利用初等函數(shù)的連續(xù)性求極限

1、第二章微積分學(xué)的創(chuàng)始人: 德國數(shù)學(xué)家 Leibniz 微分學(xué)導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)描述函數(shù)變化快慢微分微分描述函數(shù)變化程度(從微觀上研究函數(shù))導(dǎo)數(shù)與微分英國數(shù)學(xué)家 Newton導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念 一、一、 引例引例1. 變速直線運動的速度變速直線運動的速度設(shè)描述質(zhì)點運動位置的函數(shù)為)(tfs 0t則 到 的平均速度為0tt v)()(0tftf0tt 而在 時刻的瞬時速度為0t lim0ttv)()(0tftf0tt so)(0tf)(tft xyo)(xfy C2. 曲線的切線斜率曲線的切線斜率曲線)(:xfyCNT0 xM在 M 點處的切線x割線 M N 的極限位置 M T割線 M N 的斜率tan)

2、()(0 xfxf0 xx 切線 MT 的斜率=割線MN的斜率的極限 lim0 xxk)()(0 xfxf0 xx 0 xx兩個問題的共性共性:瞬時速度 lim0ttv)()(0tftf0tt 切線斜率 lim0 xxk)()(0 xfxf0 xx 所求量為函數(shù)增量與自變量增量之比的極限 .為函數(shù)關(guān)于自變量的瞬時變化率的問題0limxyx 二、導(dǎo)數(shù)的定義二、導(dǎo)數(shù)的定義定義定義1 . 設(shè)函數(shù))(xfy 在點0 x0limxx00)()(xxxfxfxyx0lim存在,)(xf并稱此極限為)(xfy 記作:;0 xxy; )(0 xf ;dd0 xxxy0d)(dxxxxfxxfxxfx)()(l

3、im000則稱函數(shù)若的某鄰域內(nèi)有定義 , 在點0 x處可導(dǎo)可導(dǎo), 在點0 x的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù). 若上述極限不存在 ,在點 不可導(dǎo). 0 x若,lim0 xyx也稱)(xf在0 x就說函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為無窮大 .在 時刻的瞬時速度0t運動質(zhì)點的位置函數(shù))(tfs lim0ttv)()(0tftf0tt 曲線)(:xfyC在 M 點處的切線斜率 lim0 xxk)()(0 xfxf0 xx )(0tf )(0 xf yxf (1 ),f (2 )設(shè)=, 求1. 設(shè))(0 xf 存在 , 則._)()(lim000hxfhxfh2. 已知,)0(,0)0(0kff則._)(lim0 xxfx)(0 xf 0k解

4、解: 3. 設(shè))(xf 存在, 且, 12)1 () 1 (lim0 xxffx求).1 (f xxffx2)1 () 1 (lim0所以. 2) 1 ( fxfxfx2) 1 ()1 (lim0)() 1 ()(1 (lim210 xfxfx1) 1 (21f4. 設(shè))(0 xf 存在, 求極限.2)()(lim000hhxfhxfh解解: 原式0limhhhxf2)(0)(0 xfhhxf2)( 0)(0 xf)(210 xf )(210 xf )(0 xf )(2 )(0hhxf)(0 xf0limhhhxf2)(0)(0 xf 存在,在點0 x的某個右右 鄰域內(nèi))(xfy 則稱此極限值

5、為)(xf在 處的右右 導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù),0 x記作)(0 xfxxfxxfx)()(lim000(左)(左左)(0 xf定義定義2 . 設(shè)函數(shù)有定義,)(0 xf 存在)(0 xf)(0 xf)(0 xf 不存在0()fx)(0 xf單側(cè)導(dǎo)數(shù)單側(cè)導(dǎo)數(shù)若極限例如例如,xxf)(在 x = 0 處有,1)0(f1)0(f.0不可導(dǎo)在即xxy=x xf (0).例：設(shè)，求1xarctanx0f(x)=f (0)x0 x0例：設(shè)，求若函數(shù)在開區(qū)間 I 內(nèi)每點都可導(dǎo),此時導(dǎo)數(shù)值構(gòu)成的新函數(shù)稱為導(dǎo)函數(shù).記作:;y;)(xf ;ddxy.d)(dxxf注意注意:)(0 xf 0)(xxxfxxfd)(d0就稱函數(shù)

6、在 I 內(nèi)可導(dǎo). 若函數(shù))(xf)(af)(bf與則稱)(xf在開區(qū)間 內(nèi)可導(dǎo),),(ba在閉區(qū)間 上可導(dǎo).,ba且例例1. 求函數(shù)Cxf)(C 為常數(shù)) 的導(dǎo)數(shù). 解解:yxCCx0lim0即0)(Cxxfxxf)()(0limx例例2. 求函數(shù)xxfln)(的導(dǎo)數(shù). 解解: )(xf hxfhxf)()(0limhhxhxhln)ln(lim0hh1lim0)1(lnxh即xx1)(lnx1xhhh1lim0說明：說明：對一般冪函數(shù)xy ( 為常數(shù)) 1)(xx例如，例如，)(x)(21 x2121xx21x1)(1x11x21x)1(xx)(43x4743x四、初等函數(shù)的求導(dǎo)問題四、初等

7、函數(shù)的求導(dǎo)問題 1. 常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù) (P94) )(C0 )(x1x )(sin xxcos )(cosxxsin )(tan xx2sec )(cot xx2csc )(secxxxtansec )(cscxxxcotcsc )(xaaaxln )(xexe )(log xaaxln1 )(lnxx1 )(arcsin x211x )(arccosx211x )(arctan x211x )cot(arcx211x 2111() ()2xxxeexxx 四、四、 導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義xyo)(xfy CT0 xM曲線)(xfy 在點),(00yx的切線斜率為)(tan0

8、xf 若,0)(0 xf曲線過上升;若,0)(0 xf曲線過下降;xyo0 x),(00yx若,0)(0 xf切線與 x 軸平行,稱為駐點駐點;),(00yx),(00yx0 x若,)(0 xf切線與 x 軸垂直 .曲線在點處的),(00yx切線方程切線方程:)(000 xxxfyy法線方程法線方程:)()(1000 xxxfyy)0)(0 xfxyo0 x,)(0時 xf例例7. 問曲線3xy 哪一點有垂直切線 ? 哪一點處的切線與直線131xy平行 ? 寫出其切線方程.解解:)(3xy3231x,13132x,0 xy0 x令,3113132x得,1x對應(yīng),1y則在點(1,1) , (1,

9、1) 處與直線131xy平行的切線方程分別為),1(131xy) 1(131xy即023 yx故在原點 (0 , 0) 有垂直切線處可導(dǎo)在點xxf)(五、五、 函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系定理定理1.處連續(xù)在點xxf)(證證: 設(shè))(xfy 在點 x 處可導(dǎo),)(lim0 xfxyx存在 , 因此必有,)(xfxy其中0lim0 x故xxxfy)(0 x0所以函數(shù))(xfy 在點 x 連續(xù) .注意注意: 函數(shù)在點 x 連續(xù)未必可導(dǎo)連續(xù)未必可導(dǎo).反例反例:xy xyoxy 在 x = 0 處連續(xù) , 但不可導(dǎo).即判斷可導(dǎo)性不連續(xù), 一定不可導(dǎo).直接用導(dǎo)數(shù)定義 可導(dǎo)必連續(xù),

10、 但連續(xù)不一定可導(dǎo);在求. 設(shè), )()()(xaxxf其中)(x在ax 因)()()()(xaxxxf故)()(aafaxafxfafax)()(lim)(axxaxax)()(lim)(limxax)(a正確解法:)(af 時, 下列做法是否正確?處連續(xù),第二節(jié)函數(shù)的求導(dǎo)法則 二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則 三、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則三、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則 四、初等函數(shù)的求導(dǎo)問題四、初等函數(shù)的求導(dǎo)問題 一、四則運算求導(dǎo)法則一、四則運算求導(dǎo)法則 一、四則運算求導(dǎo)法則一、四則運算求導(dǎo)法則 定理定理1.具有導(dǎo)數(shù)都在及函數(shù)xxvvxuu)()()()(xvxu及的和、 差、 積、 商 (除分母為

11、 0的點外) 都在點 x 可導(dǎo), 且)()( )()() 1 (xvxuxvxu)()()()( )()()2(xvxuxvxuxvxu)()()()()()()()3(2xvxvxuxvxuxvxu)0)(xv此法則可推廣到任意有限項的情形.wvuwvu)( ,例如推論推論: )() 1uC()uvw uC wvuwvuwvu( C為常數(shù) )22)CCvvv( C為常數(shù) )例例1. 解解:xsin41(21)1sin, )1sincos4(3xxxy.1xyy 及求 y)(xx)1sincos4(213xxx23( xx)1xy1cos4)1sin43( 1cos21sin2727)1sin

12、cos4(3xx)1sincos4(3xx )(cscxxsin1x2sin)(sinxx2sin例例2. 求證,sec)(tan2xx證證: .cotcsc)(cscxxxxxxcossin)(tan x2cosxx cos)(sin)(cossinxx x2cosx2cosx2sinx2secxcosxxcotcsc )( xf二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則 定理定理2. y 的某鄰域內(nèi)單調(diào)可導(dǎo), ,)()(1的反函數(shù)為設(shè)yfxxfy在)(1yf0 )(1yf且 ddxy或yxdd1 )(1yf11例例1. 求反三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解解: 設(shè),arcsin xy 則,sin yx ,

13、 )2,2(y)(arcsinx)(sinyycos1y2sin11211x0cosy, 則在點 x 可導(dǎo),三、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則三、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則定理定理3.)(xgu )(ufy 在點)(xgu 可導(dǎo)復(fù)合函數(shù) fy )(xg且)()(ddxgufxy在點 x 可導(dǎo),例例2. 求下列導(dǎo)數(shù):. )(sh)3(;)()2(;)() 1 (xxxx解解: (1)()(lnxexxeln)ln(xxx1x)()(lnxxxexxxeln)ln(xxxx)1ln(x(2)(3)2)(shxxeex2 xexexch例如,)(, )(, )(xvvuufyxydd)()()(xvufyuvxuyddvu

14、ddxvdd關(guān)鍵: 搞清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu), 由外向內(nèi)逐層求導(dǎo).推廣推廣：此法則可推廣到多個中間變量的情形.例例3. 設(shè), )cos(lnxey 求.ddxy解解:xydd)cos(1xe)sin(xexe)tan(xxee例例4. 設(shè), )1(ln2xxy.y求解解: y112xx11212xx2112x 初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),且導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù)且導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù)例例7. 求解解:,1arctan2sin2xeyx.y1arctan) (2xy) (2sin xe2sin xe2cos xx221x1212xx2x21arctan2x2sin xe2cosx2sin xe112xx關(guān)鍵關(guān)鍵: 搞清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu) 由外向內(nèi)逐層求導(dǎo)例例8. 設(shè)求,1111ln411arctan21222xxxy.y解解: y22)1(1121x21xx) 11ln() 11ln(22xx111412x21xx1112x21xx2121xx221x21x231)2(1xxx. 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解解: (1)1bxaby2xa1bbxba(2) y)(x.)