空間的直線方程學(xué)習(xí)教案VIP

1、空間的直線空間的直線(zhxin)方程方程第一頁(yè)，共44頁(yè)。在在(1)式中，令式中，令.000tpzznyymxx則則,0mtxx,0ntyy,0ptzzt為參數(shù)為參數(shù)(cnsh) （2）稱（稱（2）式為直線）式為直線L的參數(shù)的參數(shù)(cnsh)方程方程第1頁(yè)/共44頁(yè)第二頁(yè)，共44頁(yè)。 0m, ,000pzznyyxx; /平面yzl 0n, ,000pzzmxxyy; /平面xzl 0p, ,000nyymxxzz. /平面xzl 0 nm, ,00yyxx; /軸zl 0 pn, 00zzyy; /軸xl 0 mp,zz 00 xx . /軸yl第2頁(yè)/共44頁(yè)第三頁(yè)，共44頁(yè)。例例1 求

2、過(guò)點(diǎn)求過(guò)點(diǎn) A(1, 1, 1)，B(1, 2, 3)的直線的直線(zhxin) l 的對(duì)的對(duì)稱式稱式 方程、參數(shù)方程方程、參數(shù)方程.解：解：l 的方向的方向(fngxing).2 , 1 , 0() 13 , 12 , 11 ( ABs則得則得 l 的對(duì)稱的對(duì)稱(duchn)式方程式方程參數(shù)方程參數(shù)方程, 1x,1ty;21tz;211101zyx第3頁(yè)/共44頁(yè)第四頁(yè)，共44頁(yè)。2 2 空間空間(kngjin)(kngjin)直線一般方程直線一般方程111122220(3)0A xB yC zDA xB yC zD稱（稱（3）式為空間）式為空間(kngjin)直線直線L的一般方程的一般方程

3、 當(dāng)把直線看作兩個(gè)相交平面的交線時(shí)，直線當(dāng)把直線看作兩個(gè)相交平面的交線時(shí)，直線L L的的就可以就可以(ky)(ky)寫成聯(lián)立方程組的形式：寫成聯(lián)立方程組的形式：點(diǎn)點(diǎn)P0 0( (x0 0, ,y0 0, ,z0 0) )在在L L上的上的充要條件充要條件是：是： x0 0, ,y0 0, ,z0 0同時(shí)滿足（同時(shí)滿足（3 3）式的兩個(gè)平面方程）式的兩個(gè)平面方程. . 化一般方程為點(diǎn)向式方程或參數(shù)方程?；话惴匠虨辄c(diǎn)向式方程或參數(shù)方程。第4頁(yè)/共44頁(yè)第五頁(yè)，共44頁(yè)。例例2 用對(duì)稱方程及參數(shù)用對(duì)稱方程及參數(shù)(cnsh)方程表示方程表示直線直線0,1zyxl：0.432zyx解：由兩種形式直線方

4、程解：由兩種形式直線方程(fngchng)表達(dá)式知，只需表達(dá)式知，只需求得求得 l 上一定點(diǎn)和上一定點(diǎn)和 l 的方向即可的方向即可.21nns)3 , 1 , 2() 1 , 1 , 1 (312111kjikji121132113111).3 , 1 , 4(第5頁(yè)/共44頁(yè)第六頁(yè)，共44頁(yè)?，F(xiàn)求一定現(xiàn)求一定(ydng)點(diǎn)點(diǎn). 將聯(lián)立方程將聯(lián)立方程組組0,1zyx0432zyx相加相加:0.543 zx令令z = 1得得 x = 3, y=1,得一定得一定(ydng)點(diǎn)點(diǎn)(3, 1, 1). 故得對(duì)故得對(duì)稱式稱式 311.413xyz第6頁(yè)/共44頁(yè)第七頁(yè)，共44頁(yè)。即而得參數(shù)即而得參數(shù)(c

5、nsh)方方程：程： x = 3 + 4t, y = 1 t , z = 1 3t . t 為參數(shù)為參數(shù)(cnsh).第7頁(yè)/共44頁(yè)第八頁(yè)，共44頁(yè)。練習(xí)練習(xí) 用對(duì)稱用對(duì)稱(duchn)方程表示直線方程表示直線237xyzl：321xyz 解：由兩種形式直線方程表達(dá)式知，只需求得解：由兩種形式直線方程表達(dá)式知，只需求得 l 上上一定一定(ydng)點(diǎn)和點(diǎn)和 l 的方向即可的方向即可.21nns(2, 3, 1) (3, 2, 1)231321ijk(1, 5, 13).第8頁(yè)/共44頁(yè)第九頁(yè)，共44頁(yè)。現(xiàn)求一定現(xiàn)求一定(ydng)點(diǎn)點(diǎn). 將聯(lián)立方程組將聯(lián)立方程組237xyz321xyz 令令

6、x = 1得得 y= 1, z =2,得一定得一定(ydng)點(diǎn)點(diǎn)(1, 1, 2). 故得對(duì)稱故得對(duì)稱式式 1121513xyz第9頁(yè)/共44頁(yè)第十頁(yè)，共44頁(yè)。12,ll已知兩直線 和定理定理(dngl(dngl)12vv當(dāng) 和 共線時(shí)，12121llPPv （2） 和 重合當(dāng)且僅當(dāng)與 共線；11122212111222,xxyyzzxxyyzzllXYZXYZ：1111222212( ,)(,)P x y zP xyzll和分別為 和 上的點(diǎn)，1111222212(,)(,).v X Y ZvXY Zll和表示 和 的方向向量12112llPPv （1） 和 平行當(dāng)且僅當(dāng)與 不共線；12

7、vv當(dāng) 和 不共線時(shí)，121122(,)0llPP v v （3） 和 交于一點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)121122(,)0llPP v v （4） 和 異面當(dāng)且僅當(dāng)?shù)?0頁(yè)/共44頁(yè)第十一頁(yè)，共44頁(yè)。0(0,0,2):32130Pxyz 求過(guò)點(diǎn)與平面例平(, ,),lvX Y Z解 設(shè)直線 的方向向量為因?yàn)橹本€113:.421xyzl行,且與直線相交的直線方程1111(4, 2,1),(1,3,0).lvlP的方向向量為且 過(guò)點(diǎn)1011llPP v v 由于直線 與 相交，因此(, , )=0,即1324210,XYZ20.XYZ展開得，第11頁(yè)/共44頁(yè)第十二頁(yè)，共44頁(yè)。320.lXYZ又因?yàn)?與 平

8、行，則0,2 ,XYZ由以上兩個(gè)方程我們可以解得，2.021XYZ 故直線的方程為：第12頁(yè)/共44頁(yè)第十三頁(yè)，共44頁(yè)。 0P1Pvld0,lPv設(shè)直線 過(guò)點(diǎn)方向向量為 由下圖可以看出，101PldP Pvv 點(diǎn) 與直線 的距離 是以和 為鄰邊的平行四邊形底邊 上的高，01.P Pvdv 故第13頁(yè)/共44頁(yè)第十四頁(yè)，共44頁(yè)。四、兩直線四、兩直線(zhxin)的夾角、直線的夾角、直線(zhxin)與平面的夾角與平面的夾角1212|cos| |s sss .|cos222222212121212121pnmpnmppnnmm兩直線兩直線l1, l2的方向的方向s1, s2之間夾角稱為該之間夾

9、角稱為該兩直線的夾角兩直線的夾角 (通常指銳角通常指銳角). 易知易知令令s1=(m1, n1, p1), s2=(m2, n2, p2).1、兩直線、兩直線(zhxin)的夾角的夾角第14頁(yè)/共44頁(yè)第十五頁(yè)，共44頁(yè)。 l1 / l2.212121ppnnmm l1 l2. 0212121ppnnmm s1 s2=0 s1 , s2線性相關(guān)線性相關(guān). s1 s2=0第15頁(yè)/共44頁(yè)第十六頁(yè)，共44頁(yè)。例例4 求直線求直線(zhxin)l1：158121xyz 直線直線(zhxin)l2：623xyyz 的夾角的夾角(ji jio)。解：解： 兩直線的方向向量分別為：兩直線的方向向量分別為

10、：11, 2,1s 212 1, 1,2snn 122nnl其中 ， 為 所對(duì)應(yīng)的平面的方向量12121cos21arccos23ssss 所以兩直線的夾角為：第16頁(yè)/共44頁(yè)第十七頁(yè)，共44頁(yè)。我們稱直線我們稱直線 l 與它所在平面與它所在平面 上的投影直上的投影直線的夾角為該直線與平面的夾角線的夾角為該直線與平面的夾角(通常要通常要求求 ).20ln第17頁(yè)/共44頁(yè)第十八頁(yè)，共44頁(yè)。設(shè)直線設(shè)直線(zhxin) l ：000,xxyyzzmnp) , ,(pnms 平面平面(pngmin) ：, 0DCzByAx). , ,(CBAn .2 2或).2cos() ,cos(sn.|si

11、n222222pnmCBACpBnAmln則則 n 與與 s 的夾角為的夾角為 第18頁(yè)/共44頁(yè)第十九頁(yè)，共44頁(yè)?！咀⒆ⅰ?（2）一般情形）一般情形(qng xing)平面平面 的法向量的法向量n,l的方向的方向向量向量v，則有：，則有：/0LAmBnCpABCLmnp.|sin222222pnmCBACpBnAm（1）當(dāng)直線）當(dāng)直線 l 垂直與平面垂直與平面(pngmin) 時(shí)，時(shí)，其夾角為其夾角為由此可知：由此可知：（I）（II）第19頁(yè)/共44頁(yè)第二十頁(yè)，共44頁(yè)。例例5 求直線求直線(zhxin)l：321021030 xyzxyz 且有平面且有平面(pngmin)：420 xyz

12、則直線則直線(zhxin)l（ ）解：解： 直線直線l的方向向量的方向向量s為：13228147 28,14, 721104 -21ijksijks ,4 -21又因?yàn)槠矫?的法向量為 ,Bl所以直線 與平面 垂直，故選擇（ ）（A）平行平面）平行平面 （C）在平面在平面上上（B）垂直平面）垂直平面 （D）與平面與平面斜交斜交第20頁(yè)/共44頁(yè)第二十一頁(yè)，共44頁(yè)。定義定義(dng(dngy)y).ll空間中過(guò)同一直線 的平面的集合稱為有軸平面束， 稱為該平面束的軸定理定理(dngl(dngl)12l 設(shè)直線 是平面和的交線，空間中平行與同一平面的所有平面的集合稱為平行平面束.11111222

13、22:0,:0.AxB yC zDA xB yC zDl則以 為軸的所有軸平面束的方程為：111112222212()()0,(4)AxB yC zDA xB yC zD其中 和不全為零.第21頁(yè)/共44頁(yè)第二十二頁(yè)，共44頁(yè)。, ,x y z 12由于相交，則上式的系數(shù)不全為零，l12首先證明對(duì)于任意一組不全為零的數(shù) 和,(4)表示一個(gè)過(guò)證明的一個(gè)平面，將(4)改寫為122122122122()AAxBByCCzDD1111()() +()=0.ll即(4)可表示一平面方程.顯然直線 的點(diǎn)均滿足(4)，因而(4)表示過(guò)直線 的平面第22頁(yè)/共44頁(yè)第二十三頁(yè)，共44頁(yè)。12, 因而有一組不全

14、為零的數(shù)使得這樣(zhyng)，方程l下證過(guò)直線 的平面 均可寫成(4)的形式.0000(,),lP xyz取平面 上不在 的一點(diǎn)顯然10101012020202AxB xC xDA xB xC xD和不全為零.110101 0122020202()()0,AxB yC zDA xB yC zD1111122222()()0.AxB yC zDA xB yC zD即為 的方程第23頁(yè)/共44頁(yè)第二十四頁(yè)，共44頁(yè)。定理定理(dng(dngl) l) 0AxByCzD平行與平面 ：的平行平面束方程為0AxByCz其中 為任意實(shí)數(shù).第24頁(yè)/共44頁(yè)第二十五頁(yè)，共44頁(yè)。0( 1,0,26),P

15、求經(jīng)過(guò)點(diǎn)并例經(jīng)過(guò)平面31(25)0.xyzxyz12設(shè)所求平面的(解方程為)+00,0PP12因?yàn)樗詫?的坐標(biāo)代入以上方程得2+5，12310250 xyzxyz ：與：的交線的平面 的方程.5,2177150.xyz 12令得，因而所求的平面方程為：第25頁(yè)/共44頁(yè)第二十六頁(yè)，共44頁(yè)。10,:010,7xyzlxyzxyz 求直線在平面上投例影直線的方程.11lxyzxyz112設(shè)過(guò) 垂直與 的平面方程為()+解()=0,1121212() 1 () 1 () 10 由于 與相垂直得到()()()()0 xyz 12121212即121110yz 1取，故平面 的方程為，10.0.yz

16、xyz 故所求的直線方程為第26頁(yè)/共44頁(yè)第二十七頁(yè)，共44頁(yè)。定義定義(dng(dngy)y)1212,( , ).l ld l l兩兩條直線之間的最短距離稱為,記為直線間的距離 若兩直線若兩直線(zhxin)相交則距離為相交則距離為0，若平行則兩直線，若平行則兩直線(zhxin)之之間的距離等于任意一點(diǎn)到另一條直線間的距離等于任意一點(diǎn)到另一條直線(zhxin)之間的距離之間的距離.第27頁(yè)/共44頁(yè)第二十八頁(yè)，共44頁(yè)。定理定理(dng(dngl)l)121212,l lP Pvv設(shè)異面，分別過(guò)點(diǎn)方向向量分別為和1212121212(,)( , ).llPP v vd l lvv 則 和

17、 間距離為1P2P1l2l2P1P證明證明(zhngmng)由上圖的幾何意義容易得到由上圖的幾何意義容易得到第28頁(yè)/共44頁(yè)第二十九頁(yè)，共44頁(yè)。128ll已知直線 和例的方程為12ll直線 和 的解方程可化為121,1,:0,0,yzxzllbcacxy：12120.( , )abclld l l其中試驗(yàn)證 和 為異面直線,并求12:,:,00 xyzcxyzcllbcac1212,(0,0, )(0,0,),l lPcPc直線分別過(guò)定點(diǎn)和12(0, ,)( ,0, ).vbcvac它們的方向向量分別為和第29頁(yè)/共44頁(yè)第三十頁(yè)，共44頁(yè)。1212,0200ccPP v vbcabcac

18、 0-00-0-(- )因?yàn)?(,)=12ll所以 和 異面.12121212,( , )PP v vd l lvv (,)2(,)abcbcacab2222222 abcb ca ca b第30頁(yè)/共44頁(yè)第三十一頁(yè)，共44頁(yè)。【1】求過(guò)點(diǎn)】求過(guò)點(diǎn)M0(3, 3, 0)且與直線且與直線(zhxin) l1:211zyx垂直相交(xingjio)的直線 l 的方程.解解：M0M1 l1 設(shè)所求直線(zhxin) l 與 l2 與交點(diǎn)為M1(x1, y1, z1).則 , 0)0(2)3(1)3(1111zyx. 062111zyxM0M1 s1 = (1, 1, 2).本節(jié)綜合習(xí)題本節(jié)綜合習(xí)題

19、第31頁(yè)/共44頁(yè)第三十二頁(yè)，共44頁(yè)。令令，則tx11.2 , ,111tztytx t + t + 2 2t 6 = 0.t =1,得得 (x1, y1, z1)=(1, 1, 2).故直線故直線(zhxin)方方程為程為.22323zyx直線方向直線方向 s=M0M1=(1 3, 1 3, 2 0)=( 2, 2, 2).第32頁(yè)/共44頁(yè)第三十三頁(yè)，共44頁(yè)?！?】 設(shè)平面設(shè)平面(pngmin)過(guò)直線過(guò)直線 l1:且平行且平行(pngxng)于直線于直線l2：解：兩直線的方向解：兩直線的方向(fngxing)向量分別為向量分別為121,0, 12,1,1ss，121, 3,1nss12

20、3101xyz21211xyz求平面求平面的方程。的方程。則平面則平面的的法向量法向量故可假設(shè)平面的方程為：故可假設(shè)平面的方程為：30 xyzD代入代入(1,2,3)，得得D=2所以平面所以平面的方程為：的方程為：320 xyz第33頁(yè)/共44頁(yè)第三十四頁(yè)，共44頁(yè)。【3】 過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)P0(1,2,1)和直線和直線(zhxin) l1:的平面的平面(pngmin)方程。方程。解：由于解：由于(yuy)P0不在平面不在平面6xz23(6)0 xyzt xz6230 xzxyz上，故平上，故平面面不為所求平面；不為所求平面；通過(guò)直線通過(guò)直線l的全體平面可表示為：的全體平面可表示為：由于點(diǎn)在所求平面上

21、，故代入上式可得由于點(diǎn)在所求平面上，故代入上式可得從而所求平面的方程為：從而所求平面的方程為：1t 6xz3yz第34頁(yè)/共44頁(yè)第三十五頁(yè)，共44頁(yè)?！揪毩?xí)【練習(xí)(linx)】求直線】求直線 l1: x+y 1=0, y+z+1=0,在平面在平面(pngmin) : 2x+y+2z = 0 上的投影直線上的投影直線的方程的方程.解：直線(zhxin)l1的方向1100111kjis kji=(1, 1, 1).第35頁(yè)/共44頁(yè)第三十六頁(yè)，共44頁(yè)。再求再求 l1 與與 的交點(diǎn)的交點(diǎn)(jiodin)M0(x0, y0, z0). 即即聯(lián)立求解聯(lián)立求解 x+y 1=0, y+z+1=0, 2x

22、+y+2z=0.消元消元 x + y 1 = 0, y+z+1=0, y+2z+2=0. x + y 1 = 0, y+z+1= 0,3z+3= 0.M0l1nM1得得(x0, y0, z0)=(1, 0, 1).第36頁(yè)/共44頁(yè)第三十七頁(yè)，共44頁(yè)。任取任取 l1上上(不在不在 上上)一點(diǎn)一點(diǎn)(y din)M1(x, y, z)=(0, 1, 2) .作過(guò)作過(guò) M1且垂直于且垂直于 的直線的直線(zhxin)l2 :.221120tzyxM0l1nM1第37頁(yè)/共44頁(yè)第三十八頁(yè)，共44頁(yè)。設(shè)設(shè) l2 與與 交點(diǎn)為交點(diǎn)為M2(x2, y2, z2)，則相應(yīng)參數(shù)，則相應(yīng)參數(shù)(cnsh) t

23、滿足滿足2 2t +1+t+2( 2+2t )=0).34 ,34 ,32(得交點(diǎn)得交點(diǎn)(jiodin) M2(x2, y2, z2)31t所求直線所求直線(zhxin)方程為方程為,134103401321zyx即即.11411zyx第38頁(yè)/共44頁(yè)第三十九頁(yè)，共44頁(yè)。思想思想(sxing)： 求直線求直線(zhxin)與與 交點(diǎn)交點(diǎn)M0； 求直線求直線(zhxin)上平面上平面 外一點(diǎn)外一點(diǎn)M1 ； 求過(guò)求過(guò) M1 垂直于垂直于 的直線的直線 l2 ; 求求 l2 與與 的交點(diǎn)的交點(diǎn)M2 ； 求過(guò)求過(guò)M0，M2 的投影直線方程的投影直線方程.M0l1nM1第39頁(yè)/共44頁(yè)第四十頁(yè)，共44頁(yè)。解：由題意，只需求過(guò)解：由題意，只需求過(guò) l 的平面束中的一個(gè)垂直的平面束中的一個(gè)垂直于于的平面的平面1，即由直線的一般，即由直線的一般(ybn)形式形式(也稱交面式也稱交面式)求得投影直線求得投影直線.過(guò)過(guò) l 的平面的平面(pngmin)束為束為，0) 1() 1(21zyyx, 0)(1