(完整word版)線性代數(shù)完美總結(jié)版,推薦文檔

1、線性代數(shù)及其應(yīng)用一、行列式1、余子式，代數(shù)余子式2、幾個(gè)定理（定理2.2 , 2.3 , 2.4）按行展開:AaiiAii ai 2A2 Lain An , i 1,2, L , n按列展開：A aijAj a2jA2j L anjAnj , j 1,2,L ,n定理 2.4aiiAji ai2Aj2 L anAjn 0, i j；aliAlja2iA2j Lani Anj0, i j .3、行列式的性質(zhì) IAI IAT|.（2）若行列式白某一列（行）可以拆成兩列（行）之和，則行列式可以拆成兩個(gè)行列式 之和，即i,L , j j,L , n| I i,L , j,L , n | i,L , j

2、,L , n .（2）若行列式有兩列（行）成比例，則行列式等于零.（3）初等變換性質(zhì)A上：kB |A ：舊；k如i+lh_ I _A或 Cj+lCiB AB；A或Ci rjcjB|A|B|.4、行列式計(jì)算：三角化法（性質(zhì)）;降階法（性質(zhì)+展開定理）； 范德蒙德、二對(duì)角行列式的結(jié)論5、分塊矩陣的行列式A OO BAmC ABn(i)mn A B、矩陣i、矩陣及其運(yùn)算（加法、數(shù)乘、乘法、哥、轉(zhuǎn)置、方陣的行列式、分塊運(yùn)算）（i）乘法的結(jié)合律二項(xiàng)式定理-例3.7（2）方陣的哥的求解矩陣歹U行一例3.8、例3.38可對(duì)角化例5.9(AT)T A轉(zhuǎn)置的性質(zhì):(A B)T AT BT(kA)T kAT(AB

3、)T BTAT|A| I ATI；方陣的行列式：| kA | kn | A|;|AB I I A|B|.(5)分塊運(yùn)算(轉(zhuǎn)置、乘法-例3.13、3.14)2、初等變換及初等矩陣(1)左行右列(矩陣的初等變換可用矩陣乘法來表示)A初等行變換AAA初等列變換AAri k BEmi(k)A B;ri+lrjB Emi j(l)A B;ri rjBEmi, jAB;Ci kCj+lCiAEni(k) C;AEni j(l)C;ci cj C AEni,j C.(2)初等矩陣都是可逆的，且初等矩陣的逆仍是初等矩陣，即1/1E i(k) E i(1) ; E i j(l) Ei j( l);1E i,jE

4、 i,j3、可逆矩陣|Al i，A 1(A1) 1A(1)定義、性質(zhì)(AT)1(A1)T(kA) 1k 1A 1(AB) 1B 1A 1A A AA |A | E(2)伴隨矩陣 | A | | A |n 1r(A)與r(A )的關(guān)系(書111頁38題)判定：A可逆 |A| 0(4)伴隨矩陣法：A 1 AA逆矩陣的求法ABE及運(yùn)算律(命題3.7)初等變換法：A, E 行 E,A 1(5)分塊矩陣的逆AOA1(6)矩陣方程的求解：OBOB11OABOOA1B1AXC ，其中A 可逆 .11 X A 1C .2 A,C 初等行變換En, X X A 1C .4、(1)矩陣的秩與矩陣的相抵矩陣的秩與性

5、質(zhì)（101 頁， 105-107 頁 ） 0 r（A） min m,n ； 子矩陣的秩不會(huì)超過原矩陣的秩； r(kA) r(A), k r(AT) r(A) ；0;rAOOB r(A)r(B)； r(A r(A)B) r(A)r(B) nr(B)；r(AB )r(A)(或 r(B)；若 AB O ，則 r(A) +r ( B) 設(shè) A Rm n ，則 r(AAT)n ，其中 A Pmr(ATA)= r(A).Pn s(2)求矩陣的秩（ 理論依據(jù)：矩陣的初等變換不改變矩陣的秩A 初等變換 R （ 行階梯形矩陣） ，則 r(A)r （ R） R 的非零行的個(gè)數(shù) .(3)矩陣的相抵（ 等價(jià) ）ABr

6、(A) r(B) 可逆 P,Q, 使得 PAQ B.r (PAQ )r(PA) r(AQ) r(A) ，P,Q 可逆 .r(A) rErPAQ rOP EOrOOQ.三、線性空間( 命題 4.2 、 4.3 、4.4 、 4.5 、定理 4.1 、 4.2 、 4.4)1、向量組的線性相關(guān)性的判斷定義-轉(zhuǎn)化為齊次線性方程組的求解秩 -矩陣、向量組的秩（ 定理 4.1 定理 4.4 命題 4.5-4.6）（1） 證明方法 -坐標(biāo)化方法-定理 4.14基本結(jié)論(2)基本結(jié)論判斷向量組線性相關(guān)(命題4.2 ,命題4.3(2),定理4.1及推論1 ,定理4.2 )充要：1, 2,L , s線性相關(guān)其中

7、至少有一個(gè)向量可由其余向量線性表示.某一個(gè)部分向量組線性相關(guān)充分：1, 2,L , s線性相關(guān)向量的個(gè)數(shù)s大于向量分量的個(gè)數(shù)1, 2,L , s被個(gè)數(shù)少于電勺向量組線性表示 判斷向量組線性無關(guān)(命題4.3(3),命題4.4的推論)2、等價(jià)向量組(1) ( 1)可由(11)線性表示，則r ( I ) r(n).(2) ( I )與(n )等價(jià)，貝U r ( i) r ( n).3、子空間的驗(yàn)證(1)非空、加法和數(shù)量乘法的封閉；(2)命題4.1(生成子空間)-例4.9 ,例4.354、向量組的秩及極大無關(guān)組(命題4.6 ,定理4.4及推論2)、(線性)子空間的基與維數(shù)(1)寫成列向量作初等行變換，

8、確定向量組的秩與極大無關(guān)組(2)對(duì)于W L( 1, 2,L , s),則dimW r( 1, 2,L , s),即生成子空間的維數(shù) 與基就是向量組1, 2,L , s的秩與極大無關(guān)組.5、坐標(biāo)的概念、基變換公式與坐標(biāo)變換公式坐標(biāo)：X1 1 X2 2 LXn n在基1, 2,L , n下的坐標(biāo) 。X2,L出T .基變換公式：(1, 2,L , n)( 1, 2,L , n)S坐標(biāo)變換公式：(1,2,L , n)( 1, 2 ,L , n)S(1, 2,L , n)X X SY 或Y S 1X(1, 2,L , n)Y四、線性方程組(含參量、不含參量)1、解的情況r(A) r(A%,無解(1) A

9、Xr(A) r(A%n,唯一解n,無窮多解若A是方陣，則AX(2)齊次線性方程組AX 0有非零解0,唯一解0 r(A) r(A),無窮多解 r(A) r(的無解r(A) n.若A是方陣，則齊次線性方程組 AX 0有非零解A 0.2、解的結(jié)構(gòu)齊次AX 0： 解空間N(A)、dimN(A) n r(A)基礎(chǔ)解系所含向量的個(gè)數(shù)(2)基礎(chǔ)解系不唯一，n r(A)的線性無關(guān)的解均可作為 AX 0的一個(gè)基礎(chǔ)解系(2)結(jié)構(gòu)式：通解=基礎(chǔ)解系的任意線性組合非齊次AX :(1)非-非=齊(2)結(jié)構(gòu)式：通解=特解 導(dǎo)出組AX 0的通解五、線性變換1、線性變換的驗(yàn)證(定義5.4)2、線性變換在一個(gè)基下的矩陣(定義5

10、.7)、命題5.8 1，2，L , n)( i，2，L , n)A(1, 2,L , n)X Y AX0( ) ( 1，2，L , n)Y3、線性變換在不同基下的矩陣之間的關(guān)系(相似)定理5.90( 1, 2,L , n) 1, 2,L , n)(1,2,L , n)(1, 2,L , n)A(1, 2,L , n)B(1, 2,L , n)S1B S 1AS六、內(nèi)積空間Rn1、內(nèi)積的概念、長度、正交 (正交向量組必線性無關(guān))2、施密特正交化3、正交矩陣(1)定義、性質(zhì)；(2) n階實(shí)矩陣A是正交矩陣的充要條件是A的列(行)向量組是Rn的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基.(命題6.2)七、矩陣的相似對(duì)角形1、特

11、征值和特征向量的定義、性質(zhì)(1) tr(A) 12 L n; |A 1 2L n；(2) A與AT具有相同的特征值(特征向量未必相同)；(3)已知(A可逆)矩陣AkAAmf(A)A 1A特征值kmf()11|A|特征向量XXXXXXW (A) Wf( )(f (A) ； W (A) W 1(A 1).(4) 屬于不同特征值的特征向量線性無關(guān)(定理 5.3 、定理 5.4 及推論 ) .2、相似矩陣的定義、性質(zhì)( 秩、行列式、跡、特征值相等，但特征向量未必相同 )相似的判定：若A與B可對(duì)角化(實(shí)對(duì)稱矩陣)，且A與B具有相同的特征值，則A與B 相似 .若A與B相似，則矩陣多項(xiàng)式f (A)與f(B)

12、也相似.3、矩陣的相似對(duì)角化A 可對(duì)角化 A 有 n 個(gè)線性無關(guān)的特征向量數(shù)域 P 內(nèi)有 n 個(gè)特征值，每一個(gè)特征值的幾何重?cái)?shù)等于代數(shù)重?cái)?shù)( 充分條件 ) A 有 n 個(gè)互不相同的特征值A(chǔ) 可對(duì)角化4、實(shí)對(duì)稱矩陣(1) 特征值： n 階實(shí)對(duì)稱矩陣有n 個(gè)實(shí)特征值.(2) 特征向量：實(shí)對(duì)稱矩陣的屬于不同特征值的特征向量正交.(3) 實(shí)對(duì)稱矩陣必正交相似于實(shí)對(duì)角矩陣( 幾何重?cái)?shù)等于代數(shù)重?cái)?shù)).(4) 若 A 與 B 均為實(shí)對(duì)稱矩陣，則 A 與 B 正交相似 ( 相似 ) A 與 B 具有相同的特征值 . ( 正交相似 既相似，又合同 )八、二次型1、二次型的矩陣及秩( f 1 1 A ( 對(duì)稱 )2、矩陣的合同：合同必相抵；正交相似 既相似，又合同實(shí)對(duì)稱矩陣A, B 合同 A, B 的正慣性指數(shù)與秩相同3、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形( 不唯一 )- 正交替換法、配方法( 滿秩線