有f(x 1) >f(x 2),那么我們就說函函數(shù)，那么我們就說函數(shù)詐f(x)在這一區(qū)間上具有單調(diào)性,區(qū)間,y= g)二、函數(shù)的基本性質(zhì)1.函數(shù)的單調(diào)性首先，我們研究一次函數(shù)f(x)=x和f(x)=x 2的單調(diào)性例題1.如圖是定義在-5,5上的函數(shù) y= f(x),根據(jù)圖象說出函數(shù)間上，它是增函數(shù)還是減函婁的單調(diào)區(qū)間，以及在每一個數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù) 如果y= f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減 f(x)的單調(diào)區(qū)間練習(xí)：根據(jù)下圖說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及在每一個單調(diào)區(qū)間上，函數(shù)時增函數(shù)還是減函數(shù)例題2.證明函數(shù)f (x) = -2x +

27、1在R上是減函數(shù)證明函數(shù)單調(diào)性的步驟： 3.函數(shù)的奇偶性觀察下列圖象，思考并討論這兩個函數(shù)圖象有什么共同特征嗎從函數(shù)圖象可以看出，當(dāng)自變量 x取一對相反數(shù)時，相應(yīng)的兩個函數(shù)值相等例如：對于函數(shù)f (x) =x練習(xí)：證明函數(shù)f(x) =x2+1在(0, +8)上是增函數(shù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷：同增異減例題1 :求函數(shù)f(x尸 1_2的單調(diào)8- 2x - x區(qū)間2.函數(shù)的最值一般地，y= f(x)的定義域為I ,如果存在實數(shù)M滿足：(1)對于任意的xG I ,都有f(x) <M(2)存在x0? I ,使得f D = M ,那么稱M是函數(shù)y= f(x)的最大值 例題4.已知函數(shù)f(x)= (x

28、?2,6),x - 1求函數(shù)的最大值和最小值有實際上，對于R內(nèi)的任意一個x,都有f(-x) = f(x),這時我們就稱函數(shù)f(x) =x2為偶函數(shù)偶函數(shù)的定義：一般地，如果對于函數(shù)f (x)的定義域內(nèi)任意一個x,都有f (-x) = f (x) , UE么函數(shù)f (x)就叫做偶函數(shù)例如，函數(shù)f(x) = x2 +1 ,f(x)二號都是偶函數(shù)x2- 1練習(xí)1：已知函數(shù)y = f(x)是偶函數(shù)，且圖象與x軸有四個交點，則方程f(x)= 0的所有實數(shù)根的和為()C. 1A. 4D. 0練習(xí)2:若函數(shù)B. 2f(x)= (x+1)(x -a)為偶函練習(xí)：已知f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，將下圖補

29、充完整.數(shù)，則a=()函數(shù)的單調(diào)性鞏固練習(xí)題B .-11.下列說法中正確的有(觀察下列圖象，思若 Xi,X2, G I ,當(dāng) Xi<X2 時，f(x 1)卜函數(shù)圖象有什么共同<f(x 2),則y = f(x)在I上是增函數(shù)數(shù)y=xf(1)< f(2)< f(-1) C. f(2)< f(-1)< f(1) D. f(1)< f(-1)< f(2)在R上是增函數(shù)我們看到兩個函數(shù)的圖象都關(guān)于數(shù)y =-在定義域上是增函數(shù)x對稱y=2的單調(diào)區(qū)間是(-X, 0) U x例如，對于函數(shù)f(x)= x有:(0,日)奇函數(shù)的定義：一般地，如果對于函C. 2數(shù)f

30、(x)的定義域內(nèi)任意一個x,都有2.下列函數(shù)中,在區(qū)間0,1 )上是f (- x) = - f (x),那么增函數(shù)的是(函數(shù)f(x)就叫做意函數(shù)例：判斷下列函數(shù)的奇偶性(1)f(x)= f(x)=(3)f(x)=1x+ 一 x(4)a. y=|xC. y = - D.xB.y = 3- x2 . 4 y= -x +43.已知函數(shù)y = x2+bx+c稱軸為直線x=1，則(A. f(-1)< f(1)< f(2)的圖象的對B.f(x)=(1)求證:f(8)= 34 .函數(shù)f(x尸在區(qū)間1,5上的2x - 1最大值為 最小值為_?1x>1弘5 .函數(shù)f(x)=ix的取大值為.?-

31、x2+2,x <16 .已知y= f(x)在定義域(-1,1 )上是 減函數(shù)，且f(1-a)< f(2a-1),求a的 取值范圍7 .已知函數(shù)f(x)是定義在-1,1上的增函數(shù)，求滿足f(x)< f(1)的實數(shù)x的 2取值范圍8 .已知函數(shù) f(x)= x-W+a 在(1, +°°) x 2上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍9 .已知函數(shù)f(x)對于任意的xGR,總有 f(x)+ f(y)= f(x+ y),且當(dāng) x>0 時，.- -2f(x) <0, f(1)=-3(1)求證f(x)在R上是減函數(shù)(2)求f(x)在-3,3上的最大值與最 小值10

32、 .已知f(x)是定義在(0, +x)上的 增函數(shù)，且滿足條件：f(xy)= f(x)+ f(y),f(2)=1 ,(2)求不等式 f(x)> 3+ f(x - 2)11 .函數(shù)f(x)對于任意的X, y滿足f(x)+ f(y)= f(x+ y),且 x>0 時，f(x) <0, f(1) = -1 ,求 f(x)在-4,4上的最大值與最小值12 .已知函數(shù) f(x)= x2 + 2ax+ 2 , x 6-5,5(1)當(dāng)a=-1時，求函數(shù)f(x)的最大值與最小值(2)求實數(shù)a的取值范圍，使y= f(x) 在區(qū)間-5,5上是單調(diào)函數(shù)13 .已知函數(shù)2 .f(x)= xx3(x?

33、2, ?)(1)求f(x)的最小值(2)若 心)>2恒成立，求a的取值范圍函數(shù)的奇偶性鞏固練習(xí)題1 .下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是()A. y = x+1B. y = -x3是偶函數(shù)D. 既是C. y= - D. y = x x x2 .函數(shù) y = x2+ xx ()A.是奇函數(shù)B.C.是非奇非偶函數(shù)奇函數(shù)又是偶函數(shù)3 .若f(x)是R上的奇函數(shù)，給出下列結(jié)論 ：f(x)+ f(-x)= 0f(x)- f(-x)= 2f(x) f(x)祝(-x) 0&L = - i其中不正確的結(jié)論有 f(-x)()個A. 1 個B. 2個個 D. 4個4 .若偶函數(shù)f(x)在(-? ,

34、0為增函數(shù)， 則滿足f(1)£f(a)的實數(shù)a的取值范圍是5 .設(shè)f(x)是R上的奇函數(shù)，且當(dāng) x?0, ?)時，f(x)= x(1+ 我)，則 f(-1)= 6 .若 f(x)=(m-1)x2+6mx+2 是偶函數(shù), 則f(0), f(1), f(-2)從小到大的順序是 7 .設(shè) f(x) = ax +1 (a,b,c G Z)是奇函 bx + c數(shù)，且 f(2) <3,f (1) = 2 ,求 a,b,c 的值8 .已知f(x)是奇函數(shù)，當(dāng) x>0時，f(x) =2x + 3x +1(1)當(dāng)x<0時，求f(x)的解析式(2)用定義證明：f(x)在(0, +x)上

35、是減函數(shù)9 .已知函數(shù)f(x)= 1- x(1)若g(x)= f(x)- a為奇函數(shù)，求a的值(2)試判斷f(x)在(0, +OO)內(nèi)的單調(diào)性，并用定義證明高一數(shù)學(xué)預(yù)科第3講：基本初等函數(shù)一、指數(shù)與指數(shù)募的運算1.一般地，如果 ,那么x叫做a的n次方根，其中n>1,且 _ *n G N的n次方根的表示：(1)當(dāng)n時奇數(shù)時，a的n次方根表不為 , aGR(2)當(dāng)n時偶數(shù)時，a的n次方根表不為 , a203.式子n/a叫做根式，這里n叫a叫做=a ;當(dāng)n為偶做 ,4.當(dāng)n為奇數(shù)時，痘數(shù)時，好二a例題：求下列各式的值(1)V(-83(3)依-p )4?a,a 3 0?- a,a < 0(

36、2) J(- 10)2(4)根據(jù) n次方根V (a-b)2 (a >b)二、分?jǐn)?shù)指數(shù)募我們來看下面的例子,的定義和數(shù)的運算 105/a10 = 5/(a2)5 = a2 = a5( a>0 )_ 12Va12 = 4/(a3)4 = a3 = a4 (a>0)我們規(guī)定正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)募的意義m 是：an = n/am(a > 0, m, n ? N，且n 1)正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)募的意義與負(fù)整數(shù) 指數(shù)募的意義相仿，我們規(guī)定:a： =4(a>0,m,n? N an，且n 1)0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)募等于0, 0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)嘉沒有意義整數(shù)指數(shù)募的性質(zhì)對于有理數(shù)指數(shù)募同樣適用，即對

37、于任意的有理數(shù)r,s ,均有下面的運算性質(zhì)(1 ) aras = ar+s(a > 0, r,s ? Q) ( 2 ) (ar)s = ars(a > 0, r,s? Q)(3 )(ab)r =arbr(a >0,b >0,r? Q) 例題1:求值21-(1 ) 83( 2 ) 25 2例題2:用分?jǐn)?shù)指數(shù)募的形式表示下列各式(其中a>0)(1) a3 x/a(2) a2 >02(3) Ja嗎例題3:計算下列各式(式中字母都是正數(shù))2 11115(1)(2a3b2)(-6a2b3)? ( 3a6b6)13- - (2) (m4n8)8例題5:計算下列各式：(1

38、)0325- 7125) ? 252(a>0)練習(xí)1：用分?jǐn)?shù)指數(shù)募表示下列各式(1) 3/X2(3)jp6q5(2) ?(a + b)3(4)3 m. m練習(xí)2:計算下列各式3(1)H62(2) 2點創(chuàng)3/15 612檎9一般地，指數(shù)函數(shù)y = ax的圖象和性質(zhì)如圖所示定義域：值域：_性質(zhì)：(1) 1 11-(3 ) a2a4a 8例題1 :比較下列各題中兩個值的大小1,12-1- -2x 3( x3- 2x 3)2三、指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)般地，函數(shù)y=ax(a>0,且a? 1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，定義域我們先畫函數(shù)y=2x的圖象xy-2-10121 -7 -I o(1) 1

39、.72.5,1.730.8-0.1,0.8-0.20.33.11.7 ,0.9(2)(3)練習(xí)1 :比較下列各題中兩個值的大小(1 ) 30.8,30.7(3) 1.012.7,1.013.5(2) 0.75-0.1,0.750.1(4) 0.993.3,0.994.5指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)練習(xí)題1.函數(shù)y = ax-a(a >0且a? 1)的圖象可能是()2.3.4.C.函數(shù)y =2儼的圖豪是(an函數(shù)y =j2x-1的定義域是(A. (-? ,0)0, +? ) D.F列判斷正確的是A2.531.7 >1.722P <P D.)B.(0,+B.230.8 <0.80.

40、30.9 >0.90.5115.當(dāng)a>0,且a才1時，函數(shù)11.函數(shù) y = ax(a >0且a? 1)在1,2上f(x)=的圖象一定經(jīng)過點則最大值與最小值的和為 6,則a的值C.6.A.(0,1)(-1,0)D.B.(1,0)設(shè)函數(shù) f (x)= a-“a > 0且a?(0,-1)1),若12.已知函數(shù)f(x)的定義域為(0,1),則f(x3)的定義域為13.定義運算a*b =嘉翼則函數(shù)f(x) = 1*2x的最大值為A. f (-2) >f(-1)B.14.已知函數(shù)f(x)時偶函數(shù)，當(dāng) xGf (-1) > f (-2) C.f(1)> f(2)D

41、.f (-2) > f (2),一" 1 ,(0,1)時，f(x) = 2x-1 ,則 f (1)的值為7.函數(shù)f (x) = ax與g(x) = - x + a的圖象大致是8.函數(shù)+x+27的單調(diào)遞r區(qū)間15.求函數(shù)2(1)求函數(shù)f(x)的定義域6.Cx2- 2x+2(0 #x 3)的值2x-1(2)證明：f(x)在(-? ,0)上為減函數(shù)C.9.A.2,+?)D.B.H,2、一2不等式6x+x-2<1的解集是(-? , 117.f(x)18.已知函數(shù) f (x) = ax在-2,2恒有<2 ,求a的取值范圍已知函數(shù)f(x)在R上滿足f(x +y)= f (x)

42、+ f (y),且當(dāng)x>0時，數(shù)，則a的值為(1)求 f(0), f(3)的值10.已知函數(shù)f(x) = J+a為奇函3 +1f(x) >0, f(1) =2(3)若 f(4x-a)+ ”6 + 2-1)>6對任意 x 恒成立，求實數(shù)a的取值范圍 四、對數(shù)的定義一般地，如果ax=N(a>0且a? 1),那 么x叫做以a為底N的對數(shù)，記作 logaN ,其中a叫做對數(shù)的底數(shù),N叫 做真數(shù)例如：42 = 16,所以4為底16的對數(shù) 為 2,記作 log 416 = 2通常我們將以10為底的對數(shù)叫做常用 對數(shù)，并把log1記作lgN ,另外，在 科學(xué)技術(shù)中常使用以無理數(shù)e=為

43、底的對數(shù)，以e為底的對數(shù)稱為自然對 數(shù)，并且把logeN記為ln N根據(jù)對數(shù)的定義，可以得到對數(shù)與指 數(shù)間的關(guān)系：當(dāng) a > 0且a? 1 時，ax = N ? x log aN 負(fù)數(shù)和零沒有對數(shù) log； = 0 logaa =1例題1：將下列指數(shù)式化成對數(shù)式，對(1 ) 54 =625( 2 ) 2-6 二一64Sm= 5.73(4) 10gl16 =-4柳2練習(xí)1：將下列指數(shù)式化成對數(shù)式，對 數(shù)式化成指數(shù)式(1 ) 23 =8(3) 2-1=12(5) log 39 = 21(7) 10g24 =-2例題2:求下列各式中,、v 2(1 ) log 64 =-(2 ) 25 =32-

44、1(4) 27 3 =- 3(6) 10g5125 =31(8) 10g381 =-4x的值(2) 10gx8 =6(3) 1g100 = x (4) -lne2 = x練習(xí)2:求下列各式的值1(1 )1og525( 2 )log 216(3) 1g1000(4) lg 0.001151(5)10g15(6) log 0.4(7) log 981(8) 10g產(chǎn)五、對數(shù)的運算 由于 am?an am+n, 設(shè)M=am,N=an,于 是：MN =am+n ,由對數(shù)的定義得到:數(shù)式化成指數(shù)式logaM =m,log aN = n , loga(M>N)=m + n , 例題3:利用對數(shù)的換底

45、公式化簡下列這樣我們就得到了對數(shù)的一個運算性各式質(zhì)：lOga(M'=lOgaM + lOgaN對數(shù)的運算性質(zhì)：例題 1 :用 lOgax,lOg ay,10g式：(1)2 一X y(1 ) lOga'XOgca(2)1一 tog-23HOg4 蠅7汕蜂2 (3)如果 a>0且a? 1,M>0,N>0,那么： ：az 表不下列各(lOg 43+ lOg 83 )(lOg 3, lOg 92 )；( / d Icc (M M - Icc M I Icc NII (1) log a= loga +loga:;練習(xí)1: (1)利用換底公式求!下式的值IM.:(2) X

46、yOg a:lOgaz:(3) lOgaNMN'(lOga)即用換底公式證明：= nblO練習(xí)1：用lg x,lg y,lg z表示下列各式對數(shù)與對數(shù)的運算鞏固練習(xí)題3.521+l0g2)A. - 212)A.- 4) B. 1對數(shù)的換底公式嗎6. lg8+3lg5=()A.-3 B. -12(1) lg(xyz)(2) lgMz(3) lg歲(4) lg£zy z例題2:求下列各式的值(1)10g2(47 25)(2) lg 5/100(3) ln 5?e(4) lg 0.00001練習(xí)2:求下列各式的值(1) log 26- log 23(2) lg5 +lg 21(3)

47、 log 53 + log53(4)10g35- 10g315氐、考：你能根據(jù)對數(shù)的定義推導(dǎo)出1. log23的值為(B. 12 C. - 1 D.294/2. (log 2 )(log3 )=(B. 1 C. 2 D. 42D. 9210,0.25/4 . 2log 5 + log 5 =(C. 2x5 .萬程210g3 =4的解是()A. 19B. 3 C.-337 .計算 log22510g22/ log59 的結(jié)果為( )8 .下列計算正確的是()A. log 26- log 23 = log23B.log26- log 23 = 1C. log39 =32D. log3()=2log

48、；六、對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)一般地，我們把函數(shù)y = logax(a > 0,且a? 1)叫做對數(shù)函數(shù),其中x是自變量，函數(shù)的定義域為(0,+?)下面我們來研究對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)例題1:求下列函數(shù)的定義域(1) y = logax2(2) y = loga(4-x)(3)y =(4)y = Jm"log 2例題2:比較下列各題中兩個值的大小(1)logi06,logi08(2)460.50.610go.5 ,log0.5(3) log2 ,log233(4) logi.51.6,log 1.51.4對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)鞏固練習(xí)題1 .函數(shù)y =-=L=的定義域為.lOg0.5(4X-3

49、)一2 .函數(shù)y =1 + log2x(x ?4)的值域為 3 .函數(shù)f(x)=ln(x 2+1)的圖象大致是( ),24 .函數(shù)f(x) = log2(X+2x-3)的單調(diào)區(qū)間為_5 . 已 知 函 數(shù)y =3 + loga(2x+3)(a >0且a? 1)的圖象必經(jīng)過點P,則點P的坐標(biāo)為6 .已知函數(shù) f(x)= ?log2 ,x>0 則 ?3x,x £01f(f( - )= 47 .已知集合A= x|y= log2x+1,集合17B=y|y=( )x,x>0,則 An B= 2138 .設(shè)實數(shù) a = log 32 ,b = 20.1,c = 0.92 ,則

50、a,b,c從小到大的排列順序為9 . 已知 a>0,且a? 1 , 函數(shù)y= log ax ,y = ax, y = x + a在同一坐標(biāo)系中的圖象可能是()10 .求函數(shù)10gl(3+2x-x2)的值域211 .已知 f(x) = loga(ax-1)(a>0且a? 1)(1)求函數(shù)f(x)的定義域(2)討論f(x)的單調(diào)性12 . 已 知 函 數(shù)f(x) = loga(1+x) + loga(3-x)(a>0且 a? 1)(1)求函數(shù)f(x)的定義域(2)若函數(shù)f(x)的最小值為-2 ,求實數(shù)a的值，213 .已知函數(shù) f(x) = loga(x -ax+3)(1)若函數(shù)f(x)的值域為R,求實數(shù)a的取值范圍(2)當(dāng)xG (0,2)時,函數(shù)f(x)恒有意義，求實數(shù)a的取值范圍七、募函數(shù)的圖象與性質(zhì)1 .募函數(shù)的定義一般地，函數(shù)y = xa叫做募函數(shù)，其中x是自變量，a是常數(shù)2 .募函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系募函數(shù)的性質(zhì)：例題1：證明募函數(shù)f(x)= 77在0,+?)上是增函數(shù)練習(xí)：1 .下列函數(shù)中不是募函數(shù)的是( )A. y =、xB. y = x丹C. y = 22xD. y = x-112.函數(shù)y =(m2+2m-2)x m-1是募函數(shù)，3 .已知募函數(shù)y = f(x)的圖象經(jīng)過點(2,烏，貝U f(x)=24 .