2018版高中數(shù)學(xué)平面向量2向量在物理中的應(yīng)用舉例導(dǎo)學(xué)案新人教A版

1、2.5.2 向量在物理中的應(yīng)用舉例【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.經(jīng)歷用向量方法解決某些簡單的力學(xué)問題與其他一些實(shí)際問題的過程.2.體會(huì)向量是一種處理物理問題的重要工具.3.培養(yǎng)運(yùn)用向量知識(shí)解決物理問題的能力.ET問題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一向量的線性運(yùn)算在物理中的應(yīng)用思考 i 向量與力有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)？答案向量是既有大小又有方向的量，它們可以有共同的作用點(diǎn)，也可以沒有共同的作用點(diǎn)，但是力卻是既有大小，又有方向且作用于同一作用點(diǎn)的思考 2 向量的運(yùn)算與速度、加速度與位移有什么聯(lián)系？答案速度、加速度與位移的合成與分解，實(shí)質(zhì)上是向量的加減法運(yùn)算，而運(yùn)動(dòng)的疊加也用到向量的合成.梳理（1）用向量解決力的問題，通常把向量的起點(diǎn)

2、平移到同一個(gè)作用點(diǎn)上（2）向量在解決涉及速度、位移等物理量的合成與分解時(shí)，實(shí)質(zhì)就是向量的線性運(yùn)算知識(shí)點(diǎn)二向量的數(shù)量積在物理中的應(yīng)用思考向量的數(shù)量積與功有什么聯(lián)系？答案物理上力做功的實(shí)質(zhì)是力在物體前進(jìn)方向上的分力與物體位移的乘積，它的實(shí)質(zhì)是向量的數(shù)量積.梳理物理上力的做功就是力在物體前進(jìn)方向上的分力與物體位移的乘積，即 W=|F|s|cosF,s，功是一個(gè)實(shí)數(shù)，它可正可負(fù)，也可以為零.力的做功涉及兩個(gè)向量及這兩個(gè)向量的夾角，它的實(shí)質(zhì)是向量F與s的數(shù)量積.知識(shí)點(diǎn)三向量方法解決物理問題的步驟用向量理論討論物理學(xué)中的相關(guān)問題，一般來說分為四個(gè)步驟：（1）問題轉(zhuǎn)化，即把物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；（2）建立

3、模型，即建立以向量為載體的數(shù)學(xué)模型；（3）求解參數(shù)，即求向量的模、夾角、數(shù)量積等；（4）回答問題，即把所得的數(shù)學(xué)結(jié)論回歸到物理問題.題型探究類型一向量的線性運(yùn)算在物理中的應(yīng)用例 1（1）在重 300N 的物體上系兩根繩子，這兩根繩子在鉛垂線的兩側(cè)，與鉛垂線的夾角分別為 30。，60（如圖），求重物平衡時(shí)，兩根繩子拉力的大小.300N解如圖，兩根繩子的拉力之和OMOB=OC且|0。=|O9=300N,/AO住 30,/BO860.在4OA計(jì)，/ACO=/BO匿 60,/AO住 30,則/OA 仔 90,從而|OA=|Oqcos30=1503(N),|AC=|Oqsin30=150(N),所以|O

4、B=|AC|=150(N).答與鉛垂線成 30角的繩子的拉力是 15043N,與鉛垂線成 60角的繩子的拉力是 150N.(2)帆船比賽是借助風(fēng)帆推動(dòng)船只在規(guī)定距離內(nèi)競速的一項(xiàng)水上運(yùn)動(dòng)，如果一帆船所受的風(fēng)力方向?yàn)楸逼珫| 30,速度為 20km/h,此時(shí)水的流向是正東，流速為 20km/h.若不考慮其他因素，求帆船的速度與方向.解建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，風(fēng)的方向?yàn)楸逼珫| 30,速度為|V1|=20(km/h),水流的方向?yàn)檎龞|，速度為|V2|=20(km/h),設(shè)帆船行駛的速度為V,則V=V1+V2.由題意，可得向量V1=(20cos60,20sin60)=(10,103),向量V2=(2

5、0,0),則帆船的行駛速度為V=V1+V2=(10,1073)+(20,0)=(30,10 點(diǎn))，所以|V|=他 02+(10732=20，3(km/h).因?yàn)?tana=1303=乎(a 為V和V2的夾角，且為銳角)，所以 a=30,所以帆船向北偏東 60的方向行駛，速度為 20.3km/h.反思與感悟利用向量法解決物理問題有兩種思路，第一種是幾何法，選取適當(dāng)?shù)幕祝瑢㈩}中涉及的向量用基底表示，利用向量運(yùn)算法則，運(yùn)算律或性質(zhì)計(jì)算.第二種是坐標(biāo)法，通過建立平面直角坐標(biāo)系，實(shí)現(xiàn)向量的坐標(biāo)化，轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算跟蹤訓(xùn)練 1 河水自西向東流動(dòng)的速度為 10km/h,小船自南岸沿正北方向航行，小船在靜水中

6、的速度為 10#km/h,求小船的實(shí)際航行速度.解設(shè)a,b分別表示水流的速度和小船在靜水中的速度，過平面內(nèi)一點(diǎn)O作Oda,OB=b,以O(shè)AO的鄰邊彳矩形OACB連接OC如圖，則OG=a+b,并且O卸為小船的實(shí)際航行速度.IOC=M(a+bj=a，+b2=20(km/h),tan/AOC=1003=3,，/AOC=60,，小船的實(shí)際航行速度為 20km/h,按北偏東 30的方向航行.類型二向量的數(shù)量積在物理中的應(yīng)用例 2 已知兩恒力Fi=(3,4),F，=(6,5)作用于同一質(zhì)點(diǎn)，使之由點(diǎn)A(20,15)移動(dòng)到點(diǎn)B(7,0).(1)求力F1,F，分別對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功；(2)求力F1,F，的合力F對(duì)

7、質(zhì)點(diǎn)所做的功.解(1)AB=(7,0)-(20,15)=(-13,15),W=FAB=(3,4)(-13,15)=3X(13)+4X(15)=99,W=F2-AB(6,-5)-(-13,-15)=6X(13)+(5)X(15)=-3.，力F1,E 對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功分別為一 99 和一 3.(2)W=F-AB(F1+F2)AB=(3,4)+(6,-5)(13,15)=(9,-1)-(-13,15)=9X(13)+(-1)X(-15)=-117+15=-102.，合力F對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功為102.反思與感悟物理上的功實(shí)質(zhì)上就是力與位移兩矢量的數(shù)量積跟蹤訓(xùn)練 2 一個(gè)物體受到同一平面內(nèi)的三個(gè)力F1,F2,

8、F3的作用，沿北偏東 45。的方向移動(dòng)了 8m 其中|F1|=2N,方向?yàn)楸逼珫| 30,|F2|=4N,方向?yàn)楸逼珫| 60,|F4=6N,方向?yàn)楸逼?30,求合力F所做的功.解以O(shè)為原點(diǎn)，正東方向?yàn)閤軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示則F1=(1,淄)，F(xiàn)2=(2y3,2),F3=(-3,3 婿),所以F=F1+F2+F3=(2yJ32,2+43).又因?yàn)槲灰?s=(442,4 也)，所以合力F所做的功為 W=F-S=(2A/3-2)X42+(2+4/3)X42=42X63=246(J).即合力F所做的功為 24mJ.ET當(dāng)堂訓(xùn)練1.用兩條成 120。角的等長的繩子懸掛一個(gè)燈具，如圖所示

9、，已知燈具重 10N,則每根繩子的拉力大小為 N.答案 10解析設(shè)重力為G,每根繩的拉力分別為F1,F2,則由題意得F1,F2與一G都成 60。角，且|FI|=|F2|.IFI|=|F2|=|G|=10N,每根繩子的拉力都為 10N.2.已知一個(gè)物體在大小為 6N 的力F的作用下產(chǎn)生的位移s的大小為 100m,且F與s的夾角為 60。，則力F所做的功W=J.答案 300解析W=F-s=|F|s|cos=6xi00 xcos60=300(J).3.一條河寬為 800m,一船從A處出發(fā)垂直到達(dá)河正對(duì)岸的B處，船速為 20km/h,水速為12km/h,則船到達(dá)B處所需時(shí)間為 min.答案 3解析:V

10、實(shí)際=V船+V水=丫1+丫2,水流方向|V1|=20km/h,|V2|=12km/h,1-Iv|=,|V1|2-|v2|2=小 02122=16(km/h).0.8.所需時(shí)間 t=6=0.05(h)=3(min).該船到達(dá)B處所需的時(shí)間為 3min.4.一艘船從南岸出發(fā)，向北岸橫渡.根據(jù)測(cè)量，這一天水流速度為 3km/h,方向正東，風(fēng)的方向?yàn)楸逼?0,受風(fēng)力影響，靜水中船的漂行速度為 3km/h,若要使該船由南向北沿垂直于河岸的方向以 2小km/h 的速度橫渡，求船本身的速度大小及方向.解如圖，設(shè)水的速度為V1,風(fēng)的速度為V2,V1+V2=a.易求得a的方向是北偏東 30,a的大小是 3km

11、/h.設(shè)船的實(shí)際航行速度為 v,方向由南向北，大小為 2g3km/h.船本身的速度為V3,則a+v3=v,即V3=va,由數(shù)形結(jié)合知，V3的方向是北偏西 60,大小是 J3km/h.VL 規(guī)律與方法-1用向量理論討論物理中相關(guān)問題的步驟一般來說分為四步：(1)問題的轉(zhuǎn)化，把物理問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題；(2)模型的建立，建立以向量為主體的數(shù)學(xué)模型；(3)參數(shù)的獲取，求出數(shù)學(xué)模型的相關(guān)解；(4)問題的答案，回到物理現(xiàn)象中，用已經(jīng)獲取的數(shù)值去解釋一些物理現(xiàn)象課時(shí)作業(yè)、選擇題1 .一質(zhì)點(diǎn)受到平面上的三個(gè)力Fi,F2,F3(單位：牛頓)的作用而處于平衡狀態(tài)，已知Fi,F2成 90角，且Fi,E的大小分別為

12、2 和 4,則F3的大小為()A.6NB.2NC.25ND.27N答案 C2 .人騎自行車的速度是vi,風(fēng)速為V2,則逆風(fēng)行駛的速度為()A.viV2B.V1+V2ViC.|vi|V2|D.|V2l答案 B3 .已知三個(gè)力Fi=(2,i),F2=(3,2),F3=(4,3)同時(shí)作用于某物體上一點(diǎn)，為使物體保持平衡，再加上一個(gè)力F4,則F4等于()A.(-i,-2)B.(i,2)C.(-i,2)D.(i,2)答案 D解析二.物體平衡，F(xiàn)i+F2+F3+F4=0,F4=FiF2F3=-(-2,-i)-(-3,2)-(4,-3)=(i,2).故選 D.4 .用力F推動(dòng)一物體水平運(yùn)動(dòng)sm 設(shè)F與水平面

13、的夾角為。，則力F對(duì)物體所彳的功為()A.|F|-sB.Fcos0-sC.Fsin0-sD.|F|cos0-s答案 D5 .已知兩個(gè)力Fi,F2的夾角為 90,它們的合力大小為 10N,合力與Fi的夾角為 60,那么Fi的大小為()A.53NB.5NC.i0ND.52N答案 B解析如圖，有|Fi|=|F|cos60i=i0X-=5(N).6 .已知作用在點(diǎn)A的三個(gè)力fi=(3,4),f2=(2,5),f3=(3,i),且A(i,i),則合力f=fi+f2+f3的終點(diǎn)坐標(biāo)為()C.(9,0)D.(0,9)答案 A解析f=fi+f2+f3=(3,4)+(2,5)+(3,1)=(8,0),設(shè)合力f的

14、終點(diǎn)為P(x,y),則 MOVf=(1,1)+(8,0)=(9,1).7 .河水的流速為 5m/s,若一艘小船沿垂直于河岸方向以 12m/s 的速度駛向?qū)Π叮瑒t小船在靜水中的速度大小為()A.13m/sB.12m/sC.17m/sD.15m/s答案 A解析設(shè)小船在靜水中的速度為v1,河水的流速為V2,V1與V2的合速度為V,為了使航向垂直河岸，船頭必須斜向上游方向，即小船在靜水中的速度V1斜向上游方向，河水速度V2平行于河岸，合速度V指向?qū)Π叮o水速度|V1|=3v|2+|V2|2=小 22+52=13(m/s).二、填空題8.一物體在力F1=(3,4),F2=(2,5),F3=(3,1)的共

15、同作用下從點(diǎn)A(1,1)移動(dòng)到點(diǎn)B(0,5).在這個(gè)過程中三個(gè)力的合力所做的功等于.答案-40解析F1=(3,4),F2=(2,5),F3=(3,1),合力 F=F+F2+F3=(8,-8).又他(0-1,51)=(1,4),FAB=8X(1)+(8)X4=40,即三個(gè)力的合力做的功等于一 40.9. 一個(gè)重 20N 的物體從傾斜角為 0,斜面長 1m 的光滑斜面頂端下滑到底端，若重力做的功是 10J,則 0=.答案 30解析W=G-s=|G|s|cos(90。一。)=20X1Xcos(90。)=10J,一。、1 一。cos(900)=2，0=30.10 .河水的流速為 2m/s,一艘小船以

16、10m/s 的速度沿垂直于對(duì)岸的方向行駛，則小船在靜水中的速度大小為 m/s.答案 226解析設(shè)河水的流速為Vi,小船在靜水中的速度為V2,船的實(shí)際速度為V,則 V=Vi+V2,|Vi|=2m/s,|V|=10m/s.所以|V2|=|VVi|=業(yè)22VVi+V2=qi000+4=i04=2p(m/s).三、解答題11 .已知ei=(i,0),e2=(0,i),今有動(dòng)點(diǎn)P從 R(i,2)開始，沿著與向量ei+e2相同的方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，速度為|ei+ez|;另一動(dòng)點(diǎn)Q從 Q(2,i)開始，沿著與向量 3ei+2e2相同的方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，速度為|3ei+2e2|,設(shè) P,Q在t=0 時(shí)分別在

17、 R,Q處，當(dāng)PQ，Pb 時(shí)所需的時(shí)間 t 為多少？解ei+e2=(i,i),|ei+e2|=也，其單位向量為停，號(hào)；,3ei+2e2=(3,2),|3e+2e2|=J3,2,平)如圖.依題意知，|PP|=V2t,QQ=際 t,所以加=|麗.償,當(dāng) i=(t,t),由 R(i,2),Q(2,一 i),得P(ti,t+2),Q3t2,2t-i),所以Sb=(-i,-3),PQ=(2t-i,t-3).因?yàn)镻QLPh,所以PQPQ=0.即 2ti+3t9=0,解得 t=2,所以當(dāng) PQLRQ 時(shí)，所需的時(shí)間為 2.12 .在水流速度為 4 千米/小時(shí)的河流中，有一艘船沿與水流垂直的方向以 8 千米/

18、小時(shí)的速度航行，求船實(shí)際航彳 T 的速度的大小.解如圖，用V0表示水流速度，V1表示與水流垂直的方向的速度其單位向量為Q4NI則Vo+Vi表示船實(shí)際航行的速度，|Vo|=4,|Vi|=8,|Vo+Vi|=弋42+8”=4-5.故船實(shí)際航行的速度為44千米/小時(shí).13 .質(zhì)量亦 2.0kg 的木塊，在平行于斜面向上的拉力 F=10N 的作用下，沿傾斜角。=30的光滑斜面向上滑行|s|=2.0m 的距離.(g=9.8N/kg)(1)分別求物體所受各力對(duì)物體所做的功；(2)在這個(gè)過程中，物體所受各力對(duì)物體做功的代數(shù)和是多少？解(1)木塊受三個(gè)力的作用，重力G,拉力F和支持力FN,如圖所示，拉力F與位移s方向相同，所以拉力對(duì)木塊所做的功為W=Fs=|F|s|cos0=20(J);支持力FN與位移方向垂直，不做功，所以W/=FNs=0;重力G對(duì)物體所做的功為W=G-s=|G|s|cos(90+0)=-19.6(J).(2)物體所受各力對(duì)物體做功的代數(shù)和為W=W+W+W=0.4(J).四、探究與拓展14 .質(zhì)點(diǎn)P在平面上作勻速直線運(yùn)動(dòng)， 速度向量丫=(4,3)(即點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)方向與Y相同,且每秒移動(dòng)的距離為|丫|個(gè)單位).設(shè)開始時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(一 10,10),則 5 秒后點(diǎn)P的坐標(biāo)為()A.(-2,4)B.(-30,25)C.(10,5)D.(5,10)答案 C解析設(shè)點(diǎn)(一 10,10