利用正交矩陣將對(duì)稱矩陣

1、機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三、小結(jié)三、小結(jié) 思考題思考題二、利用正交矩陣將對(duì)稱矩陣二、利用正交矩陣將對(duì)稱矩陣 對(duì)角化的方法對(duì)角化的方法一、對(duì)稱矩陣的性質(zhì)一、對(duì)稱矩陣的性質(zhì)第四節(jié)第四節(jié) 對(duì)稱矩陣的對(duì)角化對(duì)稱矩陣的對(duì)角化第五章 相似矩陣及二次型機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理5 5對(duì)稱矩陣的特征值為實(shí)數(shù)對(duì)稱矩陣的特征值為實(shí)數(shù). .證明證明, 對(duì)應(yīng)的特征向量對(duì)應(yīng)的特征向量為為復(fù)向量復(fù)向量的特征值的特征值為對(duì)稱矩陣為對(duì)稱矩陣設(shè)復(fù)數(shù)設(shè)復(fù)數(shù)xA . 0, xxAx 即即, 的的表示表示用用 共共軛軛復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)xAxA 則則 .xxAx 一、對(duì)稱矩陣的性質(zhì)說明說明：本節(jié)所提到的對(duì)稱矩陣，

2、除非特別說：本節(jié)所提到的對(duì)稱矩陣，除非特別說明，均指明，均指實(shí)對(duì)稱矩陣實(shí)對(duì)稱矩陣, 的的表示表示xx共軛復(fù)向量共軛復(fù)向量一、對(duì)稱矩陣的性質(zhì)一、對(duì)稱矩陣的性質(zhì)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 于是有于是有AxxTAxxT 及及 AxxT xxT ,xxT xAxTT xxAT xxT .xxT 兩式相減，得兩式相減，得 . 0 xxT , 0 x但因?yàn)榈驗(yàn)?, 0 , 即即.是實(shí)數(shù)是實(shí)數(shù)由此可得由此可得 , 0 121 niiniiiTxxxxx所以所以機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理5 5的意義的意義.,0,0)( , 以以取取實(shí)實(shí)向向量量從從而而對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的特特征征向向量量可

3、可系系知知必必有有實(shí)實(shí)的的基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解由由是是實(shí)實(shí)系系數(shù)數(shù)方方程程組組線線性性方方程程組組所所以以齊齊次次為為實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)的的特特征征值值由由于于對(duì)對(duì)稱稱矩矩陣陣 EAxEAAiii 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 證明證明,21222111 AppApp,AAAT 對(duì)稱對(duì)稱 TTTAppp11111 ,11ApApTTT 于是于是 22121211ppAppppTTT ,212ppT . 0 2121 ppT ,21 .21正交正交與與即即pp. 021 ppT., 221212121正交正交與與則則若若是對(duì)應(yīng)的特征向量是對(duì)應(yīng)的特征向量的兩個(gè)特征值的兩個(gè)特征值是對(duì)稱矩陣是對(duì)稱矩陣設(shè)設(shè)定理定理

4、ppppA 定理定理6機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 證明證明,21s 它們的重?cái)?shù)依次為它們的重?cái)?shù)依次為srrr,21).(21nrrrs 根據(jù)定理根據(jù)定理5（對(duì)稱矩陣的特征值為實(shí)數(shù)）和定（對(duì)稱矩陣的特征值為實(shí)數(shù)）和定理理( 如上如上)可得：可得：設(shè)設(shè) 的互不相等的特征值為的互不相等的特征值為A. ,)( , , 3個(gè)個(gè)線線性性無無關(guān)關(guān)的的特特征征向向量量恰恰有有對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)特特征征值值從從而而的的秩秩則則矩矩陣陣重重根根的的特特征征方方程程的的是是階階對(duì)對(duì)稱稱矩矩陣陣為為設(shè)設(shè)定定理理rrnEAREArAnA 定理定理定理定理7 設(shè)設(shè) A 為為 n 階對(duì)稱陣，則必有正交陣階對(duì)稱陣，則必有正交陣

5、 P ,使使P1 A P=PTA P= ,其中其中 是以是以 A 的的 n 個(gè)特征值為個(gè)特征值為對(duì)角元的對(duì)角陣。對(duì)角元的對(duì)角陣。機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ,21知知由由nrrrs 由定理由定理6知對(duì)應(yīng)于不同特征值的特征向量正交，知對(duì)應(yīng)于不同特征值的特征向量正交，., ), 2 , 1( 單位正交的特征向量單位正交的特征向量個(gè)個(gè)即得即得把它們正交化并單位化把它們正交化并單位化關(guān)的實(shí)特征向量關(guān)的實(shí)特征向量個(gè)線性無個(gè)線性無恰有恰有對(duì)應(yīng)特征值對(duì)應(yīng)特征值rrsiiii PPAPP11.,11個(gè)特征值個(gè)特征值的的是是恰恰個(gè)個(gè)個(gè)個(gè)的對(duì)角元素含的對(duì)角元素含其中對(duì)角矩陣其中對(duì)角矩陣nArrss 這樣的

6、特征向量共可得這樣的特征向量共可得 個(gè)個(gè).n故這故這 個(gè)單位特征向量?jī)蓛烧粋€(gè)單位特征向量?jī)蓛烧?n以它們?yōu)榱邢蛄繕?gòu)成正交矩陣以它們?yōu)榱邢蛄繕?gòu)成正交矩陣 ，則，則P設(shè)設(shè)A為為n階實(shí)對(duì)稱陣，則必有正交矩陣階實(shí)對(duì)稱陣，則必有正交矩陣P，使，使P-1AP= ，其中其中 是以是以A的的n個(gè)特征值為對(duì)角元素的對(duì)角陣。個(gè)特征值為對(duì)角元素的對(duì)角陣。機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 根據(jù)上述結(jié)論，利用正交矩陣將對(duì)稱矩陣化根據(jù)上述結(jié)論，利用正交矩陣將對(duì)稱矩陣化為對(duì)角矩陣，其具體步驟為對(duì)角矩陣，其具體步驟為：為：二、利用正交矩陣將對(duì)稱矩陣對(duì)角化的方法將特征向量正交化將特征向量正交化;3.將特征向量單位化將特征

7、向量單位化.4.2. ;, 0的特征向量的特征向量求出求出由由AxEAi 1.;的特征值的特征值求求A二、利用正交矩陣將對(duì)稱矩陣二、利用正交矩陣將對(duì)稱矩陣對(duì)角化的方法對(duì)角化的方法機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 解解 20212022EA 214 0 . 2, 1, 4321 得得,020212022)1( A 310130004)2(A例例 對(duì)下列各實(shí)對(duì)稱矩陣，分別求出正交矩陣對(duì)下列各實(shí)對(duì)稱矩陣，分別求出正交矩陣 P ，使使 P-1 A P 為對(duì)角陣為對(duì)角陣.(1)第一步第一步 求求 的特征值的特征值A(chǔ)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 的的特特征征向向量量求求出出由由第第二二步步AxEA

8、i, 0 得得由由對(duì)對(duì), 04, 41 xEA 04202320223232121xxxxxxx解之得基礎(chǔ)解系解之得基礎(chǔ)解系 .1221 得得由由對(duì)對(duì), 0, 12 xEA 0202202323121xxxxxx解之得基礎(chǔ)解系解之得基礎(chǔ)解系.2122 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 得得由由對(duì)對(duì), 02, 23 xEA 02202320243232121xxxxxxx解之得基礎(chǔ)解系解之得基礎(chǔ)解系.2213 第三步第三步 將特征向量正交化將特征向量正交化.,3, 321321故它們必兩兩正交故它們必兩兩正交的特征向量的特征向量個(gè)不同特征值個(gè)不同特征值的的是屬于是屬于由于由于 A第四步第四步

9、將特征向量單位化將特征向量單位化. 3 , 2 , 1, iiii 令令機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ,3132321 得得,3231322 .3232313 ,22121212231,321 P作作.200010004 1 APP則則機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 310130004)2(A 310130004EA ,422 . 4, 2321 得特征值得特征值 得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系由由對(duì)對(duì), 02, 21 xEA 1101 得得基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系由由對(duì)對(duì), 04, 432 xEA 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 .110,00132 ,32恰恰好好正正交交與與 .,321兩兩兩

10、兩正正交交所所以以 得得令令單位化單位化再將再將3 , 2 , 1,321 iiii ,212101 ,0012 .212103 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 于是得正交陣于是得正交陣 2102121021010,321 P.400040002 1 APP則則機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1.對(duì)稱矩陣的性質(zhì)：對(duì)稱矩陣的性質(zhì)：三、小結(jié) (1) (1)特征值為實(shí)數(shù)；特征值為實(shí)數(shù)； (2)(2)屬于不同特征值的特征向量正交；屬于不同特征值的特征向量正交； (3)(3)特征值的重?cái)?shù)和與之對(duì)應(yīng)的線性無關(guān)的特征值的重?cái)?shù)和與之對(duì)應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)相等；特征向量的個(gè)數(shù)相等； (4)(4)必存在正交矩陣，將其化為對(duì)角矩陣，必存在正交矩陣，將其化為對(duì)角矩陣，且對(duì)角矩陣對(duì)角元素即為特征值且對(duì)角矩陣對(duì)角元素即為特征值2.利用正交矩陣將對(duì)稱陣化為對(duì)角陣的步驟：利用正交矩陣將對(duì)稱陣化為對(duì)角陣的步驟： (1)求特征值；求特征值；(2)找特征向量；找特征向量；(3)將特征向?qū)⑻卣飨蛄繂挝换?；量單位化?4)最后正交化最后正交化三、小三、小 結(jié)結(jié)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 .2det, 2的值的值試求行列式試求行列式的秩為的秩為且且滿足滿足階實(shí)對(duì)稱矩陣階實(shí)對(duì)稱矩陣設(shè)設(shè)AErAAAAn 思考題思思 考考 題題機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返