2003年數(shù)一真題、標準答案及解析超強版

1、2003年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一真題、填空題(本題共6小題，每小題4分，滿分24分.把答案填在題中橫線上)1(1)1n(1x2)lim(cosx)x0(2)22一,曲面zxy與平面2x4yz0平行的切平面的方程是(3)2設(shè)xancosnx(n0x)，則a2=(4)從R2的基11到基111的過渡矩陣為2(5)設(shè)二維隨機變量(X,Y)的概率密度為f(x,y)6x,0Qxy1,廿/則PXY1其他，(6)已知一批零件的長度X(單位：cm)服從正態(tài)分布N(,1),從中隨機地抽取16個零件，得到長度的平均值為40(cm),則的置信度為0.95的置信區(qū)間是(注：標準正態(tài)分布函數(shù)值(1.96)0.9

2、75,(1.645)0.95.)、選擇題(本題共6小題，每小題4分，？茜分24分.每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi))(1)設(shè)函數(shù)f(x)在()內(nèi)連續(xù)，其導(dǎo)函數(shù)的圖形如圖所示，則f(x)有(A)(B)(C)一個極小值點和兩個極大值點兩個極小值點和一個極大值點兩個極小值點和兩個極大值點nn(A)anbn對任意n成立.(B)bn(C)極限limanc不存在.n0,limbnn1,limcnn，則必有Cn對任意n成立.(D)極限limbng不存在.n(3)已知函數(shù)f(x,y)在點(0,0)的某個鄰域內(nèi)連續(xù)，且limx0,y0f(x,y)xy222(xy)梅

3、花香自苦寒來，歲月共理想，人生齊高飛!第-1-頁共22頁(A) 點(0,0)不是f(x,y)的極值點.(B) 點(0,0)是f(x,y)的極大值點.(C) 點(0,0)是f(x,y)的極小值點.(D)根據(jù)所給條件無法判斷點(0,0)是否為f(x,y)的極值點.(4)設(shè)向量組I：1,2,可由向量組II：1,2,s線性表示，則(A)當rs時，向量組II必線性相關(guān).(B)當rs時，向量組II必線性相關(guān).(C)當rs時，向量組I必線性相關(guān).(D)當rs時，向量組I必線性相關(guān).(5)設(shè)有齊次線性方程組Ax=0和Bx=0,其中A,B均為mn矩陣，現(xiàn)有4個命題:若Ax=0的解均是Bx=0的解，則秩(A)秩(

4、B);若秩(A)秩(B),則Ax=0的解均是Bx=0的解； 若Ax=0與Bx=0同解，則秩(勺=秩但)； 若秩依)=秩9),則Ax=0與Bx=0同解.以上命題中正確的是(A).(B).(C).(D).1(6)設(shè)隨機變量Xt(n)(n1),Y,則X22(A)Y(n).(B)Y(n1).(C)YF(n,1).(D)YF(1,n).三、(本題滿分10分)過坐標原點作曲線y=lnx的切線，該切線與曲線y=lnx及x軸圍成平面圖形D.(1)求D的面積A;(2)求D繞直線x=e旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積V.四、(本題滿分12分)12x(1)n一將函數(shù)f(x)arctan展開成x的哥級數(shù)，并求級數(shù)-一人的和.

5、12xn02n1五、(本題滿分10分)已知平面區(qū)域D(x,y)0x,0y,L為D的正向邊界.試證：sinysinxsinysinx(1) ;xedyyedxxedyyedx;sinysinx2(2) jxedyyedx2.六、(本題滿分10分)某建筑工程打地基時，需用汽錘將樁打進土層.汽錘每次擊打，都將克服土層對樁的阻力而作功.設(shè)土層對樁的阻力的大小與樁被打進地下的深度成正比(比例系數(shù)為k,k0).汽錘第一次擊打?qū)洞蜻M地下am.根據(jù)設(shè)計方案，要求汽錘每次擊打樁時所作的功與前一次擊打時所作的功之比為常數(shù)r(0r0時，F(xiàn)(t)-G(t).010101,BPAP,求B+2E的特征值與特征向量，其中

6、A為001A的伴隨矩陣，E為3階單位矩陣.十、（本題滿分8分）已知平面上三條不同直線的方程分別為1i:ax2by3c0,12:bx2cy3a0,l3:cx2ay3b0.試證這三條直線交于一點的充分必要條件為abc0.十一、（本題滿分10分）已知甲、乙兩箱中裝有同種產(chǎn)品，其中甲箱中裝有3件合格品和3件次品，乙箱中僅裝有3件合格品.從甲箱中任取3件產(chǎn)品放入乙箱后，求：（1）乙箱中次品件數(shù)的數(shù)學(xué)期望；（2）從乙箱中任取一件產(chǎn)品是次品的概率.十二、（本題滿分8分）設(shè)總體X的概率密度為梅花香自苦寒來，歲月共理想，人生齊高飛!第-3-頁共22頁f(x)2e2(x),x0,x其中,Xn).0是未知參數(shù).從總

7、體X中抽取簡單隨機樣本X1,X2,Xn,記？min(X1,X2,求總體X的分布函數(shù)F(x)；(2)求統(tǒng)計量？的分布函數(shù)F?(x);(3)如果用？作為的估計量，討論它是否具有無偏性梅花香自苦寒來，歲月共理想，人生齊高飛!第-4-頁共22頁、填空題(本題共6小題,17T,211)g(cosx)2003年考研數(shù)學(xué)一真題評注每小題4分，滿分24分.把答案填在題中橫線上)_1=g【分析】1型未定式，化為指數(shù)函數(shù)或利用公式limf(x)g(x)(1)=elim(f(x)1)g(x)進行計算求極限均可.lim_lncosx【詳解1】lim(cosx)ln(1x)=ex0ln(1x)x0sinx而limx0l

8、ncosxln(1x2)limx0lncosx2xlimx0cosx2x1e.【詳解2】因為lim(cosx1)x0ln(1x2)12-xlim2x0x21所以原式=e2(2)曲面z22.一_._y與平面2x4yz0平行的切平面的方程是2x4yz5.待求平面的法矢量為n2,4,1,因此只需確定切點坐標即可求出平面方程，而切點坐標可根據(jù)曲面z22,一一,一一xy切平面的法矢重與n2,4,1平行確定.【詳解】令F(x,y,z)zx2y2,則Fx2x,Fy2y,Fz1.設(shè)切點坐標為(x0,y0,z0),則切平面的法矢量為2y0,1,其與已知平面2x4yz0平行，因此有2x022y0可解得x01,y0

9、,相應(yīng)地有Zo2x0故所求的切平面方程為2(x1)4(y2)(z5)0,即2x4yz5.梅花香自苦寒來，歲月共理想,人生齊高飛!第-5-頁共22頁(3)設(shè)x2ancosnx(n0x)，貝Ua2=1【分析】將f(x)x2(2)展開為余弦級數(shù)xancosnx(x0),其系數(shù)計算公2式為an一0f(x)cosnxdx.【詳解】根據(jù)余弦級數(shù)的定義,a22x2cos2xdx012.一xdsin2x01r2o=xsin2xsin2x2xdx00cos2xdx1,C1.C一xdcos2xxcos2x0L=1.本質(zhì)上轉(zhuǎn)化為定積分的計算本題屬基本題型，主要考查傅里葉級數(shù)的展開公式,(4)從R2的基1【分析】n維

10、向量空間中,從基nP,【詳解】根據(jù)定義,R2的基到基因此過渡矩陣n到基P為:P=到基1,的過渡矩陣為2,的過渡矩陣P滿足1的過渡矩陣為22P=1,(5)設(shè)二維隨機變量(X,Y)的概率密度為6x,0xy1,f(x，y)0,其他，、1則PXY1【分析】已知二維隨機變量(X,Y)的概率密度f(x,y),求滿足一定條件的概率Pg(X,Y)z。,一般可轉(zhuǎn)化為二重積分Pg(X,Y)z0=f(x,y)dxdy進行計算g(x,y)z梅花香自苦寒來，歲月共理想，人生齊高飛!第-6-頁共22頁【詳解】由題設(shè)，有PXY1f(x,y)dxdyxy111x02dxx6xdy1j(6x12x2)dx【評注】本題屬基本題型

11、，但在計算二重積分時，應(yīng)注意找出概率密度不為零與滿足不等式xy1的公共部分D,再在其上積分即可.(6)已知一批零件的長度X(單位：cm)服從正態(tài)分布N(,1),從中隨機地抽取16個零件，得到長度的平均值為40(cm),則的置信度為0.95的置信區(qū)間是(39.51,40.49).(注：標準正態(tài)分布函數(shù)值(1.96)0.975,(1.645)0.95.)【分析】已知方差2,1,對正態(tài)總體的數(shù)學(xué)期望進行估計，可根據(jù)N(0,1),由P【詳解】確定臨界值u_,進而確定相應(yīng)的置信區(qū)間2由題設(shè),0.95,可見0.05.于是查標準正態(tài)分布表知u1.96.本題n=16,2x40,因此,根據(jù)Pn1.960.95,

12、有P401、161.960.95,即P39.51,40.490.95,故的置信度為0.95的置信區(qū)間是(39.51,40.49).梅花香自苦寒來，歲月共理想，人生齊高飛!第-7-頁共22頁二、選擇題(本題共6小題，每小題4分，工茜分24分.每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi))(1)設(shè)函數(shù)f(x)在(,)內(nèi)連續(xù)，其導(dǎo)函數(shù)的圖形如圖所示，則f(x)有(D)一個極小值點和兩個極大值點.(E)兩個極小值點和一個極大值點.(F)兩個極小值點和兩個極大值點.(D)三個極小值點和一個極大值點.C【分析】答案與極值點個數(shù)有關(guān)，而可能的極值點應(yīng)是導(dǎo)數(shù)為零或?qū)?shù)不存在的

13、點，共4個，是極大值點還是極小值可進一步由取極值的第一或第二充分條件判定【詳解】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖形可知，一階導(dǎo)數(shù)為零的點有3個，而x=0則是導(dǎo)數(shù)不存在的點.三個一階導(dǎo)數(shù)為零的點左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)符號不一致，必為極值點，且兩個極小值點，一個極大值點；在x=0左側(cè)一階導(dǎo)數(shù)為正，右側(cè)一階導(dǎo)數(shù)為負，可見x=0為極大值點，故f(x)共有兩個極小值點和兩個極大值點，應(yīng)選(C).【評注】本題屬新題型，類似考題2001年數(shù)學(xué)一、二中曾出現(xiàn)過，當時考查的是已知f(x)的圖象去推導(dǎo)f(x)的圖象，本題是其逆問題.(2)設(shè)aj,bn,品土勻為非負數(shù)歹U,且liman0,limbn1,limCn，則必有nnn(A)anbn對

14、任意n成立.(B)bncn對任意n成立.(C)極限limanCn不存在.(D)極限limbng不存在.Dnn【分析】本題考查極限概念，極限值與數(shù)列前面有限項的大小無關(guān)，可立即排除(A),(B);而極限lim%Cn是0型未定式，可能存在也可能不存在，舉反例說明即可；極限limbng屬1型，必為無窮nn大量，即不存在.21_，【詳解】用舉反例法，取an一，bn1,cn-n(n1,2,)，則可立即排除(A),(B),(C),因此n2正確選項為(D).【評注】對于不便直接證明的問題，經(jīng)常可考慮用反例，通過排除法找到正確選項(3)已知函數(shù)f(x,y)在點(0,0)的某個鄰域內(nèi)連續(xù)，且limf(.y)2x

15、y1,則x0,y0(x2y2)2(A) 點(0,0)不是f(x,y)的極值點.(B) 點(0,0)是f(x,y)的極大值點.(C) 點(0,0)是f(x,y)的極小值點.(D)根據(jù)所給條件無法判斷點(0,0)是否為f(x,y)的極值點.A梅花香自苦寒來，歲月共理想，人生齊高飛！第-8-頁共22頁【分析】由題設(shè)，容易推知f(0,0)=0,因此點(0,0)是否為f(x,y)的極值，關(guān)鍵看在點(0,0)的充分小的鄰域內(nèi)f(x,y)是恒大于零、恒小于零還是變號【詳解】由|而，”二丫x0，y0(x2y2)21知，分子的極限必為零，從而有f(0,0)=0,且f(x,y)xy(x2y2)2(x,y充分小時)

16、，于是f(x,y)f(0,0)xy(x2y2)2.可見當y=x且x充分小時，f(x,y)f(0,0)x24x40;而當y=-x且x充分小時，2一4f(x,y)f(0,0)x4x0.故點(0,0)不是f(x,y)的極值點，應(yīng)選(A).【評注】本題綜合考查了多元函數(shù)的極限、連續(xù)和多元函數(shù)的極值概念，題型比較新，有一定難度.將極限表示式轉(zhuǎn)化為極限值加無窮小量，是有關(guān)極限分析過程中常用的思想(4)設(shè)向量組I:1,2,可由向量組II:1,2,s線性表示，則(A)當rs時，向量組II必線性相關(guān).(B)當rs時，向量組II必線性相關(guān).(C)當rs時，向量組I必線性相關(guān).(D)當rs時，向量組I必線性相關(guān).D

17、【分析】本題為一般教材上均有的比較兩組向量個數(shù)的定理：若向量組I：1,2,可由向量組II：1,2,s線性表示，則當rs時，向量組I必線性相關(guān).或其逆否命題：若向量組I：1,2,s可由向量組II:s線性表示，且向量組I線性無關(guān)，則必有rs.可見正確選項為(D).本題也可通過舉反例用排除法找到答案【詳解】用排除法：如10,2，則10102,但1,2線性無關(guān),01011,2,1，則1,2可由1線性表示，但1線性無關(guān)，排除(B)；00010一，,2,1可由1,2線性表不，但1線性無關(guān)，排除(C).故正確選項為(D).01【評注】本題將一已知定理改造成選擇題，如果考生熟知此定理應(yīng)該可直接找到答案，若記不

18、清楚,也可通過構(gòu)造適當?shù)姆蠢业秸_選項.(5)設(shè)有齊次線性方程組Ax=0和Bx=0,其中A,B均為mn矩陣，現(xiàn)有4個命題：若Ax=0的解均是Bx=0的解，則秩(A)秩(B);若秩(A)秩(B),則Ax=0的解均是Bx=0的解； 若Ax=0與Bx=0同解，則秩(勺=秩但)； 若秩依)=秩9),則Ax=0與Bx=0同解.以上命題中正確的是梅花香自苦寒來，歲月共理想，人生齊高飛!第-9-頁共22頁(A).(B).(C).(D).B【分析】本題也可找反例用排除法進行分析，但兩個命題的反例比較復(fù)雜一些，關(guān)鍵是抓住與，迅速排除不正確的選項【詳解】若Ax=0與Bx=0同解，則n-秩(A)=n-秩(B),即

19、秩(A尸秩(B),命題成立，可排除(A),(C);10_00但反過來，若秩(A尸秩(B),則不能推出Ax=0與Bx=0同解，如A,B,則秩(A尸秩0001(B)=1，但Ax=0與Bx=0不同解，可見命題不成立，排除(D),故正確選項為(B).【例】齊次線性方程組Ax=0與Bx=0同解的充要條件(A)r(A)=r(B).(B)A,B為相似矩陣.(C)A,B的行向量組等價.(D)A,B的列向量組等價.C有此例題為基礎(chǔ)，相信考生能迅速找到答案1(6)設(shè)隨機變量Xt(n)(n1),Y會，則X(A)Y-2(n).(B)Y2(n1).(C)YF(n,1).(D)YF(1,n).C【分析】先由t分布的定義知

20、XU2，1小，其中UN(0,1),V(n),再將其代入Y1，然VnX2后利用F分布的定義即可【詳解】由題設(shè)知，XN(0,1),V2一(n),于是1VV1Y-=rT，這里U22(1),根據(jù)F分布的定義知Y1F(n,1).故應(yīng)選(C).X2U2U21X2【評注】本題綜合考查了t分布、2分布和F分布的概念，要求熟練掌握此三類常用統(tǒng)計量分布的定義.三、(本題滿分10分)過坐標原點作曲線y=lnx的切線，該切線與曲線y=lnx及x軸圍成平面圖形D.(3)求D的面積A;(4)求D繞直線x=e旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積V.【分析】先求出切點坐標及切線方程，再用定積分求面積A;旋轉(zhuǎn)體體積可用一大立體(圓錐)體積

21、減去一小立體體積進行計算，為了幫助理解，可畫一草圖【詳解】(1)設(shè)切點的橫坐標為xo,則曲線y=lnx在點(xo,lnXo)處的切線方程是1ylnXo(xXo).Xo梅花香自苦寒來，歲月共理想，人生齊高飛!第-10-頁共22頁由該切線過原點知Inx010,從而xe,所以該切線的方程為平面圖形D的面積10(eyey)dy(2)切線軸及直線x=e所圍成的三角形繞直線x=e旋轉(zhuǎn)所得的圓錐體積為V112e.3曲線y=lnx與x軸及直線x=e所圍成的圖形繞直線x=e旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體體積為1_V20因此所求旋轉(zhuǎn)體的體積為(eey)2dy,VV1V2(eey)2dy-(5e212e3).exyy【評注】本題

22、不是求燒坐標軸旋轉(zhuǎn)的體積，因此不能直接套用現(xiàn)有公式四、(本題滿分12分).也可考慮用微元法分析12x將函數(shù)f(x)arctan展開成x的帚級數(shù)，并求級數(shù)12xn)的和.n02n1【分析】哥級數(shù)展開有直接法與間接法，一般考查間接法展開，即通過適當?shù)暮愕茸冃巍⑶髮?dǎo)或積分1等，轉(zhuǎn)化為可利用已知哥級數(shù)展開的情形,本題可先求導(dǎo)，再利用函數(shù)1x的哥級數(shù)展開【詳解】因為(x)即可,然后取x為某特殊值，得所求級數(shù)的和24x2nn2n,11(1)4x,x(022又f(0)=-,所以f(x)f(0)x0f出x0(1)n4nt2ndtn0(1)n4n2n1x,x02n1梅花香自苦寒來，歲月共理想，人生齊高飛!第-1

23、1-頁共22頁因為級數(shù)n02n(1)ni,一l收斂，函數(shù)f(x)在x11，一處連續(xù)，所以2f(x)(1)n4n02n1x2n1,x人1一令x一，得2(1)4n2n2n112(1)nn02n11-再由f(-)0,(1)nn。2n1五、（本題滿分10分)已知平面區(qū)域D(x,y)0,0,L為D的正向邊界.試證:siny(1) ;xedyyesinxdxLxesinydysinxyedx;siny.(2) Lxedyyesinxdx【分析】本題邊界曲線為折線段，可將曲線積分直接化為定積分證明，或曲線為封閉正向曲線，自然可想到用格林公式；（2）的證明應(yīng)注意用（1）的結(jié)果.【詳解】方法一：所以(2)左邊=

24、0sinyedy,sinx(esiny.右邊=0edysinx0(esiny；xedyye由于sinxesiny,xedy0.sinxedxsinxsinx.edxsinx)dx,sinxdxxeLsinxyesinx.dxsinydy(1)得,sinx0(esinxyedx.sinx2e)dx2方法二：（1）根據(jù)格林公式，得梅花香自苦寒來，歲月共理想，人生齊高飛!第-12-頁共22頁sinyLxedyyesinx.dxLxesinysinx.dyyedx(esinyD(esinyDesinx)dxdy,sinx)dxdy.因為D具有輪換對稱性，所以(esinyDesinx)dxdy=(eDs

25、inysinx、e)dxdy,故xesinydyyesinxdxsiny1Lxedysinxyedx.(2)由(1)知siny,Lxedyyesinx.dx(esinyDsinx、)dxdysiny,edxdysinxdxdysinx.edxdysinxdxdy（利用輪換對稱性）sinx(eDesinx)dxdy2dxdy22D【評注】本題方法一與方法二中的定積分與二重積分是很難直接計算出來的，因此期望通過計算出結(jié)果去證明恒等式與不等式是困難的.另外，一個題由兩部分構(gòu)成時，求證第二部分時應(yīng)首先想到利用第一部分的結(jié)果，事實上，第一部分往往是起橋梁作用的六、（本題滿分10分）某建筑工程打地基時，需

26、用汽錘將樁打進土層.汽錘每次擊打，都將克服土層對樁的阻力而作功.設(shè)土層對樁的阻力的大小與樁被打進地下的深度成正比（比例系數(shù)為k,k0）.汽錘第一次擊打?qū)洞蜻M地下am.r(0r0時,F(t)2G(t).【分析】(1)先分別在球面坐標下計算分子的三重積分和在極坐標下計算分母的重積分，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)F(t)的符號確定單調(diào)性；(2)將待證的不等式作適當?shù)暮愕茸冃魏?，?gòu)造輔助函數(shù)，再用單調(diào)性進行證梅花香自苦寒來，歲月共理想，人生齊高飛！第-15-頁共22頁明即可.【詳解】(1)因為2dF(t)d0-2d0-22f(r)rsindr_t_222f(r)rdrF(t)2所以在(0,(2)-2f(r)rdr-

27、2f(r)rdr2t-2tf(t)0f(r)r(tr)drtL220f(r)rdr)F(t)0,故F(t)在(0,)內(nèi)單調(diào)增加.t20f(r)rdrf(r2)dr要證明t0時F(t)2G(t),只需證明一2-rrt0時，F(xiàn)(t)-G(t)0,即f(r2)r2dr0f(r2)drf(r2)rdr20.令g(t)t-220f(r)rdr,-22t-2f(r)rdrf(r)dr則g(t)f(t2)0f(r2)(tr)2dr0,故g(t)在(0,)內(nèi)單調(diào)增加.因為g(t)在t=0處連續(xù),所以當t0時，有g(shù)(t)g(0).又g(0)=0,故當t0時，g(t)0,一2因此，當t0時，F(xiàn)(t)G(t).【評

28、注】本題將定積分、二重積分和三重積分等多個知識點結(jié)合起來了，但難點是證明(等式，事實上，這里也可用柯西積分不等式證明：2)中的不b2f(x)g(x)dxa-2f(x)dx2,g(x)dx,在上式中取f(x)為qf(r2)r,g(x)為3f(r2)即可.九、(本題滿分10分)3設(shè)矩陣A2A的伴隨矩陣，E為3階單位矩陣.【分析】可先求出A,P1,進而確定或先求出A的特征值與特征向量，再相應(yīng)地確定1,BP1AP,求B+2E的特征值與特征向量，其中A為1*-PAP及B+2E,再按通常方法確定其特征值和特征向量;A*的特征值與特征向量，最終根據(jù)B+2E與A*+2E相似梅花香自苦寒來，歲月共理想，人生齊高

29、飛!第-16-頁共22頁求出其特征值與特征向量【詳解】方法一：經(jīng)計算可得A*700BP1AP=254223從而B2EE(B2E)_2-9)(3),故B+2E的特征值為129,33.12329時，解（9EA）x0,得線性無關(guān)的特征向量為121,2001所以屬于特征值9的所有特征向量為12k11k22k11k20,其中k1，k2是不全為零的任意常數(shù)33時，解（3EA）x0,得線性無關(guān)的特征向量為0所以屬于特征值33的所有特征向量為k33卜31,其中k30為任意常數(shù)1梅花香自苦寒來，歲月共理想，人生齊高飛!第-17-頁共22頁方法二：設(shè)A的特征值為，對應(yīng)特征向量為，即A由于A70,所以0.又因A*A

30、AE,故有A*于是有B(P1)P1A*P(P1)(P1),1(B2E)P(上2)P1因此，2為B+2E的特征值，對應(yīng)的特征向量為由于(1)2(7),7.故A的特征值為1時,對應(yīng)的線性無關(guān)特征向量可取為7時,對應(yīng)的一個特征向量為0，得P11因此,B+2E的三個特征值分別為9,9,3.對應(yīng)于特征值9的全部特征向量為kF11_1k2P2k11k2k1,k2是不全為零的任意常數(shù);對應(yīng)于特征值3的全部特征向量為k3P13k31，其中k3是不為零的任意常數(shù)1【評注】設(shè)B1PAP,若是A的特征值，對應(yīng)特征向量為，則B與A有相同的特征值，但對梅花香自苦寒來，歲月共理想，人生齊高飛！第-18-頁共22頁應(yīng)特征向

31、量不同，B對應(yīng)特征值的特征向量為P.不過利用相似矩陣有相同本題計算量大，但方法思路都是常規(guī)和熟悉的，主要是考查考生的計算能力的特征值以及A與A*的特征值之間的關(guān)系討論，可適當降低計算量.十、(本題滿分8分)已知平面上三條不同直線的方程分別為li:ax2by3c0,l2：bx2cy3a0,l3:cx2ay3b0.試證這三條直線交于一點的充分必要條件為abc0.【分析】三條直線相交于一點，相當于對應(yīng)線性方程組有唯一解，進而轉(zhuǎn)化為系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩均為2.【詳解】方法一：必要性設(shè)三條直線li12/3交于一點，則線性方程組ax2by3c,bx2cy3a,cx2ay3b,a有唯一解，故系數(shù)矩陣Abc

32、a2b3c由于|A|b2c3ac2a3b=3(abc)(a(*)2ba2b2c與增廣矩陣Ab2c2ac2a3c3a的秩均為2,于是|A|0.3b6(abc)a2b2c2abacbcb)2(bc)2(ca)2,但根據(jù)題設(shè)(ab)2(bc)2(ca)20,故abc0.充分性：由abc0,則從必要性的證明可知，|A0，故秩(A)3.由于a2b_2_2c2(acb2)2a(ab)b2b2c=2(a1b)23b20,24故秩(A)=2.于是，梅花香自苦寒來，歲月共理想，人生齊高飛！第-19-頁共22頁秩(A尸秩(A)=2.因此方程組(*)有唯一解,即三直線li2/3交于一點.方法二：必要性設(shè)三直線交于一

33、點Xo(x0,y0),則y0為Ax=o的非零解，其中a2b3cAb2c3ac2a3b于是A0.a2b3c而Ab2c3ac2a3b=3(abc)(a但根據(jù)題設(shè)(ab)2(bc)2(abc0.充分性：考慮線性方程組ax2by3c,bx2cy3a,cx2ay3b,將方程組(*)的三個方程相加，并由6(abc)a2b2c2abacbcb)2(bc)2(ca)2,ca)20,故(*)a+b+c=0可知，方程組(*)等價于方程組因為ax2by3c,bx2cy3a.(*)a2bb2c2(acb2)2a(ab)b2a2b2(ab)20,故方程組(*)有唯一解，所以方程組(*)有唯一解，即三直線1i2/3交于一點.【評注】本題將三條直線的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程組的解的判定，而解的判定問題又可轉(zhuǎn)化為矩陣的