導(dǎo)數(shù)練習(xí)題精編

1、1已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；（2）若，且恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.2已知函數(shù)，令.（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若關(guān)于的不等式恒成立，求整數(shù)的最小值；3已知函數(shù)，其中，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，求證：對(duì)任意的，.4已知函數(shù).（1）若，求函數(shù)的極小值；（2）設(shè)，證明：.5已知函數(shù)，其中且，為自然常數(shù).（1）討論的單調(diào)性和極值；（2）當(dāng)時(shí)，求使不等式恒成立的實(shí)數(shù)的取值范圍.6已知函數(shù)，且.（1）求的解析式； （2）證明：函數(shù)的圖象在直線的圖象下方. 7已知函數(shù).（1）函數(shù)在點(diǎn)處的切線與直線平行，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，對(duì)任意的

2、，若恒成立，求的取值范圍.8設(shè)函數(shù)（）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（）設(shè)是否存在極值，若存在，請(qǐng)求出極值；若不存在，請(qǐng)說明理由；（）當(dāng)時(shí)，證明：9（本小題滿分12分）已知函數(shù)（）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（）證明：當(dāng)時(shí)，；（）確定實(shí)數(shù)的所有可能取值，使得存在，當(dāng)時(shí)，恒有10（本題滿分14分）設(shè)函數(shù)（）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（）設(shè)是否存在極值，若存在，請(qǐng)求出極值；若不存在，請(qǐng)說明理由；（）當(dāng)時(shí)證明：試卷第3頁，總3頁參考答案1（1）函數(shù)極小值為，無極大值；（2）.【解析】試題分析：（1）當(dāng)時(shí)，通過二次求導(dǎo)可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，因此函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以的極小值點(diǎn)為，無極大

3、值點(diǎn)；（2）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)可得，分和討論，顯然時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，研究圖象可知一定存在某個(gè)，使得在區(qū)間上函數(shù)的圖象在函數(shù)的圖象的下方，即不恒成立，舍去；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，解得.試題解析：（1）函數(shù)的定義域是,當(dāng)時(shí)，,易知函數(shù)的定義域是上單調(diào)遞增函數(shù)，且,所以令，得；令，得，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.所以函數(shù)極小值為，無極大值.（2），則.當(dāng)時(shí)，恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，且數(shù)形結(jié)合易知，一定存在某個(gè)，使得在區(qū)間上，函數(shù)的圖象在函數(shù)的圖象的下方，即滿足的圖象即.所以不恒成立，故當(dāng)時(shí)，不符合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，令，得；，得；所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)

4、間上單調(diào)遞增.所以函數(shù)定義域上的最小值為.若恒成立，則需滿足，即，即，即.又因?yàn)?，所以，解得，所?綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極值、最值.【方法點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極值、最值，考查了分類討論、數(shù)相結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于難題.本題第一問研究函數(shù)的極值，通過二次求導(dǎo)得到導(dǎo)函數(shù)的最小值說明的單調(diào)性，來判斷極值點(diǎn)的情況；第二問是本題解答的難點(diǎn)，把恒成立轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值，按照的符號(hào)進(jìn)行討論，來判斷的單調(diào)性，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，通過找反例排除，當(dāng)時(shí)，求出函數(shù)零點(diǎn)，判斷其單調(diào)性，求出其最小值，建立不等式求解.2（1）；（2）最小值為【解析】試題分析：（1

5、）當(dāng)時(shí),對(duì)求導(dǎo)求其單調(diào)增區(qū)間；（2）先化簡(jiǎn)為,恒成立問題,轉(zhuǎn)化為求的最大值來求解.試題解析：（1），（）.由得又，所以，所以的單增區(qū)間為.（2）令.所以當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋运栽谏鲜沁f增函數(shù)，又因?yàn)?所以關(guān)于的不等于不能恒成立.當(dāng)時(shí)，.令得，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，因此函數(shù)在是增函數(shù)，在是減函數(shù).故函數(shù)的最大值為.令，因?yàn)椋?又因?yàn)樵谏鲜菧p函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，所以整數(shù)的最小值為2.考點(diǎn)：1.導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性；2.分類討論的數(shù)學(xué)思想；3.恒成立問題【思路點(diǎn)晴】本題第一問是基本的求單調(diào)區(qū)間問題,只需按求函數(shù)單調(diào)性的方法來求解就可以.第二問是恒成立問題,我們一般都需要對(duì)已知條件進(jìn)行化簡(jiǎn),如本題我們就化簡(jiǎn)為,化簡(jiǎn)后右邊

6、為零,我們就可以轉(zhuǎn)化為求的最大值來求解. 借助導(dǎo)數(shù)工具，判斷函數(shù)大致圖象并結(jié)合零點(diǎn)相關(guān)性質(zhì)求解.3（1）函數(shù)在上為減函數(shù)；（2）證明見解析.【解析】試題分析：（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo),利用函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系,得出函數(shù)的單調(diào)性；（2）對(duì)任意的，等價(jià)于對(duì)任意的，,再構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù),求出的最大值小于零.試題解析：解：（1）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，.在上為減函數(shù). （2）設(shè)，令，則，當(dāng)時(shí)，有，在上是減函數(shù)，即在上是減函數(shù)， 又，存在唯一的，使得，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間單調(diào)遞減，因此在區(qū)間上， ，將其代入上式得， 令，則，即有，的對(duì)稱軸，函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，且，即任意，因此任意，.考點(diǎn)：1.利

7、用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；2.導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用.【思路點(diǎn)晴】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn),是壓軸題.在（2）中,注意等價(jià)轉(zhuǎn)換,對(duì)任意的，等價(jià)于對(duì)任意的，,再構(gòu)造函數(shù),利用單調(diào)性,求出函數(shù)的最大值, 即,把看成一個(gè)整體,就轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最大值.本題多次等價(jià)轉(zhuǎn)化,難度大,綜合性強(qiáng).4（1）；（2）證明見解析.【解析】試題分析：（1）當(dāng)時(shí)，得其零點(diǎn)，判斷在上的單調(diào)性，可知有極小值；（2）把函數(shù)放縮，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，并求出其最小值的范圍即可證得結(jié)論.試題解析：（1），所以，觀察得，而在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)；所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故有極小值證明：

8、（2）因?yàn)椋?，令，則，易知在單調(diào)遞增，所以設(shè)，則；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；所以在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，所以，又因?yàn)?，故，所以，所?當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，而，所以，即，所以，即考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值.【方法點(diǎn)晴】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值，考查了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想和函數(shù)思想的應(yīng)用，屬于難題.要研究函數(shù)的極值，先研究定義域內(nèi)的單調(diào)性，本題（1）中導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)不能直接求出，解答時(shí)應(yīng)分析解析式的特點(diǎn)，利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)找出極值點(diǎn)；解答的難點(diǎn)是（2）證明不等式，可利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行放縮，轉(zhuǎn)化為研究不含參數(shù)的函數(shù)的最小值，這是本題的技巧之一，導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)同樣不能直

9、接解出，作為證明題，在判斷單調(diào)性的前提下可以設(shè)出極值點(diǎn)，表示出函數(shù)值通過基本不等式證明即可，這是本題的另一個(gè)技巧.5（1）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，有極小值；當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，無極值；（2）【解析】試題分析：（1）求導(dǎo)，利用討論導(dǎo)數(shù)的符號(hào)確定函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而確定函數(shù)的極值；（2）分離參數(shù)，將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，再利用導(dǎo)數(shù)求其最值試題解析：（1）因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，的定義域?yàn)椋划?dāng)，的定義域?yàn)?又，故當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，有極小值；當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，無極值.（2）解法一：當(dāng)時(shí)，由（1）知當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，

10、.當(dāng)時(shí)，由于，所以恒成立；當(dāng)時(shí)，要使不等式恒成立，只需，即.綜上得所求實(shí)數(shù)的取值范圍為.解法二：當(dāng)時(shí)，所以，故令，則.由（1）可知，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以.故當(dāng)時(shí)，不等式恒成立.考點(diǎn)：1.導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用；2.導(dǎo)數(shù)在研究不等式恒成立問題中的應(yīng)用【方法點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性和最值中的應(yīng)用以及導(dǎo)數(shù)在研究不等式恒成立中的應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，屬于難題；利用導(dǎo)數(shù)處理不等式恒成立問題，往往優(yōu)先考慮分離參數(shù)，利用恒成立轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，再利用導(dǎo)數(shù)求最值，要求學(xué)生有較高的邏輯思維能力和較強(qiáng)的運(yùn)算化簡(jiǎn)能力.6（1） ； （2）見解析.【解析】試題分析：（1）求導(dǎo)，由求出即可；（2）“函數(shù)的圖

11、象在直線的下方”等價(jià)于，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，證即可.試題解析：對(duì)求導(dǎo)，得，所以 （2）證明：“函數(shù)的圖象在直線的下方”等價(jià)于即要證， 所以只要證. ， ，趨于0時(shí)，存在一個(gè)極值 使得 等價(jià)于所以 故函數(shù)的圖象在直線的下方. 2考點(diǎn)：1.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則；2.導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值；3.函數(shù)與不等式.7（1）的單調(diào)區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；（2）.【解析】試題分析：（1）根據(jù)在點(diǎn)處的切線與直線平行，可得，據(jù)此可求得，研究的符號(hào)變化即得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若對(duì)任意的，若恒成立，則有，分別求出和的最大值即可求得的取值范圍.試題解析：（1），即，令，解得或，所以函數(shù)的單調(diào)區(qū)間為

12、，單調(diào)減區(qū)間為；（2），令函數(shù)的單調(diào)為，單調(diào)減區(qū)間為.當(dāng)時(shí)，又，恒成立，.考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)在給定區(qū)間上的最值等.【方法點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及給定區(qū)間山的最值問題，屬于中檔題. 利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線上某點(diǎn)的切線是導(dǎo)數(shù)中最常見的問題之一，關(guān)鍵是把好審題關(guān)，判斷給出的點(diǎn)是否是切點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性常用列表或串根法判斷導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，有時(shí)還要討論，本題的難點(diǎn)是（2）中的轉(zhuǎn)化問題，涉及到兩個(gè)變量的恒成立，通常逐個(gè)分析，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題.8（）的單調(diào)增區(qū)間為，的單調(diào)減區(qū)間為；（）當(dāng)時(shí)，無極值；當(dāng)時(shí)，有極大值，無極小

13、值（）證明詳見解析【解析】試題分析：（）利用一階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來求單調(diào)區(qū)間（）對(duì)進(jìn)行分類討論，的極值（）把證明不等式轉(zhuǎn)化求函數(shù)的最小值大于0試題解析：（）令，即，得，故的增區(qū)間為；令，即，得，故的減區(qū)間為；的單調(diào)增區(qū)間為，的單調(diào)減區(qū)間為（），當(dāng)時(shí)，恒有在上為增函數(shù)，故在上無極值；當(dāng)時(shí)，令，得,當(dāng)單調(diào)遞增，當(dāng)單調(diào)遞減，無極小值；綜上所述：時(shí)，無極值時(shí)，有極大值,無極小值（）證明：設(shè)則即證，只要證，又在上單調(diào)遞增方程有唯一的實(shí)根，且當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，即，則 原命題得證考點(diǎn)：求導(dǎo)公式，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，函數(shù)的極值，函數(shù)的最值【方法點(diǎn)睛】（1）解含參數(shù)的不等式，需要對(duì)進(jìn)行分類討論，是本題的亮點(diǎn)，也是本題的難

14、點(diǎn)之一（2）把證明不等式轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值，也是本題的難點(diǎn)之一（3）在求最小值的過程中，對(duì)零點(diǎn)設(shè)而不求，最后利用基本不等式進(jìn)行放縮，是本題最大的亮點(diǎn)，也是最難的地方（4）本題題干簡(jiǎn)潔，但是內(nèi)涵豐富，本題設(shè)問層層深入，是一道好題，意蘊(yùn)悠長(zhǎng)9（）的單調(diào)遞增區(qū)間是；（）詳見解析； （）【解析】試題分析：（）求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)大于0得增區(qū)間 （）令，求導(dǎo)，討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而可得函數(shù)的最值，只需其最大值小于0即可 （）由（）知或時(shí)均不成立 當(dāng)時(shí)，令，求導(dǎo)，討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，得函數(shù)的增減區(qū)間根據(jù)單調(diào)性可得其最大值，使其最大值大于0即可試題解析：（），由得解得故的單調(diào)遞增區(qū)間是（）令，則有當(dāng)時(shí)

15、，所以在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，（）由（）知，當(dāng)時(shí)，不存在滿足題意當(dāng)時(shí)，對(duì)于，有，則，從而不存在滿足題意當(dāng)時(shí)，令，則有由得，解得，當(dāng)時(shí)，故在內(nèi)單調(diào)遞增從而當(dāng)時(shí)，即，綜上，的取值范圍是考點(diǎn)：用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)10（）的單調(diào)增區(qū)間為，的單調(diào)減區(qū)間為；（）當(dāng)時(shí)，無極值；當(dāng)時(shí)，有極大值,無極小值（）證明過程詳見解析【解析】試題分析：（）求出導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)大于零求解，由導(dǎo)數(shù)小于零求解，然后總結(jié)出單調(diào)區(qū)間；（）函數(shù)有極值，則導(dǎo)函數(shù)等于零有變號(hào)零點(diǎn)，從而求出參數(shù)范圍；（）原不等式等價(jià)于，構(gòu)造函數(shù)，設(shè)則不等式等價(jià)于，然后求函數(shù)的最小值且最小值大于2即可試題解析： （） 令，即，得，故的增區(qū)間為；令，即，得，故的減區(qū)間為；的單調(diào)增區(qū)間為，的單調(diào)減區(qū)間為（） 當(dāng)時(shí)，恒有在上為增函數(shù)，故在上無極值；當(dāng)時(shí)，令，得單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，無極小值；綜上所述：時(shí)，無極值時(shí)，有極大值,無極小值（）證明：設(shè)則即證，只要證，又在上單調(diào)遞增