利用韋達(dá)定理求一元二次方程的根

1、利用韋達(dá)定理求一元二次方程的根一、關(guān)于韋達(dá)定理的性質(zhì)1. 韋達(dá)定理：假設(shè)一元二次方程ax2bxc0的兩根分別為x1、x2，則有x1x2， x1x2.2. 推導(dǎo)：（法一）根據(jù)一元二次方程的求根公式x 不妨假設(shè) x1， x2,.不難得出 x1x2， x1x2.（法二）若一元二次方程的兩根分別為x1、x2，則方程可以寫成以下形式 a(xx1)(xx2)0 (a0) （雙根式） 按照x的次數(shù)降冪排列，得 ax2a(x1x2)xax1x20 對比一元二次方程的一般式ax2bxc0，得 ba(x1x2)， cax1x2， x1x2， x1x2.3. 推論：（一）當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為1時，即一元二次方程滿足x2p

2、xq0的形式假設(shè)方程的兩根分別為x1、x2，則有x1x2p，x1x2q. （二）已知一元二次方程兩根分別為x1、x2，則方程可以寫成以下形式 x2(x1x2)xx1x20.4. 實(shí)質(zhì)：韋達(dá)定理告訴了我們一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系.二、利用韋達(dá)定理求一元二次方程的根例如，求一元二次方程x22x60的根.很明顯，根據(jù)我們所學(xué)習(xí)慣，首選方法是十字相乘法.（法一）因式分解，得 (x3)(x)0，解得， x13， x2.當(dāng)然，利用十字相乘法很難湊數(shù)時，我們就會選用求根公式法.（法二） a1，b2，c6， b24ac82432， x±2，于是有 x13， x2.結(jié)合以上兩種方法，我們發(fā)現(xiàn)，十字

3、相乘法計(jì)算速度快，但是湊數(shù)的過程十分靈活，若每一個系數(shù)都是整數(shù)，且滿足x2(x1x2)xx1x20形式的方程可以很快算出來，但如果系數(shù)是分?jǐn)?shù)、根式我們發(fā)現(xiàn)利用這種方法解方程是十分困難的，而且這種方法并不是對一切一元二次方程都適用. 而利用求根公式解一元二次方程時，雖然是一種萬能的方法，但有時會給我們帶來無比的計(jì)算量. 那有什么方法既可以減少計(jì)算量，使運(yùn)算變得簡單快捷，同時又可以用來解一切的一元二次方程呢？接下來，我們看以下解法.（法三）已知方程x22x60，根據(jù)韋達(dá)定理有x1x22，x1x26.在方程有解的情況下，必然會存在某一個實(shí)數(shù)a（假定為正數(shù)），使得 x1a， x2a， （滿足條件x1x

4、22）且 (a)(a)6. （滿足條件x1x26）于是有2a26， 則a28， 因此a2 x123， x22.上述解法中a取正取負(fù)并不影響計(jì)算的最終結(jié)果，為了方便，習(xí)慣上可以假定a為正數(shù). 觀察以上解法，我們可以發(fā)現(xiàn)，這種解法并不像十字相乘法需要有湊數(shù)的靈感，也不像求根公式法會帶來無比的計(jì)算量，反而還結(jié)合兩者的優(yōu)點(diǎn)，計(jì)算快捷且萬能通用. 當(dāng)然我們也可以看以下例子.例1： 解方程x26x250，根據(jù)韋達(dá)定理有x1x26，x1x225.在方程有解的情況下，必然會存在某一個實(shí)數(shù)a（假定為正數(shù)），使得 x13a， x23a， （滿足條件x1x26）且 (3a)(3a)25. （滿足條件x1x225）于

5、是有9a225， 則a234， 因此a x13， x23.例2： 解方程x224x630，根據(jù)韋達(dá)定理有x1x224，x1x263.在方程有解的情況下，必然會存在某一個實(shí)數(shù)a（假定為正數(shù)），使得 x112a， x212a， （滿足條件x1x224）且 (12a)(12a)63. （滿足條件x1x263）于是有144a263， 則a2207， 因此a x112， x212.例3：解方程x214x480，根據(jù)韋達(dá)定理有x1x214，x1x248.在方程有解的情況下，必然會存在某一個實(shí)數(shù)a（假定為正數(shù)），使得 x17a， x27a， （滿足條件x1x214）且 (7a)(7a)48. （滿足條件x1

6、x248）于是有49a248， 則a21， 因此a1 x1718， x2716.例4：解方程x218x400，根據(jù)韋達(dá)定理有x1x218，x1x240.在方程有解的情況下，必然會存在某一個實(shí)數(shù)a（假定為正數(shù)），使得 x19a， x29a， （滿足條件x1x218）且 (9a)(9a)40 （滿足條件x1x240）于是有81a240， 則a241， 因此a x19， x29.通過以上4個例子，我們可以熟悉，若二次項(xiàng)系數(shù)為1時，利用韋達(dá)定理解一元二次方程的流程. 實(shí)際上當(dāng)一元二次方程二次項(xiàng)系數(shù)不為1時，我們也可以離此流程解一元二次方程. 如例5：解方程2x29x50，（法一）根據(jù)韋達(dá)定理有x1x2，x1x2.在方程有解的情況下，必然會存在某一個實(shí)數(shù)a（假定為正數(shù)），使得 x1a， x2a， （滿足條件x1x2）且 (a)(a). （滿足條件x1x2）于是有 a2， 則a2， 因此a x1， x25.（法二）a2，b9，c5， b24