力學(xué)動態(tài)平衡問題

1、力學(xué)動態(tài)平衡問題 所謂動態(tài)平衡問題是指通過控制某些物理量，使物體的狀態(tài)發(fā)生緩慢的變化，而在這個過程中物體又始終處于一系列的平衡狀態(tài)中。解決動態(tài)平衡問題的思路是，明確研究對象。對物體進(jìn)行正確的受力分析。觀察物體受力情況，認(rèn)清哪些力是保持不變的，哪些力是改變的。選取恰當(dāng)?shù)姆椒ń鉀Q問題。根據(jù)受力分析的結(jié)果，我們歸納出解決動態(tài)平衡問題的三種常用方法，分別是“圖解法”，“相似三角形法”和“正交分解法”。1、圖解法在同一圖中做出物體在不同平衡狀態(tài)下的力的矢量圖，畫出力的平行四邊形或平移成矢量三角形，由動態(tài)力的平行四邊形（或三角形）的各邊長度的變化確定力的大小及方向的變化情況。適用題型：（1）物體受三個力（

2、或可等效為三個力）作用，三個力方向都不變，其中一個力大小改變。例1、重G的光滑小球靜止在固定斜面和豎直擋板之間，若對小球施加一通過球心豎直向下的力F作用，且F緩慢增大，問在該過程中，斜面和擋板對小球的彈力的大小F1、F2如何變化？ 圖1-1圖1-5圖1-4圖1-3圖1-2解析：選取小球?yàn)檠芯繉ο?，小球受自身重力G，斜面對小球的支持力F1，擋板對小球的彈力F2和豎直向下的壓力F四個力作用，畫出受力示意圖如圖1-2所示。因?yàn)榱和重力G方向同為豎直向下，所以可以將它們等效為一個力，設(shè)為F，這樣小球就等效為三個力作用，力的示意圖如圖1-3所示。畫出以F1和F2為鄰邊的力的平行四邊形，因?yàn)槿ζ胶?，?/p>

3、以F1和F2的合力F合與F等大反向（如圖1-4所示）。各力的方向不變,當(dāng)F增大，F(xiàn)合應(yīng)隨之增大，對應(yīng)平行四邊形的對角線變長，畫出另一個狀態(tài)的力的矢量圖（如圖1-5所示），由圖中平行四邊形邊長的變化可知F1和F2都在增大。根據(jù)物體在三個力的作用下平衡時，這三個力一定能構(gòu)成一個封閉的矢量三角形。這樣也可以將上述三個力F、F1、F2平移成矢量三角形（如圖1-6所示），由F增大，可畫出另一個狀態(tài)下的矢量三角形，通過圖像中三角形邊長的變化容易看出F1和F2都在增大。圖1-6（2）物體受三個力（或可等效為三個力）作用，一個力是恒力（通常是重力），其余兩個力中一個方向不變，另一個方向改變。例2、如圖2-1所

4、示，OB繩水平，OA繩與豎直墻面夾角為?，F(xiàn)保持不變，將B點(diǎn)緩慢上移，則OA繩和OB繩中的張力大小如何變化？圖2-1圖2-2圖2-3圖2-4解析：OA繩和OB繩中張力就是兩根繩對O點(diǎn)的拉力，所以選取O點(diǎn)為研究對象，分析O點(diǎn)受力如圖2-2所示，其中F為重物通過繩子對O點(diǎn)的拉力（其大小等于物重）。當(dāng)B點(diǎn)緩慢上移時，O點(diǎn)一直處于三力平衡狀態(tài)。其中F的大小、方向均不變，是恒力。F1的方向不變，F(xiàn)2的方向改變。畫出若干狀態(tài)下以F1和F2為鄰邊的平行四邊形，如圖2-3所示。F不變，則平行四邊形的對角線不變；拉力F1方向不變，則平行四邊形的一組鄰邊OA方向不變。故由圖可以看出F1逐漸減小，F(xiàn)2先減小后增大。如

5、果利用矢量三角形分析，如圖2-4所示，拉力F、F1、F2構(gòu)成一封閉矢量三角形，可以看出因F不變，所以三角形邊長oa不變；因?yàn)檫呴Lab變短，所以F1變??；因?yàn)檫呴Lob先變短后又變長，所以F2先變小后變大。當(dāng)F2與F1方向垂直時，F(xiàn)2最小。 所以O(shè)A繩中張力變小，OB繩中張力先變小后變大。例3、如圖3-1所示，一個重為30N的重物，用繩懸于O點(diǎn)，現(xiàn)用力拉重物，要使重物靜止在懸線偏離豎直方向30°角的位置，所用拉力F的最小值為 （ ） A 15N B 30N C D 圖3-1圖3-4圖3-3圖3-2解析：選取重物為研究對象，受力圖如圖3-2所示，其中G為物體重力，T為繩子對物體的拉力。因?yàn)?/p>

6、重物靜止，所以物體處于三力平衡狀態(tài)。T和F的合力G應(yīng)與物重G等大反向。當(dāng)拉力F的方向改變時，重力G為一個恒力不變，拉力T方向始終不變，因此畫出不同狀態(tài)下以T和F為鄰邊的平行四邊形，如圖3-3所示。在F方向改變的過程中，平行四邊形的對角線不變，拉力T對應(yīng)的鄰邊的方向不變，要使拉力F最小，就要使其對應(yīng)的邊長最短，可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)F與T垂直時，F(xiàn)最小。由三角函數(shù)知識可知，此時F=Gsin30°=30N×0.5=15N。本題若利用矢量三角形解則更為方便，如圖3-4所示，重力G，繩拉力T，拉力F構(gòu)成一封閉矢量三角形。因T的方向不變，要使拉力F最小，顯然應(yīng)當(dāng)是F與T垂直時。所以選項(xiàng)A正確。

7、（3）物體受三個力（或可等效為三個力）作用，一個力是恒力，其余兩個力方向都改變。例4、一個相框用輕繩對稱的懸掛在一個固定在豎直墻面的釘子上（如圖4-1所示），不計(jì)繩與釘子間摩擦。如果換用一根較短的輕繩以同樣的方式懸掛，問繩子中的張力將怎樣變化？圖4-1圖4-4圖4-3圖4-3圖4-2解析：選取相框?yàn)檠芯繉ο?，相框受重力G和繩的拉力F作用，由于是同一根繩子，所以兩個拉力大小相等。雖然三個力的作用點(diǎn)不在同一點(diǎn)，但是它們的作用線交于同一點(diǎn)O，所以三個力是共點(diǎn)力。其受力圖如圖4-3所示，由對稱性可知，以兩個拉力F為鄰邊的平行四邊形是菱形。若換用較短繩子，則兩個拉力間的夾角變大（如圖4-3所示），畫出此

8、狀態(tài)下的受力圖，如圖4-4所示，由于G不變，所以菱形的對角線不變，當(dāng)兩拉力F夾角變大時，菱形兩個鄰邊變長，所以拉力F變大。所以繩中的張力變大。2、相似三角形法 畫出力的矢量三角形，找力學(xué)三角形與幾何三角形相似，利用各對應(yīng)邊成比例的關(guān)系，確定力的大小變化情況。適用題型：物體受三個力（或可等效為三個力）作用，一個力是恒力，其余兩個力方向都改變。（通常問題較復(fù)雜） 例5、如圖所示，在半徑為R的光滑半球面上高為 h處懸掛一定滑輪，重力為G的小球被站在地面上的人用繞過定滑輪的繩子拉住，人拉動繩子，小球在與球面相切的某點(diǎn)緩慢運(yùn)動到接近頂點(diǎn)的過程中，求小球?qū)Π肭虻膲毫屠K子的拉力大小將如何變化 ？圖5-1圖

9、5-2解析：選取小球?yàn)檠芯繉ο?，小球受豎直向下的重力G，沿繩子的拉力F和沿半徑向外的支持力N三個力作用。將N和G合成，其合力與F等大反向（如圖5-2所示）。當(dāng)小球沿球面向上運(yùn)動過程中，拉力F和支持力N的方向都在改變，通過矢量三角形難以判斷N和F的變化。所以尋找相似三角形，容易證明圖中力學(xué)三角形（陰影部分）與幾何三角形OAB相似，根據(jù)對應(yīng)邊成比例可得到以下關(guān)系： ，因?yàn)閔+R不變，所以G不變；因?yàn)镽的長度不變，所以N的大小不變；因?yàn)長逐漸減小，所以F逐漸減小。由牛頓第三定律，N大小不變，則小球?qū)Π肭虻膲毫Υ笮∫膊蛔?。所以小球?qū)Π肭虻膲毫Υ笮〔蛔?，繩子的拉力逐漸變小。例6、如圖所示，某人執(zhí)行一項(xiàng)特

10、殊任務(wù)，需從半球形屋頂B點(diǎn)向上緩慢爬行到A點(diǎn)，他在爬行過程中（ ）A 屋頂對他的支持力變小B 屋頂對他的支持力變大C 屋頂對他的摩擦力變小D 屋頂對他的摩擦力變大圖6-1圖6-2解析：選取人為研究對象，人受到重力G，沿半徑向外的支持力N和沿球面切線方向向上的摩擦力f三個力作用。將N與f合成，其合力與G等大反向（如圖6-2所示）。當(dāng)人向上爬行時，N與f的方向都在改變，而N與f之間一直是垂直的，所以可以尋找相似三角形。過B點(diǎn)做底面垂線BC交底面于C點(diǎn)，容易證明圖中力學(xué)三角形（陰影部分）與幾何三角形OBC相似。所以有： ，因?yàn)镺B、G不變，而BC變長，OC變短，所以N變大，f變小。所以選項(xiàng)B、C正確

11、。3、正交分解法利用正交分解建立坐標(biāo)系，將變力按選定的方向進(jìn)行分解，則有Fx=0，F(xiàn)y=0。要抓住不變量，通過角度變化導(dǎo)致三角函數(shù)變化，從而進(jìn)行判斷。注意選擇合適的坐標(biāo)系，一般應(yīng)遵循的原則是：不在坐標(biāo)軸上的力越少越好，各力與坐標(biāo)軸的夾角是特殊角為好。適用題型：物體受多個共點(diǎn)力作用（多力平衡）。 例7、人站在岸上通過定滑輪用繩牽引低處的小船，若水的阻力不變，則船在勻速靠岸的過程中，下列說法中正確的是（ ）（A）繩的拉力不斷增大（B）繩的拉力保持不變（C）船受到的浮力保持不變（D）船受到的浮力不斷減小圖7-1解析：選取小船為研究對象，分析其受力，小船受到重力G，拉力F，浮力F浮，阻力f共四個力作用

12、。由于小船勻速運(yùn)動，所以處于平衡狀態(tài)。利用正交分解法，在水平和豎直方向建立如圖7-2所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拉力F與水平方向的夾角為，將F按x軸和y軸分解。由平衡條件和幾何關(guān)系可得：水平方向：f=Fcos豎直方向：Fsin+F浮=G圖7-2 因船在靠岸過程中夾角在增大，所以cos減小，又f不變，所以F增大。又因?yàn)閟in增大，所以Fsin增大，因G不變，所以F浮減小。所以選項(xiàng)A、D正確。例8、如圖所示，質(zhì)量分別為M，m的兩個物體系在一根通過輕滑輪的輕繩兩端，M放在水平地面上，m被懸在空中，若將M沿水平地面向右緩慢移動少許后M仍靜止，則 （ ）A 繩中張力變大B 滑輪軸所受的壓力變大C M對地面的壓力變大D M所受的靜摩擦力變大圖8-1解析：首先研究m，由m受力平衡知繩中拉力始終等于物體m的重力，所以繩中張力不變，A錯誤。物體M右移后，左段繩與豎直方向的夾角減