三角形全等之類比探究講義及答案

1、三角形全等之類比探究(講義)知識點睛1 .類比探究是一類共性條件與特殊條件相結(jié)合，由特殊情形到一般情形(或由簡單情形到復(fù)雜情形)逐步深入，解決思想方法一脈相承的綜合性題目，常以幾何綜合題為主.2 .解決類比探究問題的一般方法：(1)根據(jù)題干條件，結(jié)合先解決第一問；(2)用解決的方法類比解決下一問，整體框架照搬.整體框架照搬包括23 .常見幾何特征及做法：見中點，精講精練1 .在ABC中，/ACB=90°,AC=BC,直線MN經(jīng)過點C,AD±MN于D,BEXMNTE.(1)當(dāng)直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時，求證：ADg"EB;DE=AD+BE.(2)當(dāng)直線MN繞點

2、C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，求證：DE=AD-BE.(3)當(dāng)直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時，請直接寫出DE,AD,B三間的數(shù)量關(guān)系.2.如圖1,四邊形ABCD是正方形，AB=BC,/B=/BCD=90°,點E是邊BC的中點，/AEF=90°,EF交正方形外角/DCG的平分線CF于點F.(1)求證：AE=EF(提示：在AB上截取BH=BE,連接HE,構(gòu)造全等三角形，經(jīng)過推理使問題得到解決).(2)如圖2,如果把“點E是邊BC的中點”改為“點E是邊BC上(除B,C外)的任意一點”，其他條件不變，那么結(jié)論“AE=EF”仍然成立嗎？說明理由.(3)如圖3,點E是BC的延長線上(除C點外

3、)的任意一點，其他條件不變，結(jié)論"AE=EF”是否成立？說明理由.3.以4ABC的邊AB,AC為直角邊向外作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACD,/BAE=/CAD=90°,AB=AE,AC=AD,M是BC中點，連接AM,DE.圖1(1)如圖1,在ABC中，當(dāng)/BAC=90°時，求AM與DE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系.(2)如圖2,當(dāng)4ABC為一般三角形時，(1)中的結(jié)論是否成立，并說明理由.(3)如圖3,若以4ABC的邊AB,AC為直角邊向內(nèi)作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACD,其他條件不變，(1)中的結(jié)論是否成立，并說明理由.4.(1)如圖1,已知/M

4、AN=120°,AC平分/MAN,/ABC=/ADC=90°,則能得到如下兩個結(jié)論：DC=BC;AD+AB=AC.請你證明結(jié)論.(2)如圖2,把(1)中的條件"/ABC=/ADC=90°”改為“/ABC+ZADC=180",其他條件不變，則(1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由.(3)如圖3,如果D在AM的反向延長線上，把(1)中的條件"/ABC=ZADC=90°”改為“/ABC=/ADC"，其他條件不變，(1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請直接回答；若不成立，請直接寫出你的結(jié)論.【

5、參考答案】知識點睛：解決類比探究問題的一般方法：(1)根據(jù)題干條件，結(jié)合分支條件先解決第一問:(2)用解決第(1)問的方法類比解決下一間、整體框架照搬.整體框架照搬包括照搬字母，照搬輔助線，照搬思路.見中點，考慮倍長中線.精講精練1.證明：（1）如圖,./ACB=90° /1+/2=90° ADXMN,BEXMN ./ADC=/CEB=90° /3+/2=90° /1=/3在AADC和4CEB中t.ADC=/CEB''Z1"3AC=CB.ADCACEB(AAS) .AD=CE,DC=EB .DE=CE+DC=AD+BE 2)如圖

6、，vZACB=90°./1+/2=90°VADXMN,BEXMN./ADC=/CEB=90°./CBE+/2=90°./1=/CBE在AADC和ACEB中ADC=/CEB</1=/CBEAC=CB.ADCACEB(AAS) .AD=CE,DC=EB .DE=CE-DC=AD-BE(3) DE=BE-AD,理由如下:如圖，2.vZACB=90° /1+/2=90° ADXMN,BEXMN ./ADC=/CEB=90°./3+/2=90° /1=/3在AADC和ACEB中fZADC=NCEB /1=/3AC=CB

7、.ADCACEB(AAS) .AD=CE,DC=EB .DE=DC-CE=BE-AD解：(1)AE=EF,理由如下：如圖，在AB上截取BH=BE,連接HE.AH=ECvZB=90°/1=/2=45° ./AHE=135°vZBCD=90° ./DCG=90°.CF平分/DCG ./GCF=45° ./ECF=135° ./AHE=/ECF ./AEF=90°,/B=90° ./AEB+/3=90°,/AEB+/4=90° /3=/4在AAHE和AECF中：4=/3IAH=ECI.AHE

8、=/ECF.AHEAECF(ASA) .AE=EF(2) AE=EF仍成立，理由如下：如圖，在AB上截取BH=BE,連接HE. .AH=ECvZB=90° /1=/2=45° ./AHE=135°vZBCD=90° ./DCG=90°.CF平分/DCG ./GCF=45° ./ECF=135° ./AHE=/ECF ./AEF=90°,/B=90° ./AEB+/3=90°,/AEB+/4=90° /3=/4在4AHE和4ECF中4二/3IAH=EC.AHE"ECF.AHEA

9、ECF(ASA) .AE=EF(3) AE=EF仍成立，理由如下：如圖，延長BA至ijH,使BH=BE,連接HE. .AH=ECvZB=90° ./H=45°vZBCD=90° ./DCG=90°.CF平分/DCG /1=45°；/H=/1 ./AEF=90°,/B=90° ./AEB+/3=90°,/AEB+/2=90°；/2=/3,.ZHAE+Z2=180°,ZCEF+Z3=180° ./HAE=/CEF在AAHE和AECF中 H=/1AH=EC/HAE=/CEF.AHEAECF(

10、ASA).AE=EF3.解：(1)DE=2AM,AMIDE,理由如下：如圖，延長AM到F,使MF=AM,連接BF,延長MA交DE于G.F .AF=2AM.M是BC中點 .BM=CM在ABMF和ACMA中BM=CMI 'Z1”2MF=MA.BMFACMA(SAS).FB=AC,/3=/4BF/AC ./FBA+/BAC=180°ZBAE=ZCAD=90° ./DAE+/BAC=180° ./FBA=/DAE,.AC=ADBF=AD在AFBA和ADAE中BF=ADFBA=/DAEAB=EA.FBAADAE(SAS) .AF=ED,/5=/6 .DE=2AMvZ

11、BAE=90°./5+/7=90°/6+/7=90°丁./EGA=90°即AMIDE(2) (1)中的結(jié)論成立，理由如下：如圖，延長AM到F,使MF=AM,連接BF,延長MA交DE于G.F .AF=2AM.M是BC中點 .BM=CM在4BMF和4CMA中BM=CM.1=/2MF=MA.BMFACMA(SAS) .FB=AC,/3=/4BF/AC ./FBA+/BAC=180°ZBAE=ZCAD=90° ./DAE+/BAC=180° ./FBA=/DAE,.AC=ADBF=AD在AFBA和ADAE中BF=AD%FBA&quo

12、t;DAEAB二EA.FBAADAE(SAS).AF=ED,/5=/6.DE=2AMvZBAE=90°./5+/7=90°./6+/7=90°丁./EGA=90°即AMIDE(3) (1)中的結(jié)論成立，理由如下：如圖，延長AM到F,使MF=AM,交DE于G,連接BF. .AF=2AM.M是BC中點 .BM=CM在4BMF和4CMA中BM=CMI2BMF=2CMAMF=MA.BMFACMA(SAS) .FB=AC,/FBM=/ACMBF/AC ./FBA+/BAC=180°ZBAE=ZCAD=90°/BAC=/BAE+ZCAD-/DAE

13、 ./DAE+/BAC=180° ./FBA=/DAE,.AC=ADBF=AD在AFBA和ADAE中BF=AD2FBA=2DAE,AB=EA.FBAADAE(SAS) .AF=ED,/BAF=/AED .DE=2AMvZBAE=90° ./BAF+/EAF=90° ./AED+/EAF=90° ./EGA=90°即AMIDE4.(1)證明：如圖，在BN上截取BE=AD.AC平分/DAB,/MAN=120°/1=/2=60°在ACDA和ACBA中CDA=/CBA1=/2CA=CA.CDAACBA(AAS) .DC=BC,AD=AB在ACDA和ACBE中DC=BC“DA=/CBEAD=EB.CDAACBE(SAS) .AC=ECvZ2=60° .AC=AE=BE+AB=AD+AB 2)成立，證明如下：如圖，過C作CGXAM于G,CFXANTF,在BN上截取BE=AD.vCGXAM,CFXAN/CGD=CFB.AC平分/DAB,/MAN=120°/1=/2=60°,CG=CF/ABC+/ADC=180°/CDG+/ADC=