三角恒等變形

1、三角恒等變形§1兩角和與差的三角函數課堂板書1 .兩角和與差的余弦公式cos(a±B)=cosaCOSsinasir#犯為：Ca±B2 .兩角和與差的正弦公式sin(a±3)=sinccos3±cosasin3,簡記為：S”士b。3 .兩角和與差的正切公式tana:;:tan:tan(a±3)=1'tanatanB,簡記為：t.±b4 .誘導公式3131sin(2±a)=cosa,cos(2+a)=sinaJI冗tan(2±a)=十cota,cot(2±a)=tana3二3二sin(2&

2、#177;a)=-cosa,cos(2±a)=±sina3二3二tan(2±a)=Lcota,cot(2±a)=tana簡記為：“函數名互余，符號看象限”.*青境后其人們對任一事物所下結論應在對這一事物認真研究之后，而不是在之前.認真研究之前可以猜想結論是什么樣，可以大膽地猜，但是猜完了要證明.猜完了往往是先驗證，經過驗證發(fā)現猜錯了可以再猜再驗證.經過多次驗證沒發(fā)現錯，這時可以設想：猜想有可能是對的，但是要經過證明.如果猜想經驗證發(fā)現是錯的，可再猜.如果不好猜了，這時會估計結論可能不是一個非常簡單的形式，難以猜測其結論.這時要換一個方式去考慮，對公式C-

3、B就是把sina,cosa,sin3,cos3當做已知量去求cos(a-3).這樣就較自然地形成了本節(jié)對公式C-b的證法.要點1推導和角公式與差角公式(1)推導公式cos(a+3)=cosccos3sinasin3.考慮如何運用兩點之間的距離公式，把兩角和的余弦cos(a+3)用a、3的三角函數表示的問題.公式推導思路總結：公式cos(a+3)的本質是用單角a和3的三角函數表本和角a+3的余弦，作出角a、3及3、a+3,尤其是這些角的始邊應盡可能放在Ox軸上，這樣才能正確地寫出這些PlP2=角的終邊與單位圓交點的坐標.而這些坐標恰好包含了這些角的正弦和余弦，這是建立這些角的三角函數間的關系式的

4、基礎，同圓中等圓心角對等弦與平面內兩點間的距離公式，(xiX2)2+(yi-y2)2為建立上述關系式提供了依據和可能.歸納公式推導過程，主要有單位圓內作角一一利用三角函數定義，寫出各角終邊與單位圓交點的坐標一一利用弦相等及距離公式建立等式一一化簡這四步.(2)推導公式cos(a-3)=cosacos3+sinasin3.在上面白公式C(“+b)中，用一3代替3,就得到cos(a-3)=cosccos(3)sinasin(3)=cosccos3+sinasin3.即cos(a-3)=cosacos3+sinasin3(C(«-m)(3)推導誘導公式cos(a)=sina,sin(a)=

5、cosa.22運用公式C可得到cos(a)=coscosa+sinsina=0-cosa+1-sina=sina.再把此式中的工-2這樣，得到誘導公式a換成a,可得至Ucosa=(sina)2/兀、:一cos(a)=sina2.,汽、sin(a)=cos(X2其中(4)a可為任意角.推導公式sin(a+3)=sinacos3+cosasin3,sin(a-3)=sinacos3cosasin3.運用C(”+b)和誘導公式，有sin(a+3)=cos(a+3)1=cos(a)-3=cos(a)cos3+sin(a)sin3=sinacos3+cosasin3.22即sin(a+3)=sinaco

6、s3+cosssin3(S(“+b)在公式s(“+b)中用一3代替3,可以得到sin(a-3)=sinacos(3)+cosasin(3)=sinacos3cosasin3.即sin(a-3)=sinacos3cosasin3(S(“3)(5)推導公式tan:；tantan：-tan:tan(a+3)=a,tan(a3)=f1-tan工tan:1tan一(tan:當cos(a+3)W0時，將公式S(“+b),C(”+b)的兩邊分別相除，有tan(a+3)sin('、P)sin二cos:cos：sin:cos(<、I,)cos-cos-sinasin:若cosacos3W0時，將上

7、式的分子，分母分別除以cosacos3，得tana+tanPtan(“+3)=-(T()1-tanatanpsin(-:)-sin:由于tan(3)=一9=-=-tan3,cos(-)cos-在T(8+b)中以一3代3,可得tan"，tan(二)tan二一tan-tan(a3)=方1一tan二tan(一.)1tan：tanItana-tanP即tan(a3)=-n(T(«-m)1 +tanatanp說明：公式T("士B)在aWkTt+,3wk7t+)，a+3wk7t+(T(“+b)需滿足)，a-3*k7t+(T(aB)需滿足)kCZ時成立，否則是不成立的.當tan

8、a、tan3或tan(a+3)的值不存在時，不能使用T(“士口公式，處理有關問題時應改用誘導公式或其他方法來解，比如化簡tan(工一3),因為tanE的值不存在，不能2 2一_.、，一、一一一一斤用T(b),而應改用誘導公式tan(3)=cot3.2公式S(8+B),C(8+B),T(a+B)給出了任意角a、3的三角函數值(指正弦、余弦和正切)與其和角a+3的三角函數值之間的關系，為方便起見，我們把這三個公式都叫做和角公式類似地，公式S(8-B),C(lB),T(8-B)都叫做差角公式.要點2.理解和運用和角公式、差角公式需注意的幾個問題(1)兩角和與差的正弦、余弦、正切公式之間的內在聯系：掌

9、握好表中公式的內在聯系及其推導線索，能幫助我們理解和記憶公式，是學好這部分內容的關鍵.熟悉并掌握cos(a+3)=cosacos3sinasin3的推導過程，它是本節(jié)和下一節(jié)所有公式的根源.誘導公式是兩角和與差的三角函數公式的特殊情況，a、3中有為-的整數倍時,2使用誘導公式更加靈活、簡便，不要再用兩角和差公式展開(2)對于兩角和與差公式的異同要進行對比和分析，便于理解、記憶和應用明確角、函數和排列順序以及公式中每一項的符號；要牢記公式，并能熟練地進行左右兩邊的互相轉化；比如由sin20°cos50°sin70°cos40°能迅速地想至Usin(20&#

10、176;50°)=2和差角公式可以看成是誘導公式的推廣，誘導公式可以看成和差角公式的特例，比如cos(2兀+a)=cos2ccosasin2ssina=1-cosa0-sina=cosa.當a、3中有一個角為三的整數倍時，要利用誘導公式.2要點3.三個基本的三角恒等變換學習本節(jié)內容，要注意結合本節(jié)有關問題掌握好以下三個基本的三角恒等變換：(1)代換；(2)公式的逆向變換與多向變換；(3)引入輔助角的變換.這三種基本變換在以后解題中要經常用到.(1)代換這是一種十分常用的數學方法，代換法解數學題是重要的解題方法，解三角題更為突出.說明：若a、3均為銳角，且cosa=1,cos(a+3)

11、=11,貝Ucos3=.如果714展開cos(a+3)進行運算，則煩瑣難解，但若利用3=(a+3)a的代換，也就是cos3=cos(a+3)a,則解法十分簡便，大大降低問題的難度.本部分內容主要應用角的代換，常見的角的代換關系有a=(a+3)-3,a=3-(3a),a=(a+3)+("-3),a=(3+22a)一(3一等.(2)公式的逆向變換、多向變換使用任何一個公式都要注意它的逆向變換、多向變換，這是靈活運用公式所必須的.尤其是三角公式眾多，把這些公式變活，顯得更加重要，這也是學好三角知識的基本功說明：cos(a3)cos3sin(a3)sin3化簡為A.sin(2a+3)B.co

12、s(a23)C.cosaD.cos3分析：將a3看作一個角，3看作一個角.原式=cos(a3)+3=cosa，應選C.解答本題時不僅利用角的變換a=(a3)+3,同時運用了公式的逆向變換.tan:工，tanI'又例如兩角和的正切公式tan(“+3)=.除了掌握其正向使用之外，還需1 Tan二tan-掌握如下的一些變換:tan'：Tan:1-tan二tan:=tan(a+3)；1tanatan3=tan'：Tantan(-：-)tana+tan3=tan(a+3)1tanatan3；tanatan3-tan(a+3)=tan(a+3)tanatan3等.兩角和的正切公式的

13、四種變形要熟悉，在以后解題中經常使用，要變活、用活.(3)引入輔助角的變換關于形如asinx+bcosx(a、b不同時為零)的式子引入輔助角變形為Asin(x+中)的形式.基本想法是“從右往左”用和角的正弦公式，把它化成Asin(x+中)的形式，現在，就a、b做一般的討論.如果a=Acos中,b=Asin中，那么asinx+bcosx=A（sinxcos中+cosxsin中），這樣就可以把原式化為Asin（x+邛）了.現在問題轉變?yōu)锳與學應當怎樣來確定.由cos2：+sin2.：=1,可得（3）2+（b）2=1,AAA2=a2+b2.這樣就得到A=土"a2+b2,不妨取A=<a

14、2+b2,于是就得到cos中=？sin（P=11b，從而得tantp=P，因為a、b是已知的，所以可以確定中.a2b2a2b2a歸納上述，有2.2abasinx+bcosx="a+b(.sinx+cosx).a2b2,a2b2ab.令cos邛=,sin邛=',貝U,a2b2,a2b2原式=Va2+b2(sinxcos中+cosxsin中)=Va2+b2sin(x+中).(其中邛角所在象限由a、b的符號確定，邛角的值由tanq>=b確定).a例1.不查表求值(1)cos75°(2)cos15°.分析本題關鍵是將75°分解成兩個特殊角的和75&

15、#176;=45°+30°,而將150分解成15°=45°30°=60°45°皆可.解：(1)cos75°=cos(45°+30°)=cos45°cos30°sin45°sin30°.23.2v1.6-,2=xx=.22224(2)cos15°=cos(45°30°)=cos45°cos30°+sin45°sin30°23.2v1.6、2=x+X=.22224或cos15°=c

16、os(60°45°)=cos60°cos45°+sin60°sin45°123、.2.6.2=x+x=.22224小績對于cos75°、cos15°的值要熟悉，以后在較復雜的問題時，遇到它們的值可以直接寫出.22sin50sin801.3tan10同類變式1?；咼.2sin50cos50.例2.求虹上曳宜皿的值.cos7-sin15sin8分析觀察被求式角度特點、函數名稱特點，將7。用15。一8。代換，可利用差角公式先化簡.對于分式，約分是解決非特殊角的有效方法，對于特殊角可直接寫出三角函數值.sin7cos15

17、sin8sin(15-8)cos15sin8用牛：=cos7一sin15sin8cos(15-8)-sin15sin8sin15/OS80COS15卞in80+COS15飛吊87Sin15'OS81加15。cos15cos8sin15sin8”sin15sin8cos15cos8=tan(45_tan45-tan3030)=1tan45tan301-333-,33小綃關鍵一步（2）（1）根據本題的特點，將7。用15。一8。代換，然后利用差角公式是解答本題的解決給角求值這類問題的主要手段是通過三角變換使其產生特殊角，或者出現正負項進行抵消，或者出現分式后實行約分達到求值的目的同類變式2。

18、化簡（tan10。一E）8s10sin50“，一，、.，汽一、.，汽Un一、.，汽.例3.求tan（。）+tan（_+。）+J3tan（。）tan（_+。）的值.分析首先看角度特點，發(fā)現（0）+（+0）=!是一個特殊角.再觀察三角函數狀況，是兩角（1。），（1+0）正切的和與正切積的形式，因此可靈活地利用正切和角公式的變形式tan+tan3=tan（a+3）,（1tanatan3）.由此可解決一類求值問題：tana+tan3+tan（a+3）tanatan3=tan（a+3）.例如tan17°+tan43°+3tan17°-tan43°=.3.解：:ta

19、n(工一。)+(+0)=tan=V3,tan(-i)tan(二)又tan(E0)+(-+Q)=sinAsinAB-A16,661-tan(-二)tan(二u)66.，汽一、.，汽r汽一、.，汽tan(-0)+tan(-+q)=v31tan(-0)tan(+q)原式=*131tan(06tan(£+Q)+«tan(j-。)tan(-+。)=73.小統(tǒng).應注意公式的逆用、變形.掌握公式的結構特征，同時掌握公式的使用條件，搞清公式的功能與作用，抓住公式的本質特征，是正確靈活運用公式解決問題的基本要求同類變式3?；?.2cos-一一、54、3)=，求sin(a+3)13分析注意正

20、余弦值來求sin3nc、+3)4a+3).式、a,)_n/c、一+(a+3)2，可通過求出解：<-<a4<絲.4a<0.又<0<3<-43支式汽2<7-1212"-13./.c、，式.C、sin(a+3)=cos(+a+3)=cos3n八、(+3)4-a)4=cos(+3)cos(a)-sin(匹+3)sin-a)Y)xx()4561351365例4.已知0<3<IJS<a<35,cos(工的值.小結.解題時要首先認真觀察和分析題目的已知條件和結論中各種角度之間的相互關系，并根據這種關系來選擇公式._.一.、,斤

21、斤7同類變式4。已知a(0,-),sin(-a)二不，求cos2a的值.例1(1)化簡sin(2A+-1.(2)已知口、B為銳角，cosa=,tan(a-B)=-，求cos口的值.3分析角度變換是三角恒等變換的首選方法，解答本例要注意對題中角間的關系進行分析，如(1)中有2A+B=(A+B)+A,(2)中有3=a(a3),抓住了這些關系后，再恰當地運用公式，問題便不難解決了.sinI.AB】一AL2cosABsinAsinAsinABcosA-cosABsinA*sinAsinBsinA(2)解法)-2cos(A+B)解：(1)原式=例5.sinA丁ot是銳角,cosa=4,二sina=355

22、又ot、P為銳角，:-<a-P<.22-1vtan（a一P）=,可求出3.1. 0.:、.10c0s:一一二70",sin：一一二一70",.cos'=cos!43,103=，r5105=910.50=cos:cos:-sin:sin:工I：而、而一一一4解法一：丁a是銳角，cosa=，53,3.sin:二一,tan二二一.54.tan：=tan、工-Itan:-tanI。I：1 tan二tanl：,2 143_13331一9.1.一43又3是銳角，,cosP=V10.50小結對角間的關系進行分析，主要是分析它們之間的和、差、倍、分關系，以便通過角度變換

23、，減少不同角的個數.它實際上是一種基本量方法，即把題中某些角作為基本量，其他角用基本量表示出來，達到變形的目的.：1二2二二同類變式5。已知（“-2）=-9,sin（2-3）=3,且2<“（兀，。<3<2,求a+Pcos2.誤區(qū)分析5.10例6.已知a、3都銳角，且sin=,sin3=°，求a+3.25錯解：:a、3都是銳角，cosa=.1-sin21二.1c.2d13,10cos3=.1-sin：=1一,1010./c、.c.c、5、，3J02、5.10.、2 sin(a+3)=sinacos3+cosasinB=x+X=5105102- -a+3=4這種解法有沒

24、有錯誤呢？如果有，錯又在什么地方呢？疑難辨析由sin(a+3)=苧,下結論a+3=-,頭際上，。<a<,0<3<,0<a+3兀.a+3=,a+3的正弦值不是唯一的，所下的結論a+3=是沒有根44據的.一一n汽正斛：<0<a<_,0<3<,.,.0<a+3<.-2.5°3.10又cosa,cos3,2.53.10、,5,10.2cos(a+3)=cosacos3sinssin3=xx=5105102-又在0兀之間，余弦值為史的角，只有工，24(X+3=一4.小結：(1)本例中求cos(a+3)比求sin(a+3)好

25、.這是因為0<a+3<兀，在此區(qū)間上余弦函數是單調函數，而正弦函數在此區(qū)間上不是單調函數，要求a+3的值，還需將其范圍縮小，比較麻煩.已知三角函數值，求角，選函數時，可按照下列原則：一般已知正切函數值，選正切函數；已知正、余弦三角函數值，選正弦或余弦函數，若角范圍是(0,-),有時選正弦函數，也有時選余弦函數；若角范圍是(工，工)，選正222弦函數比余弦函數好；若角的范圍是(0,兀)，選余弦函數比正弦函數好.(2)解這類問題一般分三步：第一步求角的某一個三角函數值；第二步確定角所在的范圍；第三步根據角的范圍寫出所求角.名題精講考點1考查兩角和的正切公式例1.tan10°t

26、an20°+向(tan10°+tan20°)等于()A.3B.1C.3D.6思路分析本題主要考查兩角和的正切公式的運用標準解答(1)原式=tan10°tan20°+J3(1-tan10°tan20°)tan(10°+20°)=tan10°tan20°+1-tan10°tan20°=1，應選B.【說明】利用兩角和正切公式的變形：tana+tan3=(anatan3)tan(o+®高考試題中,曾多次考查過兩角和、差的正切公式及其變形的應用，在學習過程中，對此應

27、予以重視.針對性訓練1。tan20+tan40+33tan20tan40的值是考點2考查方程的思想例2.已知ABC中的三內角A、B、C成等差數列，且cosAA-Ccos2的值.cosCcosB,求ACB=60=思路分析本題中角間關系較為隱蔽，注意到2，而ACACA=ACA-CC標準解答A-C.取2作為基本量，就找到了解決本題的突破口.由已知，B=60°,A+C=120°、幾A-C設2，則A=i2=60：,A-C”=60-:.21cosAcosC1cos60:r工icos60-二:11 一,3.一cos-一sin工2 2cos、工1cos2：-43sin2:411 .3.co

28、s-sin工2 2cos:.2-3cos4依題設有cos工2一cos2=-2,2cosB整理得：4.2cos2二2cos：-3.2=0,2cos-222cos。：；3=0.22cos=3二0,A-C、.2故cos=.22【說明】本題實際上是把題設等式看成一個方程，上述解法體現了方程思想的應用.針對性訓練2。在ABC中，/BAC=45°,BC邊上白高AD把BC分成BD=2,DC=3兩部分，如圖4-6-2,則ABC的面積為.圖462考點3考查三角函數與一元二次方程的綜合應用例3.設tan“和tan3是方程x2-3x-3=0的兩個實根，求sin2(a+3)3sin(a+3)cos(a+3)

29、3cos2(a+3)的值.解：由題設條件和韋達定理得tan+tan3=3,tana-tan3=3,則tan(a+3)tan+tan-_3=1-tan:tan:4所以sin2(a+3)3sin(a+3)cos(a+3)3cos2(a+3)_sin2(二，,)-3sin(二，,-)cos(:x，F)-3cos2(二，,)sin2(：工，P)cos2(：工，P)一3._tan2("P).3tan(aM).314j一3父4一3tan2(a；)1針對性訓練3。已知tanA與tan(A+)是x2+px+q=0的兩根，若3tanA=2tan(A),求p與q的值.考點3考查三角函數與平面幾何的綜合應

30、用例4.OO的內接四邊形ABCD中，AB=2,BC=4,CD=6,且AD為。O的直徑.求證:OO的半徑是方程x314x12=0的根.思路分析根據題設，應尋找到一個關于R的等式關系，也就是以R為根的方程，那么這個等式關系尋找到了，問題也就得解了.證明：如圖463，設。的半徑為R,/AOB=2a,/BOC=23,/COD=2T.CD圖4-6-3在等月AOB、BOC、COD中,Rsina=1,Rsin3=2,Rsin丫=3.-a+3+Y=2，sinT=cos(a+3),即sin丫=cosccos3sinssin3.且sina=一,sin3=,siny=故cosa4R2把這五個等式代入，就有整理得R4

31、-14R2-12R=0,但RW0,所以R為解題方法小結x3-14x-12=0的根.本題構思巧妙靈活，從方程根的定義出發(fā)尋找到了解題的突破口ZAOB=2:令ZBOC=2P>/COD=2是解好本題的最關鍵由于設出式，才有Rsin：-1_|.RsinP=2Rsin¥=3由于設出式，才有a+3+=，才有sinT=sin(a+3),2才有sin=cosacos3sinasin3.聯立問題得解.解題思路流暢，如行云流水，值得我們研究，得以啟發(fā)自主學習A卷知能檢測時間40分鐘滿分100分基礎達標1.tan10tan20°+<3(tan10°+tan20）的值等于1A

32、. -32.sin151A.4B.1cos165°的值等于1B. 一41C.21D.一23.若tan0=1,則cos201sin20的值等于323,、，,求COS(a3)的值.511.已知sin+sin0=73(COS0COSa),a、B(0,-),那么sin3a+sin325434A.B.C.D.65554.若tan(a+3、2A/0冗、)=一,tan(3)1FT,無=,UB么tan(a+)5444133133A.B.C.一D.162222164.B一3廠，3、4-,5.已知aC(Tt,2兀),且tan(一兀+a)=-,貝Ucos(a223227,27.2A.一B.C.D.101010106.cos285°=.17.設tana=,八1tan3=.,a>3